Elektromanyetik Teori ve Maxwell Denklemleri'nin Matematiği: Gauss Yasasının Kanıtı!
Slide Player
- Özgün
- Fizik
- Elektromanyetizma
Carl Friedrich Gauss, namı diğer "matematiğin prensi", matematiğin neredeyse bütün alanlarına katkı sağladığı gibi, fizikte de çok önemli keşiflere imza atmıştır. Bu katkılardan belki de en önemlisi Gauss yasasıdır. Maxwell denklemlerinden biri olan bu yasanın anlattığı şey, sadece elektromanyetik teoride değil, mekanikte de kullanılır; ancak bu teorinin arka planı da çok güçlü bir matematik içerir. Muhtemelen böylesi önemli bir yasa için sayfalar sürecek bir kanıt bekliyorsunuz; ancak kanıtı kısa, yalın, güçlü ve şıktır.
Öncelikle Maxwell denklemlerini ilk defa görecek veya tekrar hatırlamak isteyecek olabilirsiniz diye biz hatırlatalım.
Maxwell Denklemleri
Elektromanyetik teorinin dört temel denklemidir, temellerinde elektrik alanın manyetik alana dönüşebileceğini anlatırlar, özelinde ise manyetik alanın varlığının bir elektrik akımı oluşması için yeterli olacağını söyler. Diferansiyel ve integral formu olan denklemleri şöyledir:
İntegral Formu
Σ\Sigma, 3 boyutlu Öklidyen uzayda kapalı bir yüzeyi temsil etsin, bu yüzeylerde elektrik alan E→\overrightarrow{E} ve manyetik alan B→\overrightarrow{B}, akım yoğunluğu J→\overrightarrow{J}, yük yoğunluğu ρ\rho, ortamın dielektrik katsayısı ϵ0\epsilon_0, geçirgenlik katsayısı μ0\mu_0 olsun; yani yüzey, dünya üzerinde, normal hava ortamında olsun.
1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)
∮∂Σ⟨E→,dΣ→⟩=1ϵ0∭ΣρdV\LARGE{\oint_{\partial \Sigma}\langle \overrightarrow{E} , \overrightarrow{d\Sigma} \rangle= \dfrac{1}{\epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho dV}
2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)
∮∂Σ⟨B→,dΣ→⟩=0\LARGE{\oint_{\partial \Sigma}\langle \overrightarrow{B} ,\overrightarrow{ d \Sigma} \rangle=0}
3. Faraday indüksiyon yasası
∮∂Σ⟨E→,dl→⟩=−ddt∬Σ⟨B→,dΣ→⟩\LARGE{\oint_{\partial\Sigma}\langle \overrightarrow{E},\overrightarrow{dl} \rangle=-\dfrac{d}{dt}\iint_\Sigma \langle \overrightarrow{B},\overrightarrow{d \Sigma} \rangle}
4. Ampere yasası (Maxwell'in ekleme yaptığı hali)
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 50₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
∮∂Σ⟨B→,dl→⟩=μ0(∬Σ⟨J→,dΣ→⟩+ϵ0ddt∬Σ⟨E→,dΣ→⟩)\LARGE{\oint_{\partial \Sigma} \langle \overrightarrow{B},\overrightarrow{dl} \rangle=\mu_0(\iint_{\Sigma} \langle \overrightarrow{J},\overrightarrow{d \Sigma}\rangle+\epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_{\Sigma}\langle \overrightarrow{E}, \overrightarrow{d \Sigma} \rangle)}
Bu denklemlerden kısaca bahsedeceğiz, ancak bir de bu denklemlerin diferansiyel formlarına bakmamız gerekiyor.
Diferansiyel Form
Üstteki denklemler, sırasıyla Stokes ve Diverjans teoremleri yardımıyla aşağıdaki denklemlere dönüştürülebilir:
1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)
⟨∇,E→⟩=ρϵ0\LARGE{\langle \nabla, \overrightarrow{E} \rangle = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}}
2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)
⟨∇,B→⟩=0\LARGE{\langle \nabla, \overrightarrow{B} \rangle= 0}
3. Faraday indüksiyon yasası
rot(E)=−∂B→∂t\LARGE{rot(E)=-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}
4. Ampere yasası
rot(B)=μ0J→+μ0ϵ0∂E→∂t\LARGE{rot(B)=\mu_0\overrightarrow{J}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}
Bu iki formun hiçbir farkı yoktur; aynı şeyi anlatırlar. Sadece probleme göre ikisinden biri kullanılır. Anlattıkları şey ise şu: Elektrik ile manyetizma aynı şeydir ve bir elektromanyetik dalga, bu iki alana da dik yönde ışık hızında ilerler.
Ampere yasasında, parantez içinde Maxwell'in bir ekleme yaptığı konusu dikkatinizi çekmiş olabilir. Maxwell'in eklediği şey, aslında bütün bu dört denklemin anlamlı olmasını sağlayanμ0ϵ0ddt∬Σ⟨E→,dΣ→⟩)\mu_0\epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_{\Sigma}\langle \overrightarrow{E}, \overrightarrow{d \Sigma} \rangle) bölümüdür. Bu kısmın anlattığı şey ise, elektriksel akının zamanla değişimi ile de bir akım oluştuğudur. Bu sayede elektriğin manyetizmaya dönüşmesinin bir anlamı olur.
Bir matematikçi gözüyle incelersek, bu denklemler deneysel gözlemlerin ve Stokes teoremlerinin bir sonucudur. Gauss yasası genelde Maxwell denklemlerinde ilk sırada yazılır çünkü kendisinin anlattığı şey, diğerlerine göre bir nebze daha sık öne çıkar, çünkü uygulaması elektromanyetik teorinin de dışına çıkar.
Gauss yasasının anlatmaya çalıştığı şey, bir kapalı yüzeyde elektriksel akının sabit kaldığı ve sadece yüke bağlı olduğudur. Yani siz 5C'luk (Coulomb, yük birimidir ve C ile gösterilir) bir yükü, dünyanın merkezine de koysanız, bir araba tekerleğinin içine de koysanız, yüzeyin üstünde elektrik akısı aynı miktarda olacaktır. Bu miktar, dielektrik katsayısı ile ters orantılıdır. Havanın dielektrik katsayısı ϵ0\epsilon_0 ile gösterilir. Bu katsayının değeri 1,5.10−101,5.10^{-10}, göreli belirsizlikle birlikte 8,85418781762039.10−12Faradmetre8,85418781762039.10^{-12} \dfrac{Farad}{metre}'dir. Deneysel ölçümlerle başka ortamların dielektrik katsayıları da hesaplanabilir.
Böylesine güçlü bir yasayı kanıtlamadan önce elbette biraz uygulamalarına bakalım. Elektromanyetik teorideki bir uygulamasına bakacak olursak eğri büğrü bir cisim düşünelim. Bu cismin içindeki bir (x,y,z)(x,y,z) noktası için ρ=−e−(x2+y2)\rho=-e^{-(x^2+y^2)}nCm3\dfrac{nC}{m^3} bir yük yoğunluğu olsun. Bu cismin yüzeyindeki elektrik akısını hesaplamasını okuyucudan istiyoruz. İpucu olarak, toplam yükü bulmak için silindirik koordinatlarda bir integrasyon yapmanız gerektiğini belirtmekte fayda var. Daha sonra, cismin içine gireceğini kabul ettiğimiz bir r0r_0 yarıçaplı bir küre üzerinde Gauss yasasını uygulayabilirsiniz.
Elektromanyetizmadan başka bir uygulama olarak Newton'un kütleçekim kanununda da Gauss yasası kullanılabilir. Kapalı yüzeylerdeki gravitasyonel akı, kütleyle orantılıdır ve ∮∂Σ⟨g→,dΣ→⟩=−4GπM\oint_{\partial\Sigma}\langle \overrightarrow{g},\overrightarrow{d\Sigma}\rangle=-4G\pi M olarak ifade edilebilir. Burada MM kütle, G G gravitasyonel sabittir (6.67408×10−11m3kg−1s−26.67408 × 10-11 m^3 kg^{-1} s^{-2} ) .
Mekanik dersi alan okuyucular, bu hesap yönteminin Newton'un yöntemine kıyasla ne kadar kolay olduğunu anlamışlardır. Gauss yasası, işin içinde akı ve bir kapalı yüzey olduğu herhangi bir sistem için uygulanabilir olduğu için, diğer Maxwell denklemlerinden ayrılır. Şimdi gelelim şık Gauss yasasının şık bir kanıtına.
Gauss Yasasının Kanıtı
Aşağıdaki şekilde, Gauss yasasının geometrisi görülmektedir. Bu şeklin keyfi bir şekil olduğunu varsayalım, çünkü kanıtımızın her kapalı şekile uyması gerekiyor.
Bu kapalı şekilde bir r→\overrightarrow{r} noktasında elektrik alan Coulomb kanunu neticesinde şöyle hesaplanır:
E(r→)=14πϵ0∭Σρr→−ζ→∣∣r→−ζ→∣∣3dζ→\LARGE{E(\overrightarrow{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho\dfrac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta}}{||\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta}||^3}d\overrightarrow{\zeta}}
Diverjans teoremi kullanılırsa:
div(E→)=1ϵ0∭Σρδ(r→−ζ→)dζ→\LARGE{div(\overrightarrow{E})=\dfrac{1}{ \epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho \delta(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta})d\overrightarrow{\zeta}}
Burada δ\delta, Dirac delta fonksiyonudur. Dirac delta fonksiyoniyonun özelliklerinden yararlanırsak ,div(E→)=ρϵ0div(\overrightarrow{E})= \dfrac{\rho}{\epsilon_0} sonucuna varırız ve bir kez daha diverjans teoremi kullanılırsa, Gauss yasasının integral formu elde edilir.
Burada kanıtı şık yapan husus, işin içine Dirac delta fonksiyonunun girmesidir. Nasıl girdiğini ise şöyle gösterelim: α→\overrightarrow{\alpha}'nın normunu α\alpha olarak alalım. Bu durumda:
div(α→α2)=1α2∂∂r(1)=0\LARGE{div(\dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2})=\dfrac{1}{\alpha^2}\dfrac{\partial}{\partial r} (1)=0}
ve diverjansın integrali:
∬Σdiv(α→α2)dV=∮∂Σ⟨α→α2,dΣ→⟩\LARGE{\iint_{\Sigma} div(\dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2}) dV=\oint_{\partial \Sigma}\langle \dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2},\overrightarrow{d\Sigma}\rangle}
Burada integrali yarıçapı RR olan küre üzerinde düşünebiliriz. İntegralin sonucu 1 gelecektir. Bu da Dirac deltanın tanımıdır.
Gauss yasasının kanıtında diverjans ve Stokes teoremleri birkaç defa kullanılır. Aralarındaki bu muhteşem ilişki de, bu müthiş yasayı oluşturur. İleri okumalar kısmında Stokes ve diverjans teoremi ve elektromanyetik teori ile ilgili kaynaklar bulabilirsiniz.
Evrim Ağacı'nda tek bir hedefimiz var: Bilimsel gerçekleri en doğru, tarafsız ve kolay anlaşılır şekilde Türkiye'ye ulaştırmak. Ancak tahmin edebileceğiniz gibi Türkiye'de bilim anlatmak hiç kolay bir iş değil; hele ki bir yandan ekonomik bir hayatta kalma mücadelesi verirken...
O nedenle sizin desteklerinize ihtiyacımız var. Eğer yazılarımızı okuyanların %1'i bize bütçesinin elverdiği kadar destek olmayı seçseydi, bir daha tek bir reklam göstermeden Evrim Ağacı'nın bütün bilim iletişimi faaliyetlerini sürdürebilirdik. Bir düşünün: sadece %1'i...
O %1'i inşa etmemize yardım eder misiniz? Evrim Ağacı Premium üyesi olarak, ekibimizin size ve Türkiye'ye bilimi daha etkili ve profesyonel bir şekilde ulaştırmamızı mümkün kılmış olacaksınız. Ayrıca size olan minnetimizin bir ifadesi olarak, çok sayıda ayrıcalığa erişim sağlayacaksınız.
Makalelerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.
Soru & Cevap Platformuna Git-
19
-
15
-
7
-
6
-
5
-
4
-
4
-
3
-
3
-
3
-
3
-
1
- B.Thide. Electromagnetic Field Theory. (27 Mayıs 2020). Alındığı Tarih: 27 Mayıs 2020. Alındığı Yer: docente | Arşiv Bağlantısı
- South Carolina University. The Theorems Of Green, Stokes, And Gauss. (27 Mayıs 2020). Alındığı Tarih: 27 Mayıs 2020. Alındığı Yer: South Carolina University | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 23/05/2025 07:52:58 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8798
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
