Snell Yasası: Işığın Farklı Ortamlardaki Hareketleri ve Matematiksel İspatı

Özgün İçerik Nedir?
Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.


Bu yazı, Fizik: Newton'dan Kuantuma yazı dizisinin 13. yazısıdır. Dizinin ilk yazısına gitmek için buraya, dizideki tüm yazıları görmek için buraya tıklayınız. Yazı dizileri, EA Akademi'nin bir parçasıdır.
Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için giriş yapın veya kayıt olun.
Yazının genel konusu optiğin alanı olan ışığın farklı ortam içerisindeki hareketini tanımlayan Snell Yasası hakkında. Yazıda bu yasanın matematiksel ispatını nasıl yapabileceğimizi göstereceğiz. Yazının konusunu bu şekilde seçmemizin nedeni matematiğin fizikteki fenomenleri anlamlandırmamıza nasıl yardımcı olduğunu göstermektir. Yazıya Snell Yasası’nın ne olduğunu öğrenerek başlayalım.
Snell Yasası Nedir?
Snell Yasası, ışığın ortam değiştirirken izlediği yolun normal (arayüzeye dik olan hayali çizgi) ile yaptığı açıların oranının, ortamlarının indisinin oranına ters orantılı olduğunu söyler.
/evrimagaci.org%2Fpublic%2Fcontent_media%2F5cd4b9784411f1d4b3a97c2063918071.png)
Bu yazıda sadece bir postulat (aksiyom veya belit) ile matematiksel olarak bu yasanın doğru olduğunu nasıl gösterebileceğimizi izah edeceğiz.
Snell Yasası’nda Kırılma İndisininTanımı
Snell Yasası’nda olan kırılma indisinin tanımını yapalım. Bir maddenin kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının, ışığın o madde içerisindeki hızına oranıdır. Matematiksel olarak göstermek gerekirse,
Bu nedenle tanımı gereği maddenin kırılma indisi, ışığın o madde içerisindeki hızıyla ters orantılıdır.
Önemli bir not olarak şunu söyleyelim: Buradaki ışığın hızının değişmesinin İzafiyet Teorisi ile çeliştiğini düşünenler olabilir, halbuki bu doğru değildir. İzafiyet Teorisi’nin postulatlarından biri olan “ışık hızı her eylemsiz referans sistemi için aynıdır” postulatında bahsedilen ışık hızı, ışığın boşluktaki hızıdır; yani ışığın kendi hızıyla bir ilgisi yoktur. Bunun yanı sıra ışığın madde içerisinde yavaş ilerlemesinin sebebi, maddeyi oluşturan molekül veya atomların ışığı soğurup tekrar yaymasıdır.
Optikte Kırılmanın Postulatları
1. Postulat: Işık, kırıldıktan sonra kırılmadan önceki ilerlediği düzlem ile aynı düzlemde ilerler.
Bu belit şunu söyler: Diyelim ki havada doğrusal olarak ilerleyen bir ışık hüzmesi var. Siz bu ışığın hareketini 2 boyutlu bir düzlem içerisinde tanımlamadınız. Işık, kırıldıktan sonra yine aynı düzlem içerisinde ilerler. Yazının devamında Snell Yasası’nın ispatını yazarken 1. ortam için yatay ve dikey olmak üzere 2 boyut tanımlarken 2. ortam için de aynı yatay ve dikey boyutlarını kullanmamızın sebebi budur.
2. Postulat: Fermat Prensibi; Işık, iki nokta arasında en kısa sürede alınabilen yolu alır.
Şimdi bu prensibin üzerinde duralım. Bu prensibi anlamak için verilen en iyi analoji kumsal ve deniz örneğidir. Diyelim ki siz bir cankurtaransınız ve denizde boğulmakta olan bir adama elinizden gelen en çabuk şekilde ulaşmak istiyorsunuz. Peki denizdeki adama hangi yoldan giderseniz en kısa sürede ulaşabilirsiniz?

Akla ilk gelen yol, sizinle boğulan kişi arasındaki düz giden çizgiyi takip etmektir fakat şöyle bir sorun var: Denizdeki hızınız kumsaldaki hızınıza göre epey yavaş, bu nedenle denizde geçireceğiniz her vakit sizin aleyhinize işler.

Suda geçireceğimiz zaman ile en kısa zaman arasındaki denge böyle bir yolda yatmaktadır. Işık da aynı şekilde yol alırken gidebileceği en kısa yolu alır.
Postulatlarımızı da belirttiğimize göre artık Snell Yasası’nı kanıtlamaya başlayabiliriz.
Snell Yasası’nın Kanıtı

Dikkat ederseniz yukarıdaki resimde ikinci ortamda ışığın resimden bize doğru veya içeri doğru gittiğini söylemedik çünkü 1. postulat bize her iki ortam için ışığın aynı düzlem üzerinde yol aldığını söyler.
Pisagor Teoremi’nden bildiğimiz üzere ışığın 1. ortam içerisinde aldığı yolu gösterelim.
Hız, alınan yolun o yolu alırken geçen zamana oranı olduğuna göre ışığın 1. ortamda iken geçen zamanı şu şekilde gösterebiliriz.
Yukarıdaki resimde de görebileceğimiz gibi her iki noktanın ışığın kırılma noktasına olan yatay uzaklıklarının toplamı birbirlerine olan yatay uzaklıklarına eşittir. O halde,
bu durumda ikinci noktanın kırılma noktasına olan yatay uzaklığını şu şekilde gösterebiliriz.
Işığın 2. ortam içerisinde aldığı yolu ve yolu alırken geçen zamanı göstermek istersek,
o halde ışığın iki nokta arasında aldığı yol ve süreleri gösterebiliriz.
İlk postulatı ve bazı tanımlamaları kullanarak bazı işlemler yaptık. Sıra ikinci postulatı kullanmaya geldi, yani Fermat’ın Prensibi.
Sıra ikinci postulatı kullanmaya geldi. 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığını öyle bir belirleyelim ki ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanı minimum yapsın. Bunu matematiksel olarak şu şekilde gösterebiliriz:
Yani ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanın 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığının türevi sıfıra eşittir.
Bu denklemi ilerletirsek:
Her iki tarafın x1'e göre türevini alırsak:
Denklemde ışığın 1. ve 2. ortamda aldığı yolları koyarsak:
Burada dikkat ederseniz x1'in S1'e oranı θ1 açısının sinüsünü verir, aynı şekilde x2'nin S2'ye oranı θ2 açısının sinüsünü verir. Bunları denklemde yerine koyarsak:
Kırılma indisinin tanımını yaparken ışığın hızı ile ters orantılı olduğunu söylemiştik, o halde:
Böylelikle Snell Yasası’nı kanıtlamış olduk!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
İlginizi Çekebilecek Sorular
- Yeryüzüne ulaşan güneş ışıklarının, yeryüzüne düşme açıları neden bu kadar büyük?
- Mıknatıslar neden sadece demir, nikel ve kobaltı çekerler?
- Borsalarda işlem gören altınlar mevcut altın rezervleri baz alınarak mı yapılıyor yoksa bitcoin gibi tamamen sanal mı?
- 7
- 5
- 5
- 4
- 3
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 27/02/2021 19:04:44 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/434
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.