Pi sayısının nasıl bulunduğuyla başlayalım. İnsanların matematikte ilerlemeleri tarih boyunca hep gerekli olmuştur. Bir alışveriş yaparken, bir toprak parçasını bölüşürken vs. durumlar buna örnek gösterilebilir. Eskiden mimari bugünkü gibi değildi. Sütunlar, su kuyuları, kubbeler, tapınaklar, kemerler ve akvedükler yapılırken görsel duruma çok önem veriyorlardı. Ama daha çok önemli olan birşey vardı. İş gücünü azaltmak.
Bu yüzden dişliler, makaralar ve tekerleklerin icadı gerekti. Zamanlar pi sayısının keşfi ortaya çıktı ama ilk başlarda kimse bu sayının kendini tekrar etmediği hakkında bir fikire sahip değildi. İlk sistematik kullanımı Arşimet tarafından yapılmıştır. Arşimet çokgenler yöntemi ile pi sayısını hesapladı.
Şöyle düşünelim: 3gen, 4gen, 5gen, 6gen, 7gen, 8gen ....... 96gen
- Fark etmeliyiz ki kenar sayısını arttırdıkça yapımız bir çembere benzemeye başladı.
Ama Arşimet 96gen'de durmuş ve yaklaşık olarak pi sayısının "223/71<π<22/7" bu aralıkta olduğunu keşfetti. Zamanla 96gen'den devam edip 100gen, 180gen yapanlarda elbet oldu ama artık genel bir kural gerekiyordu bize, veya ciddi ilerleme kaydedebileceğimiz yeni bir yol....
Çokgenin kenar sayısını arttıran ve pi'ye daha çok yaklaşan matematikçilerde oldu elbet ama önemli sayabileceğimiz gelişme Newton'dan geldi. Newton pi sayısı için çember denklemini sonsuz bir seriye açtı, seri şu şekilde;
arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 .....
Peki neden böyle bir denklem kullandı?
İlk başta çemberin denkleminin x²+y²=1 olduğunu biliyoruz. Buradan y'yi çekelim. y= √1-x² oldu. Newtonun yaptığı bu karmaşık kısmı daha basit bir seriye çevirmekti.
Karmaşık fonksiyonları seriye açma metodunu kullanarak √1-x²= 1- x²/2 ..... denklemini elde etti. Bu çemberin alanını bulmaya olanak tanıyordu. Newton bu serinin integralini aldı.
Ayrıca arctan(x) fonksiyonunun'da bu seri ile ilgili olan kısmını fark etti. Arctan(x)'in türevi 1/1+x²'dir. Bu fonksiyonun integralini alırsak: x-x³/3+x⁵/5 ..... elde ederiz. x=1 için π/4 geleceğini biliyordu ve x yerine 1 vererek devam etti. Buradan da virgülden sonraki birçok sayıya daha ulaştı.
Genel hatlarıyla pi sayısının başlangıç hikayesi budur. Bundan sonra'da genelde serilerin üzerinde uğraşması sonucu daha çok basamak hesaplanmıştır. Günümüzde halen çokgenin kenar sayılarını arttırarak pi sayısının virgülden sonraki basamaklarını tahmin etmiyoruz bunun yerine Chudnovsky Algoritması vb. Algoritmalar kullanıyoruz ve yaklaşık pi'nin ilk 100 trilyon basamağı hesaplandı.
Ama şunu da bilmek gerekli ki pi sayısının 100 trilyon basamağını hesaplamak bize çok bir şey katmadı biz sadece ilk 15-20 basamağını kullanıyoruz NASA vb. kurumlarda. Ancak virgülden sonraki 100 trilyon basamağı hesaplamamızın nedeni sadece yeni bilgisayarların işlemci güçlerini veya bulut sistemlerini test etmekte yatıyor.
Yoksa pi sayısı arşimete yetiyor hatta artıyordu :)[1]
Kaynaklar
- Petr Beckmann. (1971). A History Of Pi. ISBN: 978-0486620724. Yayınevi: Dover Publications. sf: 206.
