Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Leibniz'in Gözünden Kalkülüs: Leibniz Parçalı İntegrali Nasıl Elde Etti?

Leibniz'in Gözünden Kalkülüs: Leibniz Parçalı İntegrali Nasıl Elde Etti?
6 dakika
1,094
  • Blog Yazısı
Blog Yazısı
Tüm Reklamları Kapat

Sürekli değişimin matematiksel çalışması olarak da tanımlanan kalkülüs, 17. ve 18. yüzyılların iki büyük düşünürü olan Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilip modern haline kavuşturulmuştur. Ancak bu yazımızda sadece Leibniz'in çalışmasına odaklanıp onun parçalı integral formülünü nasıl türettiğini anlamaya çalışacağız.

Leibniz'in Christoph Bernhard Francke tarafından yapılan 1695 tarihli portresi
Leibniz'in Christoph Bernhard Francke tarafından yapılan 1695 tarihli portresi

Leibniz Kimdir?

Leibniz birçok şeydir, ama kısaca bir dâhiydi ve hayatı boyunca matematik, fizik, hukuk, dil bilimi, bilgisayar bilimi ve jeoloji dahil olmak üzere birçok alanda çalışıp her birine sayısız katkı sağladı. Ayrıca Avrupa'nın Almanca konuşan topraklarındaki ilk bilimsel dergi olan ''Acta Eruditorum'' (Tür: ''Bilge Eylemleri'') dergisinin destekçilerinden biriydi. Gene aynı dergide kalkülüs üzerine hemen aşağıda en ünlü üç tanesinin adını göreceğiniz çalışmalar yayımladı:

  1. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (1684)
  2. De geometria recondite et analysi indivisibilium atque infinitorum (1686)
  3. Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditions (1693)

Türkçe olarak, başlıklar sırasıyla:

Tüm Reklamları Kapat

  1. ''Maksimum, minimum ve teğetler için kesirli veya irrasyonel nicelikler tarafından engellenmeyen yeni bir yöntem ve yukarıda belirtilenler için tekil bir hesap''
  2. ''Gizli bir geometri ve bölünmezlerin ve sonsuzun analizi üzerine''
  3. ''Ölçümlerin geometrisinin tamamlanması, veya bir hareketten etkilenecek tüm dördünlerin genellemesi ve teğetin belirli bir koşulundan bir eğrinin çeşitli yapıları''
Üst bölümde başlıkları verilmiş olan makalelerin Acta Eruditorum Dergisinde yayınlanmış olan orijinal nüshaları
Üst bölümde başlıkları verilmiş olan makalelerin Acta Eruditorum Dergisinde yayınlanmış olan orijinal nüshaları

Leibniz'in Dönüşüm Teoremi

Bu yazımızda, yukarıda Latince ve Türkçe isimlerini gördüğünüz makalelerden de yararlanarak Leibniz'in eğriler arasındaki alanları bulmakla ilgili olan dönüşüm teoreminin, bize parçalı integraller için kullandığımız formülleri nasıl verdiğini göreceğiz. Leibniz'in mantığını anlamak için aşağıdaki grafiğe bakıp Leibniz'in AB eğrisi ile y=0 arasında kalan alanı hesaplama sırasını gözden geçirelim.

Grafik 1: Tabanı sonsuz küçük dx ve değişen yüksekliği y(x) olan bir dikdörtgen
Grafik 1: Tabanı sonsuz küçük dx ve değişen yüksekliği y(x) olan bir dikdörtgen

Leibniz, bu toplam alanı, tabanı dx ile gösterilip sonsuz küçüklüğe sahip olan sonsuz sayıdaki dikdörtgenin toplamı olarak kabul etti. Ancak AB dediğimiz parça bir eğri olduğundan sonsuz sayıdaki dikdörtgenlerimizin yüksekliği birbirinden farklı olmalıydı ve bu farklılık eğrinin fonksiyonuna yani y(x)'e bağlıydı. Dolayısıyla dikdörtgenimizin alanını ydx şeklinde gösterebiliyor olmalıydık. Eğrinin altındaki alan tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olduğundan, Leibniz toplam alanı aşağıdaki gibi oldukça ünlü bir şekilde gösterdi:

denklem1:∫ydxdenklem1: \int y dx

Günümüzde de integral sembolü olarak bilinen bu sembol, Leibniz'in gözünde ''sum'' (Lat: ''summa'') kelimesini temsil eden ''S'' harfinin ta kendisiydi.

Tüm Reklamları Kapat

Şimdi hesaplamamızdaki ilk grafiğimizi daha iyi inceleyebilmek için, sonucunda aşağıdaki gibi gösterilecek şekilde biraz daha bağlantı eklediğimizi düşünelim:

Grafik 2
Grafik 2

Bu şekildeki z uzunluğu için aşağıdaki bağlantı geçerlidir:

denklem2:dydx=PDTD=y−zx  ⟹  z=y−xdydxdenklem2: \frac{dy}{dx}= \frac{PD}{TD} = \frac{y-z}{x} \implies z=y-x\frac{dy}{dx}

Bu bağlantıyı ikinci grafiğimizle kaynaştırmaya çalışırsak, buradaki WOT açısı olarak da ifade edebileceğimiz α açısının PTD açısıyla aynı olduğunu, dolayısıyla ΔWOT üçgeninin sonsuz küçüklükteki üçgenle benzer olduğu sonucuna varırız ve bu da bizi aşağıdaki denkliğe götürür:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

denklem3:hds=zdxdenklem3: hds = zdx

Bu eşitliği de kullanmak şartıyla, gene ikinci grafikte gördüğümüz ΔOPQ üçgeninin sonsuz küçüklükteki tabanının karşılığı olan ds ve yüksekliği olan h ı kullanıp alanını bulmaya çalışırsak karşımıza aşağıdaki gibi bir sonuç çıkacaktır:

denklem4:Alan△OPQ=12zdxdenklem4: Alan_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} zdx

Bu durumda A ile B noktaları arasında sınırlanmış y(x) fonksiyonunu tabanı yapan ve diğer köşesi O noktasına değen kamanın (İng: ''wedge'') alanı, tabanı sonsuz küçüklükte olan üçgenlerin alanlarının toplamına eşit olacağından bu alanı integral ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

denklem5:Akama=12∫zdxdenklem5: A_{kama}= \frac{1}{2}\int zdx

Son adım ise AB eğrisinin altındaki alan ile kamanın alanı arasındaki ilişkiyi bulmaktır. İkinci grafiğimize göre bu alan, iki parçanın toplamına eşittir. Bu alanlar kamanın alanı ve ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasında kalan farktır:

Tüm Reklamları Kapat

denklem6:∫ydx=12∫zdx+12by(b)−12ay(a)denklem6: \int ydx = \frac{1}{2} \int zdx + \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2} ay(a)

ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasındaki matematiksel farkın aşağıdaki gibi de ifade edilebildiğini unutmayalım:

denklem7:12xy∣ab=12by(b)−12ay(a)denklem7: \frac{1}{2}xy|_a^b = \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2}ay(a)

Tüm Reklamları Kapat

Birinci ve beşinci denklemlerimizin basit cebirle birleştirilmesi bize aşağıdaki denklemi verecektir:

denklem8:∫abydx=xy∣ab−∫y(a)y(b)xdydenklem8: \displaystyle\int_a^b ydx = xy|_a^b - \displaystyle\int_{y(a)}^{y(b)} xdy

Bu bilgiler ışığında elde ettiğimiz son denklemle ikinci grafiğimizi yeniden incelersek elimize şu veriler geçecektir:

  1. Denklemimizin en soldaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte dikey çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
  2. Denklemimizin en sağdaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte yatay çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
  3. En sağdaki terimi denklemin sol tarafına hareket ettirirsek, bahsi geçen iki alanın toplamının tabanı b olan dikdörtgenler ile tabanı a olan dikdörtgenler arasındaki farka eşit olduğunu görürüz (bkz. denklem6)
Grafik 3: 8. denklemimizin sonucu olarak elde ettiğimiz verileri daha somut kılan grafik
Grafik 3: 8. denklemimizin sonucu olarak elde ettiğimiz verileri daha somut kılan grafik

Bu noktada Leibniz, x değişkenini g(x), y değişkenini ise f(x) olarak sembolleştirmeyi seçmişti.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Ben Ben – Ölümle On Yedi Karşılaşma

“YILIN KİTABI” SEÇKİLERİNDE
SUNDAY TIMES • GUARDIAN • TIMES OBSERVER • TELEGRAPH

Ölümcül seyreden bir çocukluk hastalığı, neredeyse felaketle sonlanacak bir ergenlik isyanı, ıssız bir patikada bir seri katille karşılaşma, eksik personelli bir hastanede beceriksizce yaptırılan bir doğum. Bunlar çağdaş edebiyatın önemli yazarlarından, Costa Ödülü sahibi Maggie O’Farrell’ın bizzat yaşadığı ve bu sıra dışı anı kitabıyla okuruyla paylaştığı, ölümle on yedi karşılaşmasından sadece dördü. Gerçek, soluksuz bırakan ama hepsinden öte, bizlere “derin bir nefes alıp kalbimizin atışını dinlememizi” hatırlatan bir anı-roman.

“Nefes kesecek kadar iyi.” Guardian
“O’Farrell eline okla yayı alıp doğrudan kalbe nişanlıyor.” Times
“Ölüm hakkında olup da kendimi bu kadar canlı hissettiren hiçbir kitap olmadı.” Tracy Chevalier
“O’Farrell her manada bir mucize. Bu kitabı asla unutamayacağım.” Ann Patchett

GOODREADS OKUR ÖDÜLLERİ
ANI KATEGORİSİ YARI FİNALİSTİ

Devamını Göster
₺180.00
Ben Ben – Ölümle On Yedi Karşılaşma
  • Dış Sitelerde Paylaş

denklem9:g(x)=x,y=f(x)denklem9: g(x) = x, y = f(x)

Dolayısıyla türevleri:

denklem10:g′(x)=1,dy=f′(x)dxdenklem10: g'(x) = 1, dy = f'(x)dx

değerini veriyordu. Bu eşitliği denklem6 ile birleştirince

denklem11:∫abf(x)g′(x)dx=g(x)f(x)∣ab−∫abg(x)f′(x)dxdenklem11: \displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)dx = g(x)f(x)|_a^b - \displaystyle\int_a^b g(x)f'(x)dx

Görüyoruz ki, oldukça beklenmedik bir şekilde de olsa, ikinci şeklimizdeki karmaşık grafik yardımıyla matematikte en çok kullanılan formüllerden birine, parçalı integrale ulaşmış oldu.

Teşekkürler!!!

Uygarlığımız var olduğundan bu yana kesintilere uğramış olsa da gelişimini hep sürdürdü ve bu sırada kainatla ilgili bilgilerimiz bir ağacın dalı gibi dallandı, budaklandı ve genel itibari ile büyümeye devam etti. Bu ağacımızın önemli dallarından biri olan matematiği hesaplanabilir ve hemen hemen her alanda kullanılabilen hale dönüştüren nadir dehalardan birisi de 306 yıl önce (14/11/1716) bugün hayata gözlerini yuman Gottfried Wilhelm Leibniz'di. Asırlar sonra dahi anlam bulmak için başvurduğumuz bu dehaya bir kez daha sonsuz teşekkürler.

Okundu Olarak İşaretle
18
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Raporla
Mantık Hatası Bildir
Yukarı Zıpla
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 3
  • Bilim Budur! 2
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 2
  • Tebrikler! 1
  • Merak Uyandırıcı! 1
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 24/06/2024 02:44:36 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13322

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Beyaz
Görelilik
Bakteri
Hastalık Yayılımı
Organ
Yangın
Gıda Güvenliği
Regülasyon
Foton
Aşırı
Güneş
Sinaps
Yıl
Hamile
Karanlık Madde
Ekonomi
Uterus
Lgbt
Ses Kaydı
Göç
Kamuflaj
Sinek
Biyocoğrafya
Viroloji
Dışkı
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close