Bir Kağıt En Fazla Kaç Kez Katlanır?

İddia

Bir kağıt en fazla 7 kez katlanabilir. Ne kadar uğraşırsanız uğraşın, isterseniz bir pres makinası kullanın, hiçbir kağıdı 7 seferden fazla katlayamazsınız.

Gerçek mi?

Sahte

Gerçek Ne?

Kağıtların evrensel bir katlanabilirlik sınırı yoktur ve dolayısıyla 7 kez katlama, evrensel bir sınır değildir. Bir kağıdın kaç kere katlanabileceğini belirleyen ana unsur, kağıdın orijinal kalınlığı, uzunluğu ve katlama stratejisidir. Pratikteyse kağıdın maksimum katlanma sayısını etkileyen bir diğer unsur, katlanan kağıt üzerine uygulayabileceğiniz kuvvettir. Ancak bu kriterler uygun şekilde manipüle edilerek, teoride bir kağıt sınırsız olarak, pratikteyse 7'den çok daha fazla sayıda katlanabilir.

İddianın Kökeni

Herhangi bir kağıdın en fazla 7 kez katlanabileceği miti, insanların "kağıt" dendiğinde akıllarına gelen ve kolayca erişebilecekleri kağıtların çoğunlukla benzer büyüklükte ve kalınlıkta olmasıdır. ABD ve Kanada gibi Kuzey Amerika ülkelerinde mektup kağıdı (21.59 cm x 27.94 cm) ve yasal kağıt (21.59 cm x 35.56 cm) en yaygın kullanılan kağıtlardır. Türkiye de dahil olmak üzere, Avrupa'da ve Dünya'nın geri kalan birçok yerinde ISO 216 standardını takip eden A-formatlı kağıtlar kullanılmaktadır ve bunların da en popüler olanı A4 olarak bilinen 21 cm x 29.7 cm boyutlarındaki kağıtlardır. Bunların hepsi, nitelikleri dolayısıyla ortalama 7 kez katlanabilecek boyutlardadır. Bu bakımdan, o kağıtların 7 kez katlanabileceği doğrudur; hatta A3 gibi daha büyük kağıtlar da 8. bir kez katlanmak için çok küçüktür. Ancak sırf bu kağıtlar nedeniyle, "bütün kağıtların bu sınıra uymak zorunda olduğu" fikri doğmuştur. Bu, doğru değildir.

Bilgiler

Söylediğimiz gibi, ülkemizde en yaygın olan A4 kağıdın eni 210 milimetre, boyu 297 milimetre, kalınlığı ise 0.1 milimetre civarındadır. Bu kağıdı ortadan ikiye katlarsanız, en ve boy bakımından A5 olarak isimlendirilen daha ufak bir kağıdın boyutlarına erişirsiniz. Ama kalınlık, iki katına çıkarak 0.2 milimetre olur. 2. katlamada kağıt A6 boyutuna iner ama kalınlık 0.4 mm olur ve yine iki katına çıkar.

Pinterest

Doğal olarak her aşama diğerinden daha zor hale gelecektir. Öyle ki, kağıt üzerine binen yüklerden ötürü, bir hidrolik pres makinası kullansanız bile 8. bir katlama yapmanız mümkün olmayacaktır, çünkü kağıt, iç strese dayanamayarak "kırılacaktır" (yani kağıdın yapıldığı malzeme parçalanacaktır). Bunu, aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz:

Ancak kağıdın boyutunu büyütecek olursanız ve inşaatta kullanılan silindir aracı kullanırsanız, çok daha büyük bir kağıdı çok daha fazla sayıda katlamanız mümkündür. Bunu ispatlayan Mythbusters ekibinin bir kağıdı 11 sefer katladığı bu videoya göz atabilirsiniz:

Peki bunun sınırı nedir? Bir kağıdı kaç kez katlayabileceğimizi veya belli bir kat sayısına ulaşabilmek için ne büyüklükte bir kağıt kullanmamız gerektiğini kestirebilir miyiz? Bunun bir matematiği var mı? Cevap evet ve bu matematik, bir lise öğrencisi tarafından keşfedildi!

Britney Gallivan ve Kâğıt Katlama Matematiği

2002 yılında bir lise öğrencisi olan Britney Gallivan, bir kağıdı 12 kez katlayarak Guinness Rekorlar Kitabı'na girmeyi başardı. Peki bu nasıl olabildi? Tabii ki matematiğin gücünden faydalanarak.

Gallivan, kağıt katlama problemine iki matematiksel çözüm geliştirdi. İlk çözüm kare şeklinde bir kağıdı sürekli olarak ortadan ikiye katlamak için olan yöntemdi. Sonucunda mümkün olan katlama sayısının kağıdın genişliği ve malzemenin kalınlığıyla ilgisini açıklayan bu formülü elde etti:

$W=\pi \times t\times 2^{3(n-1)/2}$

Gallivan'ın bu formülünde $n$ sayısı, yapmak istediğiniz katlama sayısı, $t$ ise kağıdın kalınlığı. Eğer bu parametreleri formüle girerseniz, ihtiyaç duyacağınız kağıdın kenar uzunluğunu, yani $W$ değerini veriyor. Örneğin 0.1 milimetrelik bir kağıtla 9 katlama yapmak isterseniz, n yerine 9, t yerine 0.1 milimetre yazarak bir kenarı yaklaşık 1.3 metre olan bir kağıda ihtiyaç duyarsınız. Genelde bu kadar büyük kağıtlar kullanmadığımız için ve birçok ülkede kullanılan standart kağıtlar belli bir büyüklükte olduğu için, "Bir kağıt en fazla 7 kere katlanır." miti doğdu.

Ama illâ kare veya kareye yakın bir kağıdı katlamak zorunda değiliz, değil mi? Bir diğer yöntem, upuzun bir kağıt alıp, onu hep aynı yönde katlamak olabilir. İşte Gallivan’ın başarısı burada gizliydi. Gallivan, mümkün olan katlama sayısı ile kağıdın uzunluğu ve kalınlığı arasındaki ilişkiyi de formülize etti.

$L=\frac{\pi \times t}{6}\times (2^n+4)(2^n-1)$

Burada da $n$ ve $t$ aynı parametrelere karşılık geliyor. Eğer 0.1 milimetrelik bir kağıdı bu yöntemle 12 kez katlamak isterseniz, 879 metrelik bir kağıt kullanmanız gerekir. Tabii formüle dikkat edin: Eğer $t$ sayısı, yani kalınlık daha küçük olursa, $L$ uzunluğu, yani ihtiyacımız olan kağıt uzunluğumuz azalacaktır.

Gallivan, biraz araştırmadan sonra özel bir tuvalet kağıdı rulosu buldu: Her biri 85 dolar olmak üzere, 6 rulo alması gerekti. Tuvalet kağıtlarıyla birlikte, 2002'nin ocak ayında kendi şehrinde bulunan bir alışveriş merkezine gitti ve ailesiyle birlikte bu jumbo tuvalet kağıdını açarak yere serdi. Ardından orta noktasını işaretleyerek ilk katlamayı gerçekleştirdi. Tabii bu biraz zaman aldı çünkü 400 küsür metre yürümesi gerekiyordu. Her katlamadan sonra işler biraz daha hızlanıyordu, çünkü her seferinde mesafe yarısına iniyordu. Ama diğer taraftan, kalınlık da iki katına çıkıyordu. Gallivan, ailesinin de yardımıyla kağıdı ikinci kez katladı ve sonra tekrar tekrar devam etti.

Tam 7 saatin sonunda, kağıt 11. kez katlandığında, tuvalet kağıdının genişliği 80 santimetreye inmişti ve kalınlığı ise 40 santimetreydi. Son katlamayı yaparken pozlar verilmeye başlanmıştı çünkü bu bir dünya rekoru olacaktı. 

Gelelim bizim aşina olduğumuz A4 kağıdına... 7. katlamayı yapmıştık. Diyelim ki sonsuz güçteyiz, kağıdımız uyguladığımız basınca dayanabilecek boyutlarda ve katlamaya devam edebiliriz. Bu şekilde devam ettiğimizde 8. katlamada kalınlık, uzunluğu geçer ve tam bu esnada kağıdınız bir çeliğin yapısal bütünlüğüne sahip olur yani bir çelik kadar sert bir hal alır. Devam edelim:

• 10. katlamada kalınlık yaklaşık avuç içiniz kadar olur. 
• 27. katlamada kağıdınız artık Everest’in uzunluğundan bile fazladır. 
• 42. katlamada kağıdınızın kalınlığı artık Dünya ile Ay arasındaki mesafeyi geçmiştir. 
• 51. katlamaya geldiğinizde ise artık Güneş’e ulaşabilirsiniz.

Bu sayılara iyi bakın. Dünya ile Güneş arasındaki mesafe, Dünya ile Ay arasındaki mesafenin 400 katı kadar! Ama üstel büyüme için sadece 42. katlamadan 51. katlamaya ulaşmak, bu devasa mesafe farkını almaya yetiyor. Bir diğer durak noktası daha ekleyelim:

• Sadece 103. katlamaya geldiğinizde, kağıdınızın kalınlığı yaklaşık 93 milyar ışık yılı uzunluğunda, yani Gözlenebilir Evren'in çapı kadar olur. Sadece 103 katlama sonucunda Gözlenebilir Evren’in sınırlarına ulaşıyorsunuz!

Elbette pratik nedenlerle hiç kimse bir kağıdı Gözlenebilir Evren’in sınırına kadar katlayamayacak. Ama burada önemli olan da bu değil: Önemli olan, kimi zaman matematik veya Evren'in kendisinin, beklediğimizden ve sağduyularımızın söylediğinden çok farklı şekillerde çalışabileceğini anlamakta... Bu yüzden sadece sağduyularımızla yetinemeyiz, bilimi anlamak ve "Bütün kağıtlar 7 kez katlanabilir." gibi aceleci genellemelerden özenle kaçınmak zorundayız.