Faktöriyel Kavramına Asimptotik Bir Yaklaşım: Stirling Formülü

Faktöriyel kavramı, çok farklı şekillerde tanımlanabilen bir kavramdır. En basitinden faktöriyel, 1'den herhangi bir tam sayıya kadar (ki bunun ilginç istisnaları mevcuttur) olan bütün tam sayıların çarpımı olarak tanımlanabilir. Örneğin 5 faktöriyel, 5! ile gösterilir ve 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarının birbiriyle çarpımına eşittir: Yani 120'ye...

Bunun pratik uygulamalarından birisi, belli bir sayıdaki nesneleri kaç farklı şekilde dizebileceğimizi hesaplamakta kullanılmasıdır. Örneğin elinizde A, B ve C isimli 3 adet kitap varsa, bunları kaç farklı şekilde dizebileceğinizi merak ediyorsanız, 3! hesabını yapabilirsiniz: Kitapları 1 kere 2 kere 3, dolayısıyla 6 farklı şekilde dizebilirsiniz: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA.

İşi biraz teknikleştirmek mümkündür: Faktöriyel, matematiğin ayrık olmayan disiplinlerinde, kompleks sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyonun doğal sayılar kümesi kısıtı altında bir görüntüsü olarak tanımlanır. Bu fonksiyonun adı Gamma fonksiyonudur ve şöyle tanımlanır:

$\Gamma (x+1)={\int }_0^{\infty }{t}^x{e}^{-t}dt$

Eğer burada $x$ bir doğal sayı ise tümevarım ile şu eşitlik gösterilebilir.

$x!=\Gamma (x+1)$

Bu yazıda, bu fonksiyonun üzerinde çeşitli cebirsel numaralar yaparak ve biraz da Taylor serisi bilgisiyle, meşhur Stirling Formülü'nü elde edeceğiz. Stirling formülü, çok büyük sayıların faktöriyelini hesaplamakta kullandığımız bir yöntemdir. Bu yaklaşım, bilgisayar bilimleri açısından masraflı olabilecek "düz çarpım" yöntemini hesaplama maliyeti açısından ucuzlatmak amacıyla kullanılmaktadır.^[1]

Öncelikle $t^x$'i $e$ tabanında yazalım. Bu bize $e^{\ln (t^x)}$'den $e^{x\ln (t)}$ verir. Eğer $t^x=e^{x\ln (t)}$ özdeşliğini kullanırsak şu eşitliğe ulaşırız:

$x!={\int }_0^{\infty }{e}^{x\ln (t)-t}dt$

Bu eşitlikte de $t=(1+\alpha )x$ dönüşümü yaparsak $dt=\frac{d}{d\alpha }(x+\alpha x)d\alpha =x\cdot d\alpha$ gelir. Sınırlara bakarsak $t=0$ için $\alpha =-1$ olmalı. $t$ sonsuza giderken $\alpha$ da sonsuza gider. O zaman yeni sınırlarımız $[-1,\infty )$ olur. $t$ yerine $(1+\alpha )x$ ve $dt$ yerine $xd\alpha$ yazarsak şu sonuca ulaşırız:

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln ((1+\alpha )x)-(1+\alpha )x}d\alpha$

$x\ln ((1+\alpha )x)=x\ln (1+\alpha )+x\ln (x)$ ve $-(1+\alpha )x=-x-\alpha x$ olduğundan üstü şöyle yazalım:

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln (1+\alpha )+x\ln (x)-x-\alpha x}d\alpha$

Şimdi içinde $\alpha$ bulunmayan terimleri toparlayalım.

${\int }_{-1}^{\infty }x\cdot e^{x\ln (x)}{e}^{-x}{e}^{x\ln (1+\alpha )-\alpha x}d\alpha$

Bunlar $\alpha$'ya bağlı olmadıkları için dışarı çıkabilir. O halde en son hali ile şuna döner:

$x!=e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{x(\ln (1+\alpha )-\alpha )}d\alpha$

Şimdi burada biraz duralım ve neden yukarıdaki gibi bir dönüşümü yaptığımızı açıklayalım. Burada böyle bir dönüşüm yapmamızın sebebi $\ln (1+\alpha )$'nın Taylor serisini biliyor olmamız. $\ln (1+\alpha )$'nın Taylor serisi hesaplamak istersek klasik Taylor serisi formulünü hatırlıyalım:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Buradan $f(\alpha )=\ln (\alpha +1)$'yı hesaplamak istersek $\ln (\alpha +1)$'in türevlerine bakalım:

$f(\alpha )=\ln (\alpha +1)$

$f^{\prime }(\alpha )=\frac{1}{\alpha +1}$

$f^{\prime \prime }(\alpha )=-\frac{1}{(\alpha +1{)}^2}$

$\dots$

Agora Bilim Pazarı

Hints For Life - Simple Explanations of Complex Topics

“But my friends know, there are many Murat’s they deal with, such as the spouse, father, uncle, young man, manager/supervisor, industrialist, Turkish etc. Even they have differenttypes, brave, impervious to the place of attack, with sarcastic characteristics depending on the situation. Do you think you’re any different?”

In this book, the prominent businessman Murat Ulker, who has transformed Yildiz Holding into a global company with more than 65,000 employees operating in an area where morethan a four billion consumer population lives across four continents, covers everything frommanagement and leadership to corporate communication and marketing, from science and technology to nutrition and health. Murat Ulker is the Chairman of the Board of Directors of pladis and Godiva, which includes United Biscuits, Ulker, Godiva, DeMet’s Company. Youwill read his views on various fields, from individual and social matters to culture and art.

In his writings, enriched with his observations and experiences based on the books he has read or the conferences he attended, Murat Ulker not only gives clues to the principles thathave enabled him to be successful but also makes many predictions about the future. In thesetexts written during the pandemic, he also imagines how the future will be shaped whilediscussing how the pandemic will affect our daily and working lives.

We think this book, compiled from the articles that a successful businessman sharesregarding his experiences and sources on his blog, will attract readers’ attention from allwalks of life.

Devamını Göster

₺220.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

$f^{(n)}(\alpha )=(-1{)}^{n+1}(n-1)!(\alpha +1{)}^{-n}$

Şimdi bunu $f^{(n)}(\alpha )$ yerine koyarsak ve $a=0$ dersek (ki bu Taylor serisinde $a$ herhangi bir sayı olabilir) şunu elde ederiz:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}(n-1)!}{n!}{\alpha }^n$

Şimdi faktöriyelleri de sadeleştirirsek şunu elde ederiz:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{{\alpha }^n}{n}$

Bu toplamı açacak olursak:

$f(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{{\alpha }^n}{n}=\alpha -\frac{{\alpha }^2}{2}+\frac{{\alpha }^3}{3}-\frac{{\alpha }^4}{4}+\frac{{\alpha }^5}{5}+\dots$

Dolayısı ile $\alpha$ yeterince küçük iken yüksek kuvvetli terimler $0$'a yaklaşacağı için onları göz ardı edebiliriz. Bu yüzden sadece $\alpha -\frac{{\alpha }^2}{2}$kısmını alıp $\ln (1+\alpha )-\alpha \approx -\frac{{\alpha }^2}{2}$ diyebiliriz. Esasında 1+\alpha">$e^{\alpha }>1+\alpha$ eşitliği her $\alpha$ için doğru olduğundan bu yaklaşım her $\alpha$ için uygulanabilir. Dolayısı ile $x!=e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{x(\ln (1+\alpha )-\alpha )}d\alpha$ eşitliğine bir yaklaşım olarak $e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-1}^{\infty }{e}^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}d\alpha$ kullanılabilir.

Hatırlamak gerekiyor ki burada $x$ çok büyük bir sayı olarak kabul ediliyor, çünkü yapmaya çalıştığımız şey Stirling yaklaşımını çözümlemek. Dolayısı ile $-1$ 'den küçük $\alpha$'lar için de $e^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}$ oldukça küçük bir sayı olacaktır (çünkü burada 0">$\frac{{\alpha }^2}{2}>0$ ve 0">$x>0$ çok büyük bir sayıdır dolayısıyla çarpımlarının negatifi çok büyük bir negatif sayı olacağından bu sayının eksponansiyel fonksiyon altındaki görüntüsü çok küçük bir sayı olur) yaklaşım yapacağımızdan dolayı integralin aralığına $(-\infty ,-1)$ aralığını da dahil etmek yaklaşımı bu yüzden bozmayacaktır. O zaman $(-\infty ,-1)$ aralığını da dahil edersek:

$x!\approx e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x\frac{{\alpha }^2}{2}}d\alpha$

eşitliğine ulaşırız ki burada basit bir $u=\frac{\sqrt{x}\alpha }{\sqrt{2}}$ dönüşümü yaparsak:

$x!\approx e^{-x}{x}^{x+1}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}\sqrt{\frac{2}{x}}du$

eşitliğine ulaşılır. Bu integral, meşhur Gauss integralidir ve sonucu $\sqrt{\pi }$ 'dir. En son haliyle:

$x!\approx e^{-x}{x}^x\sqrt{2\pi x}$

Veya daha çok genel yazımı ile:

$x!\approx \sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e}{)}^x$

yaklaşımına ulaşılır - ki bu, Stirling yaklaşımıdır. Ancak başından not ettiğimiz gibi, bu yaklaşımın geçerliliği, $x$ çok büyük bir sayıyken mevcuttur. Küçük sayılarda hata payı çok yüksek olacaktır.