Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?

11 dakika
1,966
Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir? Kültüristan
Tüm Reklamları Kapat

Fizikte uzay, genellikle üç boyutlu geometrik bir yapıyı veyahut nesneyi ifade etmek için kullanılır. Bazı durumlarda zamanın da dahil edilmesiyle dört boyutlu hatta on bir boyutlu bir yapı olarak tanımlanabilir. Fizikteki uzay boyutları, deney ve gözlemlerle örtüşecek biçim ve miktarda olmak zorundadır. Ancak matematikte durum farklıdır: Matematikte, istenen herhangi bir sayıda boyut tanımlanabilir.

Bu makalede fizik, matematik ve mühendislik alanlarında sıklıkla kullanılan uzay tanımlarını kısaca vererek, en önemlilerinden biri olan Hilbert Uzayı'nın ne anlam ifade ettiğini anlatmaya çalışacağız.

Uzay Nedir?

Matematikte uzay, belirli bir şekilde etkileşime giren bir vektörler topluluğunu ifade eder. Diğerlerinin yanı sıra tanımlanmış bir dizi operatöre, (sözgelimi toplama çıkarma gibi operatörlere) ve mesafe metriğine, yani iki vektör arasındaki mesafeyi ölçme işlevine sahiptir.

Tüm Reklamları Kapat

Uzayların Küme Şeması. (Dıştan İçe: Topolojik, Metrik, Normlu Vektör, İç Çarpım Uzayları.)
Uzayların Küme Şeması. (Dıştan İçe: Topolojik, Metrik, Normlu Vektör, İç Çarpım Uzayları.)
Wikimedia

Topolojik Uzay Nedir?

Bir topolojik uzay, alt uzayların sürekli bozulumunu ya da deformasyonunu veya daha genel olarak bakacak olursak her türlü sürekliliği tanımlamaya izin veren, topoloji adı verilen bir yapıya sahip bir kümedir. Öklid uzayları ve daha genel anlamda metrik uzaylar, herhangi bir mesafe veya metrik bir topolojiyi tanımladığından topolojik uzay örnekleridir. Topolojide dikkate alınan deformasyonlar, homeomorfizmler ve homotopilerdir. Bu tür deformasyonlar altında değişmez olan bir özellik, topolojik bir özelliktir. Aşağıda topolojik özelliklerin temel örnekleri verilmiştir:

  • Bir çizgi ile bir yüzey arasında ayrım yapılmasını sağlayan boyut,
  • Bir çizgi ile bir daire arasında ayrım yapmaya izin veren kompaktlık,
  • Bir daireyi kesişmeyen iki daireden ayırmaya izin veren bağlantılılık.

Ancak uzay ve topolojik uzay aynı değildir. Uzay kavramı, doğrusal uzay ve topolojik uzay olarak ikiye ayrılır. Bu, kaba bir sınıflandırmadır; aslında bu uzaylar birbirlerini dışlamazlar. Her iki kategoriye de giren metrik uzaylar vardır.

Doğrusal uzaylar, doğrusallığa uyan önceden tanımlanmış işlemlere sahip vektör uzaylarıdır. Bir iç çarpım kavramı olmadığı ve dikey bir çizgi veya daire tanımlayamadığımız için doğrusal uzayların belirli kısıtlamaları vardır. Topolojik uzaylar gerçek dünyaya daha yakındır ve etrafımızdaki şeyleri tekdüze yüzeyler gibi tanımlamamıza yardımcı olurlar. Dolayısıyla topolojik uzaylardan yola çıkarak Hilbert uzaylarına ulaşmak çok daha kolaydır.

Metrik Uzay Nedir?

Matematikte bir metrik uzay; genellikle "nokta" olarak adlandırılan öğeleri arasında mesafe kavramı bulunan bir kümedir. Mesafe, "metrik" veya "mesafe işlevi" adı verilen bir işlevle ölçülür. Metrik uzaylar, matematiksel analiz ve geometri kavramlarının çoğunu incelemek için kullanılan en genel kavramdır.

Tüm Reklamları Kapat

Bir metrik uzayın en bilinen örneği, her zamanki mesafe kavramıyla 3-Boyutlu Öklid uzayıdır. Diğer bir iyi bilinen örnek, açısal mesafe ve hiperbolik düzlem ile donatılmış bir küredir. Bir metrik, fizikselden ziyade mecazi bir mesafe kavramına karşılık gelebilir. Toplar, tamlık, tekdüzelik, Lipschitz ve Hölder sürekliliği dahil olmak üzere matematiksel analizin temel kavramlarının çoğu metrik uzayların düzeninde tanımlanabilir. Süreklilik, kompaktlık, açık ve kapalı kümeler gibi diğer kavramlar metrik uzaylarda, hatta daha genel topolojik uzaylar ortamında da tanımlanabilir.

Metrik Uzay, küme üzerinde tanımlanmış bir metriğe sahip olan topolojik uzayın bir alt kümesidir. Bir metrik temel olarak uzaydaki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayan bir fonksiyondur. Fonksiyon, her x,y∈Xx, y ∈ X çiftine bir d(x,y)d(x, y) gerçek sayısı verir. Ayrıca fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır:

  • Tüm (x,y)∈X(x, y) ∈ X için d(x,y)≥0d(x, y) ≥ 0.
  • Eğer x=yx = y ise d(x,y)=0d(x, y) = 0.
  • Tüm (x,y)∈X(x, y) ∈ X için d(x,y)=d(y,x)d(x, y) = d(y, x) (Değişmeli özellik).
  • Her (x,y,z)∈X(x, y, z) ∈ X için d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y)d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) (Üçgen eşitsizliği).

Bu özellikler, Öklid uzayında karşılaştığımız uzaklık fonksiyonu için doğru olduklarından yeterince sezgiseldir. Bu özellikleri sağlayan herhangi bir dd işlevi bir metrik işlev olabilir. Bu nedenle MM metrik uzayı, (X,d)(X, d)'nin sıralı çifti olarak tanımlanır. Sıklıkla kullanılan bazı metrik işlevler şöyle tanımlanır:

  • Öklid Mesafesi: d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2d(x,y) = \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^2}
  • Manhattan Mesafesi: d(x,y)=∣y−x∣d(x,y) = |y-x|
  • Minkowski Mesafesi: d(x,y)=(∑i=1n(xi−yi)p)1/pd(x,y) =(\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^p)^{1/p}

Tamlık Nedir?

İlerlemek için değinmemiz gereken bir diğer önemli kavram, bir metrik uzayın "tamlığıdır" ki bu kavramı anlayabilmek için Cauchy dizilerini bilmemiz gerekir. Cauchy Dizisi, dizi ilerledikçe üyeleri giderek birbirine yaklaşan bir dizidir. Mavi noktaların nn arttıkça nasıl yakınlaştıklarını aşağıdaki şekilde görebiliriz.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Cauchy Dizisi Örneği
Cauchy Dizisi Örneği

Bir metrik uzay [M=(X,d)][M=(X, d)] bağlamında Cauchy Dizisi, seri ilerledikçe mesafesi küçülen dizi olarak tanımlanır. Öyle ki, NN pozitif bir tam sayı olmak üzere N">m,n>Nm, n > N verildiğinded(x,y)<ϵd(x,y) < \epsilon ifadesi doğrudur.

Böylece dizi, XX'teki bir öğeye yakınsar. Bir metrik uzay içindeki her Cauchy Dizisi, XX'teki bazı öğelere yakınsıyorsa tam olarak adlandırılır.

Norm ve Normlu Uzay Nedir?

Norm, bir vektör uzayındaki (sıfır vektörü hariç) her vektöre uzunluğunu veya büyüklüğünü gösteren pozitif bir değer veren bir fonksiyondur. Genellikle ∣∣x∣∣||x|| olarak gösterilir. Normun genel tanımı şöyle yazılabilir:

∣∣x∣∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p||x||_{p} =(\displaystyle\sum_{i=1}^n |x_{i}|^p)^{1/p}

Bu denklemde pp değişkenine bir değer atarsak, birkaç farklı örnek görebiliriz. Mesela p=1p=1 değeri için mutlak değer normunu, p=2 p=2 için ise Öklid normunu elde ederiz.

Normlu bir vektör uzayı, mesafe fonksiyonu fark vektörünün uzunluğu olarak tanımlanan bir metrik uzaydır:

Tüm Reklamları Kapat

d(x,y)=∣∣x−y∣∣d(x,y) = ||x-y||

Her normlu uzay hem doğrusal bir topolojik uzay hem de bir metrik uzaydır. Doğrusal ve topolojik uzaylar arasındaki kesişmenin mükemmel bir örneğidir.

Matematikte normlu bir vektör uzayı veya normlu uzay, üzerinde bir normun tanımlandığı gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki bir vektör uzayıdır. Bir norm, fiziksel dünyadaki sezgisel "uzunluk" kavramının genelleştirilmesidir. Metrik uzayların üzerinde metrik fonksiyon dd dışında tanımlanmış herhangi bir işleç yoktur. Bununla birlikte, analizde ortaya çıkan uygulamaların çoğu vektörün uzunluğunu gösteren bir normdan türetilmiştir.

Tüm Reklamları Kapat

Banach Uzayı Nedir?

Matematikte, daha spesifik olarak fonksiyonel analizde, bir Banach uzayı tam bir normlu vektör uzayıdır. Dolayısıyla bir Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına izin veren bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzay içinde iyi tanımlanmış bir sınıra yakınsaması anlamında tamamlanmıştır.

İç Çarpım Uzayı Nedir?

İç çarpım uzayı, iç çarpım olarak bilinen yeni bir yapı sunar. Öklid uzayında iç çarpım, skalerlerle nokta çarpımı ile aynıdır. İç çarpım, skaler bir nicelik üretmek için iki vektör üzerinde hareket eden matematiksel bir operatördür. Aşağıda bazı özellikleri verilmiştir:

  • Doğrusallık: ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩⟨x+y, z ⟩ = ⟨x,z⟩+⟨y,z⟩
  • Eşlenik Simetri: ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾⟨ x,y⟩ = \overline{⟨ y,x⟩}
  • Pozitif-Kesinlik: ⟨x,y⟩≥0,(∀x≠0)⟨ x,y⟩\ge0, (\forall{x}\not=0)

Vektörler arasındaki diklik ve açı artık hesaplanabildiğinden, iç çarpımlar metrik uzaylara önemli bir yapı katar. İç çarpımları kırarsak öklid normuna yani skaler forma iner. İç çarpım uzayları, temel ilkeleri daha yüksek boyutlu vektörleri tahmin etmek kolay olduğu için öklid uzaylarını genelleştirmenin harika bir yoludur.

Hilbert Uzayı Nedir?

Matematikte Hilbert uzayı, iç çarpım tarafından tanımlanan norma göre tamamlanmış bir iç çarpım uzayıdır. Hilbert uzayları, Fourier açılımı kavramını ve Fourier dönüşümü gibi belirli doğrusal dönüşümleri açıklığa kavuşturmaya ve genelleştirmeye hizmet eder. Hilbert uzayları, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunda çok önemlidir; ancak kuantum mekaniğinin birçok temel özelliği, Hilbert uzayları hakkında ayrıntılara girmeden de anlaşılabilir. Hilbert uzayları daha çok fonksiyonel analizde incelenir.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Neden Çocuk Kitapları Okumalıyız

“Çoğu yetişkin, okuma sürecinin tek yönlü işlemesi gerektiğini düşünür zira bunun aksi gerileme, olgunlukta geriye gitme olarak görülür. Önce PeterveJane denen çift başlı canavarı, ardından Narnia’yı aşıp Patrick Ness ile devam edersiniz… Derken yetişkin edebiyatına geçerek zafer kazanır, sonra da hep orada kalır, bir daha asla geriye dönüp bakmazsınız çünkü geriye bakmak mevki kaybetmek demektir.
Ama insan yüreği tren gibi düz bir hatta ilerlemez. Okuma serüveni böyle bir şey değil, en azından benimkisi böyle değildi. Çocuk edebiyatını ıskartaya çıkarırsak, yetişkin gözüyle okuduğumuzda farklı bir simya yakalayacağımız zenginliklerle dolu bir mücevher kutusunu ıskartaya çıkarmış oluruz.”

Son dönemin en önemli yazarlarından Katherine Rundell, çocuk kitaplarının hayal gücünün fitilini nasıl ateşlediğini, dahası nasıl yeniden ateşleyebileceğini; çocuk edebiyatının cüretkâr ve oyunbaz tavrıyla, nasıl olup da içimizdeki eski açlıkları uyandırıp dünyaya dair yeni bakış açıları oluşturmamızı sağlayabileceğini gösteriyor. Yetişkin okur için keyifli ve ikna edici bir deneme.

Devamını Göster
₺170.00
Neden Çocuk Kitapları Okumalıyız
  • Dış Sitelerde Paylaş

Hilbert Uzayı'nın Kısa Tarihi

Alman matematikçi David Hilbert, Hilbert uzayını ilk olarak 1902-1912 döneminde dikkatini çeken integral denklemler ve Fourier serileri üzerine yaptığı çalışmasında tanımladı. Hilbert'in araştırmasından kısa bir süre sonra, Avusturyalı-Alman matematikçi Ernst Fischer ve Macar matematikçi Frigyes Riesz, kare integrallenebilir fonksiyonların (mutlak değerlerinin karesinin integralinin sonlu olduğu fonksiyonlar), Hilbert uzayına eşdeğer tam bir iç çarpım uzayında "noktalar" olarak da kabul edilebileceğini kanıtladılar. Bu bağlamda Hilbert Uzayı, kuantum mekaniğinin gelişmesinde rol oynamış, uygulamalı matematik ve matematiksel fizikte önemli bir matematiksel araç olmaya devam etmiştir. 

Hilbert uzayının keşfi, analiz alanında matematikçilerin oldukça genel lineer uzayların özelliklerini inceledikleri yeni bir alan olan fonksiyonel analizi başlattı. Bu uzaylardan biri, şimdi Hilbert uzayları olarak adlandırılan, ilk olarak 1929'da Macar-Amerikalı matematikçi John von Neumann tarafından bu uzayları soyut bir aksiyomatik şekilde tanımlamak için kullanılan bir tanım olan tam iç çarpım uzaylarıdır. 

Hilbert uzayı ayrıca topolojide yeni fikirler için bir kaynak sağlamıştır. Bir metrik uzay olarak Hilbert uzayı, sonsuz boyutlu doğrusal bir topolojik uzay olarak kabul edilebilir ve 20. yüzyılın ilk yarısında topolojik özellikleriyle ilgili önemli sorular ortaya atılmıştır. Başlangıçta Hilbert uzaylarının bu tür özelliklerinden ilham alan araştırmacılar, 1960'larda ve 70'lerde sonsuz boyutlu topoloji adı verilen yeni bir topoloji alt alanı oluşturmuştur.

En eski Hilbert uzayları; 20. yüzyılın ilk on yılında David Hilbert, Erhard Schmidt ve Frigyes Riesz tarafından incelenmiştir. Bu uzaylar kısmi diferansiyel denklemler, kuantum mekaniği, Fourier analizi ve ergodik teorilerinde vazgeçilmez araçlardır.

John von Neumann, bu farklı uygulamaların birçoğunun altında yatan soyut kavram için "Hilbert uzayı" terimini icat etmiştir. Hilbert uzay yöntemlerinin başarısı, fonksiyonel analiz için çok verimli bir çağ başlatmıştır.

Hilbert uzayları, onları integral denklemler bağlamında inceleyen David Hilbert'in adını almıştır. "Der abstrakte Hilbertsche Raum" tanımı, John von Neumann'ın 1929'da yayınlanan sınırsız Hermitian operatörleri üzerine yaptığı ünlü çalışmasına dayanmaktadır. Von Neumann, kuantum mekaniğinin temelleri üzerine Hilbert ve Lothar (Wolfgang) Nordheim ile başlayan ve Eugene Wigner ile devam eden ufuk açıcı çalışmasının bir sonucu olarak bunların önemini belki de en açık şekilde anlayan matematikçidir.

Soyut bir Hilbert uzayının elemanlarına bazen "vektörler" denir. Uygulamalarda vektörler, tipik olarak karmaşık sayı veya fonksiyon dizileridir. Örneğin kuantum mekaniğinde, fiziksel bir sistem, sistemin olası durumlarını temsil eden dalga fonksiyonlarını içeren karmaşık bir Hilbert uzayı ile tanımlanır. Kuantum mekaniğinde yaygın olarak kullanılan düzlem dalgaların ve bağlı durumların Hilbert uzayı, hileli Hilbert uzayı olarak da bilinir.

Geometrik sezgi, Hilbert uzay teorisinin birçok yönünde önemli bir rol oynar. Pisagor teoreminin ve paralelkenar yasasının tam benzerleri bir Hilbert uzayında geçerlidir. Daha derin bir seviyede, doğrusal bir alt uzaya veya bir alt uzaya dikey izdüşüm, optimizasyon problemlerinde ve teorinin diğer yönlerinde büyük önem arz eder. Bir Hilbert uzayının bir elemanı, klasik geometrideki Kartezyen koordinatlara benzer şekilde, ortonormal bir temele göre koordinatlarıyla benzersiz bir şekilde belirtilebilir. Bu temel sayılabilir şekilde sonsuz olduğunda, Hilbert uzayını kare toplanabilen sonsuz dizilerin uzayı ile tanımlamaya izin verir. İkinci uzay genellikle eski literatürde Hilbert uzayı olarak anılır.

Hilbert Uzayı'nın Matematiksel Tanımı

Bir Hilbert uzayı, iç çarpımı ⟨f,g⟩⟨ f,g⟩ olan bir H vektör uzayıdır, öyle ki norm şu şekilde tanımlanır:

∣f∣=⟨f,f⟩|f| = \sqrt{⟨ f,f⟩}

Tüm Reklamları Kapat

Bir HH uzayı bu norma göre tam ise HH'ye Hilbert uzayı denir. Bu bağlamda tamlık, uzayın her bir Cauchy dizisinin farklılıklar normunun sıfıra yaklaşması anlamında uzayda bir elemana yakınsadığı anlamına gelir. Bu nedenle her Hilbert uzayı aynı zamanda bir Banach uzayıdır. (Ancak her Banach uzayı bir Hilbert uzayı değildir.)

Tüm sonlu boyutlu iç çarpım uzayları da Hilbert uzaylarıdır. Ancak uygulamalarda sonsuz boyutlu örnekler çok daha önemlidir. Bu uygulamalar şunları içerir:

  • Üniter Grup Temsilleri Teorisi,
  • Kare İntegrallenebilir Stokastik Süreçler Teorisi,
  • Kısmi diferansiyel denklemlerin Hilbert Uzay Teorisi,
  • Dirichlet Probleminin formülasyonları,
  • Dalgacık Teorileri de dahil olmak üzere fonksiyonların spektral analizi,
  • Kuantum Mekaniğinin matematiksel formülasyonları.

İç çarpım, kişinin "geometrik" bir görüş benimsemesine ve sonlu boyutlu uzaylardan aşina olduğu geometrik dili kullanmasına izin verir. Tüm sonsuz boyutlu topolojik vektör uzayları arasında Hilbert uzayları, en uygun ve sonlu boyutlu uzaylara en yakın olanlardır.

Fourier analizinin bir amacı da belirli bir işlevi, verilen temel işlevlerin katlarının (muhtemelen sonsuz) toplamı olarak yazmaktır. Bu problem, Hilbert uzaylarında soyut olarak incelenebilir: Her Hilbert uzayının ortonormal bir temeli vardır ve Hilbert uzayının her elemanı, bu temel elemanların katlarının toplamı olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
Özetini Oku
30
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 3
  • Üzücü! 1
  • İğrenç! 1
  • Korkutucu! 1
  • Muhteşem! 0
  • Tebrikler! 0
  • Bilim Budur! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Grrr... *@$# 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Sıkça Sorulan Sorular

Fizikte uzay, genellikle üç boyutlu geometrik bir yapıyı veya nesneyi ifade etmek için kullanılır. Bazı durumlarda zamanın da dahil edilmesiyle dört boyutlu hatta on bir boyutlu bir yapı olarak tanımlanabilir. Fizikteki uzay boyutları, deney ve gözlemlerle örtüşecek biçim ve miktarda olmak zorundadır.

Matematikte uzay, belirli bir şekilde etkileşime giren bir vektörler topluluğunu ifade eder. Bir dizi operatöre ve mesafe metriğine sahiptir, yani iki vektör arasındaki mesafeyi ölçme işlevine sahiptir.

Bir topolojik uzay, alt uzayların sürekli bozulumunu ya da deformasyonunu tanımlamaya izin veren bir yapıya sahip bir kümedir. Öklid uzayları ve daha genel anlamda metrik uzaylar, topolojik uzay örnekleridir. Deformasyonlar altında değişmez olan bir özellik, topolojik bir özelliktir.

Doğrusal uzaylar, doğrusallığa uyan önceden tanımlanmış işlemlere sahip vektör uzaylarıdır. Topolojik uzaylar, doğrusal uzaylara kıyasla daha genel ve gerçek dünyaya daha yakın yapılardır. Topolojik uzaylar, süreklilik, kompaktlık, açık ve kapalı kümeler gibi kavramları tanımlamaya yardımcı olur.

Matematikte bir metrik uzay, öğeleri arasında mesafe kavramı bulunan bir kümedir. Mesafe, metrik veya mesafe işlevi adı verilen bir işlevle ölçülür. Metrik uzaylar, matematiksel analiz ve geometri kavramlarının çoğunu incelemek için kullanılan en genel kavramlardan biridir.

Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/11/2024 15:22:35 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/15086

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Cinsel Yönelim
Işık
Vegan
2019-Ncov
Bakteriler
Editör Seçkisi
Kafatası
Retrovirüs
İklim
Solunum
Sars Mers
Argüman
Orman
Yer
Bilim İnsanları
Nasa
Adaptasyon
Sinir
Canlı Cansız
Hayatta Kalma
Ana Bulaşma Mekanizması
Zaman
Bilinç
Deprem
Hastalık Kontrolü
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. F. Sağlam, et al. Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?. (5 Ağustos 2023). Alındığı Tarih: 21 Kasım 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/15086
Sağlam, M. F., Alparslan, E. (2023, August 05). Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?. Evrim Ağacı. Retrieved November 21, 2024. from https://evrimagaci.org/s/15086
M. F. Sağlam, et al. “Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, 05 Aug. 2023, https://evrimagaci.org/s/15086.
Sağlam, Mehmet Furkan. Alparslan, Eda. “Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, August 05, 2023. https://evrimagaci.org/s/15086.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close