Snell Yasası Nedir? Snell Yasası Matematiksel Olarak Nasıl İspatlanır?

Snell Yasası, ışığın ortam değiştirirken izlediği yolun normal (arayüzeye dik olan hayali çizgi) ile yaptığı açıların oranının, ortamlarının indisinin oranına ters orantılı olduğunu söyler. Basitçe, şu şekilde ifade edilebilir:

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}$

Buradaki terimleri görselleştirecek olursak:

Snell Yasası'nda $n$, cismin kırılma indisi olarak bilinmektedir. Bir maddenin kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının ($c$), ışığın o madde içerisindeki hızına ($v$) oranıdır. Matematiksel olarak göstermek gerekirse:

$n=\frac{c}{v}$

Bu nedenle tanımı gereği maddenin kırılma indisi, ışığın o madde içerisindeki hızıyla ters orantılıdır.

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{v_2}{v_1}$

Önemli bir not olarak şunu söyleyelim: Buradaki ışığın hızının değişmesinin İzafiyet Teorisi ile çeliştiğini düşünenler olabilir, halbuki bu doğru değildir. İzafiyet Teorisi'nin postulatlarından biri olan "ışık hızı her eylemsiz referans sistemi için aynıdır" postulatında bahsedilen ışık hızı, ışığın boşluktaki hızıdır; yani ışığın kendi hızıyla bir ilgisi yoktur. Işığın farklı ortamlarda neden hız değiştirdiğini öğrenmek isterseniz, aşağıdaki videomuzu izleyebilirsiniz.

Optikte Kırılmanın Postulatları

• 1. Postulat: Işık, kırıldıktan sonra kırılmadan önceki ilerlediği düzlem ile aynı düzlemde ilerler.

Bu belit, şunu söyler: Diyelim ki havada doğrusal olarak ilerleyen bir ışık hüzmesi var. Siz bu ışığın hareketini 2 boyutlu bir düzlem içerisinde tanımlamadınız. Işık, kırıldıktan sonra yine aynı düzlem içerisinde ilerler. Yazının devamında Snell Yasası'nın ispatını yazarken 1. ortam için yatay ve dikey olmak üzere 2 boyut tanımlarken 2. ortam için de aynı yatay ve dikey boyutlarını kullanmamızın sebebi budur.

• 2. Postulat (Fermat Prensibi): Işık, iki nokta arasında en kısa sürede alınabilen yolu alır.

Şimdi bu prensibin üzerinde duralım. Bu prensibi anlamak için verilen en iyi analoji kumsal ve deniz örneğidir. Diyelim ki siz bir cankurtaransınız ve denizde boğulmakta olan bir adama elinizden gelen en çabuk şekilde ulaşmak istiyorsunuz. Peki denizdeki adama hangi yoldan giderseniz en kısa sürede ulaşabilirsiniz?

Akla ilk gelen yol, sizinle boğulan kişi arasındaki düz giden çizgiyi takip etmektir fakat şöyle bir sorun var: Denizdeki hızınız kumsaldaki hızınıza göre epey yavaş, bu nedenle denizde geçireceğiniz her vakit sizin aleyhinize işler.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Suda geçireceğimiz zaman ile en kısa zaman arasındaki denge böyle bir yolda yatmaktadır. Işık da aynı şekilde yol alırken gidebileceği en kısa yolu alır.

Postulatlarımızı da belirttiğimize göre artık Snell Yasası'nı kanıtlamaya başlayabiliriz.

Snell Yasası'nın Kanıtı

Dikkat ederseniz yukarıdaki resimde ikinci ortamda ışığın resimden bize doğru veya içeri doğru gittiğini söylemedik çünkü 1. postulat bize her iki ortam için ışığın aynı düzlem üzerinde yol aldığını söyler.

Pisagor Teoremi'nden bildiğimiz üzere ışığın 1. ortam içerisinde aldığı yolu gösterelim.

$S_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

Hız, alınan yolun o yolu alırken geçen zamana oranı olduğuna göre ışığın 1. ortamda iken geçen zamanı şu şekilde gösterebiliriz.

$v_1=\frac{S_1}{T_1}$

$T_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{x_1^2+y_1^2}{v_1}$

Yukarıdaki resimde de görebileceğimiz gibi her iki noktanın ışığın kırılma noktasına olan yatay uzaklıklarının toplamı birbirlerine olan yatay uzaklıklarına eşittir. O halde:

$x_1+x_2=x$

Bu durumda, ikinci noktanın kırılma noktasına olan yatay uzaklığını şu şekilde gösterebiliriz:

$x_2=x-x_1$

Işığın 2. ortam içerisinde aldığı yolu ve yolu alırken geçen zamanı göstermek istersek:

Agora Bilim Pazarı

Evren Avucunda – Uzay, Zaman ve Ötesine Olağanüstü Bir Yolculuk

“Muhteşem… Bunun gibi bir kitap okumadım.”

“Bu kitabın iki vaadi var: sadece tek bir denklem kullanmak (E = mc2) ve hiçbir okuru geride bırakmamak. Üç yüz seksen sayfa ve beş milyar yıllık göz alıcı bir yolculuk.”

Alexander Masters – The Spectator

Evrende yalnız değiliz.

Evrene yapacağımız bu yolculukta da.

Kumsalda yatmış gökyüzünü seyrederken biri elimizden tutuveriyor ve bizi muazzam bir yolculuğa çıkarıyor; karadeliklere, en uzak galaksilere ve kâinatın başlangıcına götürüyor.

Bir atomun çekirdeğine dalıyor, zamanda yolculuk ediyor, Güneş’in içine giriyoruz. Dokunuyoruz.

Christophe Galfard, evreni avucumuza bırakıyor.

Fransa’da yılın bilim kitabı seçildikten sonra 20 dile çevrilen EVREN AVUCUNDA kısa sürede bir popüler bilim klasiğine dönüştü. Gezegenimizin en özel bilim anlatıcılarından Christophe Galfard –ki kendisi Stephen Hawking’in öğrencisi– denklemler yerine hayal gücümüzden faydalanarak bizleri kelimenin gerçek anlamıyla “bambaşka dünyalara” götürüyor.

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
2. Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
3. Bu kampanya, Domingo Yayınevi tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺210.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

$S_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$T_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}{v_2}=\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2}$

O halde, ışığın iki nokta arasında aldığı yol ve süreleri gösterebiliriz:

$S=S_1+S_2=\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$T=T_1+T_2=\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2}$

İlk postulatı ve bazı tanımlamaları kullanarak bazı işlemler yaptık. Sıra, ikinci postulatı kullanmaya geldi, yani Fermat'ın Prensibi.

1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığını öyle bir belirleyelim ki ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanı minimum yapsın. Bunu matematiksel olarak şu şekilde gösterebiliriz:

$\frac{d}{d{x}_1}T=0$

Yani ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanın 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığının türevi sıfıra eşittir. Bu denklemi ilerletirsek:

$\frac{d}{d{x}_1}(T_1+T_2)=0$

$\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2})=0$

$\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}{v_1})+\frac{d}{d{x}_1}(\frac{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}{v_2})=0$

Her iki tarafın $x_1$'e göre türevini alırsak:

$\frac{1}{v_1}\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}-\frac{1}{v_2}\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}}=0$

Denklemde ışığın 1. ve 2. ortamda aldığı yolları koyarsak:

$S_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$S_1=\sqrt{(x-x_1{)}^2+y_2^2}$

$\frac{1}{v_1}\frac{x_1}{S_1}-\frac{1}{v_2}\frac{x_2}{S_2}=0$

Burada dikkat ederseniz $x_1$'in $S_1$'e oranı ${\theta }_1$ açısının sinüsünü verir, aynı şekilde $x_2$'nin $S_2$'ye oranı ${\theta }_2$ açısının sinüsünü verir. Bunları denklemde yerine koyarsak:

$\sin {\theta }_1=\frac{x_1}{S_1}$

$\sin {\theta }_2=\frac{x_2}{S_2}$

$\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}-\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}=0$

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}$

Kırılma indisinin tanımını yaparken ışığın hızı ile ters orantılı olduğunu söylemiştik, o halde:

$\boxed{\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}}$

Böylelikle Snell Yasası'nı kanıtlamış olduk!