Faktöriyel Kavramına Asimptotik Bir Yaklaşım: Stirling Formülü

Faktöriyel kavramı, çok farklı şekillerde tanımlanabilen bir kavramdır. En basitinden faktöriyel, 1'den herhangi bir tam sayıya kadar (ki bunun ilginç istisnaları mevcuttur) olan bütün tam sayıların çarpımı olarak tanımlanabilir. Örneğin 5 faktöriyel, 5! ile gösterilir ve 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarının birbiriyle çarpımına eşittir: Yani 120'ye...

Bunun pratik uygulamalarından birisi, belli bir sayıdaki nesneleri kaç farklı şekilde dizebileceğimizi hesaplamakta kullanılmasıdır. Örneğin elinizde A, B ve C isimli 3 adet kitap varsa, bunları kaç farklı şekilde dizebileceğinizi merak ediyorsanız, 3! hesabını yapabilirsiniz: Kitapları 1 kere 2 kere 3, dolayısıyla 6 farklı şekilde dizebilirsiniz: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA.

İşi biraz teknikleştirmek mümkündür: Faktöriyel, matematiğin ayrık olmayan disiplinlerinde, kompleks sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyonun doğal sayılar kümesi kısıtı altında bir görüntüsü olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun adı Gamma fonksiyonudur ve şöyle tanımlanır:

$\Gamma (x+1)={\int }_0^{\infty }{t}^x{e}^{-t}dt$

Eğer burada $x$ bir doğal sayı ise tümevarım ile şu eşitlik gösterilebilir.

$x!=\Gamma (x+1)$

Bu yazıda, bu fonksiyonun üzerinde çeşitli cebirsel numaralar yaparak ve biraz da Taylor serisi bilgisiyle, meşhur Stirling Formülü'nü elde edeceğiz. Stirling formülü, çok büyük sayıların faktöriyelini hesaplamakta kullandığımız bir yöntemdir. Bu yaklaşım, bilgisayar bilimleri açısından masraflı olabilecek "düz çarpım" yöntemini hesaplama maliyeti açısından ucuzlatmak amacıyla kullanılmaktadır.^[1]

Öncelikle $t^x$'i $e$ tabanında yazalım. Bu bize $e^{\ln (t^x)}$'den $e^{x\ln (t)}$ verir. Eğer $t^x=e^{x\ln (t)}$ özdeşliğini kullanırsak şu eşitliğe ulaşırız:

$x!={\int }_0^{\infty }{e}^{x\ln (t)-t}dt$

Bu eşitlikte de $t=(1+\alpha )x$ dönüşümü yaparsak $dt=\frac{d}{d\alpha }(x+\alpha x)d\alpha =x\cdot d\alpha$ gelir. Sınırlara bakarsak $t=0$ için $\alpha =-1$ olmalı. $t$ sonsuza giderken $\alpha$ da sonsuza gider. O zaman yeni sınırlarımız $[-1,\infty )$ olur. $t$ yerine $(1+\alpha )x$ ve $dt$ yerine $xd\alpha$ yazarsak şu sonuca ulaşırız:

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln ((1+\alpha )x)-(1+\alpha )x}d\alpha$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$x\ln ((1+\alpha )x)=x\ln (1+\alpha )+x\ln (x)$ ve $-(1+\alpha )x=-x-\alpha x$ olduğundan üstü şöyle yazalım:

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln (1+\alpha )+x\ln (x)-x-\alpha x}d\alpha$

Şimdi içinde $\alpha$ bulunmayan terimleri toparlayalım.

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln (x)}{e}^{-x}{e}^{x\ln (1+\alpha )-\alpha x}d\alpha$

Bunlar $\alpha$'ya bağlı olmadıkları için dışarı çıkabilir. O halde en son hali ile şuna döner:

$x!=e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{x(\ln (1+\alpha )-\alpha )}d\alpha$

Şimdi burada biraz duralım ve neden yukarıdaki gibi bir dönüşümü yaptığımızı açıklayalım. Burada böyle bir dönüşüm yapmamızın sebebi $\ln (1+\alpha )$'nın Taylor serisini biliyor olmamız. $\ln (1+\alpha )$'nın Taylor serisi hesaplamak istersek klasik Taylor serisi formulünü hatırlıyalım:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Buradan $f(\alpha )=\ln (\alpha +1)$'yı hesaplamak istersek $\ln (\alpha +1)$'in türevlerine bakalım:

$f(\alpha )=\ln (\alpha +1)$

$f^{\prime }(\alpha )=\frac{1}{\alpha +1}$

$f^{\prime \prime }(\alpha )=-\frac{1}{(\alpha +1{)}^2}$

$\dots$

Agora Bilim Pazarı

The Battle of Life (Charles Dickens)

The Battle of Life is an 1846 novel by Charles Dickens. It is the fourth of his five “Christmas Books”, coming after The Cricket on the Hearth and followed by The Haunted Man and the Ghost’s Bargain.

The setting is an English village that stands on the site of an historic battle. Some characters refer to the battle as a metaphor for the struggles of life, hence the title.

Battle is the only one of the five Christmas Books that has no supernatural or explicitly religious elements. (One scene takes place at Christmas time, but it is not the final scene.) The story bears some resemblance to The Cricket on the Hearth in two respects: it has a non-urban setting, and it is resolved with a romantic twist. It is even less of a social novel than is Cricket. As is typical with Dickens, the ending is a happy one.

It is one of Dickens’s lesser-known works and has never attained any high level of popularity – a trait it shares with The Haunted Man, in contrast to the other of his Christmas Books.

Warning: Unlike most of the books in our store, this book is in English.
Uyarı: Agora Bilim Pazarı’ndaki diğer birçok kitabın aksine, bu kitap İngilizcedir.

Devamını Göster

₺143.00

Satın Al Tüm Ürünler

$f^{(n)}(\alpha )=(-1{)}^{n+1}(n-1)!(\alpha +1{)}^{-n}$

Şimdi bunu $f^{(n)}(\alpha )$ yerine koyarsak ve $a=0$ dersek (ki bu Taylor serisinde $a$ herhangi bir sayı olabilir) şunu elde ederiz:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}(n-1)!}{n!}{\alpha }^n$

Şimdi faktöriyelleri de sadeleştirirsek şunu elde ederiz:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{{\alpha }^n}{n}$

Bu toplamı açacak olursak:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{{\alpha }^n}{n}=\alpha -\frac{{\alpha }^2}{2}+\frac{{\alpha }^3}{3}-\frac{{\alpha }^4}{4}+\frac{{\alpha }^5}{5}+\dots$

Dolayısı ile $\alpha$ yeterince küçük iken yüksek kuvvetli terimler $0$'a yaklaşacağı için onları göz ardı edebiliriz. Bu yüzden sadece $\alpha -\frac{{\alpha }^2}{2}$kısmını alıp $\ln (1+\alpha )-\alpha \approx -\frac{{\alpha }^2}{2}$ diyebiliriz. Esasında 1+\alpha">$e^{\alpha }>1+\alpha$ eşitliği her $\alpha$ için doğru olduğundan bu yaklaşım her $\alpha$ için uygulanabilir. Dolayısı ile $x!=e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{x(\ln (1+\alpha )-\alpha )}d\alpha$ eşitliğine bir yaklaşım olarak $e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}d\alpha$ kullanılabilir.

Hatırlamak gerekiyor ki burada $x$ çok büyük bir sayı olarak kabul ediliyor, çünkü yapmaya çalıştığımız şey Stirling yaklaşımını çözümlemek. Dolayısı ile $-1$ 'den küçük $\alpha$'lar için de $e^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}$ oldukça küçük bir sayı olacaktır (çünkü burada 0">$\frac{{\alpha }^2}{2}>0$ ve 0">$x>0$ çok büyük bir sayıdır dolayısıyla çarpımlarının negatifi çok büyük bir negatif sayı olacağından bu sayının eksponansiyel fonksiyon altındaki görüntüsü çok küçük bir sayı olur) yaklaşım yapacağımızdan dolayı integralin aralığına $(-\infty ,-1)$ aralığını da dahil etmek yaklaşımı bu yüzden bozmayacaktır. O zaman $(-\infty ,-1)$ aralığını da dahil edersek:

$x!\approx e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}d\alpha$

eşitliğine ulaşırız ki burada basit bir $u=\frac{\sqrt{x}\alpha }{\sqrt{2}}$ dönüşümü yaparsak:

$x!\approx e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}\sqrt{\frac{2}{x}}du$

eşitliğine ulaşılır. Bu integral, meşhur Gauss integralidir ve sonucu $\sqrt{\pi }$ 'dir. En son haliyle:

$x!\approx e^{-x}{x}^x\sqrt{2\pi x}$

Veya daha çok genel yazımı ile:

$x!\approx \sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e}{)}^x$

yaklaşımına ulaşılır - ki bu, Stirling yaklaşımıdır. Ancak başından not ettiğimiz gibi, bu yaklaşımın geçerliliği, $x$ çok büyük bir sayıyken mevcuttur. Küçük sayılarda hata payı çok yüksek olacaktır.