Para Zarfı: Bir Oyunda Yaptığınız Seçimler Elinizi Açık Edebilir!

Oyun teorisi kapsamında zeki bir oyuncu, diğer oyuncuların yaptığı seçimlerin oyun içindeki pozisyonlarına yönelik ipuçlarını dikkate almayı bilir. Makalemizde bu ipuçlarının nasıl işlediğini ve bunlardan nasıl faydalanacağınızı Para Zarfı örneği ile göreceksiniz.

Oyun Kuruluşu

Rıfat ve Billur, "Para Zarfı" adlı bir yarışma programının final yarışmacılarıdır. Bu geceki bölümün kazananları olarak, sunucu her birine beş olası zarftan birini verir. Rıfat ve Billur şu bilgilere sahiptir:

• Her zarfın içinde 500, 1000, 2000, 4000 ya da 8000 dolarlık bir çek bulunuyor.
• Yarışmacılardan biri, diğerinden iki kat daha fazla para içeren bir zarf alıyor.
• Her bir yarışmacı (başkalarına göstermeksizin) aldıkları zarfta ne kadar para bulunduğuna bakıyor. Bu noktada iki yarışmacının da (diğer yarışmacının içinde ne kadar para bulunan bir zarf aldığını bilmeksizin) takas şansları bulunuyor. Eğer takas teklifini iki yarışmacı da kabul ederse takas gerçekleşiyor.

Oyun

Oyuna başlamadan önce oyunun bir miktar temel matematik bilgisi gerektirdiğini belirtmekte fayda var. Ancak matematiksel işlemleri yakından takip etmeseniz de olur; bu işlemlerin arkasında yatan mantığı kavramanız yeterlidir.

Oyunumuzda Rıfat zarfını açıyor ve 2000 dolar aldığını görüyor. Kurallara göre Billur'un 1000 dolar veya 4000 dolar aldığı çıkarımını yapıyor. İki tutarın da olasılığı eşit.

Rıfat, bu noktada, ortalama değerlerle bakıldığında elindeki mevcut 2000 dolar ile takasa girmesi takdirinde ortalama 2500 dolar kazanabileceğini düşünerek takas seçeneğini değerlendiriyor. Zira Rıfat, %50 şansla 1000 dolar kazanabilir; ancak yine %50 şansla 4000 dolar da kazanabilir ($0.5\cdot 1000+0.5\cdot 4000=2500$).

Ancak Billur da benzeri bir düşüncede. Zarfında ister 1000 dolar, ister 4000 dolar olsun:

• Zarfında 1000 dolar varsa ve takasa girerse ortalama 1250 dolar kazanacaktır ($0.5\cdot 500+0.5\cdot 2000=1250$),
• Zarfında 4000 dolar varsa ve takasa girerse ortalama 5000 dolar kazanacaktır ($0.5\cdot 2000+0.5\cdot 8000=5000$)

Bu bilgiler ışığında iki yarışmacının da takasa gireceğini varsayarız; ancak iki yarışmacı da takasa girmemeyi, kendi zarflarını ellerinde tutmayı tercih eder. Neden mi?

Oyun Teorisi Analizi

Buradaki mesele, Rıfat ve Billur'un tamamen rasyonel düşünmesi ve birbirlerinin de rasyonel olduğunu bilmesidir. Böyle bir durumda bir takas asla gerçekleşmeyecektir. Takasın neden gerçekleşmeyeceğini biraz daha farklı bir bakış açısıyla adım adım inceleyebiliriz:

• Diyelim ki Rıfat zarfını açtı ve 8000 dolarlık bir çek buldu. En çok paranın olduğu zarfın zaten kendisinde olduğunu bildiği için takası kabul etmeyecektir.
• Bu senaryoda, Billur'un zarfında 4000 dolar olmalıdır. Ancak Billur, Rıfat'ın 8000 doları mı yoksa 2000 doları mı olduğunu bilmemektedir. Bildiği tek şey, Rıfat'ın 8000 dolar alması durumunda takası kabul etmeyeceğidir. Rıfat'ın takası kabul etmesinin tek yolu zarfında 2000 dolar olmasıdır. Billur, bunu göz önünde bulundurarak, kendisinin de takası kabul etmemesi gerektiği sonucuna varabilir, çünkü kabul ederse para kaybedecektir.
• Buna dayanarak, mümkün olan en yüksek miktarda para\text{}yı (8000 dolar) alan bir yarışmacının takası asla kabul etmeyeceğini, ancak ikinci en yüksek miktarda parayı (4000 dolar) alan yarışmacının da kabul etmeyebileceğini biliyoruz.
• Şimdi, Rıfat'ın 2000 dolar aldığı orijinal senaryoya geri dönelim. Eğer Billur'un 4000 doları varsa, yukarıda gördüğümüz gibi takası kabul etmeyecektir. Bu nedenle, eğer Billur takas konusunu düşünüyorsa, Rıfat Billur'un sadece 1000 dolar aldığı sonucuna varabilir, bu durumda takası kabul etmemesi gereken kişi Rıfat olacaktır.
• Buna ek olarak, eğer Billur'un sadece 1000 doları varsa, Rıfat'ın yalnızca 500 doları varsa takası kabul edeceğini bilir, bu durumda Billur zaten takas yapmak istemez.

Oyun kapsamında bir karar vermeden önce, her yarışmacı diğer yarışmacının davranışlarına odaklanır. Eğer diğer yarışmacı takas yapmak isterse asıl yarışmacı, takasın diğer yarışmacıya daha fazla yarar sağlayacağı sonucuna varabilir. Nihayetinde takas yapmayı isteyebilecek tek kişi en az miktarı alan kişi olur, bu yarışmacıyla da hiçkimse takas yapmak istemez.

Tima Miroshnichenko

Pratik Çıkarımlar

Para Zarfı oyunundan çıkarılacak ana sonuç şudur: Belirli durumlarda, rakibinizin hamleleri veya belirli hamleleri yapmaya yönelik istek göstermesi, pozisyonuna yönelik birçok ipucu barındırabilir ve bu ipuçlarını kendiniz için en iyi kararı vermek amacıyla kullanabilirsiniz.

Örneğin, bir müzakere durumunda rakibiniz şaşırtıcı bir şekilde taleplerinizi kabul etmeye istekliyse, sizin pozisyonunuzun rakibinizin pozisyonuna göre beklediğinizden daha güçlü olduğu çıkarımını yapabilirsiniz. Bu çerçevede müzakerenin sizin için daha iyi sonuçlanması amacıyla pozisyonunuzu bir koz olarak kullanabilir ve taleplerinizi artırabilirsiniz.

Benzer bir şekilde, rakibinizin taleplerinizi kabul etme eğilimine ve içinde bulunduğunuz müzakerenin türü ve rakibinizin itibarı gibi arka plan faktörlerine bağlı olarak daha farklı bir sonuca da varabilirsiniz.

Örneğin bir satıcıdanikinci el bir araba satın almak istiyorsanız ve satıcı, şaşırtıcı bir şekilde ilan fiyatını doğru düzgün pazarlık etmeden düşürürse, buradan arabanın size söylenmemiş bir sorunu olduğu çıkarımını yapabilirsiniz. Bu durumda satın alma konusunda çok daha dikkatli olmanız gerekir. Yani özetle "Bir şey gerçek olamayacak kadar iyiyse, muhtemelen gerçek değildir."

Ana hatlarıyla ele alındığında bu başlıktan çıkarmanız gereken sonuç, rakibinizin hamlelerinin ve belirli hamleleri yapma konusundaki istekliliğinin farkında olmanızın önemli olduğudur. Bu farkındalığa dayanarak müzakeredeki pozisyonları hakkında ipuçları elde edebilirsiniz. Bu süreç içerisinde son derece dikkatli olmalısınız; zira insanlar bazen müzakerede bulundukları pozisyonu gizlemek amacıyla hareketlerini ve amaçlarını bir blöf ardına saklayabilir. Böylesi aldatmacaları fark edebilmeniz son derece önemlidir.

Matematiğe Dair Bir Not

Makaleye konu edilen yarışma, bir kişiye iki zarf verildiği ve bu zarflardan birini seçebildiği iki zarf problemine dayanmaktadır. Yarışmanın bu problem ile farkı ise yarışmada sıfır toplamlı bir oyun içinde bulunan iki yarışmacının yer almasıdır; bir yarışmacının kaybı diğerinin kazancı, bir yarışmacının kazancı diğerinin kaybıdır.

İki zarf problemininin analiz edildiği çalışmalara dayanarak, her bir yarışmacının değişim yapmaktan kazançlı çıkacağı varsayımının doğası gereği kusurlu olduğunu söylemek mümkündür. Öyle ki makalemize konu olan formül, değişim paradoksu olarak adlandırılmıştır. Paradoksun farklı varyasyonlarını ele alan birçok makale yayınlanmış, bu makalelerin her birinde paradoksun ardında yatan matematiğe yönelik farklı açıklamalar sunulmuştur.^[1] Ancak yine de konu hakkında henüz bir fikir birliğine varılmamıştır.^[2]

Bütün bunlara rağmen para zarfı oyununun ardında yatan matematik makalemiz dahilinde önem arz etmemektedir; zira yarışmacıların kendi zarflarına bağlı kalması ve takasa girmemesi davranışının mantığı geçerliliğini korumaktadır.

Özet ve Sonuçlar

• Para Zarfı Oyunu, iki yarışmacının bir zarf içinde belirli bir miktar para aldığı bir oyundur. Her yarışmacının alacağı para miktarı belirli bir değer kümesinin bir üyesidir (örneğin 500, 1000, 2000 dolar...) ve her iki yarışmacı da birinin diğerinden iki kat daha fazla para alacağını bilmektedir.
• Yarışmacıların yalnızca kendi zarfının içine bakmasına izin verilmektedir. Yarışmacılar zarflarına baktıktan sonra diğer yarışmacının zarfında ne kadar para olduğunu bilmeksizin bir takas yapabilirler. Takas, iki yarışmacı da takası onaylarsa gerçekleşir.
• İki yarışmacı da diğer yarışmacının takasla ilgili yaptığı seçime bağlı olarak takası yapıp yapmamaya karar verebilir.
• Bu örnek oyun teorisi hakkında önemli bir şey söylemektedir: Birçok durumda rakibinizin yaptığı seçimler, oyun kapsamındaki pozisyonlarına yönelik ipuçları barındırır.
• Bu ilkeyi pratikte, rakibinizin ne söylediğini ve ne yaptığını dikkatle inceleyerek, ardından edindiğiniz bilgileri en iyi kararı vermek için kullanarak uygulayabilirsiniz. Örneğin, bir müzakere durumunda rakibiniz şaşırtıcı bir şekilde taleplerinizi kabul ediyorsa bu, müzakere içindeki pozisyonunuzun tahmin ettiğinizden daha güçlü olduğu veya rakibinizin sizden bir şeyler gizlediği anlamına gelebilir. Eğer pozisyonunuz daha güçlüyse taleplerinizi artırabilir; rakibiniz sizden bir şeyler gizliyorsa buna göre önlem alabilirsiniz.