Evrim Ağacı

3 Kulübe Problemi ve Çizge Kuramı: 6 Noktayı Birbirine Eşleştirmek Ne Kadar Zor Olabilir?

3 Kulübe Problemi ve Çizge Kuramı: 6 Noktayı Birbirine Eşleştirmek Ne Kadar Zor Olabilir?
3 kulübe problemi
Stack Exchange
Tavsiye Makale

Çok basit bir problem gibi görülmesine rağmen 3 kulübe probleminin düzlemde çözülmesi imkansızdır.

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Bir belediye başkanı olduğunuzu hayal edin. 3 kulübeye elektrik, su ve doğal gaz bağlatmak için, bünyenizde çalışan mühendise inşa edeceği boruların, kağıda bir planını çizmesini istediniz. Kural çok basit: Elektrik, elektrik merkezinden gelecek. Su, su merkezinden gelecek. Doğal gaz, doğal gaz merkezinden gelecek. Ve bu hatların hiçbiri, birbiriyle kesişemez. Tıpkı ana görseldeki gibi...

Aradan günler geçer ve mühendis odanıza gelip çizimi bir türlü yapamadığını söyler. Görselden fark edebileceğiniz gibi, mavi hizmet (diyelim ki su), 2. kulübeye bağlanamamıştır. Böylesine basit bir çizimi bile yapamadığı için mühendisin bir beceriksiz olduğunu düşünüp onu kovdunuz, daha sonra bir de siz uğraşmaya karar verdiniz.

Burada yazıyı okumayı durdurup bu projeyi kağıtta denemenizi istiyoruz. Eğer çizebildiyseniz yazıyı okumanıza gerek yok; derhal bir makale yazmanız gerekiyor! Ama muhtemelen başaramayacaksınız, çünkü çizge kuramı bu planı, bir kağıtta asla çizemeyeceğinizi söylüyor. İyi ama... Çizge kuramı da ne?

Çizge Kuramı Nedir?

Çizge kuramı, 18. yüzyılın ilk yarısında Leonhard Euler tarafından Königsberg köprüleri problemini çözmek için geliştirilen bir kuramdır. Königsberg köprüleri probleminden biraz bahsedelim.

Königsberg, Prusya (şimdiki Almanya) sınırları içerisinde yer alan Kaliningrad şehrinin eski adıdır. O yıllarda şehir kuşbakışı olarak aşağıdaki resim gibi görünüyordu. Günümüzde bu köprülerin ikisi, 2. Dünya Savaşı sırasında yıkılmıştır.

Königsberg
Königsberg
medium

Bu şehirdeki köprülerle ilgili matematikçiler arasında o zamanlarda şöyle bir problem dönüyordu;

Her bir köprüden bir kere geçmek koşuluyla şehirde tam bir tur atmak mümkün mü?

Leonhard Euler, bu soruyu çok şık bir yöntemle çözmeyi başardı ve ömrü boyunca birçok kez yaptığı gibi matematiğin tarihini değiştirdi. Euler, ortaya yeni bir kuram attı ki, bu kuram sonradan topoloji isimli bilimin doğuşuna sebep olmuştur. Euler, köprülerin noktalarını birer nokta; köprüleri ise birer çizgi olarak düşünmüştür.

Königsberg köprülerinin çizge ile gösterimi
Königsberg köprülerinin çizge ile gösterimi
ResearchGate

Yukarıdaki şekilde, sağdaki görsel gibi düşününce, problem daha basite indirgendi. Çözüm, artık Euler'in apaçık karşısındaydı: Şehri dolaşmak isteyen kişi, üzerine gittiği her noktadan ayrılmak zorundaydı. Bu da her noktanın çift sayıda çizgiye sahip olması gerektiği gerçeğini önümüze sermekteydi. Euler, her bir noktanın çift sayıda çizgiye sahip olmadığı için, Königsberg şehrini her köprüden bir kez geçerek dolaşma fikrinin imkansız olduğunu kanıtlamıştır.

Bu çözüm yöntemi daha sonrasında çeşitli problemlerin çözümünde kullanılmıştır. Bu yöntem, günümüzde çizge kuramı adını almıştır ve artık çok sayıda akademik makaleye sahip, başlı başına bir matematik alanıdır.

Biraz bu kuramdan bahsetmek gerekirse: Bu kuramda çizge üzerinde işlem yapılır. Çizge denilen matematiksel yapı, bir kenar EE ve bir köşe VV kümesinden yapıdan oluşur. Gösterimi ise G=(V,E)G=(V,E) ile yapılır. Bu yapı, bilgisayar bilimlerinde veri saklama sahasında da sıkça karşımıza çıkmaktadır.

Bundan yüzyıllar önce bir şehri öyle istediğimiz gibi gezemeyeceğimizi söyleyip hayallerimizi suya düşüren bu kuram, günümüzden yaklaşık 100 yıl önce başka bir hayalimizi daha suya düşürdü. Ama bu konuyu incelemeden önce, kuram hakkında biraz daha bilgi edinelim.

Euler bu kuramı sadece geliştirmekle kalmayıp ayrıca birçok katkıda bulunmuştur, bunlardan belki de en önemlisi Euler karakteristiğidir.

Euler Karakteristiği

Çizgeleri, aslında lisede uğraştığımız geometrik şekillerin genelleştirilmiş formu olarak düşünebiliriz. Herhangi bir çizgenin Euler karakteristiği, bağlantılı çizgeler için (her köşe bir kenarla başka bir köşeye bağlı) çizgeler için χ=V−E+F\chi= V-E+F formülü ile hesaplanır. Burada VV köşe sayısı, EE kenar sayısı, FF de yüz sayısıdır.

Örneğin bir karenin 4 köşesi, 4 kenarı ve 2 yüzü vardır (yukarı ve aşağı). Dolayısıyla Euler karakteristiği 2'dir.

Aslında kare için sonucun 2 olması bir tesadüf değildir. Kanıtını kaynaklarımızdan görebileceğiniz kanıtsava göre bir düzlemde yer alan bütün çizgelerin Euler karakteristiği 2'dir. Bu kanıtsavın çok ilginç uygulamaları vardır. Örnek olarak aşağıdaki şekildeki gibi bir futbol topunun kaç beşgene sahip olduğunu hesaplayalım.

Futbol Topu
Futbol Topu
vectorstock

Dikkat edilirse topu bir yerinden kesip açarsak düzlem üzerinde bir bölge oluştururuz, yani Euler karakteristiği 2 olmak zorundadır. Bir beşgene karşılık, 5 tane altıgen tekabül etmektedir. Beşgenlerin sayısına BB, altıgenlerin sayısına AA dersek, beşgenlerin köşe sayısı 5B5B altıgenlerin köşe sayısı 6A6A olacaktır. Ancak dikkat edilmesi gerekir ki, bir köşeyi iki altıgen ve bir beşgen yani üç tane şekil ortak kullanıyor, yani toplam köşe sayısı V=6A+5B3V=\dfrac{6A+5B}{3} olacaktır. Kenar sayısı da aynı argüman sayesinde E=6A+5B2E=\dfrac{6A+5B}{2} olarak hesaplanır, yüz sayısının da F=A+BF=A+B olduğu açıktır.

Euler karakteristiği denkleminde yerine yazarsak B=12B=12 olarak bulunur. Bir beşgene karşı beş altıgen olduğundan, fakat bu altıgenlerin üçü diğer bir beşgenle ortak kullanıldığı gerçeğinden, A=20A=20 olarak bulunur.

Euler karakteristiğinin ilginç kullanım alanlarından başka bir tanesi ile yani ana problemimizle baş başa kalmanın zamanı artık geldi.

Üç Kulübe Problemi

Okuyucu yukarıda bahsedilen bu problemi bir kağıtta çözmeyi deneyip başarılı olamadığını varsayıyoruz. Sorun, her defasında son kenarın her defasında başka bir kenarla kesişmesi ile alakalıdır. Doğal gaz, elektrik veya su borularından herhangi ikisinin kesişmemesi gerekiyor, problemi imkansız kılan da bu zaten. Peki neden imkansız?

Euler'in yaptığı gibi problemi basitleştirme yoluna gidelim. Kulübeler ile elektrik, su ve doğal gaz kaynaklarını birer köşe olarak düşünelim. Borular da kenar olarak... Kulübeleri yukarıya kaynakları aşağıya nokta olarak bir kağıda çizelim. Elimizde 6 köşe ve 9 kenar olması gerektiği açıktır. O halde bu çizgenin düzlemde çizilebilmesi için Euler karakteristiğinden yüz sayısının 5 olması gerekmektedir.

Çizmeye kalkınca, her bir yüzün 4 kenar arasında kalması gerektiğini görürüz. Ayrıca her kenar iki bölge arasında kalması gerektiğinden 4F≤2E4F ≤ 2E olması gerekir, bu da bize F=5F=5 eşitliğinin yanlış olduğunu söyler dolayısıyla bu çizgenin düzlemde çizilemeyeceği sonucuna varırız.

Elbette ki boruların kesişmemesi koşulunu kaldırırsak, problem çözülebilir olacaktır. Hatta bu çizgenin özel bir ismi de vardır: K3,3K_{3,3} çizgesi.

K 3,3 çizgesi
K 3,3 çizgesi
Wikimedia

Sonuç olarak görebiliyoruz ki, başta mühendisi atma kararımız hatalıymış. Zaten hikayenin geriye kalan kısmında mühendisimiz kapıyı kırarcasına bir heyecanla içeriye giriyor ve problemi evindeki fincan üzerinde çizince çözdüğünü gösteriyor. Bu çözüm için 3Blue1Brown kanalının aşağıdaki videosunu öneririz.

Ayrıca bu videoda görebileceğiniz gibi, fincan üzerinde çözüm mümkündür, çünkü fincan düzlemsel değildir. Bir diğer deyişle, yukarıdaki imkansız çözümün fincan üzerinde çözülebilir olması, fincanın düzlemsel olmadığı kanıtlamaktadır. Başka bir çözüm ise torus üzerindedir:

3 kulübe probleminin torus üzerindeki çözümü
3 kulübe probleminin torus üzerindeki çözümü
Science4All
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 3
  • Tebrikler! 13
  • Bilim Budur! 1
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 4
  • Güldürdü 1
  • İnanılmaz 1
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 1
  • Üzücü! 1
  • Grrr... *@$# 1
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 01/06/2020 01:36:27 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8738

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Evrim Ağacı %100 okur destekli bir bilim platformudur. Maddi destekte bulunarak Türkiye'de modern bilimin gelişmesine güç katmak ister misiniz?
Destek Ol
Gizle
Güncel
Ağız
Bağışıklık
Sars
Stres
Kütle
Alkol
Zaman
Su Ayısı
Balık
İnsan
Köpek
İnsanlık
Lgbt
Mit
Gezegen
Kültür
Değişim
Zehir
Beslenme
Homeostasis
Diş
Sars-Cov-2 (Covid19 Koronavirüs Salgını)
Uzay Görevleri
Fare
Süpernova
Daha Fazla İçerik Göster
Daha Fazla İçerik Göster
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Sürdürülebilir değişimler yaratmanın tek yolu ödün vermektir. Değer verdiğiniz şeyleri unutmadığınız sürece ödün vermekte hiçbir sakınca yoktur.”
Jane Goodall
Geri Bildirim Gönder