Evrim Ağacı
Reklamı Kapat

Zamana Meydan Okuyan Problem: Fermat'ın Son Teoremi

Zamana Meydan Okuyan Problem: Fermat'ın Son Teoremi
Editör Seçkisi
Reklamı Kapat

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Bu yazıda matematikçileri 358 yıl boyunca uğraştıran bir problemden bahsedeceğiz. Riemann hipotezi, Poincaré sanısı gibi problemleri çözmek bir yana, problemin tanımını anlayabilmek bile çok fazla matematik bilgisi gerektirir. Öte yandan Fermat'ın (aslında "Ferma" diye okunur; dolayısıyla "Fermat'nın" şeklinde yazılması gerekir) son teoremini bir ilkokul çocuğu bile ilk görüşte anlayabilir. Bu kadar basit görünen bir problemin en büyük matematikçileri bile bu kadar zorlayacağı kimin aklına gelirdi?

Fermat'ın son teoremi arkasında çok derin bir matematik barındırmaktadır. Biz burada çok fazla detaya girmeden çözüme nasıl ulaşıldığını açıklamaya çalışacağız. a2+b2=c2 denklemini sağlayan a, b, c üçlülerini bulmanızı isteseydik cevaben ne derdiniz? 3, 4, 5 veya 5, 12, 13 gibi değişik çözümleri saniyesinde söylerdiniz. Peki kuvvetler 2'den büyük tam sayılar olduğunda bu denklemi sağlayan üçlüleri bulun deseydik ne olurdu? Çok basit, bulamazdınız... Şöyle ki:

Fermat'ın son teoremi
Fermat'ın son teoremi
University of Utah

n tam sayısının 2'den büyük olduğu durumlarda bu denklemi sağlayan a, b, c üçlüleri bulunamaz. Fermat'ın iddia ettiği buydu. Bu teoremi not ettiği kitaba insanları yıllar boyu merakta bırakan bir cümle yazdı:

Ben bunun çok güzel bir ispatını buldum, ama kanıtı bu kenar boşluğuna sığdırmak olanaksız.

Yıl 1994'ü gösterdiğinde Andrew Wiles'ın kanıtı resmi olarak kabul edildi. Kanıt toplam 129 sayfa sürdü. Fermat için iki ihtimal vardı: Ya Fermat çok daha kısa bir yol buldu ya da bu teoreme dair bir kanıt bulduğunu düşündü ama yanılıyordu. İkinci ihtimal daha ağır basıyor; çünkü bu problemi çözmek için gereken teknikler 20. yüzyılın ortalarına kadar bilinmiyordu.

Taniyama-Shimura-Weil Sanısı

Bu sanı Fermat'ın son teoreminin çözümünde kilit nokta oldu. Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama tarafından öne sürüldü. 1967 yılında André Weil tarafından yazılan bir yazı ile bu sanı Batı'da tanındı. Weil yazdığı bu yazıda sanıya dair bir kanıt bulamasa da doğru olabileceğine dair kanıtlar buldu. Bu sayede onun da ismi eklendi ve bu sanı Taniyama-Shimura-Weil sanısı olarak bilinmeye başlandı. Bu sanıdan bahsedebilmek için 2 kavramı bilmemiz gerekiyor:

1. Eliptik Eğriler

y2=x3+ax+b formundaki eğrilere eliptik eğriler denir. Bu eğriler hiçbir zaman kendisini kesmez ve tekilliği yoktur. Eliptik eğriler sayı teorisinde çok önemli rol oynamaktadır.

Bir eliptik eğri
Bir eliptik eğri
Arstechnica

2. Modüler Form

Kompleks düzlemin üst yarısında bulunan ve belirli şartları sağlayan kompleks analitik fonksiyonlara modüler form denir. Modüler formlar, modüler grupların grup etkisine göre belirli fonksiyonel denklemleri sağlarlar.

Bir modüler form
Bir modüler form
Mcgill University Mathematics and Statistics Department

Bu iki kavramı açıkladıktan sonra artık Taniyama-Shimura-Weil sanısı ile ilgili bilgi verebiliriz. Bu sanı ortaya çıkana kadar eliptik eğriler ve modüler formlar arasında hiçbir bilindik bağlantı yoktu. Birisi sayı teorisi ile ilgiliyken diğeri kompleks analiz ile ilgiliydi. Taniyama-Shimura-Weil sanısı bu iki kavramın aynı şey olduğunu sadece farklı şekillerde gözüktüğünü söyler. Taniyama-Shimura-Weil sanısının formal açıklaması şudur: Her eliptik eğri için aynı Dirichlet-L serisine sahip bir modüler form vardır.

Düğüm Çözülüyor!

1960'lı yıllarda Yves Hellegouarch çok alakasız gözüken iki şey arasında bağlantı kurdu. Denklemdeki (a, b, c) üçlüleri ile eliptik eğriler arasında bağlantı kurdu. y2=x(x-an)(x+bn) şeklinde bir eliptik eğri oluşturdu. Denklemdeki a, b ve n dereceden kuvvet bu eğride bulunuyordu. Bu eğri gereken ilgiyi görmedi, ta ki Gerhard Frey bunun ne kadar önemli olduğunu fark edene kadar...

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Gerhard Frey 1982-1985 yılları arasında bu eğrinin sıra dışı özelliklerine dikkatleri çekmeyi başardı ve bu eğri onun adı ile isimlendirildi. Frey eğrisi Fermat'ın son teoremi ile Taniyama-Shimura-Weil sanısını birbirine bağlıyordu. İki problemden birinin kanıtlanması diğerinin de kanıtlanması anlamına geliyordu. Ortaya epsilon sanısı çıktı. Epsilon sanısına göre Frey eğrileri modüler olamazdı. Epsilon sanısı Ken Ribet tarafından ispatlandı ve bu sanının adı Ribet Teoremi oldu.

Ribet Teoremi ve Taniyama-Shimura-Weil sanısı çelişiyor gibi gözüküyordu. Bu çelişkiden tek bir sonuç çıkacaktı ve bu da Fermat'ın son teoreminin çözümü olacaktı. Taniyama-Shimura-Weil sanısına göre her eliptik eğri modüler olmalıydı. Eğer Taniyama-Shimura-Weil sanısı ispatlanırsa, Ribet tarafından modüler olamayacağı ispatlanan Frey'in eliptik eğrisi mevcut olamazdı. Yani böyle bir eliptik eğri yoksa, Fermat'ın son teoremini sağlayan a, b, c üçlüleri de olamazdı. Fermat'ın son teoreminin doğruluğunu kanıtlamanın yolu, Taniyama-Shimura-Weil sanısını kanıtlamaktan geçiyordu.

İspat

O yıllarda matematik dünyası Taniyama-Shimura-Weil sanısının o dönemki bilgi ile kanıtlanamayacağını düşünüyordu. Andrew Wiles bu ispatın yapılabileceğine inanan nadir insanlardan biriydi. 7 yıllık bir çalışma sonucu Taniyama-Shimura-Weil sanısını eliptik eğrilerin bir alt türü için kanıtladı. İspatında hata bulundu ve kabul edilmedi. Andrew Wiles ve eski öğrencisi Richard Taylor bir sene boyunca hatayı düzeltmek için uğraştılar ve başarılı oldular. 1994 yılında Andrew Wiles ispatını tekrar sundu ve bu sefer kabul edildi. 358 yıldır ispatlanmayı bekleyen bir problem en sonunda ispatlandı. Andrew Wiles 2016 yılında matematiğin en prestijli ödüllerinden birisi olan Abel Ödülüne layık görüldü.

Andrew Wiles
Andrew Wiles
Nature

Zamanının İlerisinde Bir Matematikçi: Srinivasa Ramanujan

Bu ispattan bağımsız olarak, bir de Srinivasa Ramanujan'ın çalışmalarını açıklayalım. Wiles'ın ispatı için gereken bilgiler Ramanujan yaşarken bilinmiyordu. Ramanujan'ın çalışmalarını Wiles'a göre ne kadar erken yaptığını bir karşılaştırma ile göstermek en mantıklısı olur. Ramanujan öldüğünde 1920 yılıydı, Wiles'ın ispatı kabul edildiğinde ise 1994 yılıydı. Ramanujan'ın Fermat'ın son teoremi ile ilgilendiği o öldükten sonra defterleri incelendiği zaman anlaşıldı.

Ramanujan Fermat'ın son teoremini ispatlayamadı belki ama buna çok yakın denklemlere çözüm buldu. an+bn=cn+1 ve an+bn=cn-1 denklemlerine n'in üç ve dört olduğu durumlar için sonsuz sayıda çözüm içeren çözüm ailesini buldu. Sadece bununla kalmayan Ramanujan, Fermat'ın son teoremini ispatlayabilmek için eliptik eğrilerle de uğraştı. Eliptik eğrilerin varlığı çok uzun süredir bilinmesine rağmen çok gelişmiş bir kavram değildi ve o dönemlerde kullanımı yoktu. Eliptik eğriler teorisi 1930 ve 1940'lı yıllar arasında gelişmeye başladı. Eliptik eğrilerin kullanım alanı yokken bile Ramanujan, tıpkı Wiles gibi, Fermat'ın son teoremini ispatlamak için eliptik eğrileri kullanmayı denedi.

Ramanujan, eliptik eğriler üzerinde çalışırken eliptik eğrilerden çok daha ileri ve karmaşık bir kavramı keşfetti. Bu kavram 40 yıl sonra matematikçiler tarafından keşfedildi ve buna k3 yüzeyi dendi. Bu kavram kendisine matematik ve modern fizikte yer buldu.

Ramanujan'ın hem eliptik eğrileri kullanımı hem de k3 yüzeyi ile ilgili olan çalışmaları zamanına göre fazlasıyla gelişmiş ve yenilikçiydi. Sadece Fermat'ın son teoremini çözmek için doğru yolu izlemekle kalmayıp geleceğe çok fazla etkisi olan kavramları da keşfetmişti. Bu kadar büyük bir matematikçi 32 yaşında hayata veda etmeseydi, matematik dünyası çok daha ileride olabilirdi.

Son Sözler

Andrew Wiles, Fermat'ın son teoremini on yaşındayken kütüphanede gördü. O günden beri teorem hep ilgisini çekmeye devam etti. O dönemki matematikçiler Taniyama-Shimura-Weil sanısının ispatlanamayacağını düşünüp pes etmişken o hiçbir zaman inancını yitirmedi. Şu ana kadar var olmuş en şık ve zor ispatlardan birisini yaptı. Andrew Wiles'ın yaptığı ispatı tam olarak anlayabilmek için cebirsel geometri, sayı teorisi, değişmeli cebir, modüler formlar hakkında iyi derecede bilgiye sahip olmak gerekir. Bu ispatın zorluğunu açıklamak için verilecek en iyi örnek şudur: Wiles ispatını sunduğu zaman, birkaç matematikçi hariç, kimse anlamamıştı ve anlamayan bu kişiler de alanlarında uzman matematikçilerdi. Eğer Fermat gerçekten yazdığı gibi bir ispat bulduysa, bundan çok daha kısa olduğu kesin.

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 10
  • İnanılmaz 6
  • Tebrikler! 5
  • Bilim Budur! 2
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 2
  • Merak Uyandırıcı! 2
  • Umut Verici! 1
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 08/07/2020 11:17:42 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/7579

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Kategoriler ve Etiketler
Tümünü Göster
Güncel
Sağlık Örgütü
Yörünge
Coğrafya
Deniz
Genom
Koronavirüs
Sars-Cov-2 (Covid19 Koronavirüs Salgını)
Lhc (Büyük Hadron Çarpıştırıcısı)
Biyografi
Anatomi
Sağlık Bilimleri
Factchecking
Tehlike
Robot
Sperm
Tüy
Yapay Zeka
Bağışıklık
Diş
Çiftleşme
Büyük Patlama
Aminoasit
Yılan
Mantar
Homeostasis
Daha Fazla İçerik Göster
Daha Fazla İçerik Göster
Reklamı Kapat
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Bir kitap kadar sadık dost yoktur.”
Ernest Hemingway
Geri Bildirim Gönder