Faktöriyel kavramı, çok farklı şekillerde tanımlanabilen bir kavramdır. En basitinden faktöriyel, 1'den herhangi bir tam sayıya kadar (ki bunun ilginç istisnaları mevcuttur) olan bütün tam sayıların çarpımı olarak tanımlanabilir. Örneğin 5 faktöriyel, 5! ile gösterilir ve 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarının birbiriyle çarpımına eşittir: Yani 120'ye...
Bunun pratik uygulamalarından birisi, belli bir sayıdaki nesneleri kaç farklı şekilde dizebileceğimizi hesaplamakta kullanılmasıdır. Örneğin elinizde A, B ve C isimli 3 adet kitap varsa, bunları kaç farklı şekilde dizebileceğinizi merak ediyorsanız, 3! hesabını yapabilirsiniz: Kitapları 1 kere 2 kere 3, dolayısıyla 6 farklı şekilde dizebilirsiniz: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA.
İşi biraz teknikleştirmek mümkündür: Faktöriyel, matematiğin ayrık olmayan disiplinlerinde, kompleks sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyonun doğal sayılar kümesi kısıtı altında bir görüntüsü olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun adı Gamma fonksiyonudur ve şöyle tanımlanır:
Γ(x+1)=∫0∞txe−tdt\LARGE{\Gamma(x+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt}
Eğer burada xx bir doğal sayı ise tümevarım ile şu eşitlik gösterilebilir.
x!=Γ(x+1)\LARGE{x!=\Gamma(x+1)}
Bu yazıda, bu fonksiyonun üzerinde çeşitli cebirsel numaralar yaparak ve biraz da Taylor serisi bilgisiyle, meşhur Stirling Formülü'nü elde edeceğiz. Stirling formülü, çok büyük sayıların faktöriyelini hesaplamakta kullandığımız bir yöntemdir. Bu yaklaşım, bilgisayar bilimleri açısından masraflı olabilecek "düz çarpım" yöntemini hesaplama maliyeti açısından ucuzlatmak amacıyla kullanılmaktadır.[1]
Öncelikle txt^x'i ee tabanında yazalım. Bu bize eln(tx)e^{\ln (t^x)}'den exln(t)e^{x\ln (t)} verir. Eğer tx=exln(t)t^x=e^{x\ln (t)} özdeşliğini kullanırsak şu eşitliğe ulaşırız:
x!=∫0∞exln(t)−tdtx!=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{x\ln (t)-t}dt
Bu eşitlikte de t=(1+α)xt=(1+\alpha)x dönüşümü yaparsak dt=ddα(x+αx)dα=x⋅dαdt={d \over d\alpha} (x+\alpha x)d\alpha=x \cdot d\alpha gelir. Sınırlara bakarsak t=0t=0 için α=−1\alpha=-1 olmalı. tt sonsuza giderken α\alpha da sonsuza gider. O zaman yeni sınırlarımız [−1,∞)[-1,\infty) olur. tt yerine (1+α)x(1+\alpha)x ve dtdt yerine xdαx d\alpha yazarsak şu sonuca ulaşırız:
∫−1∞x⋅exln((1+α)x)−(1+α)xdα\displaystyle\int_{-1}^\infty x \cdot e^{x\ln ((1+\alpha)x)-(1+\alpha)x}d\alpha
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
xln((1+α)x)=xln(1+α)+xln(x)x\ln ((1+\alpha)x)=x\ln (1+\alpha)+x\ln (x) ve −(1+α)x=−x−αx-(1+\alpha)x=-x-\alpha x olduğundan üstü şöyle yazalım:
∫−1∞x⋅exln(1+α)+xln(x)−x−αxdα\displaystyle\int_{-1}^\infty x \cdot e^{x\ln (1+\alpha)+x\ln (x)-x-\alpha x}d\alpha
Şimdi içinde α\alpha bulunmayan terimleri toparlayalım.
∫−1∞x⋅exln(x)e−xexln(1+α)−αxdα\displaystyle\int_{-1}^\infty x \cdot e^{x\ln (x)} e^{-x}e^{x\ln (1+\alpha)-\alpha x}d\alpha
Bunlar α\alpha'ya bağlı olmadıkları için dışarı çıkabilir. O halde en son hali ile şuna döner:
x!=e−xxx+1∫−1∞ex(ln(1+α)−α)dαx!=e^{-x}x^{x+1}\displaystyle\int_{-1}^{\infty}e^{x(\ln (1+\alpha)-\alpha)}d\alpha
Şimdi burada biraz duralım ve neden yukarıdaki gibi bir dönüşümü yaptığımızı açıklayalım. Burada böyle bir dönüşüm yapmamızın sebebi ln(1+α)\ln(1+\alpha)'nın Taylor serisini biliyor olmamız. ln(1+α)\ln(1+\alpha)'nın Taylor serisi hesaplamak istersek klasik Taylor serisi formulünü hatırlıyalım:
f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x)=\displaystyle\sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}
Buradan f(α)=ln(α+1)f(\alpha)=\ln(\alpha+1)'yı hesaplamak istersek ln(α+1)\ln(\alpha +1)'in türevlerine bakalım:
f(α)=ln(α+1)f(\alpha)=\ln(\alpha +1)
f′(α)=1α+1f'(\alpha)={1 \over \alpha +1}
f′′(α)=−1(α+1)2f''(\alpha)=-{1 \over (\alpha +1)^2}
…\dots
f(n)(α)=(−1)n+1(n−1)!(α+1)−nf^{(n)}(\alpha)=(-1)^{n+1}(n-1)! (\alpha +1)^{-n}
Şimdi bunu f(n)(α)f^{(n)}(\alpha) yerine koyarsak ve a=0a=0 dersek (ki bu Taylor serisinde aa herhangi bir sayı olabilir) şunu elde ederiz:
f(α)=∑n=0∞(−1)n+1(n−1)!n!αnf(\alpha)=\displaystyle\sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!} \alpha^{n}
Şimdi faktöriyelleri de sadeleştirirsek şunu elde ederiz:
f(α)=∑n=0∞(−1)n+1αnnf(\alpha)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{\alpha^n}{n}
Bu toplamı açacak olursak:
f(α)=∑n=0∞(−1)n+1αnn=α−α22+α33−α44+α55+…f(\alpha)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{\alpha^n}{n}=α - {α^2 \over 2} + {α^3 \over3} - {α^4 \over 4} + {α^5 \over5} +\dots
Dolayısı ile α\alpha yeterince küçük iken yüksek kuvvetli terimler 00'a yaklaşacağı için onları göz ardı edebiliriz. Bu yüzden sadece α−α22α - {α^2 \over 2}kısmını alıp ln(1+α)−α≈−α22\ln(1+\alpha)-\alpha \approx -\dfrac{\alpha^2}{2} diyebiliriz. Esasında 1+\alpha">eα>1+αe^{\alpha}>1+\alpha eşitliği her α\alpha için doğru olduğundan bu yaklaşım her α\alpha için uygulanabilir. Dolayısı ile x!=e−xxx+1∫−1∞ex(ln(1+α)−α)dαx!=e^{-x}x^{x+1}\displaystyle\int_{-1}^{\infty}e^{x(\ln (1+\alpha)-\alpha)}d\alpha eşitliğine bir yaklaşım olarak e−xxx+1∫−1∞e−xα22dαe^{-x}x^{x+1}\displaystyle\int_{-1}^{\infty}e^{-x\frac{\alpha^2}{2}}d\alpha kullanılabilir.
Hatırlamak gerekiyor ki burada xx çok büyük bir sayı olarak kabul ediliyor, çünkü yapmaya çalıştığımız şey Stirling yaklaşımını çözümlemek. Dolayısı ile −1-1 'den küçük α\alpha'lar için de e−xα22e^{-x\frac{\alpha^2}{2}} oldukça küçük bir sayı olacaktır (çünkü burada 0">α22>0\frac{\alpha^2}{2}>0 ve 0">x>0x>0 çok büyük bir sayıdır dolayısıyla çarpımlarının negatifi çok büyük bir negatif sayı olacağından bu sayının eksponansiyel fonksiyon altındaki görüntüsü çok küçük bir sayı olur) yaklaşım yapacağımızdan dolayı integralin aralığına (−∞,−1)(-\infty,-1) aralığını da dahil etmek yaklaşımı bu yüzden bozmayacaktır. O zaman (−∞,−1)(-\infty,-1) aralığını da dahil edersek:
x!≈e−xxx+1∫−∞∞e−xα22dα{x!\approx e^{-x}x^{x+1}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x\frac{\alpha^2}{2}}d\alpha}
eşitliğine ulaşırız ki burada basit bir u=xα2u=\frac{\sqrt{x}\alpha}{\sqrt{2}} dönüşümü yaparsak:
x!≈e−xxx+1∫−∞∞e−u22xdu{x!\approx e^{-x}x^{x+1}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\sqrt{\frac{2}{x}}du}
eşitliğine ulaşılır. Bu integral, meşhur Gauss integralidir ve sonucu π\sqrt{\pi} 'dir. En son haliyle:
x!≈e−xxx2πx\LARGE{x! \approx e^{-x}x^x\sqrt{2\pi x}}
Veya daha çok genel yazımı ile:
x!≈2πx(xe)x\LARGE{x! \approx \sqrt{2\pi x}\bigg({x \over e}\bigg)^x}
yaklaşımına ulaşılır - ki bu, Stirling yaklaşımıdır. Ancak başından not ettiğimiz gibi, bu yaklaşımın geçerliliği, xx çok büyük bir sayıyken mevcuttur. Küçük sayılarda hata payı çok yüksek olacaktır.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git-
12
-
8
-
5
-
2
-
1
-
1
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
- ^ Fabian, et al. What Is The Purpose Of Stirling's Approximation To A Factorial? - Mathematics Stack Exchange. (11 Ocak 2012). Alındığı Tarih: 26 Eylül 2020. Alındığı Yer: Mathematics Stack Exchange | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 07/11/2024 21:52:41 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9380
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
