Matematiksel Homoloji Nedir? Topolojinin Bir Alt Başlığı Olan Homoloji, Pratik Olarak Hangi Alanlarda Kullanılır?
Matematik dünyasının son zamanlarda en çok ilgi çeken alanlarından biri olan Topoloji, sürekli deformasyonlar altında değişmeyen uzayların ve özelliklerinin incelendiği bir alt bilim dalıdır.[1] Bazı tarihçiler topolojinin kökeninin Euler'ın çalışmalarında yattığını öne sürerken bazıları ise topolojinin başlangıç noktasının Fransız Matematikçi Henri Poincaré'nin 1895 tarihli Analysis Situs kitabı olduğunu iddia eder.[2]
Topolojinin temel bir cebirsel kavramı olarak bilinen Homoloji, Abel Grupları veya modüller gibi cebirsel dizileri topolojik uzaylar gibi diğer matematiksel nesnelerle ilişkilendirmenin bir yoludur.[3] Matematikçiler tarafından özellikle topolojiyi daha iyi anlayabilmek için kullanılan homolojinin tarihi Alman matematikçi Bernhard Riemann ve İtalyan matematikçi Enrico Betti'nin çalışmalarıyla başlamıştır.[4], [5]
Homoloji gruplarını tanımlamaya yönelik orijinal motivasyon, iki şeklin birbirinden ayırt edilebilmesi için deliklerinin incelenmesinin yeterli olabileceğine yönelik bir gözlemdi. Örneğin, bir çember bir disk değildir, çünkü disk katı iken çemberin içinden bir delik vardır. Küre ise bir çember değildir, çünkü küre iki boyutlu bir deliği, çember ise bir boyutlu bir deliği çevreler. Bununla birlikte, bir delik "orada olmadığı" için, bir deliğin nasıl tanımlanacağı veya farklı türden deliklerin nasıl ayırt edileceği hemen açık değildir.
Homoloji, başlangıçta bir manifolddaki delikleri tanımlamak ve kategorize etmek için titiz bir matematiksel yöntem olarak geliştirildi. Kabaca konuşursak, bir döngü, kapalı bir alt manifolddur, bir sınır aynı zamanda bir alt manifoldun sınırı olan bir döngüdür ve bir homoloji sınıfı (bir deliği temsil eden), döngü modulo sınırlarının bir denklik sınıfıdır. Dolayısıyla bir homoloji sınıfı, herhangi bir alt manifoldun sınırı olmayan bir döngü ile temsil edilir: Döngü bir deliği, yani sınırı o döngü olacak olan ancak "orada olmayan" varsayımsal bir manifoldu temsil eder.
Birçok farklı homoloji teorisi vardır. Bir topolojik uzay veya bir grup gibi belirli bir matematiksel nesne türü, bir veya daha fazla ilişkili homoloji teorisine sahip olabilir. Ele alınan nesne, topolojik uzaylarda olduğu gibi geometrik bir yoruma sahip olduğunda, nn'inci homoloji grubu, nn boyutundaki davranışı temsil eder. Çoğu homoloji grubu veya modülü, uygun değişmeli kategorilerde türetilmiş işlevciler olarak formüle edilebilir ve bir işlevcinin kesin olmama hatası ölçülür. Bu soyut bakış açısından, homoloji grupları türetilmiş bir kategorinin nesneleri tarafından belirlenir.
Homolojinin Uygulama Alanları
Homoloji kavramı, topolojinin kullanıldığı birçok alanda kendini gösterir.
Bilim ve Mühendislik
Özellikle bilim ve mühendislik alanlarında fazlasıyla kullanılan homolojinin en sık kullanıldığı alanların başında topolojik veri analizi gelir. Topolojik veri analizi (İng: "Topological Data Analysis"), topolojik ve geometrik aletleri kullanarak daha kompleks olan yapıları bulmak ve onları yorumlamak için kullanılan, yeni ve hızla büyüyen bir alandır.[6]
Bu analizde veri setleri birer matematik kümesinin nokta bulutu (İng: "Point cloud") örneklemi veya Öklid uzayındaki cebirsel değişimler olarak kabul edilir ve kendilerine en yakın olan verilerle bağlanarak bir veri üçlemesine girerler. Bu üçleme sayesinde verilerin basitleştirilmiş homolojisi hesaplanır.[6]
Topolojik veri analizinin yanı sıra homoloji; kablosuz sensör ağlarında, fiziğin dinamik sistemler teorisini açıklamada ve mühendislikte sıklıkla kullanılan sonlu elemanlar metodunda (İng: "Finite Element Method") diferansiyel denklemlerle birlikte kullanılır.[7]
Homolojinin bu alanlardaki kullanımı daha çok simülasyon bazlı olsa da özellikle kablosuz sensör ağları gibi insan hayatını direkt olarak etkileyen alanlarda homoloji, hayati bir öneme sahiptir. Örneğin homolojinin kullanıldığı kablosuz sensör sistemleri, hava kalitesinin kontrolü gibi alanlarda aktif olarak kullanılır.[8]
Yazılım
Homolojinin yazılım alanındaki etkisi o kadar büyüktür ki matematikçiler ve bilgisayar uzmanları homolojinin yazılıma etkisini ayrı bir alt başlığa alarak inceler. Birbirinden farklı bir sürü yazılım paketi sadece sonlu hücre komplekslerinin homoloji gruplarını geliştirme amacıyla geliştirilmiştir.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Homoloji ile ilgili en çeşitli kataloğa sahip olan yazılım programlarından biri de C++ dilidir. LinBox, C++ dilinin homolojiyi ve doğrusal cebiri kullanarak hızlı matriks hesaplamalarını gerçekleştirdiği kütüphanesidir. Dahası bu kütüphane, Gap ve Maple olarak bilinen yazılım programlarıyla bağlantı kurabilme yeteneğine de sahiptir.
Bu dillerin yanı sıra Chomp, CAPD:Redhom ve Perseus isimleriyle başlatılan çalışmalar da C++ dilinde yazılmıştır. Bu üç ön işlemci algoritma da basit homoloji denklemleri ve Ayrık Morse Teorisi (İng: "Discrete Morse Theory") üzerine kurulmuştur. Üçünün de ortak amacı matriks cebirine başvurmadan önce girdi hücre komplekslerinin homolojiyi korumaları için indirgenmelerini gerçekleştirmektir.[9]
Soyut Matematik
Matematik dünyasında topolojinin ve homolojinin hangi matematik alt dalına ait olduklarıyla ilgili hâlâ devam eden bir tartışma vardır. Her ne kadar matematikçilerin büyük bir çoğunluğu topolojinin ve dolaylı yoldan homolojinin sert bir şekilde soyut matematik (İng: "Pure Mathematics") olarak adlandırılmasının gerektiğini dillendirseler de özellikle 21. yüzyılın getirdiği bilimsel ve teknolojik gelişmelerden dolayı topoloji ve homoloji her geçen gün uygulamalı matematikte daha çok kullanılmaktadır.[10]
Matematikçilerin uzun yıllar boyunca üzerinde çalıştığı teoremlerden bir kısmı homoloji sayesinde çözülebilmiştir. Bu teoremlerden bazıları şunlardır:
- Brouwer Sabit Nokta Teoremi (İng: "The Brouwer Fixed Point Theorem"),
- Etki Alanının Değişmezliği Teoremi (İng: "Invariance of Domain Theorem"),
- Saçlı Top Teoremi (İng: "The Hairy Ball Theorem"),
- Borsuk–Ulam Teoremi (İng: "The Borsuk–Ulam Theorem"),
- Boyutun Değişmezliği Teoremi (İng: "Invariance of Dimension Theorem").
Homolojinin Geleceği
Homolojinin hâlâ genç ve dinamik bir alan olması kendisini son zamanların en çok tartışılan ve araştırılan konularından biri yapıyor. Özellikle bilim insanları hızlı ve yapılandırılmış uyuşturucu keşfi ve GPCR'lerin yapılarını tahmin etmek için yeni bir modelleme sistemi oluşturulması konularına odaklanıyor.
Şu an bile birçok makalenin ve araştırma yazılarının konusu olan Homoloji Modellemesi sayesinde de amino asit dizilerinden proteinlerin 3D yapılarının hesaplamalı bir şekilde belirlenebileceği düşünülüyor.[11] Bu modelleme; ilaç tasarımı, ligand bağlama bölgesi, substrat özgüllüğü ve fonksiyon açıklamaları hakkında hipotezlerin öne sürülmesine ve moleküler biyolojide ciddi ilerlemeler kaydedilmesine yardımcı olabilir.[11]
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 2
- 2
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- ^ Pure Mathematics. What Is Topology?. (16 Ekim 2015). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Pure Mathematics | Arşiv Bağlantısı
- ^ S. C. Carlson. Topology - Graph Theory, Algebraic, And Combinatorial. (1 Ocak 2023). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Encyclopedia Britannica | Arşiv Bağlantısı
- ^ K. Houston-Edwards. How Mathematicians Use Homology To Make Sense Of Topology | Quanta Magazine. (11 Mayıs 2021). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Quanta Magazine | Arşiv Bağlantısı
- ^ R. Osserman. Homology | Mathematics. (1 Ocak 2023). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Encyclopedia Britannica | Arşiv Bağlantısı
- ^ B. Mahler, et al. H Is For Homology. (10 Haziran 2022). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: University of Oxford Mathematical Institute | Arşiv Bağlantısı
- ^ a b F. Chazal, et al. (2021). An Introduction To Topological Data Analysis: Fundamental And Practical Aspects For Data Scientists. Frontiers in Artificial Intelligence, sf: 667963. doi: 10.3389/frai.2021.667963. | Arşiv Bağlantısı
- ^ R. Ghrist. Math Upenn. (1 Ocak 2020). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Math UPenn | Arşiv Bağlantısı
- ^ K. Ukhurebor, et al. Wireless Sensor Networks: Applications And Challenges. (6 Ekim 2020). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: IntechOpen | Arşiv Bağlantısı
- ^ S. Witzel. (2022). Dmitry N. Kozlov: “Organized Collapse: An Introduction To Discrete Morse Theory”. Jahresbericht Der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, sf: 273-279. doi: 10.1365/s13291-022-00259-3. | Arşiv Bağlantısı
- ^ Institute for Advanced Study. How Is Topology Applicable To The Real World?. (18 Şubat 2016). Alındığı Tarih: 13 Haziran 2023. Alındığı Yer: Institute for Advanced Study | Arşiv Bağlantısı
- ^ a b M. T. Muhammed, et al. (2019). Homology Modeling In Drug Discovery: Overview, Current Applications, And Future Perspectives. Chemical Biology & Drug Design. doi: 10.1111/cbdd.13388. | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 06/10/2024 18:36:07 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/14866
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.