ASAL İNDEKSLİ ASALLARIN YOĞUNLUĞU ÜZERİNE BİR TAHMİN

1)Problemin Çıkışı

Asal sayıların dağılımı matematiğin en önemli konularından biridir. Klasik sonuç şudur:

π(x)~x/logx

Yani x büyüdükçe asal sayıların yoğunluğu 1 /logx mertebesindedir.

Bu yazıda şu soruyu sorduk:

Asal indeksli asalların ve onlardan türetilen sayıların yoğunluğu nasıl davranır?

2)Asal İndeksli Asallar

p_n, n’inci asal sayı olsun.

Asal indeksli asallar şu şekilde tanımlanır:

q_k = p_(p_k)

Yani indeksi asal olan asallar.

Örneğin: p_1 = 2

p_2 = 3

p_3 = 5

Sonuç olarak: q_1 = p_2 = 3

q_2 = p_3 = 5

q_3 = p_5 = 11

Bu küme klasik asal kümesinden daha seyrektir.

p={2,3,5,7,11,13,17,19,...}

q={3,5,11,17,31,41,..}

3)Alfa Sayıları

Alfa sayılarını şu şekilde tanımladık:

Sadece asal indeksli asal çarpanlara sahip doğal sayılar.

a_k={1,3,5,9,11,15,17,...}

Bu sayıların x’e kadar kaç tane olduğunu gösteren fonksiyona

π_alpha(x)

dedik.

Agora Bilim Pazarı

Rıhtım

Kayıp bir çocuk… Ve ortaya çıkarılması gereken bir yalan ağı… Varlıklı bir ailenin on beş yaşındaki çocuğu olan Oscar Dreyer-Hoff kaybolduğunda, herkes bunun her zamanki kaybolmalarından biri olduğunu ve yirmi dört saat içinde ortaya çıkacağını vars

Devamını Göster

₺245,00

Satın Al Tüm Ürünler

Amacımız şu büyüklükteki davranışı anlamaktı:

π_alpha(x) nasıl büyür?

4)Grafik Analizi

Hesapladığımız değerler:

x = 10⁵ için π_alpha(x)/(x/logx) ≈ 0.56

x = 10⁶ için ≈ 0.44

x = 10⁷ için ≈ 0.36

x = 10¹⁰ için ≈ 0.32

Bu değerler küçülüyor ve yaklaşık olarak

1/loglogx

ifadesine yaklaşıyor gibi görünüyor.

Bu gözleme dayanarak şu tahmini yaptık:

π_alpha(x)~x/(logx*loglogx)

5)Bu Oran Ne Demek?

Klasik durumda:

π(x)~x /logx

Buradan n’inci asal için:

p_n~n*logn

çıkıyordu.

Aynı mantığı alfa sayıları için uygularsak:

n~a_n/(log(a_n) * loglog(a_n))

Buradan da

a_n~n*logn*loglogn

elde edilir.

Yani alfa sayıları, klasik asallardan loglogn kadar daha seyrektir.

6)Dirichlet Serisiyle Tahmin Yürütme

Bir asal kümesinin yoğunluğu, o kümenin:

Σ1/p

davranışı ile ilişkilidir.

Klasik asallarda:

Σ1/p~loglogx

Civarında büyür.

Asal indeksli asallarda ise bu toplam çok daha yavaş büyür. Sezgisel olarak yaklaşık

1/logx

Düzeyinde davranır.

Bu daha zayıf büyüme, sayma fonksiyonunda ek bir loglogx çarpanı ortaya çıkmasına neden oluyor olabilir

Bu da şu tahmini doğal kılar:

π_alpha(x)~x /(logx*loglogx)

7)Bu Tahminin Eksileri

Bulduğumuz şey:

Sayısal gözlemler güçlü biçimde x / (logx*loglogx) davranışını destekliyor.

a_n için n*log(n)*loglog(n) büyümesi tutarlı gibi duruyor.

Bulamadığımız şey:

Dirichlet serisiyle tahmine katkı yapsak da tam ispat sunamadık.

Hata terimi bilinmiyor.

Daha büyük x için asimptotik dağılım bozuluyor olabilir çünkü bizim hesapladığımız 10⁸ gibi küçük sayılarda asimptotik fonksiyonlar bizi kandırabilir.

Bu nedenle sonuçlarımız bir teorem değil, sezgisel bir tahmindir

8) Sorumuz

Gerçek soru şu:

π_alpha(x) için daha hassas bir asimptotik formül yazılabilir mi?

Örneğin:

π_alpha(x) = x /(logxloglogx)+ hata terimi

Buradaki hata terimi ne büyüklüktedir?

Bu soru, asal sayıların dev yapısıyla derinden alakalı.