Kesirli Türev Nedir?
Analiz alanının doğduğu 17. yüzyıldan itibaren fizik ve matematik adeta çağ atlamıştır. Kuşkusuz ki analizin en önemli kavramları limit, türev ve integraldir. Dolayısıyla, günümüze kadar pek çok matematikçi, bu kavramlara alternatif tanımlar getirmek için çaba sarf etmiştir.
Matematikte her kavramın başına geldiği gibi, bu kavramlar da bazı genelleştirmelere uğramıştır. Bu yazımızda türev kavramının kesirli mertebelere nasıl genelleştirildiğini anlatacağız ve bu genelleştirmelerin bazı sorunlara sahip olduğundan bahsedeceğiz.
Türev ve integral kavramlarının kesirli sayılara genelleştirilmesiyle ortaya çıkan dala kesirli analiz ismi verilir. Bildiğimiz analizin aksine, kesirli analizde tek bir kesirli türev ve kesirli integral tanımı yoktur. Bu yazımızda en bilinen Riemann Liouville ve Caputo kesirli türevlerinden bahsedeceğiz.
Riemann-Liouville Kesirli Türevi
Tanım: Riemann-Liouville Kesirli İntegrali
Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı integrallenebilir ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun.[1] ff fonksiyonunun bir (0,t)\left(0,t\right) aralığındaki Riemann-Liouville kesirli integrali (kesirli yerine α−\alpha-integrali de denir) şöyle tanımlanır:
I0+αf=1Γ(α)∫0tf(τ)(t−τ)1−αdτ\displaystyle I_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{1-\alpha}}d \tau
Burada Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx olarak tanımlanan Gamma fonksiyonudur.[2]
Tanım: Riemann-Liouville Kesirli Türevi
Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Riemann-Liouville kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha-türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]
D0+αf=ddtI0+1−αfD_{0+}^{\alpha}f=\frac{d}{dt}I_{0+}^{1-\alpha}f
Bu tanımların esas amacı, "türev" kavramını kesirli mertebelere genelleştirmektir. Örneğin bu yöntemler sayesinde, bir fonksiyonun 3. mertebeden değil de 12.\frac{1}{2}. mertebeden türevini hesaplamanız mümkün olmaktadır.
Riemann-Liouville türevi, bildiğimiz türevin pek çok özelliğini sağlar. Örneğin ff ve gg fonksiyonlarının Riemann-Liouville türevinin ("R-L türevi" diye kısaltılabilir) tanımlı olduğunu varsayalım. O halde bu iki fonksiyonun çarpımı fgfg fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır ve bu türev, D0+α(fg)=fD0+αg+gD0+αfD_{0+}^{\alpha}(fg)=fD_{0+}^{\alpha}g+gD_{0+}^{\alpha}f olarak hesaplanır.[3] Bu, tıpkı iki fonksiyonun çarpımının türevi gibidir. Hatta R-L türevi için bir zincir kuralı dahi mevcuttur. Buna bakalım:
Tanım: R-L Türevi İçin Zincir Kuralı
Uygun aralıkta R-L türevi tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının bileşkesi olan f∘gf\circ g fonksiyonunun da R-L türevi tanımlıdır.[4] Bu türev, şöyle tanımlanır:[5]
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
D0+α(f∘g)=D0+1(f(g))D0+αgD_{0+}^{\alpha}(f\circ g)=D_{0+}^1(f(g))D_{0+}^{\alpha}g
Bildiğimiz türev kavramı ile tıpa tıp aynı özelliklere sahip olan R-L türevi, ne yazık ki bir noktada normal türevden ayrılır. Bu ayrım, göz ardı edilemeyecek kadar büyük fakat böylesi güçlü özellikleri sağlayıp da bu özelliği sağlamadığından dolayı aynı zamanda "gülünç" bir ayrımdır: Normalde f(x)=cf(x)=c sabit fonksiyonunun herhangi bir mertebeden türevinin 00 olduğunu biliyoruz ancak R-L türevinde iş biraz değişmektedir. Örneğin α=12\alpha=\frac{1}{2} alırsak, sabit fonksiyonumuzun R-L türevi şöyle hesaplanır:
D0+12c=1Γ(12)ddt∫0tc(t−τ)dτ\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{d}{dt}\int_0^t \frac{c}{\sqrt{(t-\tau)}}d \tau
Burada Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla bu işlemin sonucu
D0+12c=1πddt(2ct)=cπt\displaystyle D_{0+}^{\frac{1}{2}}c=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{d}{dt}(2c\sqrt{t})=\frac{c}{\sqrt{\pi t}} olarak hesaplanır. Açıkça görülür ki bu sonuç, sıfıra eşit değildir. Fakat bizim bildiğimiz normal türevde sabitin türevinin sıfır olduğunu biliyoruz. Fakat R-L türevinde sıfır olmak zorunda değildir, hatta α≠1\alpha\neq 1 olduğu sürece hiçbir zaman sıfır değildir.
Bu sebeple, R-L türevi ile bildiğimiz türev birbirinden ayrılır dolayısıyla R-L türevine "türevin genelleştirmesi" sıfatını uyduramayız, bu büyük bir hata olur.
Caputo Kesirli Türevi
R-L türevindeki bazı aksaklıklara istinaden Michele Caputo isimli bir jeofizikçi, 1967 yılında yayınladığı bir makalesinde kendi soy ismini koyduğu Caputo kesirli türevini tanımlamıştır. Caputo türevi için de normal türevin genelleştirmesi diyemesek de R-L türevindeki büyük bir sorun olan sabitin türevinin sıfır olmaması sorununu gidermiştir. Bundan dolayı Caputo türevi son zamanlarda özellikle diferansiyel geometride Frenet çatısını genelleştirmede kullanıldığından epey popülerleşmiştir.
Tanım: Caputo Kesirli Türevi
Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı sürekli ff fonksiyonu ve α∈(0,1]\alpha\in\left(0,1\right] sabiti verilmiş olsun. ff fonksiyonunun Caputo kesirli türevi (kesirli yerine α−\alpha- türevi de denir) şöyle tanımlanır:[2]
CD0+αf=1Γ(1−α)∫0tf′(τ)(t−τ)αdτ\displaystyle ^CD_{0+}^{\alpha}f=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau
Caputo türevinde bahsettiğimiz gibi sabitin Caputo türevi sıfırdır ve bunun nedeni açıktır: f(t)=cf(t)=c sabit fonksiyonunun türevini aldığımızda f′(t)=0f'(t)=0 olacaktır. Bunu Caputo türevinde yerine koyduğumuzda, integralin sonucu da 00 geleceğinden, Caputo türevinin değeri 00 olacaktır. Fakat Caputo türevinin de dezavantajı, bir zincir kuralının tanımlı olmamasıdır.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 2
- 1
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- ^ Chinese University of Hong Kong. Riemann Integration. Alındığı Tarih: 16 Temmuz 2021. Alındığı Yer: Chinese University of Hong Kong | Arşiv Bağlantısı
- ^ a b c T. Yajima, et al. (2018). Geometry Of Curves With Fractional-Order Tangent Vector And Frenet-Serret Formulas. Fractional Calculus and Applied Analysis, sf: 1493-1505. doi: 10.1515/fca-2018-0078. | Arşiv Bağlantısı
- ^ D. Bolster, et al. (2012). Product Rule For Vector Fractional Derivatives. Fractional Calculus & Applied Analysis, sf: 466. | Arşiv Bağlantısı
- ^ T. J. Osler. (2012). The Fractional Derivative Of A Composite Function. SIAM Journal on Mathematical Analysis, sf: 288-293. doi: 10.1137/0501026. | Arşiv Bağlantısı
- ^ V. E. Tarasov. (2016). On Chain Rule For Fractional Derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, sf: 1-4. doi: 10.1016/j.cnsns.2015.06.007. | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 31/10/2024 09:16:00 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/10739
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.