Bir Eksi Neyi Değiştirir ki? Lorentz-Minkowski Uzayı ile Öklid Uzayı Arasındaki Fark Nedir?

Lise düzeyinde eğitim görmüş herkes Öklid uzayına aşinadır; çünkü lise geometrisi Öklid'in kurduğu uzaya dayanır. Günümüzde ise geometri çok farklı bir hal almıştır; çok farklı tipte geometriler vardır (küre üzerinde, hiperbol üzerinde, rasyonel boyutlarda vs.).

Bu yazıda bu geometriler arasında rölativiteye (Einstein'ın Görelilik Teorisine) ilham vermiş Lorentz-Minkowski uzayından bahsedeceğiz. Öklid'in kurduğu uzaydan çok farklı olmayıp ikisi de ${\mathbb{R}}^3=\text{{}(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb{R}\text{}}$ kümesi üzerine kurulmuş geometrilerdir, ikisi de Hilbert uzayıdır.

Ancak üzerine cilt cilt kitaplar yazılan ve günümüz fiziğini baştan sona değiştiren Lorentz-Minkowski uzayının; geride kalmış, artık çoğu alan tarafından terk edilmiş Öklid uzayından tek farkı, bir eksi işaretine sahip oluşudur.

Norm Nedir?

Norm uzunluk kavramının genelleştirilmiş halidir, aslında bir fonksiyondur. Örneğin 3'ün uzunluğunu, 3 sayısının 0'a olan uzaklığı olarak tanımlanır. Bu kavramı genele yaymak için norm kavramı kullanılır.

Tanım (Norm):

$X$ boş olmayan bir küme ve $x,y,z\in X,\alpha \in \mathbb{R}$ olsun. $\Vert .\Vert :$ $X$ x $X\to {\mathbb{R}}^{+}\cup \text{{}0\text{}}$ fonksiyonu:

1. 0 ">$\Vert x\Vert >0$ ve $x=0$ ise $\Vert x\Vert =0$
2. $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$
3. $\Vert y+x\Vert \le \Vert y\Vert +\Vert x\Vert$ (üçgen eşitsizliği)

koşulları sağlanıyorsa bu fonksiyona "norm" adı verilir. $(X,\Vert .\Vert )$ uzayına da normlu uzay denir.

Metrik Nedir?

Metrik kelime anlamıyla ölçü demektir. Matematikteki metrik tanımı da, ölçmenin ta kendisidir. Lise matematiğinde ölçme mutlak değer fonksiyonu ile yapılır, metrik ise bir küme üzerinde herhangi bir ölçü tanımlar ve böylece ölçmek kavramını genişletir.

Tanım (Metrik):

$X$ boş olmayan bir küme ve $x,y,z\in X$ olsun ve $d:X$x$X\to {\mathbb{R}}^{+}\cup \text{{}0\text{}}$ fonksiyonu

1. $d(x,y)\ge 0$ eşitliğin sağlanması için $y=x$ olmalı.
2. $d(x,y)=d(y,x)$
3. $d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)$ (üçgen eşitsizliği)

koşullarını sağlıyorsa bu fonksiyona $X$ üzerine "metrik" denir. $(X,d)$ uzayına ise metrik uzay adı verilir.

Biraz irdelenecek olursa, metrik fonksiyonunun bir kümenin iki elemanı arasındaki mesafe kavramını açıkladığı görülebilir. Bu bölümü irdelemek isteyen okuyucular ileri okumalar kısmında metrik uzay ve ölçü teorisi üzerine kaynak bulabilir.

Lorentz uzayı da Öklid uzayı da bir metrik uzaydır. Dahası, ikisi de Hilbert uzayıdır, yani üzerlerinde iç çarpımdan doğan bir metrik vardır. Şimdi de iç çarpım kavramını tanımlayalım. Daha sonra norm, metrik ve iç çarpım üzerine bir kanıtsav vereceğiz.

İç Çarpım

İç çarpım, çarpma işleminin genellemesidir diyebiliriz; ama aslında tam olarak öyle değil.

İmgur

İç çarpım, bir kümenin kartezyen çarpımının bir fonksiyonudur, neyi tanımladığı onu ne olarak tanımladığınıza göre değişir. Ancak bir fonksiyona iç çarpım diyebilmemiz için aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır:

Tanım (İç Çarpım):

$X$ boş olmayan bir küme $x,y,z\in X,\alpha \in \mathbb{R}$ olsun. :X">$<.,.>:X$ x $X\to \mathbb{R}$ olsun. Bu fonksiyon

1. =">$<x,y>=<y,x>$
2. = \alpha ">$<\alpha x,y>=\alpha <x,y>$
3. =+">$<x,y+z>=<x,y>+<x,z>$

şartlarını sağlıyorsa iç çarpım fonksiyonu adını alır. )">$(X,<.,.>)$ uzayı da iç çarpım uzayı diye adlandırılır.

Önemli not: Yazımızdaki iki uzay da gerçek sayılar üzerine olduğu için burada  kümesini üç boyutlu gerçek uzayın bir alt kümesi olarak alıyoruz. Yukarıdaki üç tanımın da kompleks sayılara genelleştirilmiş versiyonlarını okumak isterseniz İleri Okumalar bölümünden kaynak bulabilirsiniz.
  

Bu üç tanımı birbirine karıştıracağız ve iç çarpımdan norm, normdan metrik üretebileceğimizi göstereceğiz.

Kanıtsav: )">$(X,<.,.>)$ iç çarpım uzayı ve $x$,$y$ bu uzayın elamanları olsun. }">$\Vert x\Vert =\sqrt{<x,x>}$ ile tanımlanan fonksiyon normdur. Ayrıca $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ fonksiyonu da bir metriktir.

Kanıt: Yukarıdaki tanımlardan biraz cebirsel manipülasyonlarla görülebilir.

Artık iç çarpımdan bir norm bir normdan da bir metrik uzay doğduğu bilgisine sahibiz. 19. yüzyılın sonlarında Hendrik Lorentz ve Hermann Minkowski bu ilginçliğin farkına vardı ve yeni bir metrik tanımladı: Lorentz-Minkowski metriği. Tabii bu metriği tanımadan önce Öklid metriğini tanımamız gerekiyor.

Üç Boyutlu Öklid Uzayı

Geometrinin babası Öklid, geometrik kavramları inşa ederken ilk olarak uzaklık kavramını tanımlamıştır. Öylesine güçlü bir tanımdır ki hala kullanırız. En ilkel versiyonu ise mutlak değerdir.

Tanım (Öklid Uzayı):

$x,y\in {\mathbb{R}}^3$ olsun ve $({\mathbb{R}}^3,d)$ metrik uzayındaki metrik $d(x,y{)}^2:=({\sum }_{i=1}^3(x_i-y_i{)}^2)$ ile verilsin. Burada $x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)$ olarak tanımlanır. İşte bu metrik uzayı Öklid uzayının ta kendisidir. Yukarıda tanımlanan fonksiyonun metrik olup olmadığına dair ikna olalım. Bir iç çarpım tanımlayalım, aslında bu tanımlayacağımız iç çarpımı, vektör cebrinden biliriz: nokta çarpımı.

Tanım (Nokta Çarpımı):

$x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3$ olsun , =\sum_{i=1}^{3}x_iy_i">$x.y:=<x,y>={\sum }_{i=1}^3{x}_i{y}_i$ fonksiyonu bir iç çarpımdır. Yukarıda tanımlanan metriğin bu iç çarpımdan doğduğu da açıktır, dolayısıyla gerçekten bir metrik tanımlamış olduk.

Artık Öklid metriği hakkında bilgilerimiz de var. Lorentz-Minkowski uzayını tanımamamız için hiçbir neden yok.

Lorentz-Minkowski Uzayı

Lorentz ve Minkowski üç boyutlu uzaydaki elemanları uzaysal, zamansal, ışıksal olmak üzere üç kategoriye ayırabileceklerini düşünmüşler ve buna uygun bir metrik tanımlamışlardır. Bu metrik uzayı ${\mathbb{R}}_{-1}^3$ olarak göstereceğiz, alttaki -1'in anlamı metrik tanımından sonra açık hale gelecek.

Agora Bilim Pazarı

Cinsellik Üzerine (3 kitap)

Arzunun Sınırları

Kötü Yasalar, İyi Seks ve Değişen Kimliklerin Yüzyıllık Tarihi

Eric Berkowitz

Sekse dair teamüllerimiz nasıl değişti ve seks hukukunu nasıl etkiledi?
Neyin yasal, neyin yasak olduğunu belirleyen insan kendi hayatını bu yolla nasıl düzenledi?
Gazeteci, yazar, hukukçu Eric Berkowitz seks hukuku ve seksin politik çıkarlar doğrultusunda yönetilmesi bahsine bir önceki kitabı Seks ve Ceza’da bıraktığı yerden, yirminci yüzyıldan devam ediyor.

Arzunun Sınırları’nda seksin aile, iktidar, ırkçılık, sömürgeleştirme, cinsiyet ve kimlik mefhumlarıyla ikircikli ilişkisini yirminci yüzyıldan çarpıcı örnekler eşliğinde nüktedan bir dille aktaran Berkowitz, “cinsel devrim”, mağduru korumaktan uzak tecavüz yasaları, eşcinsel hakları mücadelesi, modern psikiyatrinin hukuk üzerindeki etkisi, insan ticareti ve sanal seks haberleri üzerinden bu ilişkinin izini günümüze kadar sürüyor.

“Bu kitabın her bölümü farklı bir dizi yasayı ele alıyor ancak her biri, toplum tarafından kabul edilebilir cinsel davranışlar bütününe dayanarak güçlünün güçsüzün bedeni üzerinde kurduğu iktidara sesleniyor. Cahil dindar gruplar tarafından ‘kurtarıldıktan’ sonra üzerine kilit vurulup istismar edilen fahişeleri, Nazi döneminde Alman sevgilisi olduğu için ‘üstün ırkı kirlettiği’ gerekçesiyle öldürülen Yahudileri, beyazlarla cinsel ilişkiye girdiği için linç edilen Afrikalı Amerikalıları, akıl hastanelerinde lobotomi ‘tedavisi’ gören eşcinselleri, ‘uçkuru gevşek’ olduğu için zorla kısırlaştırılan siyah genç kadınları, oyun arkadaşlarıyla deneysel keşifte bulunduğu için tehlikeli seks suçlusu yaftası yapıştırılan küçücük çocukları, cinsel içerikli kısa mesaj paylaşmaktan çocuk pornocusu diye hapse atılan ergenleri kapsıyor. Seks suçlusu olmak çoğu zaman yanlış yerde veya yanlış zamanda yakalanmak, yanlış sınıf ya da ırkın mensubu olmak, hayatlarımızdan geçmekte olan bir ahlak vesvesesine ters düşmek talihsizliğinden ibaret.”

Seks ve Ceza

Eric Berkowitz

Yatak odasından mahkeme salonuna seks hukukunun hayret verici tarihi…

Kraliyet metresleri, eşcinsel at arabası yarışçıları, Ortaçağ travestileri, cadılar, keçi seviciler, rahibe fahişeler ve Londralı kiralık oğlanlar gibi aykırı oyuncuların renklendirdiği seks tarihinde bir çağ ve toplumda hoşgörülen davranışlar bir ötekinde en ağır şekilde cezalandırıldı. Ancak seks dürtüsü antik çağlardan beri kendini dizginlemeye çalışan her türlü girişime karşı koydu. Seks ve Ceza, dört bin yıllık cinsellik, din ve mülkiyet üçgeninin açılarının çok da değişmediğini gösteriyor bizlere.

“Elbette tecavüz, zina, ensest ve seks hukuku alanına giren diğer tüm meseleler insanlığın varoluşundan beri vuku bulmuştur. Değişen tek şey, insanların birbirlerinin bedenlerini kontrol etmek için kullandıkları yöntemler ve bu yöntemleri kullanma gerekçeleridir.”

Eric Berkowitz Antik Mezopotamya’da zina yapan bir kadının kazığa oturtulmasından başlayıp 1895’te Oscar Wilde’ın “büyük ahlaksızlık” suçuyla hapis cezası aldığı döneme kadarki seks hukukunun uzun tarihini gözler önüne seriyor.

Seks ve Ceza, mahkeme tutanaklarıyla tarihi belgelerde yer alan gerçek insanların hayatlarından yola çıkarak insanlık tarihine ayna tutarken, insan ruhunun karanlık taraflarını ortaya çıkarıyor. Berkowitz zaman zaman tüyler ürperten, zaman zaman hayal gücünü zorlayan bir yolculuğa davet ediyor okurları.

Seksin Doğası

Dr. Carin Bondar

“Seks dostlukla mı ilgilidir? Aşkla mı? Tutkuyla mı? Üremeyle mi? Cevap, çok sayıda biyolojik ve ekolojik unsura bağlı olarak bunların hepsi ya da hiçbiri olabilir. Emin olabileceğimiz tek bir konu varsa o da seksin dünya üzerindeki her canlının varoluşu için elzem olduğudur. İnsanlar için seks rahatlama, eğlence, gıda ve yaşam demektir.”

Dr. Carin Bondar

Biyolog ve başarılı bir doğa belgeseli programcısı Dr. Carin Bondar, hayvanlar âleminde gözlemlenen çeşitli cinsel davranışları ele aldığı bu çalışmasında primatlardan balinalara, çakallardan salyangozlara, ötücü kuşlardan yırtıcılara hayvanların üreme döngülerinde insanların cinsel yaşamını renksiz gösteren ve onunla şaşırtıcı paralellikler taşıyan pek çok detayı bulabileceğimiz ansiklopedik bir gezintiye çıkarıyor okuru.

Seksin Doğası doğada eşleşebilecek partner bulmak, başarıyla çiftleşebilmek ve sonucunda dünyaya gelecek yavruları büyütebilmek için ne mücadeleler verildiğini ve bize bugün garip gelen pek çok detayın aslında ne kadar doğal olduğunu görme fırsatı veriyor.

“Dostlarım, dışarıda acımasız bir dünya var. Hazırsanız acımasız olduğu kadar iç gıdıklayan, heyecan veren, korku uyandıran, mide bulandıran, aynı zamanda çekici ve akıl almaz bu dünyaya, Seksin Doğası’na giriş yapıyoruz.”

Devamını Göster

₺871.00

Satın Al Tüm Ürünler

Bir metrik doğurmak için önce bir iç çarpım tanımlayalım. $x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}_{-1}^3$ verilsin. Bu uzayda iç çarpımı =x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3">$<x,y>=x_1{y}_1+x_2{y}_2-x_3{y}_3$ olarak tanımlayalım. Tabii bunun iç çarpım olduğunu göstermeyi okuyucuya ödev olarak bırakıyoruz. Normu da |">$\Vert x{\Vert }^2=|<x,x>|$ ve metriği de $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ olarak tanımlıyoruz. Burada mutlak değerleri koymamızın sebebi artık pozitif tanımlı bir iç çarpımımız yok (bir elemanın normunun negatif olmasını beklemediğimizden dolayı). Pozitif tanımlı bir iç çarpıma sahip olmaması bu uzayı esneten bir etken. Elemanlarının kendileriyle iç çarpımları negatif hatta sıfır olabiliyor hem de elemanın kendisi sıfır olmadan. Bu kavram karmaşasından dolayı yeni yeni eleman tipi tanımları yapılabiliyor.

Uzaysal, Zamansal ve Işıksal Kavramları

Lorentz-Minkowski uzayında tanımlanan iç çarpımdan dolayı Öklid uzayındaki gibi tek tip bir eleman yok. Uzaysal, zamansal ve ışıksal olmak üzere 3 farklı tip var.

1. >0">$<x,x>>0$ ise $x$ elemanı uzaysaldır.
2. <0">$<x,x><0$ ise $x$ elemanı zamansaldır.
3. $x\ne 0$ iken =0">$<x,x>=0$ ise x elemanı ışıksaldır.

Research Gate

Bu üç tip eleman sınıfı bizim Lorentz-Minkowski uzayını üç bağımsız bölgeye ayırmamızı sağlar, tıpkı Öklid uzayındaki gibi; ancak bir farkla, bu üç bölgede de uygulanan geometri birbirinden tamamen farklıdır. Örneğin ışıksal elemanlar arasında açı kavramı bulunamazken zamansal ve uzaysal bölgelerde elemanlar arasındaki açı hiperbolik fonksiyonlar ile belirlenir. Bir mega evren içerisinde birbirinden 3 farklı paralel evren düşünelim. Lorentz-Minkowski uzayı böyle çalışır.

Einstein bu uzayı kullanarak içinde yaşadığımız bu uzayda da 3 tip eleman olduğunu (ışıksal, zamansal, uzaysal) düşünerek ve zaman boyutunu da ekleyerek 3 uzaysal boyut+1 zamansal boyut kavramını ortaya atmıştır; bunu 3 boyutlu değil 4 boyutlu Lorentz-Minkowski uzayından esinlenerek yapmıştır (burada değişen bir şey yoktur ve tanımlar aynıdır). Işığı da ne zamansal ne uzaysal bir boyut olarak düşünmüştür. (Işıksal boyut gizemi hala tam olarak çözülememiş bir eleman olarak çözülmeyi beklemektedir.)