Schwarzschild Yarıçapı Nedir? Bütün Karadelikler "Aşırı Yoğun" Olmak Zorunda mı?

Kara delikler kütlesi çok fazla olan astronomik nesnelerdir, bu da onlara birçok ilginç özellik verir. Ama kara deliğin oluşması için sadece kütle yeterli değildir. Çok yüksek bir yoğunluk gerekir, çok fazla kütlenin küçük bir hacme sıkışması yani. Tam olarak ne kadar kütlenin ya da hacmin gerektiği duruma göre değişir. Hatta şunu da söylemeliyiz: Bütün kara delikler iddia edildiği kadar yoğun olmak zorunda bile değildir!

Öncelikle bir kara deliğin oluşumuna bakalım. Kara deliğin oluşumu karmaşıktır, ama esasen iki olası yol vardır: Belli bir kütleyle başlayıp onu belli bir kritik noktaya kadar sıkıştırabilirsiniz, böylece bir kara delik oluşturacak denli bir yoğunluğa ulaşırsınız. Ki süpernovalar, süperdev yıldızların çekirdeklerini kara deliğe bu şekilde dönüştürürler. İkinci yol ise, belli bir cisme, kritik bir noktaya ulaşıncaya değin kütle eklemeye devam etmektir - ki nihayetinde o cisim kara deliğe dönüşebilir. Örneğin, iki nötron yıldızı birleşerek bir kara delik oluşturabilir.

Sadece iki şeyi bilerek bu kritik noktalar ile ilgili hesaplamalar yapabilirsiniz: Kara deliğin Schwarzchild yarıçapına yönelik bir denklem ile küresel bir cismin kütlesine dair bir denklem. Kendi etrafında dönmeyen kara delikler için olay ufku, Schwarzschild yarıçapı ile belirlenir:

Schwarzschild yarıçapı bir kara deliğin merkezine olan uzaklıktır ve bu mesafenin altında kalan hiçbir şeyin, ışığın bile, kurtuluşu yoktur. Büyüklüğü, sadece kara deliğin kütlesine bağlı olan "olay ufkunu" duymuş olmalısınız; Buradaki G ve (c²) sabitleri kilogramdan metreye dönüşüm yapmamıza yardım eden sabitlerdir. Yani denklem, 1.49*10^-27 kere kütle şeklinde de yazılabilir.

Önemli nokta şu ki, kara deliğin kütlesi ne kadar büyükse Schwarzschild yarıçapı da o kadar büyüktür. Bu arada Schwarzschild, Almanca'da "kara kalkan" anlamına gelmektedir. Adının kara deliklerin olay ufkuna verildiği bir fizikçiye (Karl Schwartzschild) ne kadar da yakışan bir isim!

Şimdi bu denklemi diğer cisimlerin Schwarzschild yarıçaplarını hesaplamak için kullanalım. Güneş'in Schwarzschild yarıçapı yaklaşık 3 km, Dünya'nın Schwarzschild yarıçapı yaklaşık 1 cm, ve bir kedinin Schwarzschild yarıçapı ise 0,01 yoktometre civarında. Bir insanı karadeliğe dönüştürmek içinse bir protonun 10 milyarda birine denk gelecek kadar sıkıştırmak gerekirdi!

Peki bunlar ne anlama geliyor? Aslında hiçbir şey, çünkü ne Güneş ne Dünya ne de kedi birer kara deliktir.

Ama...

İlkesel olarak, Schwarzschild yarıçapına kadar sıkıştırılan herhangi bir cisim kara deliğe dönüşür. Dünya'yı gerçekten bu büyüklüğe kadar sıkıştırmayı hayal etmek hayli zor; ama süper dev yıldızlar öldüklerinde, süpernova patlamaları o kadar güçlüdür ki yıldızların zaten yoğun olan çekirdeklerini daha da sıkıştırabilirler, böylece Schwarzschild kritik noktası aşılır ve kara delik oluşur. Diyelim ki süpernova derecesinde sıkıştırma gücünüz yok. Onun yerine, cisme kütle ekleyerek de kara delik oluşturabilirsiniz. Aradığınız denklem burada: Küresel bir cismin kütlesi, yoğunluğu ile hacminin çarpımına eşittir. Biraz düzenleyince görürüz ki denklem, bir kürenin yarıçapının kütlesinin küp kökü ile orantılı olduğunu söylemekte.

Bir cismin Schwarzschild yarıçapı cismin kütlesiyle doğru orantılı, küp kök kat sayısı yok yani. Diğer bir deyişle, cismin kütlesi artarken Schwarzschild yarıçapı cismin yarıçapından daha hızlı artar. Kütle iki katına çıkarken Schwarzschild yarıçapı iki katına, cismin yarıçapı ise sadece 1.26 katına çıkar. Schwarzschild yarıçapının ilk başta çok çok küçük bir büyüklükte olduğunu hatırlayalım. Tüm cisim Schwarzschild yarıçapının içine sığana kadar da pek bir şey ifade etmiyor aslında.

Ama şu matematiksel olarak kesindir ki düz çizgiler küp kökleri önünde sonunda yakalar. Yani sadece Dünya'ya daha fazla kütle eklemeliyiz. En sonunda da kendi Schwarzschild yarıçapıyla kesişip bir kara delik haline çöker!

NASA

Kayalara özgü yoğunluğuna sahip Dünya için bu kritik nokta yaklaşık 140 milyon kilometrededir. Güneş'e olan uzaklık kadar yani. Dürüst olmak gerekirse kaya, gerekli olan basınca dayanacak kadar sağlam değildir; bu nedenle, o kadar büyüyemeden çok çok önce muhtemelen nötron yıldızı haline gelirdik.

Nötron yıldızlarına baktığımızda kritik seviye sayıları bize şunu söylüyor: Nötron yıldızları Güneş kütlesinin 6 katından fazlasına ulaşıp 20km çapa erişirse kara deliğe dönüşebilir. Bu basitleştirilmiş bir denklemin basit bir sonucu sadece. Yani nötron yıldızlarının sabit bir yoğunluğu filan yok. Bununla birlikte, nötron yıldızlarına yönelik astronomik gözlem ve karmaşık teorik yaklaşımlar sonucu elde edilen tahmini kütle ve büyüklüklere oldukça yakın. Belki biraz hata payı olabilir.

Toparlarsak, eğer kedinizi kara deliğe dönüştürmek istiyorsanız iki seçeneğiniz var: Ya atom çekirdeğinin trilyonda biri büyüklüğüne değin sıkıştırın, ya da "Güneş'in ötesine değin" varan bir kedi kümesi oluşturun. Dünya örneğinde olduğu gibi "hemen hemen Güneş'e kadar" değil de "Güneş'in ötesine değin" dediğimi farketmişsinizdir. Çünkü kediler kayalar kadar yoğun değildir, yani kara delik oluşturmak için farklı bir kritik noktaya sahiptirler.

Bakalım Schwarzschild yarıçapını ve küre denklemlerini kullanarak aradaki bağıntıyı bulabilecek misiniz?

Her Kara Delik "Aşırı Yoğun" Olmak Zorunda mı?

Kara deliklerle ilgili anlatımların vazgeçilmezlerinden bir diğeri de, onların abartılı miktarda yoğun; yani çok çok küçük bir hacim içerisine çok çok fazla maddenin biriktiği yapılar olduğu iddiasıdır. Bu doğrudur; ancak sadece küçük kara delikler için! Büyük kara delikler veya süperkütleli kara delikler için "aşırı yoğun" önermesi çok da doğru değildir. Bunun matematiksel ispatı da oldukça basittir!

Ancak bu matematiksel ispatı anlayabilmek için, şunu anlamamız gerekiyor: Kara deliklerin, bildiğimiz anlamıyla bir yarıçapı bulunmamaktadır. Yani bir portakalın ya da basketbol topunun yarıçapını ölçtüğünüz gibi kara deliklerin yarıçapını ölçmeniz mümkün değildir. Kara deliklerin buna bağlı olarak düzgün tanımlanmış bir hacim veya yoğunlukları da bulunmamaktadır. Ancak eğer ki bir kara deliğin olay ufkunu, o kara deliğin yarıçapı olarak varsayacak olursanız, matematiksel bir analiz yaparak kara deliklerin yoğunluklarına dair bir fikir edinmeniz mümkün olabilecektir. Gelin bunu yapalım:

Schwarzschild yarıçapı denklemini hatırlayın. Denklemde dikkatinizi çekecek ilk şey, Schwarzschild yarıçapı ile kütlenin doğru orantılı olduğu gerçeğidir. Fizikten genel olarak bildiğimiz bir diğer gerçek, hacmin yarıçapın küpüyle doğru orantılı değişiyor olduğudur. Bu durumda, karadelikler için hacmin kütlenin küpüyle doğru orantılı olarak değiştiğini söyleyebiliriz. Yani kütle 1 katına çıktığında, hacim 3 katına çıkacaktır. 

Ne var ki yoğunluk, kütlenin hacme bölümüdür. Bu durumda bir karadelik için özkütle (yoğunluk) kütlenin karesiyle ters orantılı olarak artar. Yani bir karadeliğin kütlesi 2 katına çıktığında, özkütlesi 4 kat azalacaktır! Gelin bunu sayısal olarak inceleyelim:

Samanyolu Galaksisi'nde 100 milyon civarında bulunduğunu düşündüğümüz tipik kara deliklerin 10 Güneş kütlesi civarında bir kütlesi bulunmaktadır. Yani Güneş'imizden 10 kat kadar daha fazla kütleye sahiptirler. Bu kara deliklerin yoğunluğu metreküp başına 10¹⁶ kilogram (10.000.000.000.000.000 kilogram) civarındadır. Bu, suyun öz kütlesinden 10 milyon kere milyon kat fazladır! 

Galaksimizin merkezindeki Sagittarius A*'yı örnekleyecek olursak, öz kütlesinin metreküp başına 10⁶ (1.000.000) kilogram civarında olduğunu görürüz. Belirtmek gerekiyor ki Sagittarius A*, Samanyolu Galaksisi ölçeğindeki bir galaksi için beklenmedik kadar küçük bir kara deliktir.

Peki ya bir süperkütleli kara delik için durum nedir? Bu tip kara deliklerin ortalamada 10⁸ (100.000.000) Güneş kütlesi civarında bir kütleye sahip oldukları bilinmektedir. Bu durumda öz kütleleri metreküp başına 100 kilogram civarında olacaktır. Bu, suyun öz kütlesinden 10 kat azdır! 

Yine gerçek bir örnek vermek gerekirse, NGC1600 galaksisinin merkezindeki süperkütleli kara deliği örnek alabiliriz. Bu kara deliğin kütlesi, Güneş'in 17 milyar katıdır! Bu durumda öz kütlesi metreküp başına 0.01 kilogram dolaylarında olacaktır. Bu, suyun öz kütlesinden 100.000 kat daha azdır! Deniz seviyesindeki Dünya atmosferinin yoğunluğunun yüzde 1'ine eşittir!

Görülebileceği gibi kara deliklerde boyutlar arttıkça, özkütle (veya yoğunluk) azalmaktadır. Dolayısıyla tüm kara deliklerin aşırı yüksek yoğunluklu yapılar olduğu iddiası hatalıdır.