Maxwell Denklemleri ve Işık Hızı: Elektromanyetik Teori'nin Temelindeki 4 Denklem, Evren'deki Hız Sınırını Nasıl Tanımlıyor?

Daha önceki bir yazımızda, Maxwell Denklemleri'ni kullanarak ışık hızının nasıl hesaplanabileceğini anlatmıştık. Ancak o yazıda, Maxwell Denklemleri'ni matematiksel olarak manipüle edip de ışık hızına tam olarak nasıl eriştiğimizin detaylarını atlamıştık, bunun sadece "matematiksel bir büyü" olduğunu söylemiştik, böylece anlatım kolaylığı sağlamıştık. Şimdi, o büyünün "büyü" olmadığını göstereceğiz ve işin matematiğini biraz daha yakından anlamaya çalışacağız.

Maxwell Denklemleri Matematiği'ndeki Operatörler

Maxwell Denklemleri'nden ışık hızını nasıl çıkarabileceğimizi anlamak için, öncelikle 4 denklemde de karşımıza çıkan 2 önemli operatörü tanımamız gerekiyor. Çünkü önceki yazımızda Maxwell Denklemleri'ndeki tüm denklemlerin anlamını vermiştik; ancak $\nabla$ işaretinden bashetmemiş ve bunun anlamını es geçmiştik. Benzer şekilde, $\nabla \cdot$ ve$\nabla \times$ şeklindeki işlemlerin (veya operatörlerin) anlamını da es geçmiştik. İşte burada, bu kavramlara odaklanacağız ve bu sayede konuyu çok daha sağlam bir şekilde anlayabileceğiz. Öncelikle, hatırlatma olması açısından Maxwell'in 4 denklemini de yazalım:

$\nabla \cdot \mathrm{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$ (Gauss Yasası veya Gauss'un Elektrik Yasası)

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ (Gauss'un Manyetizma Yasası)

$\nabla \times \mathrm{E}=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t_0}$ (Faraday Yasası)

$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{j}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t_0}$ (Amper Yasası)

Görebileceğiniz gibi, bu 4 denklemde $\rho$, $\mathbf{B}$ veya $\mathrm{E}$ gibi bazı parametreler ile ${\mu }_0$ ve ${ϵ}_0$ gibi bazı sabitler bir arada bulunmaktadır. Eğer elektromanyetizma veya daha doğru ifadesiyle elektrodinamiğin kalbinde yatan Maxwell Denklemleri'ndeki 4 denklemin ne anlama geldiğini merak ediyorsanız (ve bu parametrelerin anlamlarını da öğrenmek istiyorsanız), öncelikle o yazımızı okumanızı öneririz. Özetle:

• $\mathrm{E}$: Elektrik alan
• $\mathbf{B}$: Manyetik alan
• $\rho$: Hacim başına düşen elektrik yükü
• $t_0$: zaman
• ${ϵ}_0=8.8541878128(13)\times 10^{-12}F/m$ (Elektrik Yüklenebilirliği Sabiti)
• ${\mu }_0=1.25663706212(19)\times 10^{-6}H/m$ (Manyetik Geçirgenlik Sabiti)

Geriye sadece $\nabla$ operatörünü anlamak kalıyor. Şimdi, ona biraz bakalım.

Ters Üçgen (Nabla, Del) Operatörü Ne Demek?

Lise fizik derslerinde skaler büyüklük ile vektörel büyüklük arasındaki farkı öğrenmiş olabilirsiniz: Skaler büyüklükler, sadece büyüklüğü olan sayılardır. Mesela 10 kilogram kütle veya saatte 5 kilometre hız gibi... Vektörel büyüklüklerse, bir hızı ve yönü olan sayılardır: Yere doğru 50 Newton kuvvet veya doğuya doğru saatte 5 kilometre hız gibi...

Elektromanyetizmada söz konusu olan elektrik ve manyetik alanlar skaler değil, vektörel büyüklükler olduğu için, sadece sayısal büyüklüklerini değil, yönlerini de dikkate alarak matematiksel ve fiziksel analiz yapmak durumundayız. Bu tür çalışmalara vektör kalkülüsü veya vektör matematiği denmektedir.

Vektör matematiğinde karşımıza sıkça çıkan unsurlardan biri $\nabla$ (okunuşu: "del" veya "nabla") operatörüdür. Bir operatör, matematikte belli bir fonksiyonu veya işlemi temsil eden işaretlerdir. Mesela kalkülüsün kalbinde yer alan türev işleminden söz ederken, diferansiyel operatörü dediğimiz $\frac{d}{dt}$ işaretini kullanırız. Bu işaret, kendi başına pek bir şey yapmaz; sadece ondan sonra gelecek şeylerin türevle ilişkili olduğuna işaret eder.

Benzer şekilde, integral hesaplarında karşımıza çıkan meşhur Volterra operatörü de $\int$ işaretiyle temsil edilir. Bu işaretin kendisi, yapılacak işlemle ilgili bilgiler verebilir, mesela 0'dan 100'e sınırlı bir integral alınıyorsa ${\int }_0^{100}$ şeklinde gösterilebilir; ama nihayetinde bu işaret, sadece ne tür bir işlemden söz ettiğimizi anlatmamızı sağlar. Türev ve integrali basitleştirilmiş bir şekilde öğrenmek için bu yazımızı okuyabilirsiniz.

İşte $\nabla$ da bunlar gibi bir operatördür. Eğer tek boyutlu bir olguyla ilgili işlem yaparken bu operatör kullanılırsa, anlamı $\frac{d}{dt}$ ile aynıdır, dümdüz türev anlamına gelir. Mesela $y=x^2$ gibi bir fonksiyona $\nabla$ operatörünü uygulayacak olursanız, $\nabla y$ ile $\frac{d}{dt}y$ aynı anlama gelir. Bu durumda $\nabla y=2x$ olur.

Ama eğer elektrik veya manyetik alan gibi bir "alan" üzerine, yani 2 veya daha fazla boyutlu bir sisteme uygulanacak olursa, o zaman da en nihayetinde bir türev operatörü olarak iş görür ama 3 farklı şeyden biri anlamına gelir:

Gradyan

Eğer sistem vektörel değil de skalerse, gradyan anlamına gelir. Gradyan, bilimde çok büyük öneme sahip bir kavramdır; çünkü kademeli olarak değişen sistemlerin değişim oranını ölçmemizi sağlar. Örneğin türlerin kademeli bir şekilde değişimi, bir gradyana karşılık gelir. Denizin, derinliğe bağlı olarak karanlıklaşma miktarı bir gradyandır. Gradyanlar, bilimde her yerde karşımıza çıkar.

$\nabla$ operatörünün yaptığı şey ise, işte skaler olan bir alanın, en hızlı/sert değiştiği yeri hesaplamaktır. (Navier-Stokes Denklemleri'nde karşımıza çıkan vektörel alanlarda da bazen bu anlamda kullanılabilir; ama bunu şimdilik görmezden gelebilirsiniz.) Basitçe hatırlamanız gereken, eğer işlem yaptığınız sistem skalerse, $\nabla$ operatörünün o alanın en hızlı veya sert şekilde değiştiği noktanın hesaplanmasında kullanıldığıdır.

Bu durumda sembol, karşımıza bir sabit ile bir arada çıkar. Örneğin, $f$ bir sabit ise (mesela $f=3$ ise), gradyan hesabı yapılacağı zaman $\nabla f$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda, skaler bir büyüklük olduğundan, bunun gradyan olduğunu biliriz. Ama illâ bunun bir gradyan hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, $\nabla f$ yerine $\text{grad}f$ de yazabilirsiniz.

Bu operatörle 3 boyutlu bir skaler alanda karşılaştığınızda, şu şekilde açabilirsiniz:

$\nabla f=\text{grad}f=\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$

Burada karşımıza çıkan $\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}$ gibi terimlerdeki $\partial$ işareti de bir diğer operatördür ve yine "türev" anlamına gelir; ancak "kısmî türev" gibi daha spesifik bir anlamı vardır. Buradaki "kısmî" sözcüğünden kasıt, 3 boyutun 3'ünde birden değil de sadece 1'inde türev alındığını belirtmektir. Ama tabii ki her bir terim, farklı bir boyutta türev alarak bunları birleştirir ve böylece 3 boyutta da türev alınmış olur ve $\nabla$ operatörü, dediği şeyi ("türev alma işlemini") yerine getirmiş olur.

Türev alma işlemi sonucunda, işlem skaler bir alana uygulanıyor olsa bile, bir vektör elde edilir. Yani sonucun bir büyüklüğü ve yönü vardır. İşte işlem sonucunda elde edilen $\overrightarrow{e_x}$ gibi terimler, alınan türevin sonucunun işaret ettiği yönü, 3 boyutta birden ($x$ ekseninde $\overrightarrow{e_x}$, $y$ ekseninde $\overrightarrow{e_y}$ ve $z$ ekseninde $\overrightarrow{e_z}$) belirtir. Bu vektörün yönü, her zaman, o skaler alanın en hızlı veya sert şekilde değiştiği yere doğrudur ve büyüklüğü de o noktadaki maksimum değişim oranına eşittir. Eğer türevle ilgili yazımızı okursanız, burada yaptığımızın "değişim matematiği" olduğunu daha iyi kavrayabilirsiniz.

Diverjans

Eğer üzerinde çalıştığınız sistem bir önceki durumda olduğu gibi skaler bir alan değil de vektörel bir alansa, o zaman $\nabla$ operatörü diverjans adı verilen bir diğer özelliği ölçer.

Diverjans da gradyan gibi bir sistem özelliğidir. Bunu anlamak için, akan bir nehri düşünün (ki akan bir nehir, bir vektör alanıdır; her bir su tanesinin bir hızı ve yönü vardır): Nehir, doğduğu yerden çıkıp, ulaştığı denize kadar akma halindedir. İşte akış halindeki bu nehrin herhangi bir kısmında (mesela tam ortasında), neredeyse sonsuz küçüklükte bir alana (veya hacme) odaklandığınızı hayal edin. Ufacık bir küre düşünün. Bu kürenin nehrin doğduğu yere bakan (oraya dönük) tarafından su girişi olur, nehrin denize açıldığı yöne bakan tarafındansa su çıkışı olur, öyle değil mi? Yani o hacme giren ve çıkan belli bir su vardır. İşte diverjans, odaklandığınız bu nokta etrafındaki ufacık hacimdeki su tanelerinin hızının giriş-çıkış miktarını ölçer: Eğer giren suyun hızı çıkandan yüksekse, diverjans negatif olur; düşükse diverjans pozitif olur.

Diverjansı gradyandan ayırmak için, sadece $\nabla$ yerine $\nabla \cdot$ işaretini kullarnırız. Buradaki $\cdot$ işareti, vektör alanı üzerine uygulanan bu işlemin skaler bir fonksiyon vereceğine işaret eder. Ama aklınızda tutmanız gereken, $\nabla \cdot$ işaretini gördüğünüzde, gradyan veya bir diğer işlem değil, diverjans işlemi yapıldığıdır. Ama illâ bunun bir diverjans hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, $\nabla \cdot \vec{f}$ yerine $\text{div}\vec{f}$ de yazabilirsiniz. Burada $f$'in artık bir skaler alan değil, vektör alan olduğunu, dolayısıyla $\vec{f}$ olarak yazıldığını vurgulamak isteriz.

Agora Bilim Pazarı

Anne Baba Sihri İkili Set

Devamını Göster

₺260.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Eğer diverjans işlemini $\vec{v}(x,y,z)$ şeklinde ifade edilen ve az önce anlattığımız gibi $\vec{v}(x,y,z)=v_x\overrightarrow{e_x}+v_y\overrightarrow{e_y}+v_z\overrightarrow{e_z}$ şeklinde de ifade edebileceğimiz bir vektör üzerine uygulayacak olursak, şöyle bir işlem yapmış oluruz:

$\nabla \cdot \vec{v}=\text{div}f=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$

Burada vektöre uygulanan diverjans sonucunda elde edilen 3 terimin hiçbirinin vektörel olmadığına, hepsinin skaler olduğuna dikkatinizi çekeriz (üzerlerinde ok işareti olmaması, onların vektörel değil, skaler olduğunu göstermektedir). Çünkü diverjans sonucunda elde edilen sayı, skaler bir sayıdır, bir yönü yoktur. Genel olarak diverjansı, bir vektör alanının yöneldiği yöndeki artış miktarı olarak düşünebilirsiniz; ama daha isabetli tanımı, bir alanın bir noktaya yakınsama veya ıraksama eğilimini sayısal olarak ölçen bir araçtır.

Curl (Rotasyonel)

Eğer $\nabla$ operatörünü skaler alanlara uygularsak gradyan, vektörel alanlara uygularsak diverjans özelliğini verdiğini anladıysanız, nasıl olur da üçüncü bir anlama geliyor olabileceğini merak edebilirsiniz. Başka ne kaldı ki?

Vektörel alanlar üzerine yapılan $\cdot$ işleminin skaler bir büyüklük verdiğini söylemiştik. Ama bu, bir vektör alanına yapabileceğiniz tek işlem değildir. Bir diğer işlem, $\times$ işlemidir. Bunların her ikisi de çarpım işlemidir (tıpkı $2\times 3=6$ gibi); ancak çarptığınız şeyler $2$ ve $3$ gibi skaler sayılar değil de, vektörler ise, o zaman 2 farklı çarpımdan söz edebilirsiniz: vektörler arası skaler çarpım ($\cdot$) ve vektörler arası vektörel çarpım ($\times$). Bunların yapılış biçimleri farklı; ama burada bu detaya girmeyeceğiz. Sadece iki farklı çarpım türü olduğunu ve skaler olanda sonucun tek bir sayı olarak çıktığını, vektörel çarpımda ise sonucun bir vektör olduğunu bilmeniz yeterli. Bu durumda, tıpkı $\nabla \cdot$ operatörü gibi, $\nabla \times$ operatörü de tanımlayabiliriz. İşte bize $\nabla$ operatörünün 3. anlamını verecek olan işlem de bu!

$\nabla \times$ operatörü, bir vektörün rotasyonelini (İng: "curl") veren bir işlemdir. Bu karmaşık gibi gelen terimler, özünde bir vektör alanının yine çok küçük bir hacim içinde ne kadar "döndüğünü" gösterir. Bir uçağın arkasında bıraktığı havada oluşan türbülansı hayal edin. Ya da bir havuzun dibindeki tıpayı açınca oluşan girdabı. İki durumda da akışkanlar (uçak örneğinde hava, havuz örneğinde su), dönerek akar. İşte $\nabla \times$ operatörü, bu dönüşün miktarını ve yönünü (yani "rotasyonelini") veren bir işlemdir. Eğer bunun bir rotasyonel (curl) hesabı olduğunu vurgulamak isterseniz, $\nabla \times \vec{f}$ yerine $\text{curl}\vec{f}$ de yazabilirsiniz.

Eğer bir vektörün rotasyoneli sıfır çıkıyorsa, o vektör alanı dönmüyor demektir. Burada dikkat edilmesi gereken bir detay, aslında dönmekte olan bir vektör alana çok fazla "zoom" yaparsanız, o küçük alanda/hacimde olan akışın dönmüyormuş gibi gelebileceğidir. Bu nedenle görsel olarak hayal ederken hataya düşebilirsiniz; ancak matematiksel işlem, bu tür bir hataya düşmeyecektir. En küçük hacimde/alanda bile, eğer ki bir dönme varsa, rotasyonel işlemi onu tespit edecektir.

Eğer curl işlemini $\vec{v}(x,y,z)$ şeklinde ifade edilen ve az önce anlattığımız gibi $\vec{v}(x,y,z)=v_x\overrightarrow{e_x}+v_y\overrightarrow{e_y}+v_z\overrightarrow{e_z}$ şeklinde de ifade edebileceğimiz bir vektör üzerine uygulayacak olursak, şöyle bir işlem yapmış oluruz:

$\nabla \times \vec{v}=\text{curl}\vec{v}=(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})\overrightarrow{e_x}+(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})\overrightarrow{e_y}+(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})\overrightarrow{e_z}$

Görebileceğiniz gibi bu, diğer ikisinden biraz daha "büyük" bir işlemdir; ancak en nihayetinde yapılan son derece basittir: Alanımızı tanımlayan vektörün çeşitli yönlerde türevlerini alırız ve nihayetinde bir diğer vektör elde ederiz. "Bir vektörün rotasyoneli" adını verdiğimiz bu yeni vektör, bir vektör alanı içinde alınacak herhangi bir noktanın ne düzeyde ve ne yönde dönmeye zorlandığını bildirir.

Nehir örneğimizi ele alalım. Nehir, doğduğu yerden aktığı yere kadar birçok yerde kıvrılacaktır (menderes yapacaktır). Bu kıvrım yerlerindeki sürtünmeden ötürü su molekülleri yön değiştirmeye zorlanacaktır; sonuçta su molekülleri, akışın yönünü takip eder ve akış da yön değiştirdiği için, o moleküller de dönmeye zorlanır. Şimdi, diyelim ki nehrin yine herhangi bir noktasını ele aldığınız ve oraya ufak bir rüzgar gülü (ya da "su gülü") koydunuz. Bu su gülü, iki yöne de dönebilir yapıda olsun. İşte o "su gülünün" dönme yönü ve hızı, rotasyonel (curl) ile belirlenir.

Maxwell Denklemlerinden Işık Hızını Çıkarmak...

Şimdi, eğer ki $\nabla$ operatörünün farklı kullanımlarını anladıysak, artık başta verdiğimiz 4 Maxwell denklemini manipüle ederek ışık hızını hesaplayabiliriz.

Yapılabilecek Basitleştirmeler

Öncelikle, ışığın hızını vakumda, yani olabileceği en yüksek hızda hesaplamak istediğimiz için, bazı basitleştirmeler yapabilmekteyiz: Örneğin vakumda hiç yük olmadığı için, 1. denklemde (Gauss'un Elektrik Yasası'nda) $\rho =0$, 4. denklemde (Amper Yasası'nda) $\mathbf{j}=0$ alabiliriz. Bu durumda 4 denklem, şöyle basitleştirilebilir:

$\nabla \cdot \mathrm{E}=0$

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$

$\nabla \times \mathrm{E}=\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t_0}$

$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t_0}$

Amacımız Ne?

Şimdi, amacımızı hatırlayalım: Öyle bir dalga fonksiyonu bulmak istiyoruz ki, elektrik alan manyetik alanı desteklesin, manyetik alan da elektrik alanı desteklesin ve bu desteklemenin oranı aynı olsun, böylece kendi kendini sürdürebilen bir dalga ortaya çıksın.

Yani bu denklemlerden yola çıkarak bir dalga denklemi elde etmek istiyoruz, bu da hem uzayda hem de zamanda 2. türevlere sahip olmamızı gerektiriyor.

İşlem Basamakları

Faraday Yasası'nda Rotasyonelin Rotasyoneli

Bunu uzayda yapmak için, rotasyonel hesabı yapabiliriz. 3. denklemde (Faraday Yasası'nda) iki tarafın da rotasyonelini alarak başlayalım (ayrıca bu, çok şık bir teoremi devreye sokabilmemizi sağlayacak, az sonra göreceksiniz):

$\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E})=\nabla \times -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

Burada, denklemin sağ tarafında, düzgün davranan fonksiyonlarda kısmi türevlerin değişme özelliğinden faydalanabiliriz:

$\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$

Denklemin sol tarafın çözmek için, BAC-CAB Özdeşliği olarak bilinen bu teoremi uygulamak istiyoruz. Bu teorem, vektör matematiğinde üç vektörün vektör çarpımının, skaler bir çarpım olarak da ifade edilebileceğini söyler. Yani şunu der:

$\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})$

Burada sağ tarafın "bac-cab" şeklinde gittiğine dikkat edin. Bu nedenle buna "BAC-CAB Özdeşliği" denmektedir. Bu durumda, her birini yerine yazarsak:

$\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathrm{E})-\mathrm{E}(\nabla \cdot \nabla )$

Gördüğünüz gibi, bu teorem sayesinde "curl" anlamına gelen $\nabla \times$ operatörünü, "diverjans" anlamına gelen $\nabla \cdot$ operatörüne dönüştürmüş olduk. Başta, Gauss yasasında (Maxwell denklemlerinin ilkinde) yaptığımız basitleştirmeyi hatırlayın: $\nabla \cdot \mathrm{E}=0$. Bu nedenle sağ taraftaki ilk terim sıfır olur. Ayrıca yukarıdaki denklemde en sağdaki terimde $\mathrm{E}(\nabla \cdot \nabla )$ yazmış olsak da bunu anlamlı hale getirmek için $(\nabla \cdot \nabla )\mathrm{E}$ de yazabiliriz. Bu da ${\nabla }^2\mathrm{E}$ olarak kısaltılabilir.

Bunların Faraday Yasası'nda iki tarafın da rotasyonelini aldığımız işlemin ("rotasyonelin rotasyonelini" aldığımız işlemin) sol tarafı olduğunu hatırlayın. Bu sol tarafta elimizde ${\nabla }^2\mathrm{E}$ kaldı. Sağ tarafla bir arada yazacak olursak:

$-{\nabla }^2\mathrm{E}=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$

Eksileri götürürsek:

${\nabla }^2\mathrm{E}=\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$

Dalga Denklemine Ulaşmak: Amper Yasasının Rolü

Sağ tarafta ise $\nabla \times \mathbf{B}$ kısmını zaten Maxwell Denklemleri'nde Amper yasası olarak biliyoruz. Bunu yerine yazabiliriz:

${\nabla }^2\mathrm{E}=\frac{\partial }{\partial t}({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t_0})$

Burada sabitleri (${\mu }_0$ ve ${ϵ}_0$) kısmî türevin dışına alabiliriz:

${\nabla }^2\mathrm{E}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t_0})$

Sağ tarafta iki kısmî türev bir araya geldiği için, bunları da birleştirebiliriz:

${\nabla }^2\mathrm{E}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{E}$

İşte bu, aradığımız 3 boyutlu dalga denklemidir. Dediğimiz gibi, bir dalga denklemi elde edebilmek için alanın ikinci türevini içeren bir sonuca ihtiyacımız vardı, şimdi buna ulaşmış olduk. Buradan sonrası, kısmî türev denklemi çözmeyi gerektiriyor.

Denklemi Tek Boyuta İndirgemek

Dalgamızın üç boyutta birden dinamiklerini incelememize gerek yok, tek bir boyuttaki dinamiğini incelemek, istediğimiz sonuca ulaşmak için yeterli olacak. Bu nedenle, başından beri $\mathrm{E}$ ile ifade ettiğimiz üç boyutlu elektrik alan vektörünü $E$ olarak tek boyutlu bir vektöre indirgeyelim. Bu durumda, $\nabla$ operatörümüzün $\frac{\partial }{\partial x}$'e indirgenebileceğini anlatmıştık. ${\nabla }^2$ de $\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}x}$ olarak ifade edilebilir. Bu durumda:

$\frac{{\partial }^{2}E}{{\partial }^{2}x}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$

Burada, sol tarafta $\frac{\partial }{\partial t}$ değil de $\frac{\partial }{\partial x}$ olduğuna dikkat ediniz. Yani denklemimizin sol tarafında zaman ($t$) yerine, boyutlardan biri olan $x$'e göre türev almaktayız; çünkü $x$, $y$ ve $z$ şeklindeki 3 boyuttaki $\mathrm{E}$ vektörünü, sadece $x$ boyutuna sahip, tek boyutlu $E$ vektörüne indirgedik (isterseniz $y$ veya $z$ de diyebilirsiniz tabii, sonuç değişmez).

Sadece Pozitif Yönde Yayılan Sinüsoidal Elektromanyetik Dalgayı Bulmak

Bu, 2. dereceden kısmî bir diferansiyel denklem çözümünü gerektirmektedir. Bunun nasıl yapıldığının detaylarına girmek, yazıyı kalkülüs dersine döndürmemize neden olacaktır. Bu nedenle, kalkülüs dersi görmüşlerin hatırlayabileceği üzere, cevap olarak bir dalga (spesifik olarak hızı $v$ dalga boyu $\lambda$ olan sinüsoidal bir elektromanyetik dalga) aradığımızı hatırlatarak, bu tür bir denklemin genel çözümünün şu şekilde verilebileceğini söylemekle yetinelim:

$f(x-vt)+f(x+vt)$

Burada $f$ ve $g$, pozitif ve negatif yönde yayılan bir sinüs dalgasını temsil eden, rastgele seçilmiş iki fonksiyondur. Ama bizim dalgamızın iki yönde yayılmasına gerek yok, tek bir yönde yayılması yeterli olacak. Bunları gözeterek bir cevap arayacak olursanız, yukarıdaki denklemi tatmin eden bir elektrik alanın şu olduğunu görebilirsiniz:

$E=E_0\sin (\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt))$

Tek Boyutlu Denklemi Çözmek

Şimdi, bulduğumuz bu çözümün 2 defa türevini alabiliriz. Bu ikinci derece türevleri hem $x$'e göre hem de $t$'ye göre alabiliriz ($E$, hem $x$'e hem $t$'ye bağlı olduğu için). $x$'e göre alırsak:

$\frac{{\partial }^{2}E}{{\partial }^{2}x}=-E_0(\frac{2\pi }{\lambda }{)}^2\sin (\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt))$

$\frac{{\partial }^{2}E}{{\partial }^{2}t}=-E_0(\frac{2\pi v}{\lambda }{)}^2\sin (\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt))$

Bu 2. dereceden denklemlerin, bir önceki basamakta elde ettiğimiz tek boyuttaki dalga denkleminde bulunduğunu fark etmiş olabilirsiniz: İlki denklemin sol tarafındaydı; ikincisi ise denklemin sağ tarafında... İşte bunları yerine koyabiliriz:

$-E_0(\frac{2\pi }{\lambda }{)}^2\sin (\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt))=-{\mu }_0{ϵ}_0{E}_0(\frac{2\pi v}{\lambda }{)}^2\sin (\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt))$

Burada sinüs fonksiyonları ve eksi işaretleri güzel bir şekilde sadeleşmektedir:

$E_0(\frac{2\pi }{\lambda }{)}^2={\mu }_0{ϵ}_0{E}_0(\frac{2\pi v}{\lambda }{)}^2$

Benzer şekilde, $E_0$ ve diğer terimlerde de sadeleştirme yaparsak:

$1={\mu }_0{ϵ}_0{v}^2$

Işık Hızını Bulmak

Burada birazcık düzenleme yaparsak, o "çok özel hıza" erişmemiz mümkün olmaktadır:

$v=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_0{ϵ}_0}}$

Buradaki $v$ hızı, en başından beri aradığımız, elektrik ve manyetik alanların dengeli bir şekilde birbirini sürdürmesi için gerekli olan hızdır. Denklemin sağ tarafında, bilinmeyen hiçbir sayı yoktur; ${\mu }_0$ da ${ϵ}_0$ da bilinen sabitlerdir (değerlerini başta vermiştik). Bu değerleri yerine koyduğumuzda, $v$ hızını bulabiliriz:

$v=299972458$

Bu, ışık hızıyla birebir aynıdır!

Sonuç... ve Sonucun Önemi

Burada elde ettiğimiz hız, bir elektromanyetik dalganın kendi kendini sürdürebilmesi için gitmesi gerektiği hızdır. Bu hızdan farklı hızda giden bir dalga, kendi kendini sürdüremez. Bu nedenle süreğen olan kütlesiz dalgaların hepsi, bu hızda gitmek zorundadır - ışık da bunlardan biridir, dolayısıyla bu hızda gider.

Dikkat edebileceğiniz gibi, bu analizin hiçbir yerinde ışık hızıyla ilgili herhangi bir varsayımda bulunmamız gerekmedi. Benzer şekilde, elektrik ve manyetizma yasalarının hiçbiri de ışık hızıyla ilgili herhangi bir bilgi içermemektedir. Işık hızı, elektromanyetik teorinin bir sonucu olarak, kendiliğinden ortaya çıkmaktadır.

Son olarak, bu yola çıkarken "ışık hızına ulaşacağız" diye bir hedefle de yola çıkmadık. Yola çıkarken amacımız, kendi kendini sürdürebilen (İng: "self-propagating") bir elektromanyetik dalganın vakumdaki hızını bulmaktı. Onu bulduk ve bu hız, ışık hızıyla birebir aynı çıktı. Fizikçiler ışık hızını empirik (deneysel) olarak da ölçüp, bu sonucu tekrar tekrar doğruladılar.

Işık hızının bu ortaya çıkışını (İng: "emergence") pekiştiren iki parametre, yani ${\mu }_0$ve ${ϵ}_0$, içinde yaşadığımız Evren'in uzay-zaman dokusunun (yani vakumun) temel niteliklerinden kaynaklanmaktadır. Yani ışık, Evren'e herhangi bir şey dikte etmemektedir; Evren, ışığa ne hızda gidebileceğini dikte etmektedir. Eğer Evren'in temel parametreleri değişecek olursa, ışık hızı da doğal olarak değişecektir. Konuyla ilgili daha fazla çıkarım için buradaki yazımızı okumanızı öneririz.