Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?

Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir? New Scientist
7 dakika
1,626
Evrim Ağacı Akademi: Kozmoloji (Evrenbilim) Yazı Dizisi

Bu yazı, Kozmoloji (Evrenbilim) yazı dizisinin 6. yazısıdır. Bu yazı dizisini okumaya, serinin 1. yazısı olan "Kozmoloji Nedir? Evrenbilim Neleri Araştırır?" başlıklı makalemizden başlamanızı öneririz.

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için veya kayıt olun.

EA Akademi Hakkında Bilgi Al
Tüm Reklamları Kapat

Robertson-Walker metriği, kozmolojide evrenin homojen ve izotropik olduğu varsayımı altında sıklıkla kullandığımız bir metriktir. Yapısal olarak küresel kutupsal koordinatlara oldukça benzer, fakat evrenin geometrisine dair bazı ekler barındırır.

Koordinatlar

Gündelik yaşantımızda, iki nesne arasındaki uzaklığı tanımlamak oldukça kolaydır. En basitinden bir koordinat sistemi yardımıyla uzaklık tanımlayabiliriz. Kartezyen, yani (x,y,z)(x,y,z) koordinat sistemi üzerinde iki parçacığı yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu iki parçacığın (x,y,z)(x,y,z) koordinatları arasındaki uzaklık farkları (dx,dy,dz)(dx,dy,dz) ise, bu durumda aralarındaki mesafe dsds'yi aşağıdaki şekilde ifade ederiz:

ds2=dx2+dy2+dz2\Large ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2

Tüm Reklamları Kapat

Bu tanımlama çok sıradan bir tanımlamadır ve kartezyen koordinatlarda çalışmak, her ne kadar basit gibi görünse de aslında oldukça yorucudur. Bunun yerine küresel kutupsal koordinatlar üzerinden hareket etmek çok daha pratiktir. Parçacığın orijinden uzaklığı rr, yy ekseni ile yaptığı açı ϕ\phi ve z ekseni ile yaptığı açı θ\thetaolsun. Böylelikle iki parçacık arasındaki uzaklık, bir uzunluk birimi ve iki açı cinsinden kolaylıkla ifade edilebilir. Bu durumda benzeri bir yaklaşımla, iki parçacık arasındaki mesafeyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

ds2=dr2+r2dθ2+r2sin2(θ)dϕ2\Large ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2(\theta)d\phi^2

Buraya kadar her şey oldukça güzel. Böylelikle herhangi bir noktadaki iki parçacık arasındaki mesafeyi rahatlıkla ölçebiliriz öyle değil mi? Aslında hayır. Çünkü tüm bunlar, düz bir uzay üzerinde geçerlidir. Fakat evren için bir geometriden bahsetmek durumundayız. Yani bir noktadan diğerine dümdüz gittiğinizi sansanız da aslında dümdüz gitmiyor olabilirsiniz. Tıpkı Dünya üzerinde hareket etmek gibi... Eğer yeterince ilerlerseniz, başladığınız noktaya geri dönersiniz, çünkü Dünya küresel bir geometriye sahiptir. Bu yüzden, evren için işin içerisine geometrisini de dahil eden bazı parametreler eklemeliyiz.

Robertson-Walker Metriği

Evrenin izotropik ve homojen olduğu varsayımı altında, olası tek bir metrik söz konusudur. Elbette küçük ölçeklerde farklı konuşulabilir, fakat büyük ölçekte dikkate almamız gereken bazı şeyler vardır. Bu metrik, yani Robertson-Walker metriği, aslında küresel kutupsal koordinatların biraz değiştirilmiş halidir.

Tüm Reklamları Kapat

ds2=a(t)2(dr21−kr2+r2dθ2+r2sin2(θ)dϕ2)\Large ds^2=a(t)^2(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2sin^2(\theta)d\phi^2)

Burada a(t)a(t) basitçe; evrenin kendi üzerine çöküp çökmeyeceğini ya da tüm evrenin genişleyip genişlemeyeceğini ifade eden ölçek faktörüdür. kk ise, evrenin geometrisini ifade eder.

Bir an için a(t)a(t)'nin sabit olduğunu düşünüp, kk'nın, iki parçacık arasındaki mesafe için durumu nasıl değiştireceğini ele alalım. Çünkü a(t)a(t) zamanın bir fonksiyonudur ve aynı anlarda değeri aynıdır. Bu yüzden, geometriyi değerlendirmek adına onu görmezden gelebiliriz.

Eğer k=0k=0 olursa, bu durumda ilk terim dr2dr^2 olacak ve denklemimiz a(t)2a(t)^2 ifadesi hariç, küresel kutupsal koordinatlardaki formuna dönecektir. Böylesi bir durumun düz evren için geçerli olduğuna dikkat edin. Zaten az önce de yukarıda bahsettiğimiz formülasyonun, düz bir uzayda geçerli olacağını söylemiştik. Yani küresel kutupsal koordinatlarda yaptığımız mesafe ölçümü, herhangi bir eğriliği barındırmıyordu. Bu yüzden k=0k=0 için, küresel kutupsal koordinatlardaki formun aynısına ulaştık. Yani k=0k=0 için, düz bir evren söz konusudur. k<0k<0 ve 0">k>0k>0 için durum biraz daha farklıdır ve bu durum, π\pi sayısının sabit olmamasına neden olmaktadır! Yani π\pi sayısı, yalnızca düz bir evrende sabit bir sayıdır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Geometriye Göre π\pi Sayısının Değişimi

Tekrar a(t)2a(t)^2 terimini göz ardı edelim. Çünkü bu fonksiyon zamanın bir fonksiyonudur, dolayısıyla aynı zamanlar için aynı değeri alacağından kk'nın değişimini incelemek için bunu göz ardı edebiliriz. Bu durumda Robertson-Walker metriği, küresel kutupsal koordinatlara çok benzemektedir. Bir tek fark vardır, o da ilk terimde paydada bulunan 1−kr21-kr^2'dir. Dikkat ederseniz, denklemin açısal kısımları tamamen aynıdır.

Eğer 0">k>0k>0 ise, bu durumda 1−kr21-kr^2 küçük bir değer alır ve bundan dolayı ds2ds^2 büyük bir değer alır. Yani böyle bir geometri üzerinde bir çember alırsanız, çevresi düz bir geometrideki çemberle tamamen aynı olacaktır, fakat rr değişecektir. Çevre aynı kalır, çünkü denklemin açısal kısımları değişmemekte, yalnızca uzaklık birimi (rr) değişmektedir. Burada rr büyük bir değer aldığına göre, çevrenin aynı kalması için π\pi daha küçük bir değer almalıdır.

k<0k<0 durumunda ise, tam aksi bir durum gerçekleşir ve π\pi daha büyük değerler alır. Oldukça garip bu durumun, gerçekten büyük ölçeklerde gerçekleştiğine dikkat edin.

Belirtmek gerekir ki bu durum elbette bir kabule dayanmaktadır. Bunu fiziksel bir gerçeklik değil, geometrinin ne kadar ilginç yorumlamalara neden olabileceğini göstermeye çalışan bir metafor olarak görmelisiniz.

Detaylı Çözüm

Bir çember üzerinde dθd\theta kadar bir birim alalım. Bu durumda rr sabit olduğu için dr=0dr=0 olur, aynı zamanda ϕ\phi de sabit olacağından dϕ=0d\phi=0 elde ederiz. Bu durumda elimizdeki metrik şöyle olacaktır:

ds2=a(t)2r2dθ2\Large ds^2=a(t)^2r^2d\theta^2

Tüm Reklamları Kapat

Terimlerin kareleri üzerinden bir sadeleştirme yapacak olursak şu eşitliği elde ederiz:

ds=a(t)r0dθ\Large ds=a(t)r_0d\theta

Buradaki rr değeri için r0r_0 diyelim ve bu bizim referans değerimiz olsun. Çemberin çevresi için cc dersek, birim açı elemanının tüm çember boyunca integrallenmesi ile cc değerini bulabiliriz:

Tüm Reklamları Kapat

c=∫02πa(t)r0dθ\Large c=\displaystyle\int_0 ^{2\pi} a(t)r_0d\theta

Böylelikle çemberin çevresi, şu şekilde bulunur:

c=2πr0a(t)\Large c = 2\pi r_0 a(t)

Şimdi de aynı şeyi, yarıçap boyunca ilerleyerek birim uzaklık elemanı drdr üzerinden yapalım. Çemberin çapı dd, çemberin çevresi cc ve π\pi cinsinden d=c/πd=c/\pi olarak ifade edilir. Eğer Robertson-Walker metriğine tekrar geri dönersek, birim açı elemanları sıfır olacağından, sadece ilk terim kalır. Bu durumda dd, şöyle ifade edilir:

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
  • Dış Sitelerde Paylaş

d=2∫0r0a(t)dr(1−kr2)\Large d= 2\displaystyle\int_0^{r_0} \frac{a(t)dr}{ \sqrt{(1-kr^2)}}

Bu integralin çözümünden k<0k<0 için arcsinharcsinh, 0">k>0k>0 için arcsinarcsin'e bağlı bir ifade gelir.

Eğer 0">k>0k>0 ise denklem şu hale gelir:

π=π0rkarcsin(rk)\Large \pi = \pi_0 \frac{r \sqrt{k}}{arcsin(r \sqrt{k})}

Eğerk<0 k<0 ise, denklem aşağıdaki şekildedir. Denklemin çözüm koşulu da budur, aşağıdaki denklemde kk için pozitif değerlerin kullanılması gerekir.

π=π0rkarcsinh(rk)\Large \pi = \pi_0 \frac{r \sqrt{k}}{arcsinh(r \sqrt{k})}

Sonuç

Bu durumda π\pi sayısı, yalnızca düz bir evren (k=0k=0) için, sabit bir sayıdır. k<0k<0 ve 0 ">k>0k>0 için π\pi, rr'ye bağlı olarak açıkladığımız gibi bir değişim gösterecektir. 0">k>0k>0 için giderek küçülecek, k<0k<0 için ise giderek büyüyecektir. Neden büyük ölçeklerin ele alındığını da böylece görmüş olduk. Çünkü rr'nin küçük değerleri için fark çok az olmaktadır.

Bu duruma yol açan temel etmenin, metrikteki kr2kr^2 ifadesinden geldiğine dikkat edin. k=0k=0 olduğu durumda rr'ye bağımlılık yok olur. Dolayısıyla rr değişse de π\pi değişmez. Fakat kk'nın farklı değerlerinde rr'ye bağlılık vardır ve bu bağlılık, kk'nın aldığı değerlere göre aşağıdaki gibi bir grafik verir.

Yukarıdaki grafikte, her üç eksenin birbirine dik olduğuna dikkat edin. Bu sayede Pisagor eşitliğini kullanabildik. Belirtmek gerekir ki açılar, bakış doğrultumuzdan ötürü 90 derece değil gibi görünse de gerçekte bu üç doğru (x,y,z)(x,y,z) birbirine diktir.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
Evrim Ağacı Akademi: Kozmoloji (Evrenbilim) Yazı Dizisi

Bu yazı, Kozmoloji (Evrenbilim) yazı dizisinin 6. yazısıdır. Bu yazı dizisini okumaya, serinin 1. yazısı olan "Kozmoloji Nedir? Evrenbilim Neleri Araştırır?" başlıklı makalemizden başlamanızı öneririz.

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için veya kayıt olun.

EA Akademi Hakkında Bilgi Al
21
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 4
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Bilim Budur! 1
  • İnanılmaz 1
  • Tebrikler! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • P. Francis, et al. Astrophysics Xseries Program. Alındığı Tarih: 29 Aralık 2023. Alındığı Yer: edX | Arşiv Bağlantısı
  • P. P. Coles. (2003). Cosmology. ISBN: 9780470852996. Yayınevi: John Wiley & Sons.
  • Ohio State University. (Ders Notu). A682: Introduction To Cosmology Course Notes.
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 20/06/2024 21:14:09 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12738

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Saç
Carl Sagan
Ana Bulaşma Mekanizması
Küresel
Yapay Zeka
Fotosentez
Aminoasit
Geometri
Sağlık
Ses Kaydı
İlişki
Avcı
Einstein
İhtiyoloji
Gelişim
İnsan Türü
Mikroevrim
Ağaç
Doğal
Evrim Tarihi
Dil
Video
Kimyasal
Yıldızlar
Doğru
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ö. Kayalı. Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?. (31 Aralık 2023). Alındığı Tarih: 20 Haziran 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/12738
Kayalı, Ö. (2023, December 31). Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?. Evrim Ağacı. Retrieved June 20, 2024. from https://evrimagaci.org/s/12738
Ö. Kayalı. “Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 31 Dec. 2023, https://evrimagaci.org/s/12738.
Kayalı, Ögetay. “Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, December 31, 2023. https://evrimagaci.org/s/12738.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close