Kelebek Etkisi: Hava Durumu Tahminleri Uzun Dönemde Neden Tutmuyor? Suçu Meteorologlarda Değil, Kaos Teorisi'nde Arayın!

Kaos Her Yerde: Atmosfer ve Hava Olaylarında Aperiyodiklik ve Kaotiklik!

Gece Modu

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Bu yazı, Kaos Teorisi yazı dizisinin 5. yazısıdır. Dizinin ilk yazısına gitmek için buraya, dizideki tüm yazıları görmek için buraya tıklayınız. Yazı dizileri, EA Akademi'nin bir parçasıdır.

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için veya kayıt olun.

Bu yazımızda nonlineer sistemlerdeki kaotikliğe örnek vermeye devam edeceğiz. Yazı dizimizin üçüncü örneği fiziğin alt dalı olan akışkanlar mekaniğinden, yani atmosfer olaylarından olacak.

Akışkanlar mekaniği, durgun olmayan sıvı ve gaz moleküllerinin hareketini ve birbirleri ile olan etkileşimlerini inceleyen bir çalışma alanıdır. Atmosfer olayları da kabaca havadaki gaz moleküllerinin dış etkilerden (sıcaklık, basınç, nem, vs.) kaynaklanması ile olmaktadır. Bu olguları ve atmosferdeki kaotikliği incelemeye geçmeden önce “geometrikleştirme” kavramına değinmek gerekli. Geometrikleştirmeyi David Ruelle, Raslantı ve Kaos kitabının 56. sayfasında şöyle anlatıyor:

Matematik formüller ve teroremlerin yanısıra birtakım kavramları da içerir. Bunların arasında en yaygın olanlardan biri de “geometrikleştirme” kavramıdır. Bu kavram, akla gelebilecek her şeyin bir uzayın noktaları olarak görülmesidir. Geometrikleştirmenin bir avantajı da tek bir birimler sistemine bağlı olmak zorunda olmayışınızdır.

Fizikçiler, fiziksel olayları daha anlaşılabilir hale getirmek için sık sık formüllerden çıkan sonuçları bir grafiğe dökerler. Böylelikle maddenin zamana göre evrimini daha net halde görmüş olurlar. Örneğin herhangi bir cismin zamana göre konumunu veren bir grafik yardımıyla, cismin hareketini daha anlaşılır bir hale getirebilirsiniz - ki bu işlem o cisme ait “durum uzayı”nı (İng: state space) verir.

Durum uzayını ve geometrikleştirme kavramını bu alanda uygulayan ilk bilim insanlarından biri Henri Poincare’dir. İlk yazımızda Güneş Sistemi’nin kararlı olup olamayacağını analitik olarak çözmenin mümkün olamayacağını, bu nedenle de analitik çözümlerin yerine geometrik çözümlerin kullanılabileceğini söylemiştir. Nonlineer dinamik sistemlerde geometrikleştirmenin yani durum uzayının önemini göstermiştir.

Şimdi, asıl konumuza geri dönelim: Atmosferik konveksiyon olaylarının anlaşılmasında Lorenz Modeli oldukça büyük bir öneme sahiptir. Bu model 1963 yılında Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde meteoroloji uzmanı olarak çalışan Edward Lorenz tarafından oluşturulmuştur. Atmosferdeki konveksiyonu (taşınmayı) birtakım denklemlerle ifade ederek, atmosfer olaylarının tamamıyla tahmin edilemeyecek davranışlar sergilediğini göstermiştir. David Ruelle, Rastlantı ve Kaos kitabının 60. sayfasında şöyle anlatıyor:

Bu olguyu kısaca şöyle tanımlayabiliriz: Güneş ışınlarının yeryüzünü ısıtması ve bu ısının havaya yansıması nedeniyle atmosferin alt katmanlarındaki hava üst katmanlardakinden daha sıcak ve hafif duruma gelir. Isınan ve hafifleyen hava yukarı doğru yükselirken daha soğuk ve yoğun olan üst katmanlardaki hava aşağı doğru hareket eder.

Lorenz’in modeli, Kaos Teorisi’nin gelişmesi açısından oldukça önemlidir. Çünkü bulduğu denklemler sadece atmosfer olaylarındaki kaotik davranışı açıklamakta değil, aynı zamanda diğer akışkanların da davranışını açıklamakta kullanılmaktadır. 1970’li yıllardan itibaren diğer akışkanlarda da bu denklemlerin kullanılmaya başlanmasından bunu anlayabilmekteyiz.

Lorenz Denklemleri

Lorenz’in modeli aslında temel Navier-Stokes denklemlerinin basitleştirilmiş formuna dayanmaktadır. Bu denklemler, sıcaklık değişiminden kaynaklanan akışkanın hareketini üç temel değişkenle açıklayabilmektedir. Biz bu değişkenlere X(t), Y(t), Z(t) değişkenleri diyeceğiz. Görüldüğü üzere parantez içindeki t harfi bize, zamana bağlılığı göstermektedir. Yani bu denklemler zamana göre değişebilen, sistemin “zaman evrim denklemleri” dir. X değişkeni akışkanın zamana göre yayılım fonksiyonudur (İng: "fluid stream function"). Y değişkeni verilen herhangi bir yükseklikteki yükselen ve alçalan akışkanın sıcaklık farkını veren bir oransal değişkendir. Z değişkeni ise kabaca dikey konumdaki akışkana ait sıcaklıkla meydana gelen yer değiştirmeyi ifade eden bir oransal değişkendir.

İşte bu üç değişkeni Lorenz Modeli’nin denklemleri olarak diferansiyel (zamana bağlı) olarak ifade edersek;

dXdt=p(Y−X)\LARGE{\frac{dX}{dt} = p(Y-X)}

dYdt=−XZ+rX−Y\LARGE{\frac{dY}{dt}=-XZ+rX-Y}

dZdt=XY−bZ\LARGE{\frac{dZ}{dt}=XY-bZ}

şeklinde yazılabilir.

Denklemlerdeki pp, rr, bb parametreleri ise sırasıyla şu şekilde açıklanabilir: pp, Prandtl Sayısı olarak bilinir ve kinetik vizkozitenin oranıdır. Termal enerji kaybı olarak da bilinir. İkinci değişken olan rr ise Rayleigh Sayısı’dır ve üst ve alt katmandaki akışkan yüzeyleri arasındaki sıcaklık farkını veren boyutsuz bir parametredir. Son değişken de bb değişkeni olup, dikey yükseklik ile yatay olarak ilerleyen akışkan arasındaki oranı temsil eder.

Lorenz Modeli ve Sabit Noktalar

Modelimizi başlatmadan önce sabit nokta (İng: "fixed point") kavramını hatırlamakta fayda var. Bu nokta/noktalar, sistemin zaman içindeki evriminde eninde sonunda çöktüğü ya da vardığı noktalardı. Ya da bazen itici sabit nokta da (İng: "repelling fixed point") olabiliyorlardı. Sistem hakkında geometrik olarak yorum yapmamızı kolaylaştırıyorlardı.

Şimdi Lorenz Modeli’ni X=0, Y=1, Z=0 başlangıç noktalarında ve r=0.5, p=10, b=8/3 olacak şekilde başlatalım ve zaman içindeki evrimine bakalım:

Lorenz Denklemleri'nin Zamana Göre Evrimi (Grafik-1)
Lorenz Denklemleri'nin Zamana Göre Evrimi (Grafik-1)
Anıl Kocabaldır -MATLAB

Bu model 3 boyutlu (X,Y, Z) bir model ve bu eksenlerin zamana göre aldığı değerler yukarıdaki gibidir. Her 3 grafik de bize sistemin r=0.5 parametresinde 0’a çöktüğünü gösteriyor. Yani 0 değeri sabit noktadır.

Bunu sistemin durum uzayına bakarak da görebiliriz. Durum uzayı bize sistemin zamana göre konumunu veren bir grafik olarak düşünülebilir.

Lorenz Denklemleri XZ Durum Uzayı (Grafik-2)
Lorenz Denklemleri XZ Durum Uzayı (Grafik-2)
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Sistemin XZ grafiği bize Y değişkeninin nasıl değiştiğini gösterir. Dolayısıyla grafik 2, Y=1.0 başlangıç değerinde başlayan sistemin Y=0’da sonlandığını göstermektedir. Eğer sistemin 3 boyutlu durum uzayına bakarsak şunu görürüz:

XYZ Durum Uzayı (Grafik-3)
XYZ Durum Uzayı (Grafik-3)
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Bu durumda 0 sabit noktasının aynı zamanda birer denge noktası (ing: equilibrium point )olduğu da söylenebilir. Yani zaman ilerlese dahi sistem 0 noktasında dengede kalacaktır. O halde r<1 için XYZ uzayındaki başlangıç noktası olan 0 noktası,sistem için çekim havzasıdır (ing: Basin of attraction)

Peki rr parametresini biraz da arttırıp r>1 yaparsak ne olur? Bu durumda 2 tane daha sabit nokta elde ederiz. İlki 0 olan sabit nokta bu sefer itici sabit olup, diğer yeni 2 nokta çekici sabit nokta (ing: “attracting fixed point”) olur. Bunu X=0, Y=1, Z=0 ve r=2.0 başlangıç koşullarıyla görebiliriz:

YZ Durum Uzayı ve Sabit Nokta (Grafik-4)
YZ Durum Uzayı ve Sabit Nokta (Grafik-4)
Anıl Kocabaldır -MATLAB

Şimdi sadece Y değişkenini değiştirip simetrisini alalım, yani Y=-1 olsun ve yeni grafiğmize bakalım:

YZ Durum Uzayı ve Sabit Nokta (Grafik-5)
YZ Durum Uzayı ve Sabit Nokta (Grafik-5)
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Sonuç olarak r=1 değeri bizim için Lorenz Modeli’nde çatallanma noktasıdır (İng: “bifurcation point”). Yani durum uzayında ilk sabit noktamızın yanına 2 yeni sabit nokta eklenmiştir. Bunu sadece başlangıç koşullarımızdan biri olan YY parametresinde ve rr paratmetresinde çok çok küçük bir değişiklik yaparak elde ettik. Sistem bu çok küçük değişimlere ise büyük tepkiler vermiş oldu. Buradan şunu anlayabiliriz o halde, başlangıç koşullarına hassas bağlılık. Sistemdeki başlangıç koşullarındaki ufacık bir değişim, zaman içinde sistemin davranışını ani ve dramatik büyüklükte olarak değiştirmektedir. Ki bu etkiye “Kelebek Etkisi” deriz.

Yukarıdaki iki grafiği fiziksel olarak yorumlarsak da, r parametresini 1 değerinden biraz büyük bir değer olarak aldığımızda, atmosferdeki üst katman ile alt katmanda bulunan akışkanın (hava moleküllerinin) arasındaki sıcaklık farkını arttırmış oluruz. Dolayısıyla akışkan artık 0 noktasındaki gibi dengede olmaktan çıkar ve 2 çekici nokta arasında salınım yapmaya başlar.

Peki bu 2 çekici sabit nokta arasında sistemin hareketinin yörüngesi (ing: “trajectory”) nasıl olur? Yani sistemin davranışını betimleyen parametreler de değiştiğinde, çekici sabit noktalar etrafındaki çekim bölgelerinin değişimi nasıl olur?

Bunu deneyebilmek için r parametresini arttıracağız, r=13.98 değerine gelene kadar sistemde dikkate değer dramatik bir değişim olmamaktadır. Ama r=13.98 ve daha büyük değerlerde sistem bu iki çekici sabit nokta etrafında bir sarmal yapmaya başlar ve bir ağ gibi iç içe girmeye başlar.

r=25 ve X=0, Y=-5, Z=15 başlangıç değerleri için şu grafikler elde edilir:

XYZ Durum Uzayı (Grafik-6) LORENZ ÇEKİCİSİ
XYZ Durum Uzayı (Grafik-6) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB
XZ Durum Uzayı (Grafik-7) LORENZ ÇEKİCİSİ
XZ Durum Uzayı (Grafik-7) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB
YZ Durum Uzayı (Grafik-8) LORENZ ÇEKİCİSİ
YZ Durum Uzayı (Grafik-8) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB

İşte bu üç grafik de “Lorenz Çekicisi” olarak bilinir. Bu grafik kelebeğin kanatlarını andırdığı için başlangıç şartlarına hassas bağlılık olan “kelebek etkisi” terimi de buradan gelmektedir. Peki bu durumu fiziksel olarak yorumlarsak, artık sisteme haricen etki eden bir kuvvetten söz etmeye başlarız.Sisteme etki eden bu kuvvetin sebebi, sıcaklıktaki küçük farklılıkların uzun zaman diliminde büyük etkiler yaratmasıdır.

X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-9)
X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-9)
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Sistemin X, Y ve Z parametrelerinin zamana göre değişim grafikleri de yukarıdaki gibi olup sistem zamana göre olan simetrisini artık bozmuştur (İng: “time translation symmetry).

Modeli incelemeye devam edelim ve r=150 değerinde ve yakınlarında işlerin biraz karmaşıklaştığını göreceğiz.

X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-10)
X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-10)
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Bu grafikteki en alttaki Z parametrisinin zamana göre değişimini veren kısma bakarasak eğer sistemin periyodik olduğunu ve periyot katlama çatallanmasının (ing: “period-doubling bifurcation) meydana geldiğini görürüz. Bu olaya “periyot-2 davranışı” diyoruz.

Peki rr değerini birazcık azaltalım ve r=146 olsun. Yine yukarıdaki gibi periyodik bir grafik elde ederiz ve periyot-4 davranışı meydana gelir. Unutmayın sistemde hala kaotiklik yok çünkü periyodik!

Eğer r değerini 144’ün biraz altına indirirsek ne olur? İşte herşey burada başlar ve sistemin periyodik olan X, Y, Z eksenlerinin değişimi artık tamamen aperiyodik olur ve kaos başlar! Aynı zamanda önemli olan nokta şu ki bu değerde başka bir periyot katlama görmeyiz. Yani sistem başka bir bölgeye ayrılmadan, aynı bölge içersinde hem periyodik hem de aperiyodik, yani kaotik olabilir ve davranışı iyice karmaşıklaşır. Bu söylediklerimizi aşağıdaki grafiklerden de görebiliriz:

Başlangıç değerleri r=143 ve X=20, Y=0, Z=163 olan ilk sistem için grafikler:

X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-11)
X,Y,Z Parametrelerinin Zamana Göre Evrimi (Grafik-11)
Anıl Kocabaldır - MATLAB
XZ Durum Uzayı (Grafik-12) LORENZ ÇEKİCİSİ
XZ Durum Uzayı (Grafik-12) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır
XYZ Durum Uzayı (Grafik-13) LORENZ ÇEKİCİSİ
XYZ Durum Uzayı (Grafik-13) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Şimdi ilk sistemdeki parametrelerden biri olan sadece Z parametresini çok küçük bir miktar arttırıp Z=166 yapıp, sistemdeki uzun zaman dilimlerindeki davranışın dramatik olarak nasıl farklılaştığını görelim:

XZ Durum Uzayı (Grafik-14) LORENZ ÇEKİCİSİ
XZ Durum Uzayı (Grafik-14) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB
XYZ Durum Uzayı (Grafik-15) LORENZ ÇEKİCİSİ
XYZ Durum Uzayı (Grafik-15) LORENZ ÇEKİCİSİ
Anıl Kocabaldır - MATLAB

Sonuç olarak nonlineer sistemin davranışının periyodik iken aperiyodik olmasının nasıl mümkün olduğunu, ayrıca periyot katlama davranışlarının sistemi kaosa götürdüğünü atmosferdeki hava olaylarından görmüş olduk. Buradaki etmenlerden en önemlisinin de başlangıç koşullarına hassas bağlılık yani kelebek etkisi olduğunu kanıtladık.

Amazonlardaki bir kelebeğin kanat çırpışı, ABD’de bir fırtına kopmasına neden olabilir deyip, hava durumunun tutmaması konusunda meteorologlara fazla kızmamanızı öneririm. Çünkü atmosfer olaylarında da kaotiklik olduğunu ve küçücük bir parametrenin tam hesaplanamaması yüzünden büyük sonuçların doğacağını artık biliyorsunuz.

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 1
  • Tebrikler! 2
  • Bilim Budur! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 1
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • R. C. Hilborn. (2001). Chaos And Nonlinear Dynamics: An Introduction For Scientists And Engineers. ISBN: 978-0198507239. Yayınevi: Oxford University Press.
  • D. Ruelle. (1998). Raslantı Ve Kaos. ISBN: 9754030111. Yayınevi: TÜBİTAK Yayınları.

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 01/04/2020 18:37:46 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8315

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Soru Sorun!

Canlılarda Kaos: Popülasyon Sayısının Zamana Göre Değişimi ve Kaotiklik

Entropi Nedir? Büyük Patlama'dan Kozmos'a Entropi ve Kaostaki Düzen

Öğrenmeye Devam Edin!
Evrim Ağacı %100 okur destekli bir bilim platformudur. Maddi destekte bulunarak Türkiye'de modern bilimin gelişmesine güç katmak ister misiniz?
Destek Ol
Gizle
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Özgür bir toplum, içinde güvenle sevilmeyen kişi olabildiğiniz toplumdur.”
Adlai Stevenson
Geri Bildirim Gönder