Leibniz'in Gözünden Kalkülüs: Leibniz Parçalı İntegrali Nasıl Elde Etti?
Sürekli değişimin matematiksel çalışması olarak da tanımlanan kalkülüs, 17. ve 18. yüzyılların iki büyük düşünürü olan Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilip modern haline kavuşturulmuştur. Ancak bu yazımızda sadece Leibniz'in çalışmasına odaklanıp onun parçalı integral formülünü nasıl türettiğini anlamaya çalışacağız.
Leibniz Kimdir?
Leibniz birçok şeydir, ama kısaca bir dâhiydi ve hayatı boyunca matematik, fizik, hukuk, dil bilimi, bilgisayar bilimi ve jeoloji dahil olmak üzere birçok alanda çalışıp her birine sayısız katkı sağladı. Ayrıca Avrupa'nın Almanca konuşan topraklarındaki ilk bilimsel dergi olan ''Acta Eruditorum'' (Tür: ''Bilge Eylemleri'') dergisinin destekçilerinden biriydi. Gene aynı dergide kalkülüs üzerine hemen aşağıda en ünlü üç tanesinin adını göreceğiniz çalışmalar yayımladı:
- Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (1684)
- De geometria recondite et analysi indivisibilium atque infinitorum (1686)
- Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditions (1693)
Türkçe olarak, başlıklar sırasıyla:
- ''Maksimum, minimum ve teğetler için kesirli veya irrasyonel nicelikler tarafından engellenmeyen yeni bir yöntem ve yukarıda belirtilenler için tekil bir hesap''
- ''Gizli bir geometri ve bölünmezlerin ve sonsuzun analizi üzerine''
- ''Ölçümlerin geometrisinin tamamlanması, veya bir hareketten etkilenecek tüm dördünlerin genellemesi ve teğetin belirli bir koşulundan bir eğrinin çeşitli yapıları''
Leibniz'in Dönüşüm Teoremi
Bu yazımızda, yukarıda Latince ve Türkçe isimlerini gördüğünüz makalelerden de yararlanarak Leibniz'in eğriler arasındaki alanları bulmakla ilgili olan dönüşüm teoreminin, bize parçalı integraller için kullandığımız formülleri nasıl verdiğini göreceğiz. Leibniz'in mantığını anlamak için aşağıdaki grafiğe bakıp Leibniz'in AB eğrisi ile y=0 arasında kalan alanı hesaplama sırasını gözden geçirelim.
Leibniz, bu toplam alanı, tabanı dx ile gösterilip sonsuz küçüklüğe sahip olan sonsuz sayıdaki dikdörtgenin toplamı olarak kabul etti. Ancak AB dediğimiz parça bir eğri olduğundan sonsuz sayıdaki dikdörtgenlerimizin yüksekliği birbirinden farklı olmalıydı ve bu farklılık eğrinin fonksiyonuna yani y(x)'e bağlıydı. Dolayısıyla dikdörtgenimizin alanını ydx şeklinde gösterebiliyor olmalıydık. Eğrinin altındaki alan tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olduğundan, Leibniz toplam alanı aşağıdaki gibi oldukça ünlü bir şekilde gösterdi:
denklem1:∫ydxdenklem1: \int y dx
Günümüzde de integral sembolü olarak bilinen bu sembol, Leibniz'in gözünde ''sum'' (Lat: ''summa'') kelimesini temsil eden ''S'' harfinin ta kendisiydi.
Şimdi hesaplamamızdaki ilk grafiğimizi daha iyi inceleyebilmek için, sonucunda aşağıdaki gibi gösterilecek şekilde biraz daha bağlantı eklediğimizi düşünelim:
Bu şekildeki z uzunluğu için aşağıdaki bağlantı geçerlidir:
denklem2:dydx=PDTD=y−zx ⟹ z=y−xdydxdenklem2: \frac{dy}{dx}= \frac{PD}{TD} = \frac{y-z}{x} \implies z=y-x\frac{dy}{dx}
Bu bağlantıyı ikinci grafiğimizle kaynaştırmaya çalışırsak, buradaki WOT açısı olarak da ifade edebileceğimiz α açısının PTD açısıyla aynı olduğunu, dolayısıyla ΔWOT üçgeninin sonsuz küçüklükteki üçgenle benzer olduğu sonucuna varırız ve bu da bizi aşağıdaki denkliğe götürür:
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
denklem3:hds=zdxdenklem3: hds = zdx
Bu eşitliği de kullanmak şartıyla, gene ikinci grafikte gördüğümüz ΔOPQ üçgeninin sonsuz küçüklükteki tabanının karşılığı olan ds ve yüksekliği olan h ı kullanıp alanını bulmaya çalışırsak karşımıza aşağıdaki gibi bir sonuç çıkacaktır:
denklem4:Alan△OPQ=12zdxdenklem4: Alan_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} zdx
Bu durumda A ile B noktaları arasında sınırlanmış y(x) fonksiyonunu tabanı yapan ve diğer köşesi O noktasına değen kamanın (İng: ''wedge'') alanı, tabanı sonsuz küçüklükte olan üçgenlerin alanlarının toplamına eşit olacağından bu alanı integral ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
denklem5:Akama=12∫zdxdenklem5: A_{kama}= \frac{1}{2}\int zdx
Son adım ise AB eğrisinin altındaki alan ile kamanın alanı arasındaki ilişkiyi bulmaktır. İkinci grafiğimize göre bu alan, iki parçanın toplamına eşittir. Bu alanlar kamanın alanı ve ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasında kalan farktır:
denklem6:∫ydx=12∫zdx+12by(b)−12ay(a)denklem6: \int ydx = \frac{1}{2} \int zdx + \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2} ay(a)
ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasındaki matematiksel farkın aşağıdaki gibi de ifade edilebildiğini unutmayalım:
denklem7:12xy∣ab=12by(b)−12ay(a)denklem7: \frac{1}{2}xy|_a^b = \frac{1}{2}by(b) - \frac{1}{2}ay(a)
Birinci ve beşinci denklemlerimizin basit cebirle birleştirilmesi bize aşağıdaki denklemi verecektir:
denklem8:∫abydx=xy∣ab−∫y(a)y(b)xdydenklem8: \displaystyle\int_a^b ydx = xy|_a^b - \displaystyle\int_{y(a)}^{y(b)} xdy
Bu bilgiler ışığında elde ettiğimiz son denklemle ikinci grafiğimizi yeniden incelersek elimize şu veriler geçecektir:
- Denklemimizin en soldaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte dikey çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
- Denklemimizin en sağdaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte yatay çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
- En sağdaki terimi denklemin sol tarafına hareket ettirirsek, bahsi geçen iki alanın toplamının tabanı b olan dikdörtgenler ile tabanı a olan dikdörtgenler arasındaki farka eşit olduğunu görürüz (bkz. denklem6)
Bu noktada Leibniz, x değişkenini g(x), y değişkenini ise f(x) olarak sembolleştirmeyi seçmişti.
denklem9:g(x)=x,y=f(x)denklem9: g(x) = x, y = f(x)
Dolayısıyla türevleri:
denklem10:g′(x)=1,dy=f′(x)dxdenklem10: g'(x) = 1, dy = f'(x)dx
değerini veriyordu. Bu eşitliği denklem6 ile birleştirince
denklem11:∫abf(x)g′(x)dx=g(x)f(x)∣ab−∫abg(x)f′(x)dxdenklem11: \displaystyle\int_a^b f(x)g'(x)dx = g(x)f(x)|_a^b - \displaystyle\int_a^b g(x)f'(x)dx
Görüyoruz ki, oldukça beklenmedik bir şekilde de olsa, ikinci şeklimizdeki karmaşık grafik yardımıyla matematikte en çok kullanılan formüllerden birine, parçalı integrale ulaşmış oldu.
Teşekkürler!!!
Uygarlığımız var olduğundan bu yana kesintilere uğramış olsa da gelişimini hep sürdürdü ve bu sırada kainatla ilgili bilgilerimiz bir ağacın dalı gibi dallandı, budaklandı ve genel itibari ile büyümeye devam etti. Bu ağacımızın önemli dallarından biri olan matematiği hesaplanabilir ve hemen hemen her alanda kullanılabilen hale dönüştüren nadir dehalardan birisi de 306 yıl önce (14/11/1716) bugün hayata gözlerini yuman Gottfried Wilhelm Leibniz'di. Asırlar sonra dahi anlam bulmak için başvurduğumuz bu dehaya bir kez daha sonsuz teşekkürler.
- 3
- 2
- 2
- 2
- 2
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 12/12/2024 10:46:04 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13322
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.