Asal sayılar

Asal sayılar ve diğer sayılarAsal sayı, 1’e ve kendisinden başka bir sayıya bölünmeyen sayı demektedir. Ellerinizin sayısı, ilkasal sayıdır; 1 ve kendisi dışında bir sayıya bölünmez. Diğer önemli nokta ise 2’den başka çift asal sayı yoktur. Kimya için elementler ne kadar önemliyse matematik için de asal sayılar o kadar önemlidir.Çünkü bir sayı elde etmek için gerekli malzemelerlistesinde en az iki tane asal sayı vardır ve elde edeceğiniz sayı, asal sayı değildir. Örneğin 13 ve 5 birer asal sayıdır ve bunları çarparsak 65 sayısını eldeederiz. 65 asal sayı değildir, çünkü 1 ve kendisi dışında bir sayıya, 5’e bölünebilir.2, 3, 5, 7, 11... diye sonu gelmez bir biçimde uzargider asal sayılar. Uzar gider, ama bir sonraki asalsayıyı bulmak için (bir sonraki doğal sayıyı bulurken 1 eklediğimiz gibi) herhangi bir yöntem yok.Bir sonraki asal sayıyı bulmak için yardımınıza koşacak dört işlem bilginizden başka bir formül ya dayöntem yok.Asal sayıların tarihine baktığımızda asal sayılarüzerine çalışmalar yapan uygarlıkların asal sayıları1’den başlattığını görüyoruz. İlk bakışta 1 asal sayıgibi görünüyor olabilir, sonuçta sadece 1’e ve kendisine bölünebiliyor. Ancak 1’in asal sayı olmadığını bir önceki paragraf yardımıyla 89 kelime kullanarak ispatlayabiliriz. Nasıl mı? Bunun için gözlerinizi bu cümlenin bir altındaki paragrafa kaydırın.Bir sayı elde etmek için en az iki asal sayıya ihtiyacımız olduğunu ve bu iki asal sayıyı çarparakasal olmayan bir sayı elde ettiğimizi belirtmiştik.Şimdi 1’e bakın. 1 ile 2’yi çarparsanız elde ettiğiniz sayı 2’dir. Aynı şekilde hemen sonraki asal sayı olan 3 ile 1’i çarparsanız da 3 elde edersiniz. Görüldüğü gibi 1’in çarpmadaki özelliği sizi başladığınız noktaya geri getirmesidir. Oysa iki asal sayının çarpımının, sizi asal olmayan bir sayıyla tanıştırması gerekir. Buradan yola çıkarak 1’in asal sayıkurallarını ihlal ettiğinin tartışılmaz bir gerçek olduğunu şüphe etmeden söyleyebiliriz.Asal SayılarınHikâyesiEllerinize bakın. 2 eliniz, her elinizde 5 parmağınız, her parmağınızda2 eklemle ayrılan 3 bölüm var. Parmağınızdaki boğumları düşündüğünüzdeüst boğumun alt boğuma oranı pi sayısını verir mi?Peki, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı pi sayısını verir mi?Bu bir tesadüf olabilir mi? Bu yazı doğanın daha birçok yerinde bulunanasal sayıların hikâyesi.Doğanın dili asal sayıları severDoğada asal sayıların da söz hakkı olduğu tartışılmaz. Bu konuda çalışma yapan matematikçilerarasında akla gelen ilk isimlerden biri İtalyan uyruklu Leonardo Fibonacci’dir. Fibonacci 1202 yılında tavşanların üreme düzeni üzerine yaptığı araştırmanın sonucunda, doğanın diline ilişkin önemlibir buluşa imza attı.Biri erkek biri dişi olmak üzere bir çift tavşanınız olduğunu düşünün. Dişi olanın her ay bir erkekve bir dişi olmak üzere, üreyebilen tavşanlar doğurduğunu varsayın. 1. ay tavşan çiftiniz olgunlaşsın. 2.ayın sonunda ise yavruları doğsun. 3. ayda bir çiftolgun tavşanınız ve bir çift olgunlaşmamış tavşanınız olur. 3. ayın sonunda olgunlaşmış tavşanınız birçift yavru daha doğurur. 4. ay ise ilk tavşanınız ve 3.ay olgunlaşan tavşanlarınız birer çift doğurur. Sonuç olarak ilerleyen aylarda tavşan çiftlerinin sayısışöyle bir dizi oluşturur:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...Fibonacci’nin bulduğu bu sayı dizisinin gizemini açığa çıkaralım. Bu dizideki herhangi bir sayınınkendisini ve kendisinden bir önceki sayıyı toplarsanız, bir sonraki ay kaç tavşan çiftiniz olacağını bulursunuz. Doğada bu diziyi sevenler sadece tavşanlar değil. Ayçiçeklerinin yaprak sayısı genellikle Fibonacci sayılarından birini verir, 55 ya da 89 yapraklıdırlar. Trilyumun 3, menekşenin 5, hezeran çiçeğinin 8, kadife çiçeğinin 13, hindibanın 21 yaprağı vardır. Eğer bir gün bu çiçeklerin yapraklarınısaymaya kalkışırsanız ve yaprak sayısı eksik çıkarsabilin ki o kadar sayıda yaprak uçup gitmiştir!Şimdi de bir kaç meyveye göz atalım. Muzu keserseniz 3 halka, elmayı keserseniz 5 köşeli yıldız, hurmayı keserseniz de 8 köşeli yıldız görürsünüz. Fibonacci sayılarına canlılığın olduğu her yerde rastlamak mümkün!Salyangozlarda da Fibonacci sayı dizisini görebiliriz. Yavru bir salyangoz büyüdükçe kabuğundayeni odacıklar oluşur. Her bir oda kendinden önceki iki odanın toplamı kadardır. Sonuçta düzgünbir spiral ortaya çıkar.Fibonacci sayıları ile pi sayısı arasında da ilginçbir ilişki vardır. Fibonacci dizisindeki ardışık ikisayının oranı, sayılar büyüdükçe pi sayısına yaklaşır. Ayrıca Fibonacci sayıları ile asal sayılar arasında da bir bağlantı vardır. Örneğin 3 bir asal sayıdır ve 3. Fibonacci sayısı bizi 2’ye götür, asal sayıdır. Aynı şekilde 11 asal sayıdır ve 11. Fibonacci sayısı bizi 89’a götürür, asal sayıdır. Ancak bu yöntem her zaman işe yaramaz. 19 bir asal sayıdır ve19. Fibonacci sayısına gittiğimizde 4181’i görürüz.4181 asal sayı değildir. 37 ile 113’ün çarpımına eşittir. Şu ana kadar hiçbir matematikçi Fibonacci sayılarının çoğunu asal sayıların oluşturduğunu kanıtlayamadı. Çözülememiş asal sayı problemlerinden biri de bu.Ünlü adaşlar“Leonardo” deyince muhtemelen aklınıza Leonardo da Vinci gelecektir. Leonardo da Vinci, adaşı Leonardo Fibonacci’nin altın oranını ünlü MonaLisa tablosunda kullanmıştır. Bu tablonun boyununenine oranı altın orandır. Aynı oranlar Mona Lisa’nınyüzünün etrafına çizilen dikdörtgende de vardır.>>>Asal Sayıların HikâyesiBu dikdörtgeni göz hizasında çizilen bir çizgiyleikiye ayırırsanız, yine altın oranı elde ettiğinizi göreceksiniz.Satranç tahtasındanasal sayılara doğruSatrançla ilgili efsanelerden biri de bu oyunuHindistanlı bir matematikçinin icat ettiği yönündedir. Matematikçimizin bulduğu satrancı çok beğenen hükümdar matematikçiye “dile benden nedilersen” demiş. Matematikçi de hükümdardan ilksatranç karesine 1 pirinç tanesi , ikinci kareye 2,üçüncü kareye 4, dördüncü kareye 8, beşinci kareye 16 pirinç tanesi koymasını ve böylece her bir karedeki pirinç sayısının önceki karedeki pirinç sayısının 2 katı olacak şekilde devam etmesini istemiş.Bu kadar basit bir istek karşısında önce çok şaşıran hükümdar başlamış pirinç tanelerini yerleştirmeye. İlk karelerde pirinçleri rahatlıkla yerleştirebiliyormuş, ancak karelerde ilerledikçe zorlanmayabaşlamış. 16. kareye geldiğinde uşaklarından 1 kilo pirinç istemiş. İlerleyen karelerde ise uşaklar pirinci artık el arabaları ile getirmek zorunda kalmış.Sonuçta hükümdar son kare olan 64. kareye ulaşamamış. Daha sonra da servetinin yarısını matematikçiye vermek zorunda kalmış.Bu deneyi bugün yapmaya karar vermiş olsak,64. kareye ulaştığımızda toplam pirinç miktarıyaklaşık olarak son bin yılda üretilen pirinç miktarı kadar olacaktır.Efsanemiz ile asal sayılar arasındaki ilişkiye gelelim. Yunanlı matematikçilerin asal sayıların sonsuza gittiğini ispatlamaya çalışmasından beri, matematikçiler çok büyük asal sayılar bulmak içinformüller geliştirdi. Bu formüllerden birini deFransız papaz Marin Mersenne geliştirdi. Mersenne, 17. yüzyılda sanki bir e-posta sunucusu gibiydi.Dünyanın dört bir yanından kendisine gelen mektupları inceliyor ve bu mektuplardaki fikirleri onları daha da geliştirebileceğini düşündüğü insanlara iletiyordu.Mersenne’nin geliştirdiği formül, satranç tahtasında asal sayı kadar kare ilerlerseniz ve ilerlerkende karelerdeki pirinç sayısını toplarsanız bir asalsayı elde edeceğinizi söylüyordu. İlk asal sayı kadargidersek 1+2=3 pirinç tanesi ile karşılaşırız ve bubir asal sayıdır. Aynı şekilde beşinci kareye kadarilerlersek 1+2+4+8+16=31 pirinç tanesi elde ederiz. Bu da bir asal sayıdır.Mersenne bu yönteme gönülden bağlıydı, amayöntem işe yaramadı. 11 bir asal sayıdır ve 11 kare ilerlersek 2047 pirinç tanesi sayarız. Ancak busayı 23 ile 89’un çarpımına eşittir ve asal sayı değildir. Formülün her zaman işe yaramadığı doğru,ama bazı büyük asal sayıların keşfedilmesine yardımcı olmuştur.KaynaklarHerscovici, A., Matematik Masalları, Kırmızı Kedi Yayınevi, Mart 2012.Du Sautoy, M., Bir Asal Sayı Bir Kareköke Dedi ki, Kırmızı Kedi Yayınevi,Haziran 2011.Stewart, I., Doğanın Sayıları, İzdüşüm Yayınları, Kasım 2000.http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.htmlhttp://monalisasecrets.com/fibonacci-mona-lisa/