Unutulmuş Trigonometrik Fonksiyonlar: Sinüs ve Kosinüsün Ötesindeki Fonksiyonları Biliyor musunuz?

Trigonometri, uzunluk ve açıların ilişkisini incelemeye dayalı bir matematik dalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik oranlar olarak bilinen açılarla ilişkili olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar, genellikle sinüs ("sin"), kosinüs ("cos") ve tanjant ("tan") olarak adlandırılır. İleri düzeyde sekant ("sec"), kosekant ("csc") ve kotanjant ("cot") gibi fonksiyonlar da kullanılabilir.

Ancak, trigonometri derslerinde genellikle kullanılmayan ve bahsedilmeyen bazı diğer fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonlar arasında "versin", "vercos", "coversin", "covercos", "haversin", "havercos", "hacoversin", "hacovercos", "exsec", "excosec" ve "crd" fonksiyonları bulunmaktadır.

İlk etapta bu fonksiyonlar "öylesine" uydurulmuş tanımlar gibi gözükse de, aslında birim çember üzerinde spesifik uzunluklara karşılık gelmektedir. Aşağıdaki grafik, bunu net olarak göstermektedir:

Elbette, bu uzunlukların hepsi, her uygulamada eşit derecede işlevsel değildir. Sinüs, kosinüs ve tanjanta karşılık gelen uzunluklar mühendislik ve diğer bilim dallarının çoğunda yaygın olarak kullanılmaktayken, koverkosinüs veya exsekant gibi uzunluklar çok daha kısıtlı kullanım alanına sahiptir. Bu nedenle bazı trigonometrik fonksiyonlar lise sıralarındaki derslerimize kadar girmişken, bazılarının adını bile duymamaktayız - ki bunlar, "unutulmuş trigonometrik fonksiyonlar" dediğimiz fonksiyonlardır. Gelin bunların her biriyle tanışalım.

Nadiren Bahsedilen Trigonometrik Fonksiyonlar

Csc, Sec ve Cot Fonksiyonları

Bunlardan lise derslerinde ileri düzeyde bahsedilebilir ve kullanılabilir; ancak konu bütünlüğü açısından burada yer vermekte fayda görüyoruz:

• Csc (kosekant) fonksiyonu, $\sin (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\sin (x)}$ şeklinde ifade edilir.
• Sec ("sekant") fonksiyonu, $\cos (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\cos (x)}$ şeklinde ifade edilir.
• Cot ("kotanjant") fonksiyonu, $\tan (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\tan (x)}$ şeklinde ifade edilir

Versin ve Vercos Fonksiyonları

Tarihteki en eski trigonometri tablolarında bile yer alan versin (İng: "versed sine") fonskiyonu, kosinüs fonksiyonunun 1'den çıkarılmasıyla elde edilir. Vercos (İng: "versed cosine") fonksiyonu ise kosinüs fonksiyonuna 1 eklenmesiyle elde edilir. Trigonometrik formülasyonları şu şekildedir:

$\text{versin}(\theta ):=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-\cos (\theta )$

$\text{vercos}(\theta ):=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1+\cos (\theta )$

Coversin ve Covercos Fonksiyonları

Coversin (İng: "coversed sine") ve covercos (İng: "coversed cosine") fonksiyonları, versin ve vercos fonksiyonunun 90 dereceden çıkarılmış halidir. Keza, 1'den sinüs fonksiyonunun çıkarılması veya sinüs fonksiyonuna 1 eklenmesiyle de elde edilirler. Trigonometrik formülasyonları şu şekildedir:

$\text{coversin}(\theta ):=\text{versin}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=1-\sin (\theta )$

$\text{covercos}(\theta ):=\text{vercos}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=1+\sin (\theta )$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Haversin ve Havercos Fonksiyonları

Haversinüs, tarihsel olarak özellikle navigasyon (yön bulma) için önemli bir fonksiyondu, çünkü açısal konumlar verildiğinde, Dünya gibi astronomik bir sferoid üzerindeki mesafeleri makul bir şekilde doğru bir şekilde hesaplamak için kullanılabiliyordu. Aslında aynı hesap için doğrudan sinüs de kullanılabilir, ancak bir haversinüs tablosuna başvurmak, kareleri ve karekökleri hesaplama ihtiyacını ortadan kaldırıyordu. Haversinüs ve haverkosinüs fonksiyonlarının trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\text{haversin}(\theta ):=\frac{\text{versin}(\theta )}{2}={\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$

$\text{havercos}(\theta ):=\frac{\text{vercos}(\theta )}{2}={\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1+\cos (\theta )}{2}$

Hacoversin ve Hacovercos Fonksiyonları

Hacoversin ve hacovercos fonksiyonları, haversin ve havercos fonksiyonlarının yarısıdır. Trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\text{hacoversin}(\theta ):=\frac{\text{coversin}(\theta )}{2}=\frac{1-\sin (\theta )}{2}$

$\text{hacovercos}(\theta ):=\frac{\text{covercos}(\theta )}{2}=\frac{1+\sin (\theta )}{2}$

Exsec ve Excosec Fonksiyonları

Exsec (İng: "exsecant") ve excosec (İng: "excosecant") fonksiyonları, sekant ve kosekant fonksiyonlarıyla tanımlanan trigonometrik fonksiyonlardır. Tarihsel olarak ölçme, demiryolu mühendisliği, inşaat mühendisliği, astronomi ve küresel trigonometri gibi alanlarda önemli fonksiyonlardı ve hesaplardaki isabetliliği artırmaya yardımcı olabiliyorlardı; ancak günümüzde bazı hesaplamaları basitleştirmek dışında nadiren kullanılmaktadırlar. Trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\mathrm{exsec}(\theta )=\sec (\theta )-1=\frac{1}{\cos (\theta )}-1$

$\mathrm{excsc}(\theta )=\mathrm{exsec}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\csc (\theta )-1=\frac{1}{\sin (\theta )}-1$

Crd Fonksiyonları

crd (İng: "chord", Tür: "kiriş") fonksiyonu ise, özel bir trigonometrik fonksiyondur ve genellikle bir çember içindeki kiriş uzunluğunu hesaplamak için kullanılır. Trigonometrik tanımı şu şekildedir:

$\mathrm{crd}(\theta )=2\sin (\frac{\theta }{2})$

Sonuç

Sonuç olarak trigonometri, derslerde öğretilen fonksiyonlardan ibaret değildir ve çok daha derin ve uzun bir geçmişi vardır. Her ne kadar bunların önemli bir bölümü artık yaygın olarak kullanılmasa da sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarına ek olarak csc, sec, cot, versin, vercos, coversin, covercos, haversin, havercos, hacoversin, hacovercos, exsec, excosec ve crd gibi çok sayıda trigonometrik fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların her biri, birim çemberdeki farklı uzunlukları tarif ederler ve kimi durumda çok özel nedenlerle kullanılabilirler.