Alternatif Akım (AC) Devrelerde Anlık ve Ortalama Güç Formüllerinin Türetilmesi

Doğru Akım (DC) devrelerde güç formülü P=V.I ve diğer türevlerinden elde edilmektedir. AC devrede de aynı formül üzerinden işlemler yapacağız fakat burada fazörler devreye girdiği için işler biraz daha karışacak.

Üzeyir Yazıcı

Yukarıdaki şekilde AC bir devreye giren i akımını ve kollar arasındaki v gerilimini görüyoruz. Bunlar üzerinden gerekli tanımlamaları yaparak formülleri türeteceğiz.

$v=V_m\cdot cos(wt+{\theta }_v)$

$i=I_m\cdot cos(wt+{\theta }_i)$

Yukarıdaki eşitliklerde V_m gerilimin genliğini, I_m akımın genliğini \theta_v gerilimin fazını \theta_i ise akımın fazını temsil etmektedir.

Yukarıda bahsettiğim gibi genel güç formülü olan P=V.I 'dan şimdi aşağıdaki formüle geçerek işlemlere başlıyoruz.

$P=V\cdot I$

$p(t)=v(t)\cdot i(t)$

Şimdi v ile i 'yi denklemde yerine koyalım.

$p(t)=V_m\cdot cos(wt+{\theta }_v)\cdot I_m\cdot cos(wt+{\theta }_i)$

Burada kosinüs çarpım formülünü hatırlayalım;

$cos(A)\cdot cos(B)=\frac{1}{2}[cos(A-B)+cos(A+B)]$

Şimdi kendi denklemimizde gerekli işlemleri yapalım.

$p(t)=V_m{I}_m\cdot \frac{1}{2}[cos({\theta }_v-{\theta }_i)+cos(2wt+{\theta }_v+{\theta }_i)]$

Denklemi biraz daha düzenleyelim.

$p(t)=\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)+\frac{V_m{I}_m}{2}cos(2wt+{\theta }_v+{\theta }_i)$

Böylece anlık güç formülünü elde etmiş olduk. Burada,

$\frac{V_m{I}_m}{2}cos(2wt+{\theta }_v+{\theta }_i)$

kısmı t yani zamana bağlı kısmı oluşturmaktadır.

$\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)$

bu kısım ise zamandan bağımsız olarak sabit kısmı oluşturmaktadır.

Şimdi gelelim asıl işimize yarayacak kısma yani ortalama güç P_ort formülünü türetmeye.

Anlık gücün zamanla integralini alıp bunu bir periyot ile çarptığımızda, bize ortalama gücü verir. Yani;

$P_{ort}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}p(t)dt$

ifadesi bize ortalama gücü verir. Şimdi yukarıda elde ettiğimiz p(t)'i integralde yerine koyalım.

$P_{ort}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)+\frac{V_m{I}_m}{2}cos(2wt+{\theta }_v+{\theta }_i)dt$

İntegral içerisinde + dan sonrası periyodik bir fonksiyon içerdiği için integrali 0 değerini verir, Bu nedenle bu kısımla işimiz olmayacak. Şimdi gelelim + dan öncesine. Burada sabit bir ifade olduğu için buranın integrali şu şekildedir;

$\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)\cdot t$

Bu aşamada çözmemiz gereken denklem olarak elimizde aşağıdaki işlem kalıyor.

$\frac{1}{T}[\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)]\cdot t{|}_0^T$

Şimdi bunu çözelim.

$\frac{1}{T}[\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)\cdot T][\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)\cdot 0]$

$\frac{1}{T}\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)\cdot T$

T'ler sadeleşir ve son olarak elimizde aşağıdaki denklem kalır.

$P_{ort}=\frac{V_m{I}_m}{2}cos({\theta }_v-{\theta }_i)$