Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?

Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?
19 dakika
11,443
Tüm Reklamları Kapat

Daha önceki bir yazımızda, Maxwell Denklemleri'ni kullanarak ışık hızının nasıl hesaplanabileceğini anlatmıştık. Ancak o yazıda, Maxwell Denklemleri'ni matematiksel olarak manipüle edip de ışık hızına tam olarak nasıl eriştiğimizin detaylarını atlamıştık, bunun sadece "matematiksel bir büyü" olduğunu söylemiştik, böylece anlatım kolaylığı sağlamıştık. Şimdi, o büyünün "büyü" olmadığını göstereceğiz ve işin matematiğini biraz daha yakından anlamaya çalışacağız.

Maxwell Denklemleri Matematiği'ndeki Operatörler

Maxwell Denklemleri'nden ışık hızını nasıl çıkarabileceğimizi anlamak için, öncelikle 4 denklemde de karşımıza çıkan 2 önemli operatörü tanımamız gerekiyor. Çünkü önceki yazımızda Maxwell Denklemleri'ndeki tüm denklemlerin anlamını vermiştik; ancak ∇\nabla işaretinden bashetmemiş ve bunun anlamını es geçmiştik. Benzer şekilde, ∇⋅\nabla\cdot ve∇×\nabla\times şeklindeki işlemlerin (veya operatörlerin) anlamını da es geçmiştik. İşte burada, bu kavramlara odaklanacağız ve bu sayede konuyu çok daha sağlam bir şekilde anlayabileceğiz. Öncelikle, hatırlatma olması açısından Maxwell'in 4 denklemini de yazalım:

∇⋅E=ρϵ0\LARGE{\nabla\cdot\bold{\Epsilon}=\frac{\rho}{\epsilon_0}} (Gauss Yasası veya Gauss'un Elektrik Yasası)

Tüm Reklamları Kapat

∇⋅B=0\LARGE{\nabla\cdot\bold{B}=0} (Gauss'un Manyetizma Yasası)

∇×E=∂B∂t0\LARGE{\nabla\times\bold{\Epsilon}=\frac{\partial{\bold{B}}}{\partial{t}_0}} (Faraday Yasası)

∇×B=μ0j+μ0ϵ0∂E∂t0\LARGE{\nabla\times\bold{B}=\mu_0\bold{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial{\mathbf{\Epsilon}}}{\partial{t}_0}} (Amper Yasası)

Görebileceğiniz gibi, bu 4 denklemde ρ\rho, B\bold{B} veya E\Epsilon gibi bazı parametreler ile μ0\mu_0 ve ϵ0\epsilon_0 gibi bazı sabitler bir arada bulunmaktadır. Eğer elektromanyetizma veya daha doğru ifadesiyle elektrodinamiğin kalbinde yatan Maxwell Denklemleri'ndeki 4 denklemin ne anlama geldiğini merak ediyorsanız (ve bu parametrelerin anlamlarını da öğrenmek istiyorsanız), öncelikle o yazımızı okumanızı öneririz. Özetle:

Tüm Reklamları Kapat

  • E\Epsilon: Elektrik alan
  • B\bold{B}: Manyetik alan
  • ρ\rho: Hacim başına düşen elektrik yükü
  • t0t_0: zaman
  • ϵ0=8.8541878128(13)×10−12F/m\epsilon_0=8.8541878128(13)\times{10^{-12}}F/m (Elektrik Yüklenebilirliği Sabiti)
  • μ0=1.25663706212(19)×10−6H/m\mu_0=1.25663706212(19)\times{10^{-6}}H/m (Manyetik Geçirgenlik Sabiti)

Geriye sadece ∇\nabla operatörünü anlamak kalıyor. Şimdi, ona biraz bakalım.

Ters Üçgen (Nabla, Del) Operatörü Ne Demek?

Lise fizik derslerinde skaler büyüklük ile vektörel büyüklük arasındaki farkı öğrenmiş olabilirsiniz: Skaler büyüklükler, sadece büyüklüğü olan sayılardır. Mesela 10 kilogram kütle veya saatte 5 kilometre hız gibi... Vektörel büyüklüklerse, bir hızı ve yönü olan sayılardır: Yere doğru 50 Newton kuvvet veya doğuya doğru saatte 5 kilometre hız gibi...

Elektromanyetizmada söz konusu olan elektrik ve manyetik alanlar skaler değil, vektörel büyüklükler olduğu için, sadece sayısal büyüklüklerini değil, yönlerini de dikkate alarak matematiksel ve fiziksel analiz yapmak durumundayız. Bu tür çalışmalara vektör kalkülüsü veya vektör matematiği denmektedir.

Vektör matematiğinde karşımıza sıkça çıkan unsurlardan biri ∇\nabla (okunuşu: "del" veya "nabla") operatörüdür. Bir operatör, matematikte belli bir fonksiyonu veya işlemi temsil eden işaretlerdir. Mesela kalkülüsün kalbinde yer alan türev işleminden söz ederken, diferansiyel operatörü dediğimiz ddt\frac{d}{dt} işaretini kullanırız. Bu işaret, kendi başına pek bir şey yapmaz; sadece ondan sonra gelecek şeylerin türevle ilişkili olduğuna işaret eder.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Benzer şekilde, integral hesaplarında karşımıza çıkan meşhur Volterra operatörü de ∫\int işaretiyle temsil edilir. Bu işaretin kendisi, yapılacak işlemle ilgili bilgiler verebilir, mesela 0'dan 100'e sınırlı bir integral alınıyorsa ∫0100\int_0^{100} şeklinde gösterilebilir; ama nihayetinde bu işaret, sadece ne tür bir işlemden söz ettiğimizi anlatmamızı sağlar. Türev ve integrali basitleştirilmiş bir şekilde öğrenmek için bu yazımızı okuyabilirsiniz.

İşte ∇\nabla da bunlar gibi bir operatördür. Eğer tek boyutlu bir olguyla ilgili işlem yaparken bu operatör kullanılırsa, anlamı ddt\frac{d}{dt} ile aynıdır, dümdüz türev anlamına gelir. Mesela y=x2y=x^2 gibi bir fonksiyona ∇\nabla operatörünü uygulayacak olursanız, ∇y\nabla{y} ile ddty\frac{d}{dt}{y} aynı anlama gelir. Bu durumda ∇y=2x\nabla{y}=2x olur.

Ama eğer elektrik veya manyetik alan gibi bir "alan" üzerine, yani 2 veya daha fazla boyutlu bir sisteme uygulanacak olursa, o zaman da en nihayetinde bir türev operatörü olarak iş görür ama 3 farklı şeyden biri anlamına gelir:

Gradyan

Eğer sistem vektörel değil de skalerse, gradyan anlamına gelir. Gradyan, bilimde çok büyük öneme sahip bir kavramdır; çünkü kademeli olarak değişen sistemlerin değişim oranını ölçmemizi sağlar. Örneğin türlerin kademeli bir şekilde değişimi, bir gradyana karşılık gelir. Denizin, derinliğe bağlı olarak karanlıklaşma miktarı bir gradyandır. Gradyanlar, bilimde her yerde karşımıza çıkar.

∇\nabla operatörünün yaptığı şey ise, işte skaler olan bir alanın, en hızlı/sert değiştiği yeri hesaplamaktır. (Navier-Stokes Denklemleri'nde karşımıza çıkan vektörel alanlarda da bazen bu anlamda kullanılabilir; ama bunu şimdilik görmezden gelebilirsiniz.) Basitçe hatırlamanız gereken, eğer işlem yaptığınız sistem skalerse, ∇\nabla operatörünün o alanın en hızlı veya sert şekilde değiştiği noktanın hesaplanmasında kullanıldığıdır.

Bu durumda sembol, karşımıza bir sabit ile bir arada çıkar. Örneğin, ff bir sabit ise (mesela f=3f=3 ise), gradyan hesabı yapılacağı zaman ∇f\nabla{f} şeklinde yazılabilir. Bu durumda, skaler bir büyüklük olduğundan, bunun gradyan olduğunu biliriz. Ama illâ bunun bir gradyan hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, ∇f\nabla{f} yerine gradf\text{grad}{f} de yazabilirsiniz.

Tüm Reklamları Kapat

Bu operatörle 3 boyutlu bir skaler alanda karşılaştığınızda, şu şekilde açabilirsiniz:

∇f=gradf=∂f∂xex⃗+∂f∂yey⃗+∂f∂zez⃗\nabla{f}=\text{grad}{f}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\vec{e_x}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\vec{e_y}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\vec{e_z}

Burada karşımıza çıkan ∂f∂xex⃗\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\vec{e_x} gibi terimlerdeki ∂\partial işareti de bir diğer operatördür ve yine "türev" anlamına gelir; ancak "kısmî türev" gibi daha spesifik bir anlamı vardır. Buradaki "kısmî" sözcüğünden kasıt, 3 boyutun 3'ünde birden değil de sadece 1'inde türev alındığını belirtmektir. Ama tabii ki her bir terim, farklı bir boyutta türev alarak bunları birleştirir ve böylece 3 boyutta da türev alınmış olur ve ∇\nabla operatörü, dediği şeyi ("türev alma işlemini") yerine getirmiş olur.

Tüm Reklamları Kapat

Türev alma işlemi sonucunda, işlem skaler bir alana uygulanıyor olsa bile, bir vektör elde edilir. Yani sonucun bir büyüklüğü ve yönü vardır. İşte işlem sonucunda elde edilen ex⃗\vec{e_x} gibi terimler, alınan türevin sonucunun işaret ettiği yönü, 3 boyutta birden (xx ekseninde ex⃗\vec{e_x}, yy ekseninde ey⃗\vec{e_y} ve zz ekseninde ez⃗\vec{e_z}) belirtir. Bu vektörün yönü, her zaman, o skaler alanın en hızlı veya sert şekilde değiştiği yere doğrudur ve büyüklüğü de o noktadaki maksimum değişim oranına eşittir. Eğer türevle ilgili yazımızı okursanız, burada yaptığımızın "değişim matematiği" olduğunu daha iyi kavrayabilirsiniz.

Diverjans

Eğer üzerinde çalıştığınız sistem bir önceki durumda olduğu gibi skaler bir alan değil de vektörel bir alansa, o zaman ∇\nabla operatörü diverjans adı verilen bir diğer özelliği ölçer.

Diverjans da gradyan gibi bir sistem özelliğidir. Bunu anlamak için, akan bir nehri düşünün (ki akan bir nehir, bir vektör alanıdır; her bir su tanesinin bir hızı ve yönü vardır): Nehir, doğduğu yerden çıkıp, ulaştığı denize kadar akma halindedir. İşte akış halindeki bu nehrin herhangi bir kısmında (mesela tam ortasında), neredeyse sonsuz küçüklükte bir alana (veya hacme) odaklandığınızı hayal edin. Ufacık bir küre düşünün. Bu kürenin nehrin doğduğu yere bakan (oraya dönük) tarafından su girişi olur, nehrin denize açıldığı yöne bakan tarafındansa su çıkışı olur, öyle değil mi? Yani o hacme giren ve çıkan belli bir su vardır. İşte diverjans, odaklandığınız bu nokta etrafındaki ufacık hacimdeki su tanelerinin hızının giriş-çıkış miktarını ölçer: Eğer giren suyun hızı çıkandan yüksekse, diverjans negatif olur; düşükse diverjans pozitif olur.

Diverjansı gradyandan ayırmak için, sadece ∇\nabla yerine ∇⋅\nabla\cdot işaretini kullarnırız. Buradaki ⋅\cdot işareti, vektör alanı üzerine uygulanan bu işlemin skaler bir fonksiyon vereceğine işaret eder. Ama aklınızda tutmanız gereken, ∇⋅\nabla\cdot işaretini gördüğünüzde, gradyan veya bir diğer işlem değil, diverjans işlemi yapıldığıdır. Ama illâ bunun bir diverjans hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, ∇⋅f⃗\nabla\cdot{\vec{f}} yerine divf⃗\text{div}{\vec{f}} de yazabilirsiniz. Burada ff'in artık bir skaler alan değil, vektör alan olduğunu, dolayısıyla f⃗\vec{f} olarak yazıldığını vurgulamak isteriz.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
TOPLUMSAL EKOLOJİ VE KOMÜNALİZM

Toplumsal ekoloji, sadece ahlakın yeniden canlandırılması için değil, aynı zamanda –ve her şeyden önemlisi- toplumun ekolojik bir temelde yeniden inşa edilmesi için de talepte bulunur. Toplumsal ekoloji, kör piyasa güçlerine ve acımasız bir rekabete dayanan iktidar odaklarından etik taleplerde bulunmanın, kendi başına ele alındığında, kesinlikle sonuçsuz kalacağını vurgular. Kendi başına ele alındığında böylesi bir talep, ekolojik bir topluma ulaşmayı sadece bireysel tutumların değişmesi, tinsel bir yenilenme ya da yarı dinsel bir arınma ile ilgili bir mesele haline getirerek günümüzde hüküm süren asıl iktidar ilişkilerini gözlerden saklar.

Yeni bir etik bakışın taşıdığı önemin her zaman farkında olsa da toplumsal ekoloji, öncelikli olarak, birinci doğayı hakimiyet altına alma gibi fikirlerin hem yapısal hem de öznel kaynaklarına inerek günümüz toplumunun doğal dünya üzerindeki ekolojik sömürüsünü sona erdirmeyi amaçlar.

Toplumsal ekoloji ve komünalizm kitabı, yeni bir toplumsal sistemi ele alıyor. Kapitalist modernitenin doğa üzerinde yaratmış olduğu tahribat, ve bunun toplumsal ilişki ve yaşam biçimine yansımaları üzerinde duruyor. Ve alternatif bir toplumsal sistem projesini sunuyor.

Devamını Göster
₺80.00
TOPLUMSAL EKOLOJİ VE KOMÜNALİZM
  • Dış Sitelerde Paylaş

Eğer diverjans işlemini v⃗(x,y,z)\vec{v}(x,y,z) şeklinde ifade edilen ve az önce anlattığımız gibi v⃗(x,y,z)=vxex⃗+vyey⃗+vzez⃗\vec{v}(x,y,z)=v_x\vec{e_x}+v_y\vec{e_y}+v_z\vec{e_z} şeklinde de ifade edebileceğimiz bir vektör üzerine uygulayacak olursak, şöyle bir işlem yapmış oluruz:

∇⋅v⃗=divf=∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z\nabla\cdot{\vec{v}}=\text{div}{f}=\frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{v_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v_z}}{\partial{z}}

Burada vektöre uygulanan diverjans sonucunda elde edilen 3 terimin hiçbirinin vektörel olmadığına, hepsinin skaler olduğuna dikkatinizi çekeriz (üzerlerinde ok işareti olmaması, onların vektörel değil, skaler olduğunu göstermektedir). Çünkü diverjans sonucunda elde edilen sayı, skaler bir sayıdır, bir yönü yoktur. Genel olarak diverjansı, bir vektör alanının yöneldiği yöndeki artış miktarı olarak düşünebilirsiniz; ama daha isabetli tanımı, bir alanın bir noktaya yakınsama veya ıraksama eğilimini sayısal olarak ölçen bir araçtır.

Curl (Rotasyonel)

Eğer ∇\nabla operatörünü skaler alanlara uygularsak gradyan, vektörel alanlara uygularsak diverjans özelliğini verdiğini anladıysanız, nasıl olur da üçüncü bir anlama geliyor olabileceğini merak edebilirsiniz. Başka ne kaldı ki?

Vektörel alanlar üzerine yapılan ⋅\cdot işleminin skaler bir büyüklük verdiğini söylemiştik. Ama bu, bir vektör alanına yapabileceğiniz tek işlem değildir. Bir diğer işlem, ×\times işlemidir. Bunların her ikisi de çarpım işlemidir (tıpkı 2×3=62\times3=6 gibi); ancak çarptığınız şeyler 22 ve 33 gibi skaler sayılar değil de, vektörler ise, o zaman 2 farklı çarpımdan söz edebilirsiniz: vektörler arası skaler çarpım (⋅\cdot) ve vektörler arası vektörel çarpım (×\times). Bunların yapılış biçimleri farklı; ama burada bu detaya girmeyeceğiz. Sadece iki farklı çarpım türü olduğunu ve skaler olanda sonucun tek bir sayı olarak çıktığını, vektörel çarpımda ise sonucun bir vektör olduğunu bilmeniz yeterli. Bu durumda, tıpkı ∇⋅\nabla\cdot operatörü gibi, ∇×\nabla\times operatörü de tanımlayabiliriz. İşte bize ∇\nabla operatörünün 3. anlamını verecek olan işlem de bu!

∇×\nabla\times operatörü, bir vektörün rotasyonelini (İng: "curl") veren bir işlemdir. Bu karmaşık gibi gelen terimler, özünde bir vektör alanının yine çok küçük bir hacim içinde ne kadar "döndüğünü" gösterir. Bir uçağın arkasında bıraktığı havada oluşan türbülansı hayal edin. Ya da bir havuzun dibindeki tıpayı açınca oluşan girdabı. İki durumda da akışkanlar (uçak örneğinde hava, havuz örneğinde su), dönerek akar. İşte ∇×\nabla\times operatörü, bu dönüşün miktarını ve yönünü (yani "rotasyonelini") veren bir işlemdir. Eğer bunun bir rotasyonel (curl) hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, ∇×f⃗\nabla\times{\vec{f}} yerine curlf⃗\text{curl}{\vec{f}} de yazabilirsiniz.

Eğer bir vektörün rotasyoneli sıfır çıkıyorsa, o vektör alanı dönmüyor demektir. Burada dikkat edilmesi gereken bir detay, aslında dönmekte olan bir vektör alana çok fazla "zoom" yaparsanız, o küçük alanda/hacimde olan akışın dönmüyormuş gibi gelebileceğidir. Bu nedenle görsel olarak hayal ederken hataya düşebilirsiniz; ancak matematiksel işlem, bu tür bir hataya düşmeyecektir. En küçük hacimde/alanda bile, eğer ki bir dönme varsa, rotasyonel işlemi onu tespit edecektir.

Eğer curl işlemini v⃗(x,y,z)\vec{v}(x,y,z) şeklinde ifade edilen ve az önce anlattığımız gibi v⃗(x,y,z)=vxex⃗+vyey⃗+vzez⃗\vec{v}(x,y,z)=v_x\vec{e_x}+v_y\vec{e_y}+v_z\vec{e_z} şeklinde de ifade edebileceğimiz bir vektör üzerine uygulayacak olursak, şöyle bir işlem yapmış oluruz:

∇×v⃗=curlv⃗=(∂vz∂y−∂vy∂z)ex⃗+(∂vx∂z−∂vz∂x)ey⃗+(∂vy∂x−∂vx∂y)ez⃗\nabla\times{\vec{v}}=\text{curl}{\vec{v}}=(\frac{\partial{v_z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{v_y}}{\partial{z}})\vec{e_x}+(\frac{\partial{v_x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{v_z}}{\partial{x}})\vec{e_y}+(\frac{\partial{v_y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{v_x}}{\partial{y}})\vec{e_z}

Görebileceğiniz gibi bu, diğer ikisinden biraz daha "büyük" bir işlemdir; ancak en nihayetinde yapılan son derece basittir: Alanımızı tanımlayan vektörün çeşitli yönlerde türevlerini alırız ve nihayetinde bir diğer vektör elde ederiz. "Bir vektörün rotasyoneli" adını verdiğimiz bu yeni vektör, bir vektör alanı içinde alınacak herhangi bir noktanın ne düzeyde ve ne yönde dönmeye zorlandığını bildirir.

Tüm Reklamları Kapat

Nehir örneğimizi ele alalım. Nehir, doğduğu yerden aktığı yere kadar birçok yerde kıvrılacaktır (menderes yapacaktır). Bu kıvrım yerlerindeki sürtünmeden ötürü su molekülleri yön değiştirmeye zorlanacaktır; sonuçta su molekülleri, akışın yönünü takip eder ve akış da yön değiştirdiği için, o moleküller de dönmeye zorlanır. Şimdi, diyelim ki nehrin yine herhangi bir noktasını ele aldığınız ve oraya ufak bir rüzgar gülü (ya da "su gülü") koydunuz. Bu su gülü, iki yöne de dönebilir yapıda olsun. İşte o "su gülünün" dönme yönü ve hızı, rotasyonel (curl) ile belirlenir.

Maxwell Denklemlerinden Işık Hızını Çıkarmak...

Şimdi, eğer ki ∇\nabla operatörünün farklı kullanımlarını anladıysak, artık başta verdiğimiz 4 Maxwell denklemini manipüle ederek ışık hızını hesaplayabiliriz.

Yapılabilecek Basitleştirmeler

Öncelikle, ışığın hızını vakumda, yani olabileceği en yüksek hızda hesaplamak istediğimiz için, bazı basitleştirmeler yapabilmekteyiz: Örneğin vakumda hiç yük olmadığı için, 1. denklemde (Gauss'un Elektrik Yasası'nda) ρ=0\rho=0, 4. denklemde (Amper Yasası'nda) j=0\bold{j}=0 alabiliriz. Bu durumda 4 denklem, şöyle basitleştirilebilir:

∇⋅E=0\LARGE{\nabla\cdot\bold{\Epsilon}=0}

Tüm Reklamları Kapat

∇⋅B=0\LARGE{\nabla\cdot\bold{B}=0}

∇×E=∂B∂t0\LARGE{\nabla\times\bold{\Epsilon}=\frac{\partial{\bold{B}}}{\partial{t}_0}}

∇×B=μ0ϵ0∂E∂t0\LARGE{\nabla\times\bold{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial{\mathbf{\Epsilon}}}{\partial{t}_0}}

Amacımız Ne?

Şimdi, amacımızı hatırlayalım: Öyle bir dalga fonksiyonu bulmak istiyoruz ki, elektrik alan manyetik alanı desteklesin, manyetik alan da elektrik alanı desteklesin ve bu desteklemenin oranı aynı olsun, böylece kendi kendini sürdürebilen bir dalga ortaya çıksın.

Tüm Reklamları Kapat

Yani bu denklemlerden yola çıkarak bir dalga denklemi elde etmek istiyoruz, bu da hem uzayda hem de zamanda 2. türevlere sahip olmamızı gerektiriyor.

İşlem Basamakları

Faraday Yasası'nda Rotasyonelin Rotasyoneli

Bunu uzayda yapmak için, rotasyonel hesabı yapabiliriz. 3. denklemde (Faraday Yasası'nda) iki tarafın da rotasyonelini alarak başlayalım (ayrıca bu, çok şık bir teoremi devreye sokabilmemizi sağlayacak, az sonra göreceksiniz):

∇×(∇×E)=∇×−∂B∂t\nabla\times(\nabla\times\Epsilon)=\nabla\times-\frac{\partial{\bold{B}}}{\partial{t}}

Burada, denklemin sağ tarafında, düzgün davranan fonksiyonlarda kısmi türevlerin değişme özelliğinden faydalanabiliriz:

Tüm Reklamları Kapat

∇×(∇×E)=−∂∂t(∇×B)\nabla\times(\nabla\times\Epsilon)=-\frac{\partial}{\partial{t}}(\nabla\times{\bold{B}})

Denklemin sol tarafın çözmek için, BAC-CAB Özdeşliği olarak bilinen bu teoremi uygulamak istiyoruz. Bu teorem, vektör matematiğinde üç vektörün vektör çarpımının, skaler bir çarpım olarak da ifade edilebileceğini söyler. Yani şunu der:

a⃗×(b⃗×c⃗)=b⃗(a⃗⋅c⃗)−c⃗(a⃗⋅b⃗)\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})

Burada sağ tarafın "bac-cab" şeklinde gittiğine dikkat edin. Bu nedenle buna "BAC-CAB Özdeşliği" denmektedir. Bu durumda, her birini yerine yazarsak:

Tüm Reklamları Kapat

∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−E(∇⋅∇)\nabla\times(\nabla\times\Epsilon)=\nabla(\nabla\cdot\Epsilon)-\Epsilon(\nabla\cdot\nabla)

Gördüğünüz gibi, bu teorem sayesinde "curl" anlamına gelen ∇×\nabla\times operatörünü, "diverjans" anlamına gelen ∇⋅\nabla\cdot operatörüne dönüştürmüş olduk. Başta, Gauss yasasında (Maxwell denklemlerinin ilkinde) yaptığımız basitleştirmeyi hatırlayın: ∇⋅E=0\nabla\cdot\Epsilon=0. Bu nedenle sağ taraftaki ilk terim sıfır olur. Ayrıca yukarıdaki denklemde en sağdaki terimde E(∇⋅∇)\Epsilon(\nabla\cdot\nabla) yazmış olsak da bunu anlamlı hale getirmek için (∇⋅∇)E(\nabla\cdot\nabla)\Epsilon de yazabiliriz. Bu da ∇2E\nabla^2\Epsilon olarak kısaltılabilir.

Bunların Faraday Yasası'nda iki tarafın da rotasyonelini aldığımız işlemin ("rotasyonelin rotasyonelini" aldığımız işlemin) sol tarafı olduğunu hatırlayın. Bu sol tarafta elimizde ∇2E\nabla^2\Epsilon kaldı. Sağ tarafla bir arada yazacak olursak:

−∇2E=−∂∂t(∇×B)-\nabla^2\Epsilon=-\frac{\partial}{\partial{t}}(\nabla\times{\bold{B}})

Tüm Reklamları Kapat

Eksileri götürürsek:

∇2E=∂∂t(∇×B)\nabla^2\Epsilon=\frac{\partial}{\partial{t}}(\nabla\times{\bold{B}})

Dalga Denklemine Ulaşmak: Amper Yasasının Rolü

Sağ tarafta ise ∇×B\nabla\times{\bold{B}} kısmını zaten Maxwell Denklemleri'nde Amper yasası olarak biliyoruz. Bunu yerine yazabiliriz:

∇2E=∂∂t(μ0ϵ0∂E∂t0)\nabla^2\Epsilon=\frac{\partial}{\partial{t}}(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial{\mathbf{\Epsilon}}}{\partial{t}_0})

Tüm Reklamları Kapat

Burada sabitleri (μ0\mu_0 ve ϵ0\epsilon_0) kısmî türevin dışına alabiliriz:

∇2E=μ0ϵ0∂∂t(∂E∂t0)\nabla^2\Epsilon=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{\partial{\mathbf{\Epsilon}}}{\partial{t}_0})

Sağ tarafta iki kısmî türev bir araya geldiği için, bunları da birleştirebiliriz:

∇2E=μ0ϵ0∂2∂t2E\nabla^2\Epsilon=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\Epsilon

Tüm Reklamları Kapat

İşte bu, aradığımız 3 boyutlu dalga denklemidir. Dediğimiz gibi, bir dalga denklemi elde edebilmek için alanın ikinci türevini içeren bir sonuca ihtiyacımız vardı, şimdi buna ulaşmış olduk. Buradan sonrası, kısmî türev denklemi çözmeyi gerektiriyor.

Denklemi Tek Boyuta İndirgemek

Dalgamızın üç boyutta birden dinamiklerini incelememize gerek yok, tek bir boyuttaki dinamiğini incelemek, istediğimiz sonuca ulaşmak için yeterli olacak. Bu nedenle, başından beri E\Epsilon ile ifade ettiğimiz üç boyutlu elektrik alan vektörünü EE olarak tek boyutlu bir vektöre indirgeyelim. Bu durumda, ∇\nabla operatörümüzün ∂∂x\frac{\partial}{\partial{x}}'e indirgenebileceğini anlatmıştık. ∇2\nabla^2 de ∂2∂2x\frac{\partial^2}{\partial^2{x}} olarak ifade edilebilir. Bu durumda:

∂2E∂2x=μ0ϵ0∂2E∂t2\Large{\frac{\partial^2{E}}{\partial^2{x}}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2{E}}{\partial{t^2}}}

Burada, sol tarafta ∂∂t\frac{\partial}{\partial{t}} değil de ∂∂x\frac{\partial}{\partial{x}} olduğuna dikkat ediniz. Yani denklemimizin sol tarafında zaman (tt) yerine, boyutlardan biri olan xx'e göre türev almaktayız; çünkü xx, yy ve zz şeklindeki 3 boyuttaki E\Epsilon vektörünü, sadece xx boyutuna sahip, tek boyutlu EE vektörüne indirgedik (isterseniz yy veya zz de diyebilirsiniz tabii, sonuç değişmez).

Tüm Reklamları Kapat

Sadece Pozitif Yönde Yayılan Sinüsoidal Elektromanyetik Dalgayı Bulmak

Bu, 2. dereceden kısmî bir diferansiyel denklem çözümünü gerektirmektedir. Bunun nasıl yapıldığının detaylarına girmek, yazıyı kalkülüs dersine döndürmemize neden olacaktır. Bu nedenle, kalkülüs dersi görmüşlerin hatırlayabileceği üzere, cevap olarak bir dalga (spesifik olarak hızı vv dalga boyu λ\lambda olan sinüsoidal bir elektromanyetik dalga) aradığımızı hatırlatarak, bu tür bir denklemin genel çözümünün şu şekilde verilebileceğini söylemekle yetinelim:

f(x−vt)+f(x+vt)f(x-vt)+f(x+vt)

Burada ff ve gg, pozitif ve negatif yönde yayılan bir sinüs dalgasını temsil eden, rastgele seçilmiş iki fonksiyondur. Ama bizim dalgamızın iki yönde yayılmasına gerek yok, tek bir yönde yayılması yeterli olacak. Bunları gözeterek bir cevap arayacak olursanız, yukarıdaki denklemi tatmin eden bir elektrik alanın şu olduğunu görebilirsiniz:

E=E0sin⁡(2πλ(x−vt))E=E_0\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))

Tüm Reklamları Kapat

Tek Boyutlu Denklemi Çözmek

Şimdi, bulduğumuz bu çözümün 2 defa türevini alabiliriz. Bu ikinci derece türevleri hem xx'e göre hem de tt'ye göre alabiliriz (EE, hem xx'e hem tt'ye bağlı olduğu için). xx'e göre alırsak:

∂2E∂2x=−E0(2πλ)2sin⁡(2πλ(x−vt))\frac{\partial^2{E}}{\partial^2{x}}=-E_0(\frac{2\pi}{\lambda})^2\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))

∂2E∂2t=−E0(2πvλ)2sin⁡(2πλ(x−vt))\frac{\partial^2{E}}{\partial^2{t}}=-E_0(\frac{2\pi{v}}{\lambda})^2\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))

Bu 2. dereceden denklemlerin, bir önceki basamakta elde ettiğimiz tek boyuttaki dalga denkleminde bulunduğunu fark etmiş olabilirsiniz: İlki denklemin sol tarafındaydı; ikincisi ise denklemin sağ tarafında... İşte bunları yerine koyabiliriz:

Tüm Reklamları Kapat

−E0(2πλ)2sin⁡(2πλ(x−vt))=−μ0ϵ0E0(2πvλ)2sin⁡(2πλ(x−vt))-E_0(\frac{2\pi}{\lambda})^2\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))=-\mu_0\epsilon_0E_0(\frac{2\pi{v}}{\lambda})^2\sin(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt))

Burada sinüs fonksiyonları ve eksi işaretleri güzel bir şekilde sadeleşmektedir:

E0(2πλ)2=μ0ϵ0E0(2πvλ)2E_0(\frac{2\pi}{\lambda})^2=\mu_0\epsilon_0E_0(\frac{2\pi{v}}{\lambda})^2

Benzer şekilde, E0E_0 ve diğer terimlerde de sadeleştirme yaparsak:

Tüm Reklamları Kapat

1=μ0ϵ0v21=\mu_0\epsilon_0v^2

Işık Hızını Bulmak

Burada birazcık düzenleme yaparsak, o "çok özel hıza" erişmemiz mümkün olmaktadır:

v=1μ0ϵ0\LARGE{v=\sqrt{\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}}}

Buradaki vv hızı, en başından beri aradığımız, elektrik ve manyetik alanların dengeli bir şekilde birbirini sürdürmesi için gerekli olan hızdır. Denklemin sağ tarafında, bilinmeyen hiçbir sayı yoktur; μ0\mu_0 da ϵ0\epsilon_0 da bilinen sabitlerdir (değerlerini başta vermiştik). Bu değerleri yerine koyduğumuzda, vv hızını bulabiliriz:

Tüm Reklamları Kapat

v=299972458v=299972458

Bu, ışık hızıyla birebir aynıdır!

Sonuç... ve Sonucun Önemi

Burada elde ettiğimiz hız, bir elektromanyetik dalganın kendi kendini sürdürebilmesi için gitmesi gerektiği hızdır. Bu hızdan farklı hızda giden bir dalga, kendi kendini sürdüremez. Bu nedenle süreğen olan kütlesiz dalgaların hepsi, bu hızda gitmek zorundadır - ışık da bunlardan biridir, dolayısıyla bu hızda gider.

Dikkat edebileceğiniz gibi, bu analizin hiçbir yerinde ışık hızıyla ilgili herhangi bir varsayımda bulunmamız gerekmedi. Benzer şekilde, elektrik ve manyetizma yasalarının hiçbiri de ışık hızıyla ilgili herhangi bir bilgi içermemektedir. Işık hızı, elektromanyetik teorinin bir sonucu olarak, kendiliğinden ortaya çıkmaktadır.

Tüm Reklamları Kapat

Son olarak, bu yola çıkarken "ışık hızına ulaşacağız" diye bir hedefle de yola çıkmadık. Yola çıkarken amacımız, kendi kendini sürdürebilen (İng: "self-propagating") bir elektromanyetik dalganın vakumdaki hızını bulmaktı. Onu bulduk ve bu hız, ışık hızıyla birebir aynı çıktı. Fizikçiler ışık hızını empirik (deneysel) olarak da ölçüp, bu sonucu tekrar tekrar doğruladılar.

Işık hızının bu ortaya çıkışını (İng: "emergence") pekiştiren iki parametre, yani μ0\mu_0ve ϵ0\epsilon_0, içinde yaşadığımız Evren'in uzay-zaman dokusunun (yani vakumun) temel niteliklerinden kaynaklanmaktadır. Yani ışık, Evren'e herhangi bir şey dikte etmemektedir; Evren, ışığa ne hızda gidebileceğini dikte etmektedir. Eğer Evren'in temel parametreleri değişecek olursa, ışık hızı da doğal olarak değişecektir. Konuyla ilgili daha fazla çıkarım için buradaki yazımızı okumanızı öneririz.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
88
1
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 15
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 13
  • Bilim Budur! 8
  • Muhteşem! 7
  • İnanılmaz 6
  • Merak Uyandırıcı! 6
  • Güldürdü 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • School of Physics. Maxwell's Equations. From Einstein Light. Alındığı Tarih: 27 Haziran 2021. Alındığı Yer: UNSW | Arşiv Bağlantısı
  • wikiHow. How To Derive The Speed Of Light From Maxwell's Equations. (2 Nisan 2016). Alındığı Tarih: 27 Haziran 2021. Alındığı Yer: wikiHow | Arşiv Bağlantısı
  • J. C. Maxwell. (1864). A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, sf: 459-512. | Arşiv Bağlantısı
  • D. J. Griffiths. (1998). Introduction To Electrodynamics. ISBN: 9780138053260. Yayınevi: Addison-Wesley Professional.
  • P. A. Tipler, et al. (2003). Physics For Scientists And Engineers, Volume 2: Electricity, Magnetism, Light, And Elementary Modern Physics. ISBN: 9780716708100. Yayınevi: W. H. Freeman.
  • E. M. Purcell. (1984). Electricity And Magnetism. ISBN: 9780070049086. Yayınevi: McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
  • H. A. Haus, et al. (1989). Electromagnetic Fields And Energy. ISBN: 9780132490207. Yayınevi: Prentice Hall.
  • B. Hoffmann. (1984). Relativity And Its Roots. ISBN: 9780716714781. Yayınevi: W.H. Freeman & Company.
  • D. H. Staelin, et al. (1993). Electromagnetic Waves. ISBN: 9780132258715. Yayınevi: Pearson.
  • C. F. Stevens. (1996). The Six Core Theories Of Modern Physics. ISBN: 9780262691888. Yayınevi: MIT Press.
  • M. Zahn. (1979). Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach. ISBN: 9780471021988. Yayınevi: John Wiley & Sons.
  • J. D. Jackson. (1998). Classical Electrodynamics. ISBN: 9780471309321. Yayınevi: Wiley.
  • J. C. Maxwell. (1954). A Treatise On Electricity And Magnetism: Vol. 2. ISBN: 9780486606378. Yayınevi: Dover Publications.
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 17/06/2024 04:57:44 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/10651

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Güneş
Hayatta Kalma
Salgın
Hominidae
Neandertaller
Yüzey
Dağılım
Fizyoloji
Antik
Kilo
İspat Yükü
Stephen Hawking
Köpekgil
Bebek
Kütleçekimi
Kuyruksuz Maymun
Newton
Abd
Canlılık Ve Cansızlık Arasındaki Farklar
Sağlık
Genetik
Siyah
Küçük
Tehdit
Besin
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ç. M. Bakırcı. Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?. (27 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 17 Haziran 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/10651
Bakırcı, Ç. M. (2021, June 27). Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?. Evrim Ağacı. Retrieved June 17, 2024. from https://evrimagaci.org/s/10651
Ç. M. Bakırcı. “Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 27 Jun. 2021, https://evrimagaci.org/s/10651.
Bakırcı, Çağrı Mert. “Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, June 27, 2021. https://evrimagaci.org/s/10651.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close