Kesirli Türev Nedir?

Analiz alanının doğduğu 17. yüzyıldan itibaren fizik ve matematik adeta çağ atlamıştır. Kuşkusuz ki analizin en önemli kavramları limit, türev ve integraldir. Dolayısıyla, günümüze kadar pek çok matematikçi, bu kavramlara alternatif tanımlar getirmek için çaba sarf etmiştir.

Matematikte her kavramın başına geldiği gibi, bu kavramlar da bazı genelleştirmelere uğramıştır. Bu yazımızda türev kavramının kesirli mertebelere nasıl genelleştirildiğini anlatacağız ve bu genelleştirmelerin bazı sorunlara sahip olduğundan bahsedeceğiz.

Türev ve integral kavramlarının kesirli sayılara genelleştirilmesiyle ortaya çıkan dala kesirli analiz ismi verilir. Bildiğimiz analizin aksine, kesirli analizde tek bir kesirli türev ve kesirli integral tanımı yoktur. Bu yazımızda en bilinen Riemann Liouville ve Caputo kesirli türevlerinden bahsedeceğiz.

Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli İntegrali

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı integrallenebilir $f$ fonksiyonu ve $\alpha \in \left(0,1\right]$ sabiti verilmiş olsun.^[1] $f$ fonksiyonunun bir $\left(0,t\right)$ aralığındaki Riemann-Liouville kesirli integrali (kesirli yerine $\alpha -$integrali de denir) şöyle tanımlanır:

$I_{0+}^{\alpha }f=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{\int }_0^t\frac{f(\tau )}{(t-\tau {)}^{1-\alpha }}d\tau$

Burada $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$ olarak tanımlanan Gamma fonksiyonudur.^[2]

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli $f$ fonksiyonu ve $\alpha \in \left(0,1\right]$ sabiti verilmiş olsun. $f$ fonksiyonunun Riemann-Liouville kesirli türevi (kesirli yerine $\alpha -$türevi de denir) şöyle tanımlanır:^[2]

$D_{0+}^{\alpha }f=\frac{d}{dt}{I}_{0+}^{1-\alpha }f$

Bu tanımların esas amacı, "türev" kavramını kesirli mertebelere genelleştirmektir. Örneğin bu yöntemler sayesinde, bir fonksiyonun 3. mertebeden değil de $\frac{1}{2}.$ mertebeden türevini hesaplamanız mümkün olmaktadır.

Riemann-Liouville türevi, bildiğimiz türevin pek çok özelliğini sağlar. Örneğin $f$ ve $g$ fonksiyonlarının Riemann-Liouville türevinin ("R-L türevi" diye kısaltılabilir) tanımlı olduğunu varsayalım. O halde bu iki fonksiyonun çarpımı $fg$ fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır ve bu türev, $D_{0+}^{\alpha }(fg)=f{D}_{0+}^{\alpha }g+g{D}_{0+}^{\alpha }f$ olarak hesaplanır.^[3] Bu, tıpkı iki fonksiyonun çarpımının türevi gibidir. Hatta R-L türevi için bir zincir kuralı dahi mevcuttur. Buna bakalım:

Tanım: R-L Türevi İçin Zincir Kuralı

Uygun aralıkta R-L türevi tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonlarının bileşkesi olan $f\circ g$ fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır.^[4] Bu türev, şöyle tanımlanır:^[5]

$D_{0+}^{\alpha }(f\circ g)=D_{0+}^1(f(g))D_{0+}^{\alpha }g$

Bildiğimiz türev kavramı ile tıpa tıp aynı özelliklere sahip olan R-L türevi, ne yazık ki bir noktada normal türevden ayrılır. Bu ayrım, göz ardı edilemeyecek kadar büyük fakat böylesi güçlü özellikleri sağlayıp da bu özelliği sağlamadığından dolayı aynı zamanda "gülünç" bir ayrımdır: Normalde $f(x)=c$ sabit fonksiyonunun herhangi bir mertebeden türevinin $0$ olduğunu biliyoruz ancak R-L türevinde iş biraz değişmektedir. Örneğin $\alpha =\frac{1}{2}$ alırsak, sabit fonksiyonumuzun R-L türevi şöyle hesaplanır:

$D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\Gamma (\frac{1}{2})}\frac{d}{dt}{\int }_0^t\frac{c}{\sqrt{(t-\tau )}}d\tau$

Burada $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bu işlemin sonucu

$D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{d}{dt}(2c\sqrt{t})=\frac{c}{\sqrt{\pi t}}$ olarak hesaplanır. Açıkça görülür ki bu sonuç, sıfıra eşit değildir. Fakat bizim bildiğimiz normal türevde sabitin türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Fakat R-L türevinde sıfır olmak zorunda değildir, hatta $\alpha \ne 1$ olduğu sürece hiçbir zaman sıfır değildir.

Bu sebeple, R-L türevi ile bildiğimiz türev birbirinden ayrılır dolayısıyla R-L türevine "türevin genelleştirmesi" sıfatını uyduramayız, bu büyük bir hata olur.

Caputo Kesirli Türevi

R-L türevindeki bazı aksaklıklara istinaden Michele Caputo isimli bir jeofizikçi, 1967 yılında yayınladığı bir makalesinde kendi soy ismini koyduğu Caputo kesirli türevini tanımlamıştır. Caputo türevi için de normal türevin genelleştirmesi diyemesek de R-L türevindeki büyük bir sorun olan sabitin türevinin sıfır olmaması sorununu gidermiştir. Bundan dolayı Caputo türevi son zamanlarda özellikle diferansiyel geometride Frenet çatısını genelleştirmede kullanıldığından epey popülerleşmiştir.

Tanım: Caputo Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli $f$ fonksiyonu ve $\alpha \in \left(0,1\right]$ sabiti verilmiş olsun. $f$ fonksiyonunun Caputo kesirli türevi (kesirli yerine $\alpha -$ türevi de denir) şöyle tanımlanır:^[2]

${}^C{D}_{0+}^{\alpha }f=\frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}{\int }_0^t\frac{f^{\prime }(\tau )}{(t-\tau {)}^{\alpha }}d\tau$

Caputo türevinde bahsettiğimiz gibi sabitin Caputo türevi sıfırdır ve bunun nedeni açıktır: $f(t)=c$ sabit fonksiyonunun türevini aldığımızda $f^{\prime }(t)=0$ olacaktır. Bunu Caputo türevinde yerine koyduğumuzda, integralin sonucu da $0$ geleceğinden, Caputo türevinin değeri $0$ olacaktır. Fakat Caputo türevinin de dezavantajı, bir zincir kuralının tanımlı olmamasıdır.