Snell Yasası: Işığın Farklı Ortamlardaki Hareketleri ve Matematiksel İspatı

Yazının genel konusu optiğin alanı olan ışığın farklı ortam içerisindeki hareketini tanımlayan Snell Yasası hakkında. Yazıda bu yasanın matematiksel ispatını nasıl yapabileceğimizi göstereceğiz. Yazının konusunu bu şekilde seçmemizin nedeni matematiğin fizikteki fenomenleri anlamlandırmamıza nasıl yardımcı olduğunu göstermektir. Yazıya Snell Yasası’nın ne olduğunu öğrenerek başlayalım.

Snell Yasası Nedir?

Snell Yasası, ışığın ortam değiştirirken izlediği yolun normal (arayüzeye dik olan hayali çizgi) ile yaptığı açıların oranının, ortamlarının indisinin oranına ters orantılı olduğunu söyler.

Bu yazıda sadece bir postulat (aksiyom veya belit) ile matematiksel olarak bu yasanın doğru olduğunu nasıl gösterebileceğimizi izah edeceğiz.

Snell Yasası’nda Kırılma İndisininTanımı

Snell Yasası’nda olan kırılma indisinin tanımını yapalım. Bir maddenin kırılma indisi, ışığın boşluktaki hızının, ışığın o madde içerisindeki hızına oranıdır. Matematiksel olarak göstermek gerekirse,

Bu nedenle tanımı gereği maddenin kırılma indisi, ışığın o madde içerisindeki hızıyla ters orantılıdır.

Önemli bir not olarak şunu söyleyelim: Buradaki ışığın hızının değişmesinin İzafiyet Teorisi ile çeliştiğini düşünenler olabilir, halbuki bu doğru değildir. İzafiyet Teorisi’nin postulatlarından biri olan “ışık hızı her eylemsiz referans sistemi için aynıdır” postulatında bahsedilen ışık hızı, ışığın boşluktaki hızıdır; yani ışığın kendi hızıyla bir ilgisi yoktur. Bunun yanı sıra ışığın madde içerisinde yavaş ilerlemesinin sebebi, maddeyi oluşturan molekül veya atomların ışığı soğurup tekrar yaymasıdır.

Optikte Kırılmanın Postulatları

1. Postulat: Işık, kırıldıktan sonra kırılmadan önceki ilerlediği düzlem ile aynı düzlemde ilerler.

Bu belit şunu söyler: Diyelim ki havada doğrusal olarak ilerleyen bir ışık hüzmesi var. Siz bu ışığın hareketini 2 boyutlu bir düzlem içerisinde tanımlamadınız. Işık, kırıldıktan sonra yine aynı düzlem içerisinde ilerler. Yazının devamında Snell Yasası’nın ispatını yazarken 1. ortam için yatay ve dikey olmak üzere 2 boyut tanımlarken 2. ortam için de aynı yatay ve dikey boyutlarını kullanmamızın sebebi budur.

2. Postulat: Fermat Prensibi; Işık, iki nokta arasında en kısa sürede alınabilen yolu alır.

Şimdi bu prensibin üzerinde duralım. Bu prensibi anlamak için verilen en iyi analoji kumsal ve deniz örneğidir. Diyelim ki siz bir cankurtaransınız ve denizde boğulmakta olan bir adama elinizden gelen en çabuk şekilde ulaşmak istiyorsunuz. Peki denizdeki adama hangi yoldan giderseniz en kısa sürede ulaşabilirsiniz?

Akla ilk gelen yol, sizinle boğulan kişi arasındaki düz giden çizgiyi takip etmektir fakat şöyle bir sorun var: Denizdeki hızınız kumsaldaki hızınıza göre epey yavaş, bu nedenle denizde geçireceğiniz her vakit sizin aleyhinize işler.

Suda geçireceğimiz zaman ile en kısa zaman arasındaki denge böyle bir yolda yatmaktadır. Işık da aynı şekilde yol alırken gidebileceği en kısa yolu alır.

Postulatlarımızı da belirttiğimize göre artık Snell Yasası’nı kanıtlamaya başlayabiliriz.

Snell Yasası’nın Kanıtı

Dikkat ederseniz yukarıdaki resimde ikinci ortamda ışığın resimden bize doğru veya içeri doğru gittiğini söylemedik çünkü 1. postulat bize her iki ortam için ışığın aynı düzlem üzerinde yol aldığını söyler.

Pisagor Teoremi’nden bildiğimiz üzere ışığın 1. ortam içerisinde aldığı yolu gösterelim.

Hız, alınan yolun o yolu alırken geçen zamana oranı olduğuna göre ışığın 1. ortamda iken geçen zamanı şu şekilde gösterebiliriz.

Yukarıdaki resimde de görebileceğimiz gibi her iki noktanın ışığın kırılma noktasına olan yatay uzaklıklarının toplamı birbirlerine olan yatay uzaklıklarına eşittir. O halde,

bu durumda ikinci noktanın kırılma noktasına olan yatay uzaklığını şu şekilde gösterebiliriz.

Işığın 2. ortam içerisinde aldığı yolu ve yolu alırken geçen zamanı göstermek istersek,

Agora Bilim Pazarı

Sayılar ve Türümüze Katkıları: Sayı Sayma ve Kültürlerin Gelişimi

İnsan kültürleri şaşırtıcı derecede kısa bir süre öncesine kadar sayı mefhumuna sahip değildi. Sayıların
icadıyla gelen sözel ve sembolik temsiller, insan yaşantısında köklü bir dönüşüme yol açtı. Çocukluğunu
Amazonlardaki yerli kabileler arasında geçiren dilbilimci antropolog Caleb Everett ödüllü çalışması
Sayılar ve Türümüze Katkıları’nda bu dönüşümün kapsamını ortaya koyuyor, farklı kültürlerin sayılarla
ilişkisini ve sayıların insan zihnini, davranış ve kültürleri nasıl şekillendirdiğini incelikle ele alıyor.
Bilişsel bilimler, dilbilim, antropoloji, nörobiyoloji ve fizyoloji gibi farklı alanlardan pek çok araştırmayla
zenginleşen bu anlatıda arkaik sayı sistemleri, yerli kabilelerin farklı sayma uygulamaları, insanlarla diğer
hayvanların sayısal becerileri ve bu becerilerin nörobiyolojik kökenleri de ufuk açıcı örneklerle
açıklanıyor.

“Everett’in çok farklı alanlardan çarpıcı çalışmalarla desteklediği güçlü bir savı var: Sayılar ne doğaldır
ne de insan doğasına içkindir; insan zihninin yarattığı bilişsel bir icattır ve nicelikleri anlayıp ayırt etme
şeklimizi ebediyen değiştirmiştir. Sayıların tarım ve tarıma dayalı kalabalık toplumların gelişiminde hayati
rol oynadığına ilişkin savı da bir o kadar ikna edici.”
Amir Alexander, Wall Street Journal
“Everett binlerce yıllık insan evrimini irdeleme serüveninde Amazon ormanlarından Avustralya çöllerine
yolculuk ederken insan kültürlerinin çeşitliliğini daha derinden anlama çabasını asla elden bırakmıyor,
soluk kesici bir anlatıyla türümüzün en önemli bilişsel ve dilsel başarısını ele alıyor: sayı saymak ve
niceliksel kavramları kullanarak muazzam çeşitlilikteki kültürel faaliyetleri zenginleştirip geliştirmek.”
Bernd Heine, University of Cologne
“Sayılar zihin açan, yer yer de okuyucuyu şaşkına çeviren bir çalışma. Dilin kültürel bir icat olarak
türümüzü şekillendirmekteki hayati işlevini ikna edici bir şekilde ortaya koyuyor.”
Vyvyan Evans, New Scientist

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
2. Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
3. Bu kampanya, Kolektif Kitap tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺27.00 ₺40.00

Satın Al Tüm Ürünler

o halde ışığın iki nokta arasında aldığı yol ve süreleri gösterebiliriz.

İlk postulatı ve bazı tanımlamaları kullanarak bazı işlemler yaptık. Sıra ikinci postulatı kullanmaya geldi, yani Fermat’ın Prensibi.

Sıra ikinci postulatı kullanmaya geldi. 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığını öyle bir belirleyelim ki ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanı minimum yapsın. Bunu matematiksel olarak şu şekilde gösterebiliriz:

Yani ışığın iki nokta arasında yol alırken geçen zamanın 1. noktanın ışığın kırıldığı noktaya olan uzaklığının türevi sıfıra eşittir.

Bu denklemi ilerletirsek:

Her iki tarafın x1'e göre türevini alırsak:

Denklemde ışığın 1. ve 2. ortamda aldığı yolları koyarsak:

Burada dikkat ederseniz x1'in S1'e oranı θ1 açısının sinüsünü verir, aynı şekilde x2'nin S2'ye oranı θ2 açısının sinüsünü verir. Bunları denklemde yerine koyarsak:

Kırılma indisinin tanımını yaparken ışığın hızı ile ters orantılı olduğunu söylemiştik, o halde:

Böylelikle Snell Yasası’nı kanıtlamış olduk!