Evrim Ağacı
Reklamı Kapat

Russell Paradoksu Nedir? Kümeleri Tanımlamakta Kullanılan "İyi Tanımlanmış Nesneler Topluluğu" Ne Anlama Gelir?

Russell Paradoksu Nedir? Kümeleri Tanımlamakta Kullanılan "İyi Tanımlanmış Nesneler Topluluğu" Ne Anlama Gelir?
Bertrand Russel
Oggito
Tavsiye Makale
Reklamı Kapat

Küme kavramı lise hatta ortaokuldan beri bilgi sahibi olunan matematiğin temelini oluşturan kavramdır. Bir küme tanımlamak kolaydır ancak tanımlanan şey sahiden bir küme midir?

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Okuyucuların çoğu, küme kavramına lise, hatta ortaokul zamanlarından aşinadır. Matematiğin en temel kavramlarından biri olan kümeler, bilim adına vazgeçilmezdir; sadece teorik matematikte değil mühendislik bilimlerinde, hatta biyolojide de kullanılmaktadır. Uygulama alanı böylesine geniş ve gayet basit olan bu matematiksel yapıların tanımını yapmak zordur, zaten kolay olan bir şeyi ifade etmek neredeyse her zaman daha zordur.

Bir küme nedir diye sorulduğunda alınan cevap "iyi tanımlanmış nesneler toplululuğu" olur. Ancak bu yeterince açık bir cevap değildir, çünkü "iyi tanımlanmış" kalıbının anlamı çok derindir. Bu yazıda yapacağımız şey matematik tarihinde bir serüven olacak, kümenin ilk tanımlandığı halden bugünkü haline evrimini yaşayacağız.

Küme Kavramının Doğuşu ve Sancılı Gelişimi

Küme kavramı ilk kullanıldığı zamanlar çok spekülatiftir; tam olarak ne zaman olduğu bilinmiyor. Ancak bu yapıları matematiksel olarak ilk tanımlayan kişi Georg Cantor'dur. Kendisi, kümeler kuramının babası olarak bilinir. Onun sayesinde küme kavramı, 1800'lü yılların ikinci yarısında ilk defa tamamen matematiksel bir kimlik kazanmıştır.

O zamanlarda matematikçiler, "Küme nedir?" sorusuna "belirli nesneler topluluğu" cevabını veriyordu. Ancak "belirli" kavramı soru işaretleri yaratıyordu. Küme kuramı üzerine ikili işlemler ve metrikler tanımlanacak kadar matematikselleşmiş, hatta çoğu alanın içine yedirilmişken, böylesine açık olmayan bir kavram birçok matematikçiyi rahatsız ediyordu. Çünkü "belirli", herkese göre değişebilir ve işin içine fazlaca öznellik katılabilirdi. Mesela bir kişiye göre "yeşil renkli objeler" bir küme belirtirken, renk körü bir kişiye göre "kırmızı renkli objeler" kümesini belirtebilirdi. Her iki durumda da bir küme belirtiyor gibi durabilir; ancak aynı nesneler, iki ayrı küme belirtiyor ve bu kümeler birbirine eşit olmuyordu. Burada bir sıkıntı mevcuttu, çünkü belki somut objeler üzerinde kurulan kümelerde bir sorun çıkmayacaktı; ancak sayıları eleman olarak alan kümeler inşa edilirken fonksiyon tanımlamakta, dolayısı ile bilim içerisinde matematiği kullanmada sorun çıkacaktı.

Bu nedenle matematikçiler, günü kurtaran bir çözüm olarak hepsi küme kavramını aynı tanım ile kullandı. Böylece bir sorun da çıkmayacaktı; ancak hala renk körü örneğindeki sorun devam ediyordu. Sadece bir nebze olsun önüne geçilmişti. Bu sorunun ortadan kaldırılma görevi ise Bertrand Russell'ın olacaktı.

Russel Paradoksu ve Küme Kavramına Yepyeni Bir Bakış Açısı

Bertrand Russell, 18 Mayıs 1872'de Galler'de dünyaya geldi. Kendisi dahi bir matematikçi, mantıkçı, filozof ve tarihçidir. Çok yönlü birisi olan Russell'ın bu özelliği, küme kuramındaki bu problemi giderecekti.

Russell, tanımlanan her kümenin aslında bir küme olmadığını gösterdi. Lisede meşhur "uçan inekler" kümesi vardır: Öğretmen tahtaya {uçan inekler} yazar ve uçan inek olmadığı için böyle bir küme yoktur der. Bu yanlıştır; çünkü henüz uçan bir inek görmemiş olmamız, uçan ineklerin var olmadığı anlamına gelmez.

Russell'ın yaptığı şey böyle bir şey değildi. Russell, az önceki "mavi objeler" ve "kırmızı objeler" örneğindeki gibi öznel yargılar ile tanımlanan kümelerin "var olamayabileceğini" gösterdi. Yani aslında başından beri bir problem yoktu; sadece tanıma ufak bir koşul eklenmesi gerekiyordu.

Şimdi Russell'ın inşa ettiği kümeye ve neden bir paradoksa sebep olduğuna bakalım.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Tanım (Russel Kümesi):

Russell kümesi R={x∣x∉R}R=\{x | x\notin R\} olarak tanımlanır. Yani sözel olarak ifade etmek gerekirse, bu kümenin elemanları, bu kümede değildir. Şimdi buradaki paradoksu yakalayalım.

x∈Rx\in R olsun. O halde, x∉Rx \notin R olacaktır. Bu da şu soruyu akıllara getirir: RR kümesi kendini barındırıyor mu? Eğer barındırıyorsa R∈RR \in R olacaktır ve bu da bize R∉RR\notin R olduğu bilgisini verir. Yani RR kendini barındırmıyor gibi görünür. Fakat tanıma bakılırsa eğer R∉RR\notin R ise R∈RR \in R olmalıdır. Yani küme kendisi barındırıyor sonucu çıkar; ancak az önce kendini barındırmadığı sonucuna varılmıştı. Bu bir paradokstur ve 1901 yılında bu paradoksun farkına Russell varmıştı.

Bu paradokstan önce, bir kümenin {x∣P(x)}\{x| P(x)\} formunda tanımlanabileceği düşünülüyordu. Burada PP, xx'lerin bir özelliğidir (kırmızı renk olması gibi). Ancak Russell, bu paradoksu ile her daim böyle bir tanım yapılamayacağını gösterdi. Yukarıdaki bölümlerde "belirli özellikler" kısmı, bu tanımdaki P(x)P(x)'e tekabül ediyor. Russell'ın paradoksu ile bu tanıma yeni bir önerme daha eklenmiş oldu ve güncel küme tanımı şu anda şöyledir:

{x∣P(x)}\{x| P(x)\} ancak ve ancak ∀i≠jPi∩Pj≠∅\forall i \neq j P_i \cap P_j \neq \emptyset önermesinin sağlanması ile küme olabilir. Yani elemanlar üzerine kurulan her özelliğin ortak bir yanı olmalıdır.

Böylece "iyi tanımlanmış" hikayesi de bir son buldu. Russell'ın bu paradoksu sayesinde matematikçiler, küme kavramını "iyi tanımlanmış nesneler topluluğu" olarak değiştirdi. Bu sayede öznellikler ortadan kalktı ve bilim ferahlığa kavuştu.

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • İnanılmaz 10
  • Tebrikler! 2
  • Bilim Budur! 2
  • Merak Uyandırıcı! 2
  • Muhteşem! 1
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 1
  • Umut Verici! 1
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 13/08/2020 17:38:55 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8995

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Güncel
Agora
Instagram
Kromozom
Nörobiyoloji
Wuhan
Hayvanlar Alemi
Yağ
Skeptisizm
Robot
Etoloji
Metabolizma
Türleşme
Obstetrik
Balıklar
Lhc (Büyük Hadron Çarpıştırıcısı)
Vaka
Şempanze
Viral Enfeksiyon
Su
Sars Virüsü
Göğüs Hastalığı
Aşı
Doğa Gözlemleri
Normal Doğum
Etimoloji
Ölüm
Adaptasyon
Daha Fazla İçerik Göster
Daha Fazla İçerik Göster
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Özgürlüğün bedeli, ebediyen ihtiyatlı olmaktır.”
John Stuart Mill
Geri Bildirim Gönder