Snell Yasası Nedir? Snell Yasası Matematiksel Olarak Nasıl İspatlanır?

Snell Yasası, ışığın ortam değiştirirken izlediği yolun normal (arayüzeye dik olan hayali çizgi) ile yaptığı açıların oranının, ortamlarının indisinin oranına ters orantılı olduğunu söyler. Basitçe, şu şekilde ifade edilebilir:

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}$

Buradaki terimleri görselleştirecek olursak:

Snell Yasası'nda $n$, cismin kırılma indisi olarak bilinmektedir. Bir maddenin kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının ($c$), ışığın o madde içerisindeki hızına ($v$) oranıdır. Matematiksel olarak göstermek gerekirse:

$n=\frac{c}{v}$

Bu nedenle tanımı gereği maddenin kırılma indisi, ışığın o madde içerisindeki hızıyla ters orantılıdır.

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{v_2}{v_1}$

Önemli bir not olarak şunu söyleyelim: Buradaki ışığın hızının değişmesinin İzafiyet Teorisi ile çeliştiğini düşünenler olabilir, halbuki bu doğru değildir. İzafiyet Teorisi'nin postulatlarından biri olan "ışık hızı her eylemsiz referans sistemi için aynıdır" postulatında bahsedilen ışık hızı, ışığın boşluktaki hızıdır; yani ışığın kendi hızıyla bir ilgisi yoktur. Işığın farklı ortamlarda neden hız değiştirdiğini öğrenmek isterseniz, aşağıdaki videomuzu izleyebilirsiniz.

Optikte Kırılmanın Postulatları

• 1. Postulat: Işık, kırıldıktan sonra kırılmadan önceki ilerlediği düzlem ile aynı düzlemde ilerler.

Bu belit, şunu söyler: Diyelim ki havada doğrusal olarak ilerleyen bir ışık hüzmesi var. Siz bu ışığın hareketini 2 boyutlu bir düzlem içerisinde tanımlamadınız. Işık, kırıldıktan sonra yine aynı düzlem içerisinde ilerler. Yazının devamında Snell Yasası'nın ispatını yazarken 1. ortam için yatay ve dikey olmak üzere 2 boyut tanımlarken 2. ortam için de aynı yatay ve dikey boyutlarını kullanmamızın sebebi budur.

• 2. Postulat (Fermat Prensibi): Işık, iki nokta arasında en kısa sürede alınabilen yolu alır.

Şimdi bu prensibin üzerinde duralım. Bu prensibi anlamak için verilen en iyi analoji kumsal ve deniz örneğidir. Diyelim ki siz bir cankurtaransınız ve denizde boğulmakta olan bir adama elinizden gelen en çabuk şekilde ulaşmak istiyorsunuz. Peki denizdeki adama hangi yoldan giderseniz en kısa sürede ulaşabilirsiniz?

Akla ilk gelen yol, sizinle boğulan kişi arasındaki düz giden çizgiyi takip etmektir fakat şöyle bir sorun var: Denizdeki hızınız kumsaldaki hızınıza göre epey yavaş, bu nedenle denizde geçireceğiniz her vakit sizin aleyhinize işler.

Suda geçireceğimiz zaman ile en kısa zaman arasındaki denge böyle bir yolda yatmaktadır. Işık da aynı şekilde yol alırken gidebileceği en kısa yolu alır.

Postulatlarımızı da belirttiğimize göre artık Snell Yasası'nı kanıtlamaya başlayabiliriz.

Snell Yasası'nın Kanıtı

Dikkat ederseniz yukarıdaki resimde ikinci ortamda ışığın resimden bize doğru veya içeri doğru gittiğini söylemedik çünkü 1. postulat bize her iki ortam için ışığın aynı düzlem üzerinde yol aldığını söyler.

Pisagor Teoremi'nden bildiğimiz üzere ışığın 1. ortam içerisinde aldığı yolu gösterelim.

$S_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

Hız, alınan yolun o yolu alırken geçen zamana oranı olduğuna göre ışığın 1. ortamda iken geçen zamanı şu şekilde gösterebiliriz.

$v_1=\frac{S_1}{T_1}$

$T_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{x_1^2+y_1^2}{v_1}$

Yukarıdaki resimde de görebileceğimiz gibi her iki noktanın ışığın kırılma noktasına olan yatay uzaklıklarının toplamı birbirlerine olan yatay uzaklıklarına eşittir. O halde:

$x_1+x_2=x$

Bu durumda, ikinci noktanın kırılma noktasına olan yatay uzaklığını şu şekilde gösterebiliriz:

$x_2=x-x_1$

Işığın 2. ortam içerisinde aldığı yolu ve yolu alırken geçen zamanı göstermek istersek:

$S_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$T_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}{v_2}=\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2}$

O halde, ışığın iki nokta arasında aldığı yol ve süreleri gösterebiliriz:

$S=S_1+S_2=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$T=T_1+T_2=\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2}$

İlk postulatı ve bazı tanımlamaları kullanarak bazı işlemler yaptık. Sıra, ikinci postulatı kullanmaya geldi, yani Fermat'ın Prensibi.

1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığını öyle bir belirleyelim ki ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanı minimum yapsın. Bunu matematiksel olarak şu şekilde gösterebiliriz:

$\frac{d}{d{x}_1}T=0$

Yani ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanın 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığının türevi sıfıra eşittir. Bu denklemi ilerletirsek:

$\frac{d}{d{x}_1}(T_1+T_2)=0$

$\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2})=0$

$\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1})+\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2})=0$

Her iki tarafın $x_1$'e göre türevini alırsak:

$\frac{1}{v_1}\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}-\frac{1}{v_2}\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}=0$

Denklemde ışığın 1. ve 2. ortamda aldığı yolları koyarsak:

$S_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$S_1=\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$\frac{1}{v_1}\frac{x_1}{S_1}-\frac{1}{v_2}\frac{x_2}{S_2}=0$

Burada dikkat ederseniz $x_1$'in $S_1$'e oranı ${\theta }_1$ açısının sinüsünü verir, aynı şekilde $x_2$'nin $S_2$'ye oranı ${\theta }_2$ açısının sinüsünü verir. Bunları denklemde yerine koyarsak:

$\sin {\theta }_1=\frac{x_1}{S_1}$

$\sin {\theta }_2=\frac{x_2}{S_2}$

$\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}-\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}=0$

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}$

Kırılma indisinin tanımını yaparken ışığın hızı ile ters orantılı olduğunu söylemiştik, o halde:

$\boxed{\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}}$

Böylelikle Snell Yasası'nı kanıtlamış olduk!