Çağrı Mert Bakırcı Editör Çağrı Mert Bakırcı
4 dakika
939 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Analiz alanının doğduğu 17. yüzyıldan itibaren fizik ve matematik adeta çağ atlamıştır. Kuşkusuz ki analizin en önemli kavramları limit, türev ve integraldir. Dolayısıyla, günümüze kadar pek çok matematikçi, bu kavramlara alternatif tanımlar getirmek için çaba sarf etmiştir.

Matematikte her kavramın başına geldiği gibi, bu kavramlar da bazı genelleştirmelere uğramıştır. Bu yazımızda türev kavramının kesirli mertebelere nasıl genelleştirildiğini anlatacağız ve bu genelleştirmelerin bazı sorunlara sahip olduğundan bahsedeceğiz.

Türev ve integral kavramlarının kesirli sayılara genelleştirilmesiyle ortaya çıkan dala kesirli analiz ismi verilir. Bildiğimiz analizin aksine, kesirli analizde tek bir kesirli türev ve kesirli integral tanımı yoktur. Bu yazımızda en bilinen Riemann Liouville ve Caputo kesirli türevlerinden bahsedeceğiz.

Reklamı Kapat

Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli İntegrali

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı integrallenebilir ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun.[1] ff fonksiyonunun bir (0,t)\left(0,t\right) aralığındaki Riemann-Liouville kesirli integrali (kesirli yerine α−\alpha-integrali de denir) şöyle tanımlanır:

I0+αf=1Γ(α)∫0tf(τ)(t−τ)1−αdτ\displaystyle I_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{1-\alpha}}d \tau

Burada Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx olarak tanımlanan Gamma fonksiyonudur.[2]

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Riemann-Liouville kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha-türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]

D0+αf=ddtI0+1−αfD_{0+}^{\alpha}f=\frac{d}{dt}I_{0+}^{1-\alpha}f

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Bu tanımların esas amacı, "türev" kavramını kesirli mertebelere genelleştirmektir. Örneğin bu yöntemler sayesinde, bir fonksiyonun 3. mertebeden değil de 12.\frac{1}{2}. mertebeden türevini hesaplamanız mümkün olmaktadır.

Riemann-Liouville türevi, bildiğimiz türevin pek çok özelliğini sağlar. Örneğin ff ve gg fonksiyonlarının Riemann-Liouville türevinin ("R-L türevi" diye kısaltılabilir) tanımlı olduğunu varsayalım. O halde bu iki fonksiyonun çarpımı fgfg fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır ve bu türev, D0+α(fg)=fD0+αg+gD0+αfD_{0+}^{\alpha}(fg)=fD_{0+}^{\alpha}g+gD_{0+}^{\alpha}f olarak hesaplanır.[3] Bu, tıpkı iki fonksiyonun çarpımının türevi gibidir. Hatta R-L türevi için bir zincir kuralı dahi mevcuttur. Buna bakalım:

Tanım: R-L Türevi İçin Zincir Kuralı

Uygun aralıkta R-L türevi tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının bileşkesi olan f∘gf\circ g fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır.[4] Bu türev, şöyle tanımlanır:[5]

D0+α(f∘g)=D0+1(f(g))D0+αgD_{0+}^{\alpha}(f\circ g)=D_{0+}^1(f(g))D_{0+}^{\alpha}g

Reklamı Kapat

Bildiğimiz türev kavramı ile tıpa tıp aynı özelliklere sahip olan R-L türevi, ne yazık ki bir noktada normal türevden ayrılır. Bu ayrım, göz ardı edilemeyecek kadar büyük fakat böylesi güçlü özellikleri sağlayıp da bu özelliği sağlamadığından dolayı aynı zamanda "gülünç" bir ayrımdır: Normalde f(x)=cf(x)=c sabit fonksiyonunun herhangi bir mertebeden türevinin 00 olduğunu biliyoruz ancak R-L türevinde iş biraz değişmektedir. Örneğin α=12\alpha=\frac{1}{2} alırsak, sabit fonksiyonumuzun R-L türevi şöyle hesaplanır:

D0+12c=1Γ(12)ddt∫0tc(t−τ)dτ\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{d}{dt}\int_0^t \frac{c}{\sqrt{(t-\tau)}}d \tau

Burada Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bu işlemin sonucu

D0+12c=1πddt(2ct)=cπt\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{d}{dt}(2c\sqrt{t})=\frac{c}{\sqrt{\pi t}} olarak hesaplanır. Açıkça görülür ki bu sonuç, sıfıra eşit değildir. Fakat bizim bildiğimiz normal türevde sabitin türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Fakat R-L türevinde sıfır olmak zorunda değildir, hatta α≠1\alpha\neq 1 olduğu sürece hiçbir zaman sıfır değildir.

Reklamı Kapat

Bu sebeple, R-L türevi ile bildiğimiz türev birbirinden ayrılır dolayısıyla R-L türevine "türevin genelleştirmesi" sıfatını uyduramayız, bu büyük bir hata olur.

Caputo Kesirli Türevi

R-L türevindeki bazı aksaklıklara istinaden Michele Caputo isimli bir jeofizikçi, 1967 yılında yayınladığı bir makalesinde kendi soy ismini koyduğu Caputo kesirli türevini tanımlamıştır. Caputo türevi için de normal türevin genelleştirmesi diyemesek de R-L türevindeki büyük bir sorun olan sabitin türevinin sıfır olmaması sorununu gidermiştir. Bundan dolayı Caputo türevi son zamanlarda özellikle diferansiyel geometride Frenet çatısını genelleştirmede kullanıldığından epey popülerleşmiştir.

Tanım: Caputo Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Caputo kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha- türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]

CD0+αf=1Γ(1−α)∫0tf′(τ)(t−τ)αdτ\displaystyle ^CD_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau

Caputo türevinde bahsettiğimiz gibi sabitin Caputo türevi sıfırdır ve bunun nedeni açıktır: f(t)=cf(t)=c sabit fonksiyonunun türevini aldığımızda f′(t)=0f'(t)=0 olacaktır. Bunu Caputo türevinde yerine koyduğumuzda, integralin sonucu da 00 geleceğinden, Caputo türevinin değeri 00 olacaktır. Fakat Caputo türevinin de dezavantajı, bir zincir kuralının tanımlı olmamasıdır.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 1
  • Bilim Budur! 1
  • Tebrikler! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 24/09/2021 22:11:57 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/10739

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Filogenetik
Hormon
Uçuş
Tahmin
Factchecking
Sars Virüsü
Kuyruk
Biliş
Kanıt
Kuyrukluyıldız
Kan Hastalıkları
Türlerin Kökeni
Toprak
Taksonomi
Yörünge
Goril
Ribozim
Paleontoloji
Sinir Sistemi
Bilinç
Sinir
Bilgi Felsefesi
Zeka
Aslan
Öğrenme Alanı
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın