Matematiksel Homoloji Nedir? Topolojinin Bir Alt Başlığı Olan Homoloji, Pratik Olarak Hangi Alanlarda Kullanılır?

Matematik dünyasının son zamanlarda en çok ilgi çeken alanlarından biri olan Topoloji, sürekli deformasyonlar altında değişmeyen uzayların ve özelliklerinin incelendiği bir alt bilim dalıdır.^[1] Bazı tarihçiler topolojinin kökeninin Euler'ın çalışmalarında yattığını öne sürerken bazıları ise topolojinin başlangıç noktasının Fransız Matematikçi Henri Poincaré'nin 1895 tarihli Analysis Situs kitabı olduğunu iddia eder.^[2]

Topolojinin temel bir cebirsel kavramı olarak bilinen Homoloji, Abel Grupları veya modüller gibi cebirsel dizileri topolojik uzaylar gibi diğer matematiksel nesnelerle ilişkilendirmenin bir yoludur.^[3] Matematikçiler tarafından özellikle topolojiyi daha iyi anlayabilmek için kullanılan homolojinin tarihi Alman matematikçi Bernhard Riemann ve İtalyan matematikçi Enrico Betti'nin çalışmalarıyla başlamıştır.^{[4], [5]}

Homoloji gruplarını tanımlamaya yönelik orijinal motivasyon, iki şeklin birbirinden ayırt edilebilmesi için deliklerinin incelenmesinin yeterli olabileceğine yönelik bir gözlemdi. Örneğin, bir çember bir disk değildir, çünkü disk katı iken çemberin içinden bir delik vardır. Küre ise bir çember değildir, çünkü küre iki boyutlu bir deliği, çember ise bir boyutlu bir deliği çevreler. Bununla birlikte, bir delik "orada olmadığı" için, bir deliğin nasıl tanımlanacağı veya farklı türden deliklerin nasıl ayırt edileceği hemen açık değildir.

Homoloji, başlangıçta bir manifolddaki delikleri tanımlamak ve kategorize etmek için titiz bir matematiksel yöntem olarak geliştirildi. Kabaca konuşursak, bir döngü, kapalı bir alt manifolddur, bir sınır aynı zamanda bir alt manifoldun sınırı olan bir döngüdür ve bir homoloji sınıfı (bir deliği temsil eden), döngü modulo sınırlarının bir denklik sınıfıdır. Dolayısıyla bir homoloji sınıfı, herhangi bir alt manifoldun sınırı olmayan bir döngü ile temsil edilir: Döngü bir deliği, yani sınırı o döngü olacak olan ancak "orada olmayan" varsayımsal bir manifoldu temsil eder.

Birçok farklı homoloji teorisi vardır. Bir topolojik uzay veya bir grup gibi belirli bir matematiksel nesne türü, bir veya daha fazla ilişkili homoloji teorisine sahip olabilir. Ele alınan nesne, topolojik uzaylarda olduğu gibi geometrik bir yoruma sahip olduğunda, $n$'inci homoloji grubu, $n$ boyutundaki davranışı temsil eder. Çoğu homoloji grubu veya modülü, uygun değişmeli kategorilerde türetilmiş işlevciler olarak formüle edilebilir ve bir işlevcinin kesin olmama hatası ölçülür. Bu soyut bakış açısından, homoloji grupları türetilmiş bir kategorinin nesneleri tarafından belirlenir.

Wikipedia

Homolojinin Uygulama Alanları

Homoloji kavramı, topolojinin kullanıldığı birçok alanda kendini gösterir.

Bilim ve Mühendislik

Özellikle bilim ve mühendislik alanlarında fazlasıyla kullanılan homolojinin en sık kullanıldığı alanların başında topolojik veri analizi gelir. Topolojik veri analizi (İng: "Topological Data Analysis"), topolojik ve geometrik aletleri kullanarak daha kompleks olan yapıları bulmak ve onları yorumlamak için kullanılan, yeni ve hızla büyüyen bir alandır.^[6]

Bu analizde veri setleri birer matematik kümesinin nokta bulutu (İng: "Point cloud") örneklemi veya Öklid uzayındaki cebirsel değişimler olarak kabul edilir ve kendilerine en yakın olan verilerle bağlanarak bir veri üçlemesine girerler. Bu üçleme sayesinde verilerin basitleştirilmiş homolojisi hesaplanır.^[6]

Wikipedia

Topolojik veri analizinin yanı sıra homoloji; kablosuz sensör ağlarında, fiziğin dinamik sistemler teorisini açıklamada ve mühendislikte sıklıkla kullanılan sonlu elemanlar metodunda (İng: "Finite Element Method") diferansiyel denklemlerle birlikte kullanılır.^[7]

Homolojinin bu alanlardaki kullanımı daha çok simülasyon bazlı olsa da özellikle kablosuz sensör ağları gibi insan hayatını direkt olarak etkileyen alanlarda homoloji, hayati bir öneme sahiptir. Örneğin homolojinin kullanıldığı kablosuz sensör sistemleri, hava kalitesinin kontrolü gibi alanlarda aktif olarak kullanılır.^[8]

Yazılım

Homolojinin yazılım alanındaki etkisi o kadar büyüktür ki matematikçiler ve bilgisayar uzmanları homolojinin yazılıma etkisini ayrı bir alt başlığa alarak inceler. Birbirinden farklı bir sürü yazılım paketi sadece sonlu hücre komplekslerinin homoloji gruplarını geliştirme amacıyla geliştirilmiştir.

Homoloji ile ilgili en çeşitli kataloğa sahip olan yazılım programlarından biri de C++ dilidir. LinBox, C++ dilinin homolojiyi ve doğrusal cebiri kullanarak hızlı matriks hesaplamalarını gerçekleştirdiği kütüphanesidir. Dahası bu kütüphane, Gap ve Maple olarak bilinen yazılım programlarıyla bağlantı kurabilme yeteneğine de sahiptir.

Bu dillerin yanı sıra Chomp, CAPD:Redhom ve Perseus isimleriyle başlatılan çalışmalar da C++ dilinde yazılmıştır. Bu üç ön işlemci algoritma da basit homoloji denklemleri ve Ayrık Morse Teorisi (İng: "Discrete Morse Theory") üzerine kurulmuştur. Üçünün de ortak amacı matriks cebirine başvurmadan önce girdi hücre komplekslerinin homolojiyi korumaları için indirgenmelerini gerçekleştirmektir.^[9]

ArXiV

Soyut Matematik

Matematik dünyasında topolojinin ve homolojinin hangi matematik alt dalına ait olduklarıyla ilgili hâlâ devam eden bir tartışma vardır. Her ne kadar matematikçilerin büyük bir çoğunluğu topolojinin ve dolaylı yoldan homolojinin sert bir şekilde soyut matematik (İng: "Pure Mathematics") olarak adlandırılmasının gerektiğini dillendirseler de özellikle 21. yüzyılın getirdiği bilimsel ve teknolojik gelişmelerden dolayı topoloji ve homoloji her geçen gün uygulamalı matematikte daha çok kullanılmaktadır.^[10]

Matematikçilerin uzun yıllar boyunca üzerinde çalıştığı teoremlerden bir kısmı homoloji sayesinde çözülebilmiştir. Bu teoremlerden bazıları şunlardır:

• Brouwer Sabit Nokta Teoremi (İng: "The Brouwer Fixed Point Theorem"),
• Etki Alanının Değişmezliği Teoremi (İng: "Invariance of Domain Theorem"),
• Saçlı Top Teoremi (İng: "The Hairy Ball Theorem"),
• Borsuk–Ulam Teoremi (İng: "The Borsuk–Ulam Theorem"),
• Boyutun Değişmezliği Teoremi (İng: "Invariance of Dimension Theorem").

University of Cagliari Mathematics Department

Homolojinin Geleceği

Homolojinin hâlâ genç ve dinamik bir alan olması kendisini son zamanların en çok tartışılan ve araştırılan konularından biri yapıyor. Özellikle bilim insanları hızlı ve yapılandırılmış uyuşturucu keşfi ve GPCR'lerin yapılarını tahmin etmek için yeni bir modelleme sistemi oluşturulması konularına odaklanıyor.

Şu an bile birçok makalenin ve araştırma yazılarının konusu olan Homoloji Modellemesi sayesinde de amino asit dizilerinden proteinlerin 3D yapılarının hesaplamalı bir şekilde belirlenebileceği düşünülüyor.^[11] Bu modelleme; ilaç tasarımı, ligand bağlama bölgesi, substrat özgüllüğü ve fonksiyon açıklamaları hakkında hipotezlerin öne sürülmesine ve moleküler biyolojide ciddi ilerlemeler kaydedilmesine yardımcı olabilir.^[11]