Evrim Ağacı
Reklamı Kapat

Kaotik Sistemlere Fiziksel Örnek: Elektronik Devreler, Periyot Katlama ve Çatallanma Diyagramı

Kaotik Sistemlere Fiziksel Örnek: Elektronik Devreler, Periyot Katlama ve Çatallanma Diyagramı
Aperiyodiklik ve Kaos
pixabay
Tavsiye Makale
Reklamı Kapat

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Bu yazı, Kaos Teorisi yazı dizisinin 3. yazısıdır. Dizinin ilk yazısına gitmek için buraya, dizideki tüm yazıları görmek için buraya tıklayınız. Yazı dizileri, EA Akademi'nin bir parçasıdır.

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için veya kayıt olun.

Önceki yazımızda her nonlineer sistemin kaotik olamayacağından ve nonlineer sistemlerimlerin kaotikleşebilmesi için bazı gerekli olan koşullardan, aperiyodiklikten ve başlangıç koşullarındaki meydana gelen ufak değişimlerin öneminden bahsetmiştik. Bu ve bundan sonraki yazılarımızdaysa, kaotik davranışlar sergileyen sistemlere örnekler verip, bunları incelemeye başlayacağız.

İlk Örnek: Nonlineer Elektriksel Sistem

Kaotik sistemlere ilk olarak basit bir elektrik devresi örneği ile başlayacağız. Bu örnekle başlamamızın sebebi ise şudur: Kaotik davranışlar gösteren sistemlerin sadece aşırı matematiksel teorilerde değil, gerçek hayatta ve oldukça basit sistemlerde de olduğunu göstermek.

Diyot içeren bir devre ele alacağız. Bu tür devreler aslında televizyonlarda, radyolarda, video oynatıcılarda, vb. cihazlarda oldukça yaygındır. Elektronik devremiz bir sinyal üretecinden, bir indüktörden ve yarı-iletken bir diyottan oluşacak. Tabii bu kavramları es geçmek mümkün değil.

Elektrik Devresi
Elektrik Devresi
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Sırayla tanıyalım:

  • Sinyal üreteci (signal generator) bize alternatif akımda yani sinusoidal şekilde elektrik gerilimi ve akımı veren kaynaktır. Büyüklüğü ve genliği zaman göre değişen türde denilebilir.
  • İndüktör ise iletken telin sarılmasıyla oluşan devre elemanıdır, bizim bildiğimiz adıyla bobin. Kısaca alternatif akımla çalışan devrelerde, manyetik akıyı değiştirerek akımı oluşturur.
  • Diyot ise üzerinden geçen akımı bir yönde geçiren (çok küçük direnç gösteren), diğer yönde ise geçirmeyen (çok büyük direnç gösteren) devre elemanıdır. İleri ve geri yönde kutuplanabilir.

Devremize geri döndüğümüzde, bize kaotikliği yaratacak olan devre elemanı olan bobinin şu özelliğidir: Bobin, üzerinden akım geçirilince Lenz Yasası’na göre, geçen akıma zıt yönde karşı bir akım meydana getirir. Biz bu akıma “indüktans” deriz. Aynı mekanik sistemlerdeki, duran bir cismin harekete karşı gösterdiği “eylemsizlik” gibi...

Bobin, elektrik devresinin davranışının kaotikleşmesi için şu iki özelliği bize sağlar: İlk olarak, önceki yazımızda bahsettiğimiz “serbestlik derecesi” kazandırır. Bobinsiz devredeki akımın davranışı, direkt devredeki potansiyel farklılıklarına sıkıca bağlı olup bundan dolayı devrede kaotik davranışlar meydana gelmez.

Diğer özellik ise şudur: Devredeki gerilim (voltage) ve akım (current) değerleri, bobinle diyotun elektriksel kapasitansına (İng: "electrical capacitance") bağlı olup, özel bir frekansta salınım sağlar. Devredeki diyot ileri yönde (İng: "forward-bias") kutuplanmadan ile geri yönde (İng: "reverse-bias") kutuplanmaya geçiş sırasında, devrenin davranışında çok önemli değişmeler ve dolayısıyla kaotikliğin olma olasılığı ortaya çıkar. İşte biz, tam da buraya odaklanacağız.

Devredeki sinyal üretecimizden çıkan gerilimin zamana bağlı denklemi şudur:

V(t)=V0sin(2πft)\LARGE{V(t)=V_0sin(2\pi ft)}

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

V0V_0 dediğimiz, üretecin geriliminin maksimum büyüklüğü yani genliğidir. ff, sinyalimizin bir saniyedeki salınım sayısı yani frekansıdır. Genellikle bu ff frekans değeri 20-70 kHz (saniyede 20000 – 70000 salınım) arası değişir. Bir tam salınımın meydana gelmesi için geçen süreye ise “periyot (TT)” denir. Bu değer ise yukarıda devre için 50 mikrosaniye ile 14 mikrosaniye arasında değişmektedir.

Kaosa Giden Yolda, Devre Nasıl Davranır?

Devrenin nasıl çalışacağını ve davranacağını anlamak adına, sistemdeki değişkenleri birer “parametre” olarak tanımlamalıyız. Bizim bu devredeki değişken olarak kullandığımız kontrol parametresi ise, sinyal üretecinden çıkan gerilimin genliği olacaktır. Bu genliği (V0V_0 ) değiştirerek, devredeki diyotun üzerindeki potansiyelin (VdV_d ) ve akımın (ii ) zamana göre değişimini inceleyeceğiz.

Üreteçteki giriş geriliminin genliğinin (V0V_0 ) değerini yaklaşık olarak 0.5 Volt olarak ayarladığımızda, diyot ileri yönde kutuplanır ve yarım dalga doğrultucu (İng: "half-wave rectified") olarak davranır. Yani pozitif yöndeki akımları geçirirken, negatif yöndeki akımları geçirmez (Bkz. Şekil 1).

Şekil 1: Diyot geriliminin zamana bağlı değişimi. Sinyal üreteci ile aynı periyoda sahip.
Şekil 1: Diyot geriliminin zamana bağlı değişimi. Sinyal üreteci ile aynı periyoda sahip.
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Bu grafiği anlamı şudur: Diyodun üzerindeki gerilim (VdV_d ) , sistemi besleyen üretecin gerilimi (VV) ile aynı periyodikliğe sahiptir. Sinyal geriliminin maksimum olduğu zamanda diyottaki gerilim de maksimum olmaktadır. Biz bu duruma “periyot-1” diyeceğiz.

Peki üretecin geriliminin genliği (V0V_0 ), 1 ile 2 Volt değeri arasında herhangi bir değere ulaştığında, ilk sürprizle karşılaşırız. Diyodun üzerindeki gerilim geri kutuplanmadan dolayı, yukarıdaki giriş gerilimi grafiğinin periyodunun ikiye katlandığını görürüz (Bkz. Şekil-2).

Şekil 2: Periyot-2 davranışı.
Şekil 2: Periyot-2 davranışı.
Chaos and Nonlinear Dynamic (R. Hilborn)

İşte biz bu davranışa “periyot-2” davranışı diyoruz. Yani ilk durumda 2 tane pik gelen yere, şimdi 1 tane pik gelmektedir. Sistem hala periyodik ama iki tür sinüs dalgası barındırıyor. Sistemin “periyot-1” davranışından “periyot-2” davranışına geçisine “periyot – katlama çatallanma diyagramı” (İng: "period-doubling bifurcation") adını veriyoruz.

Çatallanma (İng: "bifurcation") derken iki parçaya bölünmeyi kastediyoruz. Bu olay nonlineer sistemlerdeki davranışı belirleyen parametrelerin bazılarının aniden değişmesi sonucu ortaya çıkar. Dolayısıyla sistem iki bölgeye bölünür: İlk bölge, parametrenin değişmediği bölge, diğeri ise parametrenin değiştiği bölge olarak...

Peki sistemi buna iten ne? Neden bir sistem periyot katlama eğilimi gösterir? Bu duruma fiziğin açıklaması şu: Sistemin aniden değişmesi sebebiyle, değişime karşı bir "tepki" gösterme eğilimi. Bu devrede diyodun ileri kutuplanmasına karşılık, geri kutuplanma eğilimi göstermesi... Önemli nokta ise şu, değişimin aniden olması.

Deneyimize devam edersek, giriş geriliminin genliğini (V0V_0 ) 1-2 Volt’un da yukarısına çıkartırsak diyodun gerilimi için şu grafiği elde ederiz:

Şekil 3: Periyot-4 Davranışı
Şekil 3: Periyot-4 Davranışı
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Grafikteki piklere baktığımızda, pikler arası mesafeler ilk grafiğe oranla daha da artmıştır. Yani ilk grafik olan “periyot-1” grafiğinde 4 tane pik gelen yere şimdi 1 tane pik gelmektedir. Bu yüzden bu davranışa “periyot-4” davranışı diyoruz.

Devam edelim, giriş gerilimin genlğini (V0V_0 ) daha da arttırırsak ne elde ederiz ? Elde edilecek grafik şu olur (Grafik - 4):

Şekil 4: Periyot-8 Davranışı
Şekil 4: Periyot-8 Davranışı
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Grafikte oldukça küçük bir üçüncü pik belirir. Bu küçük pik aslında ilk grafik olan “periyot-1” davranşındaki 8 pikin geldiği yere denktir. Yani o zaman bu davranışa da “periyot-8” davranışı denir. Sistem hala periyodiktir. Aperiyodiklik hala gözükmemektedir. Yani pikler belirli düzenlerde birbirlerini tekrarlamaktadır.

Giriş gerilimi küçük miktarlarda arttırılmaya devam edilirse sistem “periyot-16” davranışı gösterip periyodiklik devam eder. Ta ki bir yere kadar... Sistemdeki giriş gerilimi küçük miktarlarda arttırıldığında artık, davranıştaki periyodiklik bozulur ve kaos başlar. Pikler artık periyodiklikten çıkar ve aperiyodiklik baş gösterir (Şekil-5).

Şekil 5: Periyot-16 Davranışı
Şekil 5: Periyot-16 Davranışı
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Peki gördüğümüz şeyin “gürültü” (İng: "noise") etkisi değil de, kaos olduğundan nasıl emin oluyoruz? Bu konuda yapılan bilgisayar modellemeleri ve hesaplamaları şunu göstermektedir: Eğer ki bu gördüğümüz gürültü etkisi olsaydı, ölçümdeki hassaslık arttıldığında aynı artış kadar piklerde de artış olmalıydı. Bir başka deyişle sistem daha önce izlediği “yol”lardan (İng: "trajectory") tekrar geçmeliydi. Ama bu asla olmuyor. Yani sistem daha önceki yolları tekrar etmiyor. Geçtiği yoldan bir daha geçmiyor. Oldukça ilginç, değil mi?

Çatallanma Diyagramı (Bifurcation Diagram)

Çatallanmanın ne demek olduğunu yukarıda açıklamıştık. Peki bu çatallanma diyagramı, nonlineer sistemin davranışı hakkında bize ne bilgiler veriyor? Yukarıdaki elektrik devresinin çatallanma diyagramını çizdiğimizde ortaya çıkan grafik bu olacaktır:

Şekil 6: Kaotiklik ve genliklerin aperiyodikliği
Şekil 6: Kaotiklik ve genliklerin aperiyodikliği
Chaos and Nonlinear Dynamics (R. Hilborn)

Sistemdeki kontrol parametresi olan (V0V_0 ) değiştiğinde diyottaki gerilimin (VdV_d ) ve akımın (ii ) zamana göre değişimini aynı anda birlikte çizildiği grafiktir. Yatay eksen diyot gerilimini (VdV_d ), düşey eksen ise diyottaki geçen akımı (ii ) ifade etmektedir.

Grafiği periyot katlama ile bağdaştırdığımızda şu ortaya çıkar. Periyot-1 de (VdV_d ) değerine karşılık gelen tek bir (ii ) akımı görürüz. Periyot-2 davranışına baktığımızda ise (VdV_d ) değerine karşılık iki (ii ) akım değeri görürüz. Periyot-4 davranışında ise tek (VdV_d ) değerine karşılık, dört (ii ) akım değeri görürüz. Bu böyle devam eder (tabii ki bilgisayarınızın işlemci sınırına dek). Sistemin devranışının kaotikleştiği bölgelerde bu akım değerlerinin iyice karmaşıklaşıp, aperiyodikleştiğini, yani asla önceden aldığı değerleri almadığı yeni değerleri görürüz.

Sonuç

Sonuç olarak, eğer özetlersek:

  1. Sistemin davranışındaki en ufak ani bir değişiklik, sistemin davranışını periyodiklikten aperiyodikliğe götürebilir (periyot-1 ve periyot-2 davranışı gibi).
  2. İyi tanımlanmış olan bu küçük değişimler, sistemi zaman içinde kaotik davranışa sürükleyebilir.
  3. Kaos dediğimiz olgu, gürültü (İng: "noise") etkisinden izlediği yolun (İng: "trajectory") çevresindeki davranışa bakılarak kolayca ayırt edilebilir.
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 3
  • Muhteşem! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • R. Hilborn. (2001). Chaos And Nonlinear Dynamics: An Introduction For Scientists And Engineers.. ISBN: 978-0198507239. Yayınevi: Oxford: Oxford University Press..

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 09/07/2020 08:24:11 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8232

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Güncel
Kuyruksuz Maymun
Endokrin Sistemi Hastalıkları
Kanser Tedavisi
İhtiyoloji
Kanser
Sosyal
Jeoloji
Karadelik
Ecza
Nörobilim
Biyokimya
Parazit
Samanyolu Galaksisi
İnfografik
Besin Değeri
Çin
Haber
Cansız
Astronomi
Zeka
Teknoloji
Robot
Tür
Balıkçılık
Halk Sağlığı
Daha Fazla İçerik Göster
Daha Fazla İçerik Göster
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Evren sadece düşündüğümüzden garip değil; aynı zamanda düşünebileceğimizden de garip...”
Werner Heisenberg
Geri Bildirim Gönder