İrrasyonel Sayı Ne Demektir? İrrasyonel Sayılar, "Mantıksız" Sayılar mı?

Matematikte irrasyonel sayılar, rasyonel olmayan reel sayıları ifade etmekte kullanılır. Dolayısıyla önce "rasyonel sayı" kavramını tanımlamakta fayda vardır: Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine bölümüyle ifade edilebilen sayılardır.

Yani "rasyonel sayı" kavramındaki "rasyonel" sözcüğü bizim günlük hayatta kullandığımız "mantıklı" veya "akılcı" anlamına gelen bir sözcük değildir. Sözcüğün kökü "ratio", yani "kesir" veya "oran" demektir. Dolayısıyla rasyonel, yani "ratio-nel" sayılar, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilebilen sayılardır. Bu bakımdan "rasyonel sayı" kavramını Türkçeye kesirlenebilir sayı olarak çevirmek mümkündür (tabii ki kesirin pay ve paydasının tam sayı, örneğin 1, 2, -5, vb. olması gerektiği unutulmamalıdır).

Örneğin 0.25 sayısını $1/4$ olarak da ifade edebiliriz. Demek ki 0.25 sayısı, rasyonel (kesirlenebilir) bir sayıdır. Benzer şekilde, 0.001 sayısı $\frac{1}{1000}$ olarak ifade edilebilir ve dolayısıyla rasyonel bir sayıdır. Kendini tekrar eden ondalıklı sayılar da rasyonel sayılmaktadır: Örneğin 0.3333... diye giden sayıyı $1/3$ olarak, kusursuz bir şekilde ifade edebiliriz. Demek ki 0.3333... sayısı da rasyoneldir. Sonucu tam sayı olan karekökler de rasyoneldir: Örneğin $\sqrt{9}$, rasyonel bir sayıdır ; çünkü karekökün sonucu olan 3 sayısı, iki tam sayının oranı olarak (mesela $3/1$ veya $6/2$ olarak) ifade edilebilir.

Öte yandan, örneğin $\pi$ sayısı rasyonel değildir, çünkü onu hiçbir şekilde iki tam sayının bölümü olarak ifade edemeyiz. Belki lisede $22/7$ olarak öğrenmiş olabilirsiniz; ancak bu, $\pi$ için pek iyi bir yakınsama değildir ve ondan %0.04 oranında uzak bir sayıdır (ayrıca 22/7, doğal olarak, rasyonel bir sayıdır):

$22/7=3.14285714286$

$\pi =\mathrm{3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...}$

Bu ufacık fark bile, matematiksel olarak kabul edilebilir değildir. Günümüzde matematikçiler, halen pi sayısını gerçek anlamıyla ifade edebilecek yöntemler aramaktadırlar.^{[1], [2], [3]} Sadece pi sayısı da değil! 2.71828... diye giden e sayısı, 1.618033... diye giden altın oran veya basitçe $\sqrt{2}$ sayısı, irrasyoneldir. Hiçbir şekilde iki tam sayının birbirine oranı şeklinde ifade edilemezler.^{[4], [5]}

İrrasyonel sayıların birbiriyle çarpımı, rasyonel veya irrasyonel sonuçlar verebilir. Örneğin $\pi \times \pi$ çarpımı, yani ${\pi }^2$ sayısı irrasyoneldir. Ancak $\sqrt{2}\times \sqrt{2}$ çarpımı rasyoneldir. İrrasyonel sayıların irrasyonel kuvvetlerinin de rasyonel olabileceğiyle ilgili bir yazımızı buradan okuyabilirsiniz.

Transendental Sayılarla İrrasyonel Sayıların İlişkisi

Transendental sayılar, rasyonel katsayılı sınırlı dereceden bir polinomun sıfır hariç köklerinden biri olmayan sayılardır. Bu karmaşık tanımın ne olduğuna geleceğiz; ancak konumuzla ilişkili en önemli detayı önden vermek istiyoruz: Tüm transendental sayılar irrasyoneldir; ancak her irrasyonel sayısı transendental olmak zorunda değildir (her ne kadar neredeyse hepsi öyle olsa da).

Örneğin irrasyonel bir sayı olan $\sqrt{2}$ sayısını ele alalım. Bu sayı, rasyonel katsayılara sahip bir polinom olan $x^2-2=0$ polinomunun köklerinden biridir. Dolayısıyla $\sqrt{2}$, irrasyonel olmasına rağmen transandental olmayan bir sayıdır. Benzer şekilde, 1.618033... diye giden $\phi$ sayısı (altın oran) da irrasyoneldir; ancak aynı zaanda $x^2-x-1=0$ polinomunun köküdür. Bu polinon katsayıları rasyonel sayılardan oluştuğu için, altın oran da "irrasyonel olmasına rağmen transendental olmayan" bir sayıdır.

Bunun haricinde kalan irrasyonel sayıların çoğu transendentaldir. Örnek olarak $\pi$ sayısı verilebileceği gibi, $e^{\pi }$ sayısı gibi üstel sayılar veya 0.8346268... diye giden Gauss sabiti gibi sayılar da verilebilir.^[6]

Ayrıca henüz $\pi +e$ veya $\pi -e$ gibi işlemlerin, $e\pi$, $\pi /e$, $2^e$, ${\pi }^e$, ${\pi }^{\sqrt{2}}$ veya $\ln 2$ gibi sayıların irrasyonel olup olmadığı bilinmemektedir.^{[7], [8]}