Hilbert'in birinci problemi: Süreklilik hipotezi

Matematikte, özellikle de küme teorisinde, süreklilik hipotezi (CH olarak kısaltılır) sonsuz kümelerin olası boyutları hakkında bir hipotezdir. Şöyle ifade eder

"kardinalitesi tam sayılar ile reel sayılar arasında olan hiçbir küme yoktur"

ya da yukarıdaki ifadeye eşdeğer olarak

"Gerçek sayıların herhangi bir alt kümesi sonludur veya sayılabilir şekilde sonsuzdur veya gerçek sayılarla aynı kardinaliteye sahiptir"

Süreklilik hipotezi 1878 yılında Georg Cantor tarafından ortaya atılmıştır ve doğruluğunun ya da yanlışlığının belirlenmesi Hilbert'in 1900 yılında sunduğu 23 problemden ilkidir. Bu problemin cevabı ZFC'den bağımsızdır, böylece ya süreklilik hipotezi ya da olumsuzlaması ZFC küme teorisine bir aksiyom olarak eklenebilir ve ortaya çıkan teori ancak ve ancak ZFC tutarlı ise tutarlı olur. Bu bağımsızlık 1963 yılında Paul Cohen tarafından kanıtlanmış ve Kurt Gödel'in 1940 yılında yaptığı daha önceki çalışmayı tamamlamıştır.

Hipotezin adı, gerçek sayılar için kullanılan süreklilik teriminden gelmektedir.

Süreklilik hipotezinin tarihi

Cantor süreklilik hipotezinin doğru olduğuna inanıyordu ve uzun yıllar boyunca bunu kanıtlamak için uğraştı. Bu, David Hilbert'in 1900 yılında Paris'te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunduğu önemli açık sorular listesinde ilk sırada yer aldı. Aksiyomatik küme teorisi o noktada henüz formüle edilmemişti. Kurt Gödel 1940 yılında standart küme kuramında süreklilik hipotezinin olumsuzlanmasının, yani orta büyüklükte bir kümenin varlığının kanıtlanamayacağını kanıtladı. Süreklilik hipotezinin bağımsızlığının ikinci yarısı, yani orta büyüklükte bir kümenin var olmadığının kanıtlanamazlığı, 1963 yılında Paul Cohen tarafından kanıtlandı.

Sonsuz kümelerin kardinalitesi

İki küme arasında bir bijeksiyon (bire bir karşılık) varsa, bu kümelerin aynı kardinaliteye veya kardinal sayıya sahip olduğu söylenir. Sezgisel olarak, iki S ve T kümesinin aynı kardinaliteye sahip olması, S'nin elemanlarını T'nin elemanlarıyla "eşleştirmenin" mümkün olduğu anlamına gelir, öyle ki S'nin her elemanı T'nin tam olarak bir elemanı ile eşleştirilir ve bunun tersi de geçerlidir. Dolayısıyla, {muz, elma, armut} kümesi {sarı, kırmızı, yeşil} ile aynı kardinaliteye sahiptir.

Tam sayılar veya rasyonel sayılar kümesi gibi sonsuz kümelerde, iki küme arasında bir bijeksiyonun varlığını göstermek daha zor hale gelir. Rasyonel sayılar görünüşte süreklilik hipotezine bir karşı örnek oluşturmaktadır: tamsayılar rasyonellerin uygun bir alt kümesini oluşturmakta, kendileri de reellerin uygun bir alt kümesini oluşturmaktadır, dolayısıyla sezgisel olarak, tamsayılardan daha fazla rasyonel sayı ve rasyonel sayılardan daha fazla reel sayı vardır. Ancak bu sezgisel analiz kusurludur; her üç kümenin de sonsuz olduğu gerçeğini doğru bir şekilde hesaba katmaz. Rasyonel sayıların aslında tamsayılarla bire bir örtüştüğü ve bu nedenle rasyonel sayılar kümesinin tamsayılar kümesiyle aynı büyüklükte (kardinalite) olduğu ortaya çıkmaktadır: her ikisi de sayılabilir kümelerdir.

Cantor, tamsayılar kümesinin kardinalitesinin reel sayılar kümesinden kesinlikle daha küçük olduğuna dair iki kanıt sunmuştur (bkz. Cantor'un ilk sayılamazlık kanıtı ve Cantor'un diyagonal argümanı). Ancak Cantor'un kanıtları, tam sayıların kardinalitesinin reel sayıların kardinalitesinden ne ölçüde daha az olduğuna dair hiçbir bilgi vermemektedir. Cantor bu soruya olası bir çözüm olarak süreklilik hipotezini önermiştir.