Bildiğimizden Fazlası: Poliominolar Nedir?

Domino taşı; oyun objesi olarak kullanılan küçük, yassı, eşit iki kareden oluşan bir dikdörtgen bloktur. Domino Çin'de ortaya çıkmış, iki zarla tüm olası atışları temsil edecek şekilde tasarlanmıştır. Çin dominosundan farklı olan Batı dominoları, 18. yüzyılda İtalya ve Fransa'da kayıt altına alınmıştır. Dolayısıyla dominolar söz konusu olduğunda birçok oyun çeşidinden bahsedilebilir.^[2]

Birçoğumuzun aklına "domino taşları" dediğimizde belirli bir mesafeyle arka arkaya büyük bir emek ve dikkatle dizilen taşların, ilk taşın yıkılmasına bağlı olarak gelişen etkileyici görselleri gelir. Bu bir "domino etkisi" yaratır. Domino etkisi, bir olayın benzer olaylar zincirini başlatmasıyla oluşan kümülatif etki olarak günlük hayatta karşılık bulmaktadır.

Domino, her yaştan insanın sevdiği bir oyun olmakla birlikte temel matematik becerilerini pekiştirmek için idealdir. Geniş bir yaş aralığına hitap eden domino, zihinsel bir uyarıcı olmanın yanı sıra düşünme ve hesaplama becerilerini geliştirmeye yardımcı olur.^[1]

Domino Nasıl Oynanır?

Bir domino seti genellikle 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 noktalı iki kareye sahip 28 dikdörtgen domino taşından oluşur. Bu taşlarda, noktalarla oluşturulacak her kombinasyon temsil edilir. Domino taşının değeri, iki karenin üzerindeki noktalar toplamıdır.

nrich maths

Domino oynamanın temel kuralı, domino taşlarını uç uca yerleştirerek bir zincir oluşturmaktır. Bu zinciri uzatırken zincirin ucundaki kare ile zincire eklenecek kare eşleştirilir. Yani bir noktaya sahip kare ile biten zincire, yine bir noktalı kareye sahip domino taşı eklenebilir. Bunun istisnası, her iki karesinde de aynı sayıda nokta bulunan "çift domino taşı"na sahip olmamızdır. Bu durumda zincirin ucundaki kare ile eşleşecek çift domino taşını, zincirin ucuna dik olarak yerleştirebiliriz. Bu, zincirde bir dal oluşturur ve artık çift dominodaki her iki kareyi de üzerine yapı inşa edilebilecek zincir uçları olarak sayabiliriz.

Oyuncular aynı sayıda domino taşıyla oyuna başlar ve kalan taşlar "havuz"da tutulur. Elinde zincire ekleyebileceği taş olmayan oyuncu, bu havuzdan yeni taş çeker. Elindeki taşları ilk bitiren oyuncu, oyunu kazanır.

Domino taşlarıyla özellikle matematiksel ve mantıksal meydan okumalar gerçekleştirilebilir. Örneğin, dört adet domino taşından bir boşluğa sahip bir "pencere" oluşturuluyor. Bu pencerenin her kenarı toplamda aynı nokta sayısına sahip olabilir. Peki bir domino seti ile (28 taş) aynı koşulları sağlayan yedi pencere oluşturulabilir mi?

Peki bir pencerenin her kenarındaki nokta sayısı toplamı (diğer kenarlar toplamından farklı olsa da) bize asal sayı verebilir mi? Domino seti ile kaç adet örnekteki gibi "asal kare" elde edilebilir?^[3]

Poliominolar

n-omino, tam kenarlarla birleştirilmiş n adet kareden oluşan bir şekildir. Şekil bir kareden oluşuyorsa monomino, iki kareden oluşuyorsa domino, üç kareden oluşuyorsa triomino, dört kareden oluşuyorsa tetromino vb. şekilde n yerine Latince sayı ifadesi eklenerek devam eder. Bir şeklin poliomino olması için kareler mutlaka kenarları ile tam birleşmelidir.^[4]

Poliominolar ilk olarak Gardner tarafından "süper dominolar" olarak adlandırılmıştır. Serbest poliominolar alınıp çevrilebilir. Bu nedenle ayna görüntüsü olan parçalar özdeş kabul edilir. Tek taraflı poliominolar çevrilemeyebilir ancak döndürülebilir, bu nedenle farklı kiralitelere sahip parçalar farklı kabul edilir. Sabit poliominolar farklı kiralite veya farklı yönelime sahiplerse farklı kabul edilir. Ele alınan poliomino türü belirtilmediğinde genellikle serbest oldukları varsayılır.^[5]

Tetrominoları ele alırsak serbest, tek taraflı ve sabit formları şu şekilde olur:

Poliominoes

Poliominoes

Poliominoes

Monomino ve domino yalnız birer şekilde oluşturulabilir. Triomino iki farklı şekilde oluşturulabilirken tetromino ise beş farklı şekilde oluşturulabilir.

mathworld wolfram

Delikli formda poliomino oluşturmak için en az yedi kareden oluşan bir heptomino gerekmektedir. Serbest ve sabit formlarda olduğu gibi delikli formlar da kare sayısı arttıkça artmaktadır.

Aşağıda poliominoların serbest, tek taraflı, sabit ve delikli form sayılarını gösteren bir tablo oluşturulmuştur:

Poliomino Problem ve Bulmacaları

Tetris, hepimizin oynadığı ya da duyduğu beş farklı tetromino formu kullanılan bir oyundur. Oyun ilk olarak bilgisayar mühendisi Aleksey Pajitnov tarafından tasarlanmış, ismi ise nümerik önek olarak tetra ile Pajitnov'un sevdiği spor olan tenisten türetilmiştir. Oyunda amaç, yukarıdan düşen tetrominoları boşluk kalmayacak şekilde düzleme yerleştirmektir.

Bir başka yaygın kullanılan poliomino oyunu "Pentomino"dur. 12 adet serbest parçadan oluşan oyun, Tetris gibi bir çeşit döşeme bulmacası sayılabilir. 12 pentominonun her birinin alanı 5 birim karedir ve dolayısıyla boşluk bırakmadan döşenilen alan 60 birim kare olmalıdır.

Wikimedia Commons

Bu noktada poliominolarla ilgili nasıl problemlerin ortaya atılacağı düşünülebilir. Elimizde serbest formda yani beş adet tetromino olduğunu varsayalım. Her bir tetromino 4 birim kare olduğundan beş tetromino toplam 20 birim karelik alan kaplar. Ancak bu parçalar bir dikdörtgen oluşturmak için asla birleştirilemez. Bunu test edebilmek için tetromino parçalarını komşu kareler aynı renk olmayacak şekilde her kareyi siyah ve beyaz renklere boyadığımızı düşünelim. Alanı 20 birim kare olan herhangi bir dikdörtgen, böyle bir renklendirme altında 10 siyah, 10 beyaz kareye sahip olacağından böyle bir dikdörtgen oluşturulamaz. Çünkü elimizdeki tetrominolar her zaman için 9 kare siyah, 11 kare beyaz olacak şekilde (ya da tam tersi) renklendirilmiş olacaktır.^[6]

markmliu medium

markmliu medium

Şimdi de 4x5 boyutunda dikdörtgen bir satranç tahtası alalım. 10 beyaz, 10 siyah kare olacaktır. Öncelikle T formundaki tetrominoyu tahtanın herhangi bir yerine yerleştirelim. Tahtada 7 beyaz, 9 siyah kare (ya da tam tersi) kalacaktır. Ancak elimizde kalan 4 adet tetromino formu toplamda 8 beyaz ve 8 siyah kareden oluşmaktadır. Dolayısıyla beş tetrominonun hepsini 4x5 ölçüsünde dikdörtgene sığdırmanın bir yolu yoktur.^[7]

Birçok pentomino bulmacası 8x8 satranç tahtasına dayanmaktadır. 64 kareden oluşan bu tahtanın kaplayacağı alan pentominoların üstesinden gelebileceğinden biraz daha fazladır ancak dört adet monomino ya da bir adet tetromino eklenirse çok yönlü bulmacalar elde edilir. Öncelikle tahtanın herhangi bir yerine dört monomino yerleştirilir ve pentomino parçalarının tahtaya döşenmesi için çalışılır. Bir başka bakış açısıyla tahta üzerine yerleştirilen tetromino etrafına pentominolar yerleştirilebilir.

Sırada ne var? Pentomino bulmacalarının çözümünde birleştirme konusunda birkaç teknik varsa da genellikle beceriden çok şansa veya deneme yanılmaya bağlı olarak çözüm yöntemleri kullanılır. Bu rastgelelik, daha büyük parça setlerine geçildiğinde bir nebze giderilir. 6 birim kareden oluşan 35 farklı serbest heksominonun daha kıvrımlı ve daha zorlu parçaları ile toplamda 210 birim karelik alanı kaplamaya çalışmak kolay olmayacaktır. Satranç tahtasında olduğu gibi heksominoları da kare veya dikdörtgen bir düzleme yerleştirmek mümkün değildir. Ancak heksominolar ile simetrik ve estetik alanlar oluşturmak mümkündür.^[7]

Heptomino söz konusu olduğunda bir adet delikli heptomino olduğunu öğrendik. Düzleme yerleştirilen bu delikli heptomino etrafına "straight heptomino" oluşturulur ve gerisi normal şekilde çözülebilir. Dikdörtgenlerden ibaret olmayan poliomino dünyasında pikselleştirilmiş altıgenin bir yaklaşık modeli, heptominolarla oluşturulabilir.

Bu tür yapılandırmalar, bizlere zorlu bulmacalar oluşturur. Genel olarak yüzey alanı ne kadar büyükse çözmek o kadar zorlayıcıdır. Ancak bulmaca ne kadar zorsa yaşayacağımız tatmin duygusu da o kadar fazla olacaktır.

Oktominolar altısı delikli olmak üzere 369 farklı serbest forma sahiptir. Oktominoların tamamı ile yapılan ilk yapılar 1970'li yıllarda David Bird' ün bir dizi şekilli parçası ve Michael Keller' ın bir web sitesinin sayfalarını süsleyen 51x58'lik fayanslarıdır.

Başka Boyutlarda Poliominolar

Daha yüksek boyutlardaki poliominolar merak ve araştırma konusudur. Örneğin üç boyutlu poliominolar birim küplerin birbirine yapıştırılmasıyla oluşturulur. d boyut olmak üzere, düzlemdeki tetromino göz önüne alınarak en küçük uzaysal tetromino kolaylıkla yaratılabilir.

1954'te Solomon w. Golomb, poliominoyu sonsuz dama tahtasının karelerinin kale bağlantılı sınırlı bir alt kümesi olarak tanımlamıştır. O zamandan beri poliominolar ve daha yüksek boyutlu poliküpler istatiksel fizikte önemli bir çalışma konusu haline gelmiştir.^[8]