Eğik Atış Hareketi Nasıl Analiz Edilir? (Video Konu Anlatımı, Örnek Soru, Formüller)
Genel fizikte eğik atış hareketini, mekaniğin temellerini anlamada anahtar bir giriş noktası olarak görmek mümkündür. Fazlaca gözden kaçan bu konu, bazı konseptleri anlayacak bakış açılarını geliştirmemizde kilit bir rol oynuyor. Bu nedenle eğik atışları sadece formüller ve örnekler bağlamında incelemeyip, işin gerçekten fiziğini açıklayarak bu konuyu daha iyi kavramanızı sağlayacağız.
Eğik atış hareketi, yatayda belirli bir açıyla fırlatılan bir cismin, yer çekiminin etkisiyle zamanla yere yine belirli bir açıyla düşmesi hareketidir. Bu sırada fırlatılan cisim (örneğin bir top) bir eğri izler. Başlangıç aşamasında olduğumuzdan işlerimizi kolaylaştırması adına şu iki kabulü yapmamız gerekiyor:
- gg yer çekimi ivmesi hareket boyunca sabittir.
- Hava sürtünmesinin etkisi ihmal edilmektedir.
Birinci maddenin amacı şudur: Yer çekimi ivmesi, yüzeyden uzaklaştıkça azalır yani aslında sabit değildir. Fakat bu tür gündelik örneklerde bu miktar o kadar azdır ki, onu sabit kabul etmemek işleri karmaşıklaştırmaktan başka bir işe yaramaz. İkinci maddenin amacı ise eğrimizi daha pratik bir şekilde tanımlayıp karmaşadan kaçmaktır. Elbette bu ikisini de dahil ettiğiniz hesaplamalar yapabilirsiniz, fakat henüz ihmal ettiğimiz versiyonunun bile nasıl olduğunu bilmiyoruz! Her şey sırayla...
Aşağıda detaylıca ele aldığımız konu başlıklarını, çeşitli senaryoları ele alan simülasyonlarla ve pek bahsedilmeyen ama konunun anlaşılmasında kritik rolü olan konseptlerle geliştirdik ve sizler için animasyon haline getirdik:
Eğik Atış Hareketi
Eğik atış hareketini aşağıdaki görselle ifade edebiliriz. Cisim belirli bir başlangıç hızı vi, belirli bir başlangıç açısı θiθ_i ile fırlatılmaktadır. Burada dikkat etmeniz gereken ii alt indisidir, bu başlangıç değerini belirtmek için kullandığımız bir göstergedir (İng: "initial"). Bazıları "00" ile de gösterir.
Yukarıdaki görseli detaylıca incelemeden önce biraz düşünelim. Fiziğin mekanik kısmından bahsediyoruz, dolayısıyla bu kısım aslında bizim hayatımızda "tecrübe ettiğimiz" olgularla dolu. O halde sezgilerimizi kullanabiliriz, bırakın algılarınız işi yapsın. Öncelikle tahmin edelim, eğik atılan bir cisme ne olur?
- Önce yukarıya doğru çıkacak, sonra aşağıya doğru düşecektir.
- Bunu yaparken açıya bağlı olarak bir miktar da yatayda yol alacaktır.
- Yukarı çıkıp aşağıya indiğine göre, bu hareketin durduğu bir tepe noktası olacaktır.
- Eğer çok dik açıyla atarsak yatayda çok az hareket edecektir.
- Eğer çok dar bir açıyla atarsak çabuk düşeceği için yatayda yine az hareket edecektir.
- O halde bir "ara açı" değeriyle en ileri noktaya fırlatmak mümkün olmalıdır.
Belki bunlar şu anda sizin sezgilerinizle tam örtüşmüyor olabilir, hepsine katılmayabilirsiniz. Lakin hepsinin doğru olduğunu ve en önemlisi neden öyle olması gerektiğini göstereceğiz. Öncelikle hareketi adım adım inceleyelim.
A Noktası
Burada bir başlangıç (ilk) viv_i hızıyla topumuzu fırlatıyoruz. Fırlatma açımızı da θi olarak seçtik. Vektörler konusunda da ele aldığımız üzere bu hız vektörünün bir dikey (y\text{y}-eksenindeki) bir de yatay (x\text{x}-eksenindeki) bileşeni bulunur. Biz viv_i'nin yataydaki bileşenine, x-ekseni bileşeni olduğu için vxiv_{xi} diyeceğiz. Elbette dikeydekine de vyiv_{yi}. Buradaki ii indisinin, ilk değeri ifade ettiğini unutmayın. Eğer değer farklıysa, ii indisi koymamalıyız.
B Noktası
Topumuz belirli bir miktar ilerledi, fakat henüz zirvede değil. Yer çekiminin etkisi, başlangıçta ona dikey olarak verdiğimiz hızı zamanla azaltıyor. Dolayısıyla artık dikey bileşenin büyüklüğü daha az. Mavi ile gösterilen dikey hız vektörünün küçüldüğünü görebilirsiniz. Fakat yatayda bize engel olan hiçbir şey yok (sürtünmeyi ihmal etmiştik). Dolayısıyla hangi konumda olursa olsun yatay bileşenimiz hep vxiv_{xi} olacak.
Yatay bileşenin daima sabit olması, faydalanabileceğimiz önemli bir özellik. Bunu cebinizde tutmanızı öneririz. Çünkü sabitlerle iş yapmak daima daha kolaydır.
C Noktası
Burası tam olarak dikeyde cismin "o anlık" durduğu nokta. Dolayısıyla hız vektörünün hiçbir dikey bileşeni yok. İlk bakışta aklınıza şu soru gelebilir: Eğer dikeyde bir hız vektörü yoksa, nasıl oluyor da sonrasında geri düşebiliyor? Cevap basittir, çünkü hala dikey yönde aşağı doğru etkiyen bir yer çekiminin tesiri altındadır.
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Burada sadece yatay bileşenin olması da faydalanabileceğimiz bir özellik. Birazdan bunları nasıl kullanacağımızı göreceksiniz. Fakat bunları vurgulayarak dikkatinizi çekmek istediğim nokta, "bazı özel durumların" işimize nasıl yarayabileceği. Eğer problem çözerken bunlara dikkat ederseniz, size çok yardımcı olacaktır. Fizikçiler olarak yaklaşımımız daima bunları tespit etme üzerine kuruludur.
D Noktası
Aslında B\text{B} noktasının artık aşağıya düştüğü halidir. Dikkat ederseniz artık hız vektörümüzün yönü aşağıya doğru. Çünkü başlangıçta verdiğimiz hızın dikey bileşeni, yer çekimi tarafından yok edildi ve şimdi onu kendi tarafına doğru çekerek aşağı yönde bir hız vektörü kazandırıyor (ivmenin hızın zamanla değişimini ifade ettiğini hatırlayın).
E Noktası
Tam olarak yere çarptığı noktadır. Burada dikkat edilmesi gereken yere çarpış hızının ve açısının yine viv_i ve θiθ_i olduğudur. Başlangıçta bu kafanızı karıştırabilir. Lakin şunu hatırlayın, sürtünmeleri ve yer çekimi ivmesinin değişimini ihmal ettik. Dolayısıyla başlangıçta sahip olduklarımızı bizden alacak hiçbir şey yok. Bu nedenle hareket C\text{C} noktasından itibaren tamamen simetrik bir şekilde ilerliyor.
Eğik Atış Formülleri
Bir fizikçi gibi probleme yaklaşıp, önce sezgilerimizle neler olduğunu anlamaya çalışıp, bize yardımcı olacak noktaları bir kenara not aldığımıza göre, artık işin fiziğini incelemeye başlayabiliriz.
İlk yapmamız gereken, ilk göze çarpan tanımları açıkça yazmaktır. Başlangıç hızımız viv_i'yi biliyoruz, keza θiθ_i değerini de biliyoruz. O halde yatay vxiv_{xi} ve dikey vyiv_{yi} değerlerini basit bir trigonometriyle tanımlayabiliriz. Yatay bileşen kosinüs, dikey bileşen de sinüsüdür.
vxi=vicosθivyi=visinθi\Large v_{xi}=v_i \cos{\theta_i} \newline v_{yi}=v_i \sin{\theta_i}
Daha önceden x=vx⋅tx=v_x \cdot t olduğunu biliyorduk. Şimdi dikkat kesildiğimiz noktalardan birini kullanabiliriz. Çünkü vxiv_{xi}'nin hareket boyunca değişmediğini biliyoruz. O halde yatayda alınacak yol için denklemde bunu yerine koyarak:
xs=vxit=(vicosθi)\Large x_s=v_{xi}t=(v_i \cos{\theta_i})
olduğunu rahatlıkla görebiliriz. Aynı şeyi aslında dikey durum (yy) için de yapabiliriz. Fakat burada yer çekimi ivmesinin etkisi olduğunu hatırlamamız gerekiyor. Dolayısıyla daha önce de anlattığımız üzere aşağıdaki ilgili formülü kullanmamız ve yerine koymamız durumunda
ys=vyit+12ayt=visinθit−12gt2\Large y_s=v_{yi}t+\frac{1}{2}a_yt=v_i \sin{\theta_i}t-\frac{1}{2}gt^2
elde ederiz. Burada dikkatinizi çekmesi gereken aya_y ivmesini gg yaptığımızda başına eksi (-) işareti gelmesidir. Çünkü pozitifi yukarı yön olarak tanımladık. Yer çekimi aşağı doğru çektiği için işareti de bu durumda negatif olmalıdır.
Şimdi elimizde xsx_s ve ysy_s için iki ifade var. Bunları kullanarak basit bir numara yapacağız. Fizikte hareketli bir sistemin denklemini tek bir ifadede yazmak isteriz. Çünkü bu bize hareketin "biçimini" söyler. Bunun için yapmamız gereken hamle oldukça basittir. Her iki ifade de tt (zaman) değişkeni var, dolayısıyla xsx_s ifadesini tt için düzenleyip ysy_s denklemindeki tt yerine yazarsak, xx'in, yy'nin, vv'nin ve θθ'nın bir arada olduğu
y=(tanθi)x−(g2vi2cos2θi)x2\Large y=(\tan{\theta_i})x-(\frac{g}{2v_i^2\cos^2 \theta_i})x^2
denklemine ulaşırız. Karmaşık görünmesi canınızı sıkmasın. Aslında bu denklem aşağıdaki formun aynısıdır:
y=ax−bx2\Large y=ax-bx^2
Parabolik Hareket
Bu da bir parabol denklemidir! Kabullerimiz altındaki bir eğik atış hareketinin, daima parabol eğri çizeceğini ispatlamış olduk. Bu denklemin matematiğini güzelce anlamaya çalışmanızı öneririm. Dikkat edin, eğer sadece ilk terim olsaydı, denklemimiz y=axy=ax olurdu. Bu da aslında bir doğru denklemidir ve bu durum eğer yer çekimi olmasaydı (dikkat edin ilk terimde gerçekten de gg yok), cismimiz attığımız ilk hız vektörünün yönünde dümdüz giderdi demektir!
Öyleyse ikinci terim olan −bx2-bx^2 terimi parabolü belirlemektedir ve gerçekten de öyledir çünkü ikinci terim g ifadesini pay kısmında barındırır. Yani yer çekimi ivmesi (gg) ne kadar fazla olursa, doğrudan çıkarılacak yy değeri o kadar fazla olacak, yani parabol daha çabuk kapanacak, cisim daha çabuk düşecek demektir ve bu da kesinlikle beklendik bir sonuçtur.
Buradaki matematiğin güzelliğin bununla bitmez. θθ ifadesi için durumu değerlendirmek biraz zor olabilir çünkü ilk terimde de ikinci terimde de trigonometrik olarak bulunur. Bunu kafadan öngörmek biraz zordur. Lakin viv_i ifadesi sadece ikinci terimde ve onda da paydada vi2vi^2 olarak bulunur. Yani hızı ne kadar artırırsanız, paydada olduğu için ilk terimden çıkarılacak değer o kadar azalır. Aslında karesi olduğu için daha da az azalır! Bu da hız arttıkça, daha yükseğe çıkabileceği anlamına gelir. Yine algılarımızla ve beklentilerimizle örtüşen bir güzelliği daha keşfetmiş olduk.
Dolayısıyla bu görseli aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
r=vit+12gt2\Large \bold{r}=\bold{v_i}t+\frac{1}{2}\bold{g}t^2
Burada ikinci terim, bu süreçte serbest düşen bir parçacığın aynı zamanda düşeceği yüksekliktir. Dolayısıyla bu eğik atış hareketi, bu iki hareketin üst üste binmesiyle oluşur.
Eğik Atışta Maksimum Yükseklik ve Menzil
Şimdi biraz daha uygulamadaki kısmına dönelim. Bundan önce yaptıklarımız hareketin doğasını anlamak üzerineydi. Unutmayın, eğer hareketi anlarsanız, geri kalan her şey çorap söküğü gibi gelir. Fakat anlamazsanız her şey bir ezber yükümlülüğüne dönüşecektir.
Eğik Atışlarda Uçuş Süresi Formülü
Kenara koyduğumuz püf noktalardan birini kullanalım. C noktasındaki dikey hızın sıfır olması, çünkü eğer ben bir denklemde dikey hıza karşılık bir şeyler yazarsam denklemin bir tarafını sıfır yapıp işleri basitleştirmiş olurum. O halde
vys=vyi+ayt\Large v_{ys}=v_{yi}+a_yt
0=visinθi−gtc\Large 0=v_i \sin \theta_i - gt_c
tc=visinθig\Large t_c=\frac{v_i \sin \theta_i}{g}
Böylelikle C\text{C} noktasına ulaşması için gereken çıkış zamanı tct_c'yi tanımlamış olduk. Bunun iki katı, yani çıkış artı iniş süresi, eğik atışlarda uçuş süresi formülünü bize verir. Tek yapılması gereken 2tc2t_c'dir.
Fizikte denklemleri anlamak oldukça önemlidir, o nedenle sık sık durup, bu matematiğin size ne söylediğine bakmalısınız. Böylelikle her şeyi anlamanız ve hatırlamanız kolay olacaktır. Eğer dikkat ederseniz paydada bir gg ifadesi var.
Yani g ne kadar azalırsa tc o kadar artıyor. Şimdi şu senaryoyu hatırlayın, eğer yer çekimi ivmesi olmasaydı, hareket doğrusal olacaktı. Bu bir tepe noktasının hiçbir zaman olmayacağı, sonsuza kadar tepeye tırmanacağını ima eder. Gerçekten de gg değeri sıfıra yaklaştıkça tct_c sonsuza gitmektedir!
Eğik Atışlarda Maksimum Yükseklik Formülü
Şimdi elimizde tc değeri olduğuna göre bize yüksekliği veren denklemde bunu yerine koyarak
h=(visinθi)visinθig−12g(visinθig)2\Large h=(v_i \sin \theta_i)\frac{v_i \sin \theta_i}{g}-\frac{1}{2}g(\frac{v_i \sin \theta_i}{g})^2
h=vi2sin2θi2g\Large h=\frac{v_i^2 \sin^2 \theta_i}{2g}
eğik atışlarda maksimum yükseklik formülü elde edilir. Bu denkleme dikkatlice bakacak olursanız herhangi bir zaman terimi içermediğini görürsünüz (çünkü zaten zamanın yerine başka değişkenler koyduk). Dolayısıyla bu formül herhangi bir zamandaki yükseklik değerini değil, bizim istediğimiz ilgili tc zamanındaki yüksekliği, yani maksimum yüksekliği verir.
Eğik Atışlarda Menzil Formülü
Maksimum yükseklik için kullandığımız tct_c zamanını, menzil olan RR için de kullanabiliriz. Fakat dikkat etmek gerekir ki, maksimum yüksekliğe, bitişe giden yolun yarısında kullandık. Dolayısıyla menzili hesaplarken tct_c yerine tüm uçuş süresi formülü olan 2tc2t_c'yi kullanmamız gerek. Yataydaki hareket için X=V⋅tX=V\cdot t formülümüzü hatırlayıp kullanırsak
R=vxite=(vicosθi)2tc\Large R=v_{xi}t_e=(v_i \cos \theta_i)2t_c
yazabiliriz. Tek yapmamız gereken tc terimini yerine yazmaktır.
R=(vicosθi)2visinθig=2vi2sinθicosθig\Large R=(v_i \cos \theta_i)\frac{2v_i \sin \theta_i}{g}=\frac{2v_i^2 \sin \theta_i \cos \theta_i}{g}
Burada sin2x=2sinxcosx\sin 2x=2 \sin x \cos x özdeşliğini kullanarak ufak bir düzenleme yapabiliriz. Son haliyle eğik atışlarda menzil formülü
R=vi2sin2θig\Large R=\frac{v^2_i \sin 2\theta_i}{g}
olarak elde edilir. Yine denklemi inceleyecek olursak, sinüs ifadesinin en fazla 1 değerini alabileceğinden maksimum değerin başlangıç hızının karesi bölü yer çekimi ivmesi olduğunu görürüz (Rmax=vi2/gR_{max}=v_i^2/g). Yani eğik atışta yatayda alınabilecek maksimum mesafe 2θ=90°2θ=90° iken, dolayısıyla θ=45°θ=45° iken gerçekleşir. Bu da bizi şu önemli sonuca ulaştırır:
Bir cismi mümkün olan maksimum uzaklığa fırlatmak için cisim 45° açıyla atılmalıdır.
Bir diğer fark edilmesi gereken hoş nokta, 30° ve 60° ile attığınızda bunların ikisinin de aynı noktaya düşecek olmasıdır. Keza 15° ile 75° olanlar da aynı noktaya düşer (sanırım ilişkiyi yakalamış olmalısınız). Bunun nedeni sinx=sin(180−x)\sin x=\sin (180-x) olmasıdır (2θ2θ olduğunu unutmayın).
Serbest düşme için düşüş süresi (eğik atışlarda da kullanabilirsiniz), ivmeli ve hızlı hareket denkleminde, hız sıfır alınarak aşağıdaki gibi bulunabilir (örneğe bakınız).
t=2hg\Large t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
Örnek Soru
Eğik atışlar ile ilgili sorular biraz kafa karıştırıcı olabilir, lakin yukarıda anlattığımız konsepti eğer iyi anladıysanız, emin olun hepsini çözebilirsiniz. Anlamadıysanız da problem değil, birçok öğrenci tek seferde anlayamamayı bir problem olarak görür. Fakat bilim dünyasında işler böyle yürümüyor, o nedenle anlayana kadar tekrar okuyup üzerinden geçmeyi alışkanlık haline getirmenizi tavsiye ederim. Gerekirse zaman aralıklarına yayabilirsiniz.
Genelde temel olarak baktığımızda eğik atışlarda üç tipte zorlayıcı olabilecek soru var:
- Belirli bir yükseklikten atılıp yere düşen cisim.
- Bir duvardan sektirilip düşürülen cisim
- Hareketli bir hedefe atılan cisim
Soru
45 metrelik bir binanın tepesinden 30° açıyla ve 20 m/s hızla atılan bir top ne kadar süre sonra yere düşer ve çarpma hızının büyüklüğü nedir? (g=9.8m/s^2)
Çözüm
İlk sorulan şey yere düşme süresidir. Bunun için problem oldukça basittir, çünkü düşme süresi sadece dikeydeki hareketle ilgilidir. Tek yapmamız gereken önce ne kadar yükseğe çıkacağını bulup çıkış zamanını belirlemek, ardından bu yükseklik artı binanın yüksekliğinden düşüş süresini bulmaktır. Unutmayın, bu noktada serbest düşüş yapıyor gibi düşünebilirsiniz, yatay hareketin bu durumla hiçbir ilgisi yok!
Yükseklik formülünü (hh) hatırlayalım. 30° açı ile 20 m/s ve g değerlerini yerine koyarak hh değerini hesaplayalım.
h=vi2sin2θi2g\Large h=\frac{v_i^2 \sin^2 \theta_i}{2g}
Bu durumda h=5.1h=5.1 metredir. Buraya eğik atışta çıkış süresi için tct_c formülünü hatırlayalım.
tc=visinθig\Large t_c=\frac{v_i \sin \theta_i}{g}
Bu durumda t=1.02 saniye eder. Şimdi tek yapmamız gereken (45+5.1) metreden serbest düşen bir cismin ne kadar sürede düşeceğini bulmak. Bunun için ivmeli bir harekette yer değiştirmeyi veren formülü kullanabiliriz.
r=vit+12gt2\Large \bold{r}=\bold{v_i}t+\frac{1}{2}\bold{g}t^2
Burada r\bold{r} bizim için hh değeridir. Tepe noktasında dikey doğrultuda hiçbir hareket olmadığı için ilk terim sıfırdır. Dolayısıyla sadece sağ terim kalır ve buradan tt'yi çekebiliriz.
t=2hg\Large t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
Buradan t=3.2t=3.2 saniye bulunur. Daha önce de çıkış süresi t=1.02t=1.02 saniye olduğuna göre toplam uçuş süresi 4.22 saniye olarak bulunur.
Çarpma hızını bulmak için tepe noktasından itibaren yine ivmeli hareket formülümüzü kullanabiliriz. Bu noktadan düşüş süresi 3.2 saniyeydi.
r=vit+12gt2\Large \bold{r}=\bold{v_i}t+\frac{1}{2}\bold{g}t^2
Elbette burada ivmenin başında negatif işareti olacağına dikkat çekmek gerek. Burada tek bilinmeyen viv_i için denklem çözüldüğünde 31.3 m/s bulunur. Hareketin eksi yönde olacağını hatırlayarak bunu -31.3 m/s olarak düzenleyebiliriz. Yatay bileşeni de viv_i ile kosinüs değerinin çarpımından 17.3 m/s olarak buluruz. Bu iki değerin karelerinin toplamının karekökü bize hız vektörünün büyüklüğünü verir. Bu da 35.9 m/s'dir.
Bu tür konsept sorularını çözerek eğik atışlar üzerinde pratik yapmanızı kesinlikle tavsiye ediyoruz. Eğer bu tip eğik atış sorularını çözebilirseniz, gerisi gerçekten oldukça kolay olacaktır. Gördüğünüz üzere sadece basit birkaç denklemi kullanarak her şeyi hesaplayabiliyoruz. Tüm olay problemi doğru analiz edip, ilgili parçalara ayırıp basit hale indirgeyerek çözmekte.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 8
- 5
- 4
- 3
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 13/12/2024 12:31:31 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12876
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.