Faktöriyel Kavramına Asimptotik Bir Yaklaşım: Stirling Formülü
- Özgün
- Matematik
Faktöriyel kavramı, çok farklı şekillerde tanımlanabilen bir kavramdır. En basitinden faktöriyel, 1'den herhangi bir tam sayıya kadar (ki bunun ilginç istisnaları mevcuttur) olan bütün tam sayıların çarpımı olarak tanımlanabilir. Örneğin 5 faktöriyel, 5! ile gösterilir ve 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarının birbiriyle çarpımına eşittir: Yani 120'ye...
Bunun pratik uygulamalarından birisi, belli bir sayıdaki nesneleri kaç farklı şekilde dizebileceğimizi hesaplamakta kullanılmasıdır. Örneğin elinizde A, B ve C isimli 3 adet kitap varsa, bunları kaç farklı şekilde dizebileceğinizi merak ediyorsanız, 3! hesabını yapabilirsiniz: Kitapları 1 kere 2 kere 3, dolayısıyla 6 farklı şekilde dizebilirsiniz: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA.
İşi biraz teknikleştirmek mümkündür: Faktöriyel, matematiğin ayrık olmayan disiplinlerinde, kompleks sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyonun doğal sayılar kümesi kısıtı altında bir görüntüsü olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun adı Gamma fonksiyonudur ve şöyle tanımlanır:
Γ(x+1)=∫0∞txe−tdt\LARGE{\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt}
Eğer burada xx bir doğal sayı ise tümevarım ile şu eşitlik gösterilebilir.
x!=Γ(x+1)\LARGE{x!=\Gamma(x+1)}
Bu yazıda, bu fonksiyonun üzerinde çeşitli cebirsel numaralar yaparak ve biraz da Taylor serisi bilgisiyle, meşhur Stirling Formülü'nü elde edeceğiz. Stirling formülü, çok büyük sayıların faktöriyelini hesaplamakta kullandığımız bir yöntemdir. Bu yaklaşım, bilgisayar bilimleri açısından masraflı olabilecek "düz çarpım" yöntemini hesaplama maliyeti açısından ucuzlatmak amacıyla kullanılmaktadır.[1]
Eğer tx=exlntt^x=e^{x\ln t} özdeşliğini kullanırsak, x!=∫0∞exlnt−tdtx!=\int_0^{\infty}e^{x\ln t-t}dt (1) eşitliğine ulaşırız. Bu eşitlikte de t=(1+α)xt=(1+\alpha)x dönüşümü yaparsak x!=e−xxx+1∫−1∞ex(ln(1+α)−α)dtx!=e^{-x}x^{x+1}\int_{-1}^{\infty}e^{x(\ln (1+\alpha)-\alpha)}dt (2) eşitliğine ulaşırız.
Şimdi burada biraz duralım ve neden yukarıdaki gibi bir dönüşümü yaptığımızı açıklayalım. Burada böyle bir dönüşüm yapmamızın sebebi ln(1+α)\ln(1+\alpha)'nın Taylor serisini biliyor olmamız. ln(1+α)\ln(1+\alpha)'nın Taylor serisi ∑n=0∞(−1)n+1αnn\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{\alpha^n}{n}'dır. Dolayısı ile α\alpha yeterince küçük iken, ln(1+α)−α→−α22\ln(1+\alpha)-\alpha \rightarrow -\dfrac{\alpha^2}{2} yaklaşımı olur. Esasında 1+\alpha">eα>1+αe^{\alpha}>1+\alpha eşitliği her α\alpha için doğru olduğundan bu yaklaşım her α\alpha için uygulanabilir. Dolayısı ile (2) eşitliğine bir yaklaşım olarak x!=e−xxx+1∫−1∞ex(ln(1+α)−α)dt≅e−xxx+1∫−1∞e−xα22dtx!=e^{-x}x^{x+1}\int_{-1}^{\infty}e^{x(\ln (1+\alpha)-\alpha)}dt\cong e^{-x}x^{x+1}\int_{-1}^{\infty}e^{-x\frac{\alpha^2}{2}}dt (3) kullanılabilir.
Hatırlamak gerekiyor ki burada xx çok büyük bir sayı olarak kabul ediliyor, çünkü yapmaya çalıştığımız şey Stirling yaklaşımını çözümlemek. Dolayısı ile −1-1 'den küçük α\alpha'lar için de e−xα22e^{-x\frac{\alpha^2}{2}} oldukça küçük bir sayı olacaktır (çünkü burada 0">α22>0\frac{\alpha^2}{2}>0 ve 0">x>0x>0 çok büyük bir sayıdır dolayısıyla çarpımlarının negatifi çok büyük bir negatif sayı olacağından bu sayının eksponansiyel fonksiyon altındaki görüntüsü çok küçük bir sayı olur) yaklaşım yapacağımızdan dolayı integralin aralığına (−∞,−1)(-\infty,-1) aralığını da dahil etmek yaklaşımı bu yüzden bozmayacaktır.
(2) eşitliğine bu sonuçları yazarsak:
x!≅e−xxx+1∫−∞∞e−xα22dt\LARGE{x!\cong e^{-x}x^{x+1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x\frac{\alpha^2}{2}}dt} (4)
eşitliğine ulaşırız ki burada basit bir u=xα2u=\frac{\sqrt{x}\alpha}{\sqrt{2}} dönüşümü yaparsak:
x!≅e−xxx+1∫−∞∞e−u22xdu\LARGE{x!\cong e^{-x}x^{x+1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\sqrt{\frac{2}{x}}du} (5)
eşitliğine ulaşılır. Bu integral, meşhur Gauss integralidir ve sonucu π\sqrt{\pi} 'dir. En son haliyle:
x!≅e−xxx2πx\LARGE{x! \cong e^{-x}x^x\sqrt{2\pi x}}
yaklaşımına ulaşılır - ki bu, Stirling yaklaşımıdır. Ancak başından not ettiğimiz gibi, bu yaklaşımın geçerliliği, xx çok büyük bir sayıyken mevcuttur. Küçük sayılarda hata payı çok yüksek olacaktır.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git-
11
-
7
-
5
-
2
-
1
-
1
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
- ^ Fabian, et al. What Is The Purpose Of Stirling's Approximation To A Factorial? - Mathematics Stack Exchange. (11 Ocak 2012). Alındığı Tarih: 26 Eylül 2020. Alındığı Yer: Mathematics Stack Exchange | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 23/04/2024 18:05:07 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9380
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
