Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Kesirli Türev Nedir?

Kesirli Türev Nedir?
4 dakika
3,662
Özet
Tüm Reklamları Kapat

Analiz alanının doğduğu 17. yüzyıldan itibaren fizik ve matematik adeta çağ atlamıştır. Kuşkusuz ki analizin en önemli kavramları limit, türev ve integraldir. Dolayısıyla, günümüze kadar pek çok matematikçi, bu kavramlara alternatif tanımlar getirmek için çaba sarf etmiştir.

Matematikte her kavramın başına geldiği gibi, bu kavramlar da bazı genelleştirmelere uğramıştır. Bu yazımızda türev kavramının kesirli mertebelere nasıl genelleştirildiğini anlatacağız ve bu genelleştirmelerin bazı sorunlara sahip olduğundan bahsedeceğiz.

Tüm Reklamları Kapat

Türev ve integral kavramlarının kesirli sayılara genelleştirilmesiyle ortaya çıkan dala kesirli analiz ismi verilir. Bildiğimiz analizin aksine, kesirli analizde tek bir kesirli türev ve kesirli integral tanımı yoktur. Bu yazımızda en bilinen Riemann Liouville ve Caputo kesirli türevlerinden bahsedeceğiz.

Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli İntegrali

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı integrallenebilir ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun.[1] ff fonksiyonunun bir (0,t)\left(0,t\right) aralığındaki Riemann-Liouville kesirli integrali (kesirli yerine α−\alpha-integrali de denir) şöyle tanımlanır:

Tüm Reklamları Kapat

I0+αf=1Γ(α)∫0tf(τ)(t−τ)1−αdτ\displaystyle I_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{1-\alpha}}d \tau

Burada Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx olarak tanımlanan Gamma fonksiyonudur.[2]

Tanım: Riemann-Liouville Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Riemann-Liouville kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha-türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

D0+αf=ddtI0+1−αfD_{0+}^{\alpha}f=\frac{d}{dt}I_{0+}^{1-\alpha}f

Bu tanımların esas amacı, "türev" kavramını kesirli mertebelere genelleştirmektir. Örneğin bu yöntemler sayesinde, bir fonksiyonun 3. mertebeden değil de 12.\frac{1}{2}. mertebeden türevini hesaplamanız mümkün olmaktadır.

Riemann-Liouville türevi, bildiğimiz türevin pek çok özelliğini sağlar. Örneğin ff ve gg fonksiyonlarının Riemann-Liouville türevinin ("R-L türevi" diye kısaltılabilir) tanımlı olduğunu varsayalım. O halde bu iki fonksiyonun çarpımı fgfg fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır ve bu türev, D0+α(fg)=fD0+αg+gD0+αfD_{0+}^{\alpha}(fg)=fD_{0+}^{\alpha}g+gD_{0+}^{\alpha}f olarak hesaplanır.[3] Bu, tıpkı iki fonksiyonun çarpımının türevi gibidir. Hatta R-L türevi için bir zincir kuralı dahi mevcuttur. Buna bakalım:

Tanım: R-L Türevi İçin Zincir Kuralı

Uygun aralıkta R-L türevi tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının bileşkesi olan f∘gf\circ g fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır.[4] Bu türev, şöyle tanımlanır:[5]

D0+α(f∘g)=D0+1(f(g))D0+αgD_{0+}^{\alpha}(f\circ g)=D_{0+}^1(f(g))D_{0+}^{\alpha}g

Tüm Reklamları Kapat

Bildiğimiz türev kavramı ile tıpa tıp aynı özelliklere sahip olan R-L türevi, ne yazık ki bir noktada normal türevden ayrılır. Bu ayrım, göz ardı edilemeyecek kadar büyük fakat böylesi güçlü özellikleri sağlayıp da bu özelliği sağlamadığından dolayı aynı zamanda "gülünç" bir ayrımdır: Normalde f(x)=cf(x)=c sabit fonksiyonunun herhangi bir mertebeden türevinin 00 olduğunu biliyoruz ancak R-L türevinde iş biraz değişmektedir. Örneğin α=12\alpha=\frac{1}{2} alırsak, sabit fonksiyonumuzun R-L türevi şöyle hesaplanır:

D0+12c=1Γ(12)ddt∫0tc(t−τ)dτ\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{d}{dt}\int_0^t \frac{c}{\sqrt{(t-\tau)}}d \tau

Burada Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bu işlemin sonucu

D0+12c=1πddt(2ct)=cπt\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{d}{dt}(2c\sqrt{t})=\frac{c}{\sqrt{\pi t}} olarak hesaplanır. Açıkça görülür ki bu sonuç, sıfıra eşit değildir. Fakat bizim bildiğimiz normal türevde sabitin türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Fakat R-L türevinde sıfır olmak zorunda değildir, hatta α≠1\alpha\neq 1 olduğu sürece hiçbir zaman sıfır değildir.

Tüm Reklamları Kapat

Bu sebeple, R-L türevi ile bildiğimiz türev birbirinden ayrılır dolayısıyla R-L türevine "türevin genelleştirmesi" sıfatını uyduramayız, bu büyük bir hata olur.

Caputo Kesirli Türevi

R-L türevindeki bazı aksaklıklara istinaden Michele Caputo isimli bir jeofizikçi, 1967 yılında yayınladığı bir makalesinde kendi soy ismini koyduğu Caputo kesirli türevini tanımlamıştır. Caputo türevi için de normal türevin genelleştirmesi diyemesek de R-L türevindeki büyük bir sorun olan sabitin türevinin sıfır olmaması sorununu gidermiştir. Bundan dolayı Caputo türevi son zamanlarda özellikle diferansiyel geometride Frenet çatısını genelleştirmede kullanıldığından epey popülerleşmiştir.

Tanım: Caputo Kesirli Türevi

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Caputo kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha- türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]

CD0+αf=1Γ(1−α)∫0tf′(τ)(t−τ)αdτ\displaystyle ^CD_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau

Caputo türevinde bahsettiğimiz gibi sabitin Caputo türevi sıfırdır ve bunun nedeni açıktır: f(t)=cf(t)=c sabit fonksiyonunun türevini aldığımızda f′(t)=0f'(t)=0 olacaktır. Bunu Caputo türevinde yerine koyduğumuzda, integralin sonucu da 00 geleceğinden, Caputo türevinin değeri 00 olacaktır. Fakat Caputo türevinin de dezavantajı, bir zincir kuralının tanımlı olmamasıdır.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
8
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 2
  • Muhteşem! 1
  • Bilim Budur! 1
  • İnanılmaz 1
  • Merak Uyandırıcı! 1
  • Tebrikler! 0
  • Güldürdü 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 28/09/2023 05:10:45 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/10739

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Lazer
Renk
Hücre
Hormon
Araştırmacılar
İntihar
Sağlık
Bağışıklık Sistemi
Kimyasal
Cansız
Koronavirüs
Orman
Sıcaklık
Hız
Küçük
Kozmoloji
Genler
Türlerin Kökeni
Cinsiyet Araştırmaları
Meteor
Fotoğraf
Göz
Geometri
Asit
Ağız Sağlığı
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Gönder
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Youtube
Plastik Problemimizi Bakterilerle Çözebilir miyiz?
Plastik Problemimizi Bakterilerle Çözebilir miyiz?
Bu Cisim Nasıl YUKARI Düşüyor?
Bu Cisim Nasıl YUKARI Düşüyor?
Zifiri Karanlıkta Nasıl Görebiliyoruz?
Zifiri Karanlıkta Nasıl Görebiliyoruz?
Depremin Ne Kadar Sürdüğü Neden Açıklanmıyor?
Depremin Ne Kadar Sürdüğü Neden Açıklanmıyor?
Sandığınız Kadar Boş Değilsiniz!
Sandığınız Kadar Boş Değilsiniz!
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. Kesirli Türev Nedir?. (29 Temmuz 2021). Alındığı Tarih: 28 Eylül 2023. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/10739
Taşdemir, M., Bakırcı, Ç. M. (2021, July 29). Kesirli Türev Nedir?. Evrim Ağacı. Retrieved September 28, 2023. from https://evrimagaci.org/s/10739
M. Taşdemir, et al. “Kesirli Türev Nedir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 29 Jul. 2021, https://evrimagaci.org/s/10739.
Taşdemir, Mert. Bakırcı, Çağrı Mert. “Kesirli Türev Nedir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, July 29, 2021. https://evrimagaci.org/s/10739.
Geri Bildirim Gönder
ve seni takip ediyor
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close