İrrasyonel Sayı Ne Demektir? İrrasyonel Sayılar, "Mantıksız" Sayılar mı?
Matematikte irrasyonel sayılar, rasyonel olmayan reel sayıları ifade etmekte kullanılır. Dolayısıyla önce "rasyonel sayı" kavramını tanımlamakta fayda vardır: Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine bölümüyle ifade edilebilen sayılardır.
Yani "rasyonel sayı" kavramındaki "rasyonel" sözcüğü bizim günlük hayatta kullandığımız "mantıklı" veya "akılcı" anlamına gelen bir sözcük değildir. Sözcüğün kökü "ratio", yani "kesir" veya "oran" demektir. Dolayısıyla rasyonel, yani "ratio-nel" sayılar, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilebilen sayılardır. Bu bakımdan "rasyonel sayı" kavramını Türkçeye kesirlenebilir sayı olarak çevirmek mümkündür (tabii ki kesirin pay ve paydasının tam sayı, örneğin 1, 2, -5, vb. olması gerektiği unutulmamalıdır).
Örneğin 0.25 sayısını 1/41/4 olarak da ifade edebiliriz. Demek ki 0.25 sayısı, rasyonel (kesirlenebilir) bir sayıdır. Benzer şekilde, 0.001 sayısı 11000\frac{1}{1000} olarak ifade edilebilir ve dolayısıyla rasyonel bir sayıdır. Kendini tekrar eden ondalıklı sayılar da rasyonel sayılmaktadır: Örneğin 0.3333... diye giden sayıyı 1/31/3 olarak, kusursuz bir şekilde ifade edebiliriz. Demek ki 0.3333... sayısı da rasyoneldir. Sonucu tam sayı olan karekökler de rasyoneldir: Örneğin 9\sqrt{9}, rasyonel bir sayıdır ; çünkü karekökün sonucu olan 3 sayısı, iki tam sayının oranı olarak (mesela 3/13/1 veya 6/26/2 olarak) ifade edilebilir.
Öte yandan, örneğin π\pi sayısı rasyonel değildir, çünkü onu hiçbir şekilde iki tam sayının bölümü olarak ifade edemeyiz. Belki lisede 22/722/7 olarak öğrenmiş olabilirsiniz; ancak bu, π\pi için pek iyi bir yakınsama değildir ve ondan %0.04 oranında uzak bir sayıdır (ayrıca 22/7, doğal olarak, rasyonel bir sayıdır):
22/7=3.1428571428622/7=3.14285714286
π=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...\pi=3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944...
Bu ufacık fark bile, matematiksel olarak kabul edilebilir değildir. Günümüzde matematikçiler, halen pi sayısını gerçek anlamıyla ifade edebilecek yöntemler aramaktadırlar.[1], [2], [3] Sadece pi sayısı da değil! 2.71828... diye giden e sayısı, 1.618033... diye giden altın oran veya basitçe 2\sqrt{2} sayısı, irrasyoneldir. Hiçbir şekilde iki tam sayının birbirine oranı şeklinde ifade edilemezler.[4], [5]
İrrasyonel sayıların birbiriyle çarpımı, rasyonel veya irrasyonel sonuçlar verebilir. Örneğin π×π\pi\times\pi çarpımı, yani π2\pi^2 sayısı irrasyoneldir. Ancak 2×2\sqrt{2}\times\sqrt{2} çarpımı rasyoneldir. İrrasyonel sayıların irrasyonel kuvvetlerinin de rasyonel olabileceğiyle ilgili bir yazımızı buradan okuyabilirsiniz.
Transendental Sayılarla İrrasyonel Sayıların İlişkisi
Transendental sayılar, rasyonel katsayılı sınırlı dereceden bir polinomun sıfır hariç köklerinden biri olmayan sayılardır. Bu karmaşık tanımın ne olduğuna geleceğiz; ancak konumuzla ilişkili en önemli detayı önden vermek istiyoruz: Tüm transendental sayılar irrasyoneldir; ancak her irrasyonel sayısı transendental olmak zorunda değildir (her ne kadar neredeyse hepsi öyle olsa da).
Örneğin irrasyonel bir sayı olan 2\sqrt{2} sayısını ele alalım. Bu sayı, rasyonel katsayılara sahip bir polinom olan x2−2=0x^2-2=0 polinomunun köklerinden biridir. Dolayısıyla 2\sqrt{2}, irrasyonel olmasına rağmen transandental olmayan bir sayıdır. Benzer şekilde, 1.618033... diye giden φ\varphi sayısı (altın oran) da irrasyoneldir; ancak aynı zaanda x2−x−1=0x^2-x-1=0 polinomunun köküdür. Bu polinon katsayıları rasyonel sayılardan oluştuğu için, altın oran da "irrasyonel olmasına rağmen transendental olmayan" bir sayıdır.
Bunun haricinde kalan irrasyonel sayıların çoğu transendentaldir. Örnek olarak π\pi sayısı verilebileceği gibi, eπe^\pi sayısı gibi üstel sayılar veya 0.8346268... diye giden Gauss sabiti gibi sayılar da verilebilir.[6]
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Ayrıca henüz π+e\pi+e veya π−e\pi-e gibi işlemlerin, eπe\pi, π/e\pi/e, 2e2^e, πe\pi^e, π2\pi^{\sqrt{2}} veya ln2\ln{2} gibi sayıların irrasyonel olup olmadığı bilinmemektedir.[7], [8]
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 23
- 13
- 13
- 8
- 7
- 5
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- ^ P. Beckmann. (2007). A History Of Pi. ISBN: 9780880294188. Yayınevi: Marboro Books.
- ^ S. Plouffe. On The Computation Of The N^th Decimal Digit Of Various Transcendental Numbers. (2 Aralık 2009). Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: arXiv.org | Arşiv Bağlantısı
- ^ J. D. Cook. Best Rational Approximations For Pi. (22 Mayıs 2018). Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: Applied Mathematics Consulting | Arşiv Bağlantısı
- ^ C. Pickover. The 15 Most Famous Transcendental Numbers -. Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: University of Wisconsin | Arşiv Bağlantısı
- ^ Math Is Fun. Irrational Numbers. Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: Math Is Fun | Arşiv Bağlantısı
- ^ M. S. Nielsen, et al. (2016). Undergraduate Convexity. ISBN: 9789813143661. Yayınevi: World Scientific Publishing Company.
- ^ E. W. Weisstein. Pi. Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: Wolfram Mathworld | Arşiv Bağlantısı
- ^ E. W. Weisstein. Irrational Number. Alındığı Tarih: 2 Kasım 2021. Alındığı Yer: Wolfram Mathworld | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/12/2024 20:03:17 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11122
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.