Unutulmuş Trigonometrik Fonksiyonlar: Sinüs ve Kosinüsün Ötesindeki Fonksiyonları Biliyor musunuz?

Trigonometri, uzunluk ve açıların ilişkisini incelemeye dayalı bir matematik dalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik oranlar olarak bilinen açılarla ilişkili olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar, genellikle sinüs ("sin"), kosinüs ("cos") ve tanjant ("tan") olarak adlandırılır. İleri düzeyde sekant ("sec"), kosekant ("csc") ve kotanjant ("cot") gibi fonksiyonlar da kullanılabilir.

Ancak, trigonometri derslerinde genellikle kullanılmayan ve bahsedilmeyen bazı diğer fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonlar arasında "versin", "vercos", "coversin", "covercos", "haversin", "havercos", "hacoversin", "hacovercos", "exsec", "excosec" ve "crd" fonksiyonları bulunmaktadır.

İlk etapta bu fonksiyonlar "öylesine" uydurulmuş tanımlar gibi gözükse de, aslında birim çember üzerinde spesifik uzunluklara karşılık gelmektedir. Aşağıdaki grafik, bunu net olarak göstermektedir:

Elbette, bu uzunlukların hepsi, her uygulamada eşit derecede işlevsel değildir. Sinüs, kosinüs ve tanjanta karşılık gelen uzunluklar mühendislik ve diğer bilim dallarının çoğunda yaygın olarak kullanılmaktayken, koverkosinüs veya exsekant gibi uzunluklar çok daha kısıtlı kullanım alanına sahiptir. Bu nedenle bazı trigonometrik fonksiyonlar lise sıralarındaki derslerimize kadar girmişken, bazılarının adını bile duymamaktayız - ki bunlar, "unutulmuş trigonometrik fonksiyonlar" dediğimiz fonksiyonlardır. Gelin bunların her biriyle tanışalım.

Nadiren Bahsedilen Trigonometrik Fonksiyonlar

Csc, Sec ve Cot Fonksiyonları

Bunlardan lise derslerinde ileri düzeyde bahsedilebilir ve kullanılabilir; ancak konu bütünlüğü açısından burada yer vermekte fayda görüyoruz:

• Csc (kosekant) fonksiyonu, $\sin (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\sin (x)}$ şeklinde ifade edilir.
• Sec ("sekant") fonksiyonu, $\cos (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\cos (x)}$ şeklinde ifade edilir.
• Cot ("kotanjant") fonksiyonu, $\tan (x)$ fonksiyonunun tersidir ve $\frac{1}{\tan (x)}$ şeklinde ifade edilir

Versin ve Vercos Fonksiyonları

Tarihteki en eski trigonometri tablolarında bile yer alan versin (İng: "versed sine") fonskiyonu, kosinüs fonksiyonunun 1'den çıkarılmasıyla elde edilir. Vercos (İng: "versed cosine") fonksiyonu ise kosinüs fonksiyonuna 1 eklenmesiyle elde edilir. Trigonometrik formülasyonları şu şekildedir:

$\text{versin}(\theta ):=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-\cos (\theta )$

$\text{vercos}(\theta ):=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1+\cos (\theta )$

Coversin ve Covercos Fonksiyonları

Coversin (İng: "coversed sine") ve covercos (İng: "coversed cosine") fonksiyonları, versin ve vercos fonksiyonunun 90 dereceden çıkarılmış halidir. Keza, 1'den sinüs fonksiyonunun çıkarılması veya sinüs fonksiyonuna 1 eklenmesiyle de elde edilirler. Trigonometrik formülasyonları şu şekildedir:

$\text{coversin}(\theta ):=\text{versin}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=1-\sin (\theta )$

$\text{covercos}(\theta ):=\text{vercos}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=1+\sin (\theta )$

Haversin ve Havercos Fonksiyonları

Haversinüs, tarihsel olarak özellikle navigasyon (yön bulma) için önemli bir fonksiyondu, çünkü açısal konumlar verildiğinde, Dünya gibi astronomik bir sferoid üzerindeki mesafeleri makul bir şekilde doğru bir şekilde hesaplamak için kullanılabiliyordu. Aslında aynı hesap için doğrudan sinüs de kullanılabilir, ancak bir haversinüs tablosuna başvurmak, kareleri ve karekökleri hesaplama ihtiyacını ortadan kaldırıyordu. Haversinüs ve haverkosinüs fonksiyonlarının trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\text{haversin}(\theta ):=\frac{\text{versin}(\theta )}{2}={\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$

$\text{havercos}(\theta ):=\frac{\text{vercos}(\theta )}{2}={\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1+\cos (\theta )}{2}$

Hacoversin ve Hacovercos Fonksiyonları

Hacoversin ve hacovercos fonksiyonları, haversin ve havercos fonksiyonlarının yarısıdır. Trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\text{hacoversin}(\theta ):=\frac{\text{coversin}(\theta )}{2}=\frac{1-\sin (\theta )}{2}$

$\text{hacovercos}(\theta ):=\frac{\text{covercos}(\theta )}{2}=\frac{1+\sin (\theta )}{2}$

Exsec ve Excosec Fonksiyonları

Exsec (İng: "exsecant") ve excosec (İng: "excosecant") fonksiyonları, sekant ve kosekant fonksiyonlarıyla tanımlanan trigonometrik fonksiyonlardır. Tarihsel olarak ölçme, demiryolu mühendisliği, inşaat mühendisliği, astronomi ve küresel trigonometri gibi alanlarda önemli fonksiyonlardı ve hesaplardaki isabetliliği artırmaya yardımcı olabiliyorlardı; ancak günümüzde bazı hesaplamaları basitleştirmek dışında nadiren kullanılmaktadırlar. Trigonometrik tanımları şu şekildedir:

$\mathrm{exsec}(\theta )=\sec (\theta )-1=\frac{1}{\cos (\theta )}-1$

$\mathrm{excsc}(\theta )=\mathrm{exsec}\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\csc (\theta )-1=\frac{1}{\sin (\theta )}-1$

Crd Fonksiyonları

crd (İng: "chord", Tür: "kiriş") fonksiyonu ise, özel bir trigonometrik fonksiyondur ve genellikle bir çember içindeki kiriş uzunluğunu hesaplamak için kullanılır. Trigonometrik tanımı şu şekildedir:

$\mathrm{crd}(\theta )=2\sin (\frac{\theta }{2})$

Sonuç

Sonuç olarak trigonometri, derslerde öğretilen fonksiyonlardan ibaret değildir ve çok daha derin ve uzun bir geçmişi vardır. Her ne kadar bunların önemli bir bölümü artık yaygın olarak kullanılmasa da sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarına ek olarak csc, sec, cot, versin, vercos, coversin, covercos, haversin, havercos, hacoversin, hacovercos, exsec, excosec ve crd gibi çok sayıda trigonometrik fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların her biri, birim çemberdeki farklı uzunlukları tarif ederler ve kimi durumda çok özel nedenlerle kullanılabilirler.