Leibniz'in Gözünden Kalkülüs: Leibniz Parçalı İntegrali Nasıl Elde Etti?

Sürekli değişimin matematiksel çalışması olarak da tanımlanan kalkülüs, 17. ve 18. yüzyılların iki büyük düşünürü olan Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilip modern haline kavuşturulmuştur. Ancak bu yazımızda sadece Leibniz'in çalışmasına odaklanıp onun parçalı integral formülünü nasıl türettiğini anlamaya çalışacağız.

Leibniz Kimdir?

Leibniz birçok şeydir, ama kısaca bir dâhiydi ve hayatı boyunca matematik, fizik, hukuk, dil bilimi, bilgisayar bilimi ve jeoloji dahil olmak üzere birçok alanda çalışıp her birine sayısız katkı sağladı. Ayrıca Avrupa'nın Almanca konuşan topraklarındaki ilk bilimsel dergi olan ''Acta Eruditorum'' (Tür: ''Bilge Eylemleri'') dergisinin destekçilerinden biriydi. Gene aynı dergide kalkülüs üzerine hemen aşağıda en ünlü üç tanesinin adını göreceğiniz çalışmalar yayımladı:

1. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (1684)
2. De geometria recondite et analysi indivisibilium atque infinitorum (1686)
3. Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditions (1693)

Türkçe olarak, başlıklar sırasıyla:

1. ''Maksimum, minimum ve teğetler için kesirli veya irrasyonel nicelikler tarafından engellenmeyen yeni bir yöntem ve yukarıda belirtilenler için tekil bir hesap''
2. ''Gizli bir geometri ve bölünmezlerin ve sonsuzun analizi üzerine''
3. ''Ölçümlerin geometrisinin tamamlanması, veya bir hareketten etkilenecek tüm dördünlerin genellemesi ve teğetin belirli bir koşulundan bir eğrinin çeşitli yapıları''

Leibniz'in Dönüşüm Teoremi

Bu yazımızda, yukarıda Latince ve Türkçe isimlerini gördüğünüz makalelerden de yararlanarak Leibniz'in eğriler arasındaki alanları bulmakla ilgili olan dönüşüm teoreminin, bize parçalı integraller için kullandığımız formülleri nasıl verdiğini göreceğiz. Leibniz'in mantığını anlamak için aşağıdaki grafiğe bakıp Leibniz'in AB eğrisi ile y=0 arasında kalan alanı hesaplama sırasını gözden geçirelim.

Leibniz, bu toplam alanı, tabanı dx ile gösterilip sonsuz küçüklüğe sahip olan sonsuz sayıdaki dikdörtgenin toplamı olarak kabul etti. Ancak AB dediğimiz parça bir eğri olduğundan sonsuz sayıdaki dikdörtgenlerimizin yüksekliği birbirinden farklı olmalıydı ve bu farklılık eğrinin fonksiyonuna yani y(x)'e bağlıydı. Dolayısıyla dikdörtgenimizin alanını ydx şeklinde gösterebiliyor olmalıydık. Eğrinin altındaki alan tüm bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olduğundan, Leibniz toplam alanı aşağıdaki gibi oldukça ünlü bir şekilde gösterdi:

$denklem1:\int ydx$

Günümüzde de integral sembolü olarak bilinen bu sembol, Leibniz'in gözünde ''sum'' (Lat: ''summa'') kelimesini temsil eden ''S'' harfinin ta kendisiydi.

Şimdi hesaplamamızdaki ilk grafiğimizi daha iyi inceleyebilmek için, sonucunda aşağıdaki gibi gösterilecek şekilde biraz daha bağlantı eklediğimizi düşünelim:

Bu şekildeki z uzunluğu için aşağıdaki bağlantı geçerlidir:

$denklem2:\frac{dy}{dx}=\frac{PD}{TD}=\frac{y-z}{x}⟹z=y-x\frac{dy}{dx}$

Bu bağlantıyı ikinci grafiğimizle kaynaştırmaya çalışırsak, buradaki WOT açısı olarak da ifade edebileceğimiz α açısının PTD açısıyla aynı olduğunu, dolayısıyla ΔWOT üçgeninin sonsuz küçüklükteki üçgenle benzer olduğu sonucuna varırız ve bu da bizi aşağıdaki denkliğe götürür:

$denklem3:hds=zdx$

Bu eşitliği de kullanmak şartıyla, gene ikinci grafikte gördüğümüz ΔOPQ üçgeninin sonsuz küçüklükteki tabanının karşılığı olan ds ve yüksekliği olan h ı kullanıp alanını bulmaya çalışırsak karşımıza aşağıdaki gibi bir sonuç çıkacaktır:

$denklem4:Ala{n}_{△OPQ}=\frac{1}{2}zdx$

Bu durumda A ile B noktaları arasında sınırlanmış y(x) fonksiyonunu tabanı yapan ve diğer köşesi O noktasına değen kamanın (İng: ''wedge'') alanı, tabanı sonsuz küçüklükte olan üçgenlerin alanlarının toplamına eşit olacağından bu alanı integral ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

$denklem5:A_{kama}=\frac{1}{2}\int zdx$

Son adım ise AB eğrisinin altındaki alan ile kamanın alanı arasındaki ilişkiyi bulmaktır. İkinci grafiğimize göre bu alan, iki parçanın toplamına eşittir. Bu alanlar kamanın alanı ve ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasında kalan farktır:

$denklem6:\int ydx=\frac{1}{2}\int zdx+\frac{1}{2}by(b)-\frac{1}{2}ay(a)$

ΔObB ile ΔOaA üçgenleri arasındaki matematiksel farkın aşağıdaki gibi de ifade edilebildiğini unutmayalım:

$denklem7:\frac{1}{2}xy{|}_a^b=\frac{1}{2}by(b)-\frac{1}{2}ay(a)$

Birinci ve beşinci denklemlerimizin basit cebirle birleştirilmesi bize aşağıdaki denklemi verecektir:

$denklem8:{\int }_a^{b}ydx=xy{|}_a^b-{\int }_{y(a)}^{y(b)}xdy$

Bu bilgiler ışığında elde ettiğimiz son denklemle ikinci grafiğimizi yeniden incelersek elimize şu veriler geçecektir:

1. Denklemimizin en soldaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte dikey çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
2. Denklemimizin en sağdaki terimi, üzerine düşündüğümüz bölgenin sonsuz süreklilikte yatay çizgiler içeren bölgenin alanıdır.
3. En sağdaki terimi denklemin sol tarafına hareket ettirirsek, bahsi geçen iki alanın toplamının tabanı b olan dikdörtgenler ile tabanı a olan dikdörtgenler arasındaki farka eşit olduğunu görürüz (bkz. denklem6)

Bu noktada Leibniz, x değişkenini g(x), y değişkenini ise f(x) olarak sembolleştirmeyi seçmişti.

$denklem9:g(x)=x,y=f(x)$

Dolayısıyla türevleri:

$denklem10:g^{\prime }(x)=1,dy=f^{\prime }(x)dx$

değerini veriyordu. Bu eşitliği denklem6 ile birleştirince

$denklem11:{\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=g(x)f(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}g(x)f^{\prime }(x)dx$

Görüyoruz ki, oldukça beklenmedik bir şekilde de olsa, ikinci şeklimizdeki karmaşık grafik yardımıyla matematikte en çok kullanılan formüllerden birine, parçalı integrale ulaşmış oldu.

Teşekkürler!!!

Uygarlığımız var olduğundan bu yana kesintilere uğramış olsa da gelişimini hep sürdürdü ve bu sırada kainatla ilgili bilgilerimiz bir ağacın dalı gibi dallandı, budaklandı ve genel itibari ile büyümeye devam etti. Bu ağacımızın önemli dallarından biri olan matematiği hesaplanabilir ve hemen hemen her alanda kullanılabilen hale dönüştüren nadir dehalardan birisi de 306 yıl önce (14/11/1716) bugün hayata gözlerini yuman Gottfried Wilhelm Leibniz'di. Asırlar sonra dahi anlam bulmak için başvurduğumuz bu dehaya bir kez daha sonsuz teşekkürler.