Pi sayısı nedir? Ana hatlarıyla anlatır mısınız?

Pi sayısının nasıl bulunduğuyla başlayalım. İnsanların matematikte ilerlemeleri tarih boyunca hep gerekli olmuştur. Bir alışveriş yaparken, bir toprak parçasını bölüşürken vs. durumlar buna örnek gösterilebilir. Eskiden mimari bugünkü gibi değildi. Sütunlar, su kuyuları, kubbeler, tapınaklar, kemerler ve akvedükler yapılırken görsel duruma çok önem veriyorlardı. Ama daha çok önemli olan birşey vardı. İş gücünü azaltmak.

Bu yüzden dişliler, makaralar ve tekerleklerin icadı gerekti. Zamanlar pi sayısının keşfi ortaya çıktı ama ilk başlarda kimse bu sayının kendini tekrar etmediği hakkında bir fikire sahip değildi. İlk sistematik kullanımı Arşimet tarafından yapılmıştır. Arşimet çokgenler yöntemi ile pi sayısını hesapladı.

Şöyle düşünelim: 3gen, 4gen, 5gen, 6gen, 7gen, 8gen ....... 96gen

- Fark etmeliyiz ki kenar sayısını arttırdıkça yapımız bir çembere benzemeye başladı.

Ama Arşimet 96gen'de durmuş ve yaklaşık olarak pi sayısının "223/71<π<22/7" bu aralıkta olduğunu keşfetti. Zamanla 96gen'den devam edip 100gen, 180gen yapanlarda elbet oldu ama artık genel bir kural gerekiyordu bize, veya ciddi ilerleme kaydedebileceğimiz yeni bir yol....

Çokgenin kenar sayısını arttıran ve pi'ye daha çok yaklaşan matematikçilerde oldu elbet ama önemli sayabileceğimiz gelişme Newton'dan geldi. Newton pi sayısı için çember denklemini sonsuz bir seriye açtı, seri şu şekilde;

arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 .....

Peki neden böyle bir denklem kullandı?

İlk başta çemberin denkleminin x²+y²=1 olduğunu biliyoruz. Buradan y'yi çekelim. y= √1-x² oldu. Newtonun yaptığı bu karmaşık kısmı daha basit bir seriye çevirmekti.

Karmaşık fonksiyonları seriye açma metodunu kullanarak √1-x²= 1- x²/2 ..... denklemini elde etti. Bu çemberin alanını bulmaya olanak tanıyordu. Newton bu serinin integralini aldı.

Ayrıca arctan(x) fonksiyonunun'da bu seri ile ilgili olan kısmını fark etti. Arctan(x)'in türevi 1/1+x²'dir. Bu fonksiyonun integralini alırsak: x-x³/3+x⁵/5 ..... elde ederiz. x=1 için π/4 geleceğini biliyordu ve x yerine 1 vererek devam etti. Buradan da virgülden sonraki birçok sayıya daha ulaştı.

Genel hatlarıyla pi sayısının başlangıç hikayesi budur. Bundan sonra'da genelde serilerin üzerinde uğraşması sonucu daha çok basamak hesaplanmıştır. Günümüzde halen çokgenin kenar sayılarını arttırarak pi sayısının virgülden sonraki basamaklarını tahmin etmiyoruz bunun yerine Chudnovsky Algoritması vb. Algoritmalar kullanıyoruz ve yaklaşık pi'nin ilk 100 trilyon basamağı hesaplandı.

Ama şunu da bilmek gerekli ki pi sayısının 100 trilyon basamağını hesaplamak bize çok bir şey katmadı biz sadece ilk 15-20 basamağını kullanıyoruz NASA vb. kurumlarda. Ancak virgülden sonraki 100 trilyon basamağı hesaplamamızın nedeni sadece yeni bilgisayarların işlemci güçlerini veya bulut sistemlerini test etmekte yatıyor.

Yoksa pi sayısı arşimete yetiyor hatta artıyordu :)^[1]

Pi Sayısı : Evrenin çevredişi matematiksel flörtü.

Bir dairenin çapına 'Neden bu kadar kısa?' diye sorduğunda, sonsuz rakamla 'Beni asla tam anlayamazsın' diye yanıt veren irrasyonel bir aşk üçgeni. Bilim insanları hâlâ 62.8 trilyon basamak sonra 'Belki de sorun bendedir' diye düşünüyor^[1]

Pi sayısı, matematiğin en büyüleyici ve en eski sayılarından biridir. Kısaca, bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanır ve yaklaşık olarak 3.14159 değerine sahiptir. Ama bu sadece başlangıç noktası. Pi’nin hikâyesi, binlerce yıl öncesine dayanır ve insanlık tarihi boyunca matematikçiler, bilim insanları ve hatta meraklı amatörler tarafından incelenmiştir.

İlk olarak, insanlar daireleri ve çemberleri anlamaya başladıklarında, bunların bazı sabit oranlara sahip olduğunu fark ettiler. Eski Mısırlılar ve Babilliler, Pi’nin varlığını sezgisel olarak biliyorlardı. Örneğin, Babilliler Pi’yi yaklaşık 3.125, Mısırlılar ise 3.1605 olarak hesaplamışlardı. O dönemin imkânları göz önüne alındığında, bu oldukça etkileyiciydi. Ancak bu değerler, bugünkü hassasiyetle hesaplanan Pi’den biraz farklıydı.

Daha sonra, Antik Yunanlılar devreye girdi. Ünlü matematikçi Arşimet, Pi’yi hesaplamak için oldukça akıllıca bir yöntem geliştirdi. Çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek, Pi’nin üst ve alt sınırlarını belirlemeye çalıştı. Örneğin, bir çemberin içine ve dışına bir altıgen, sonra on iki kenarlı, sonra daha fazla kenarlı çokgenler ekleyerek, Pi’nin giderek daha kesin bir değerini buldu. Sonuçta, Pi’nin 3.1408 ile 3.1428 arasında olduğunu hesapladı ki bu, o döneme göre son derece doğru bir yaklaşımdı.

Zaman içinde, Çinli matematikçiler ve Hintli bilginler de Pi’nin peşine düştü. Çinli Zu Chongzhi, 5. yüzyılda Pi’yi 3.1415927 olarak hesapladı ve bu değer, yaklaşık bin yıl boyunca en doğru sonuç olarak kaldı. Hintli matematikçi Madhava ise 14. yüzyılda, sonsuz serileri kullanarak Pi’yi hesaplamanın bir yolunu buldu ki bu, modern matematiğin temel taşlarından biri haline geldi.

Avrupa’ya geldiğimizde, 17. ve 18. yüzyıllarda, matematikçiler Pi’yi hesaplamak için sonsuz serileri ve integral hesaplarını kullanmaya başladılar. Leibniz ve Newton, Pi hesaplamalarını büyük ölçüde geliştirdi. Ancak Pi’nin gerçekten devrim niteliğinde keşfi, 18. yüzyılda İsviçreli matematikçi Leonhard Euler sayesinde oldu. Euler, Pi’nin sembolü olarak π harfini (Yunan alfabesinden) kullanmaya başladı ve bu notasyon günümüze kadar geldi.

ve 20. yüzyılda, bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Pi’nin milyarlarca basamağı hesaplandı. Günümüzde süper bilgisayarlar sayesinde trilyonlarca basamağa kadar hesaplanmış durumda. Ancak, ne kadar ileri gidersek gidelim, Pi’nin tüm basamaklarını asla bilemeyeceğimizi de biliyoruz. Çünkü Pi, irrasyonel bir sayı, yani ondalık basamakları sonsuza kadar devam eder ve asla tekrar etmez. Aynı zamanda transandantal bir sayı, yani hiçbir cebirsel denklemle tam olarak ifade edilemez.

Pi’nin bu gizemli doğası, onu matematikçilerin ve bilim insanlarının gözünde özel kılar. Sadece geometri ve trigonometride değil, mühendislik, fizik, astronomi, hatta finans gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, dalga hareketlerinden kuantum mekaniğine, yapay zekâdan kozmolojiye kadar pek çok yerde Pi’nin izi vardır.

^[1]Özetle, Pi, sadece bir matematik sabiti değil; insanlığın bilgiye ulaşma çabasının ve merakının en güzel simgelerinden biridir. Antik çağlardan günümüz süper bilgisayarlarına kadar uzanan bu serüven, aslında bilimin ve matematiğin gelişiminin de bir özetidir. Her geçen gün yeni teknolojilerle daha fazla basamağını hesaplasak da, Pi’nin tam olarak ne olduğunu asla bilemeyecek olmamız, onu daha da büyüleyici kılar.