Skaler ve Vektörel Büyüklük Nedir? Boyut Analizi Nasıl Yapılır?

Genel fiziğe girişte benimsenmesi gerek ilk üç kavram; boyut analizi, skaler ve vektör kavramıdır. Bu üçü genellikle çok ihmal edilen, fakat bir o kadar da önemli kavramlardır. Bugün olimpiyatlardan, en iyi üniversitelerin doktora alımlarında yapılan sınavlara kadar birçok yerde, sadece boyut analiziyle çözülebilen karmaşık sorular vardır. Bunun yanında skaler ve vektör kavramı, fiziğin mihenk taşlarıdır.

Fiziğin belki de en temel konusu, ilk öğrenilecek olan, onun matematikle arasına ince bir çizgi çekilmesini sağlayan birimlerdir. Bir odanın sıcaklığından bahsederken sadece 25 demeyiz, 25°C ifadesini kullanırız. Benzer şekilde bir arabanın hızı için 70 demeyiz (ve hatta "70 kilometreyle gidiyor" lafı da hatalıdır), 70 km/sa ifadesini kullanırız. Hatta daha da öteye gider, arabanın gittiği yönü de belirtiriz: "70 km/sa hızla güneye gidiyor." gibi... Bunlar fiziğe yeni başlayanlar için çok basit, sıradan veya önemsiz gibi görünebilir. Fakat üzerine düşülmediği takdirde, size her daim sorun çıkarabilecekleri gibi, önemsendiği takdirde işlerinizi çok kolaylaştırabilir!

Birimler

Mekanikte üç temel birim kullanılır. Bunlar; zaman ($\text{T}$), uzunluk ($\text{L}$) ve kütledir ($\text{M}$). Bunlara ek olarak elektrik akımı (amper), sıcaklık (kelvin), mol ve kandela (cd) birimleri de bulunur. Diğer bütün fiziksel nicelikler (örn. hız, momentum, güç) çoğunlukla bu üç temel birim kullanılarak türetilir (bazı zamanlarda diğerlerine de ihtiyaç vardır). Zaman için genel olarak saniye (s), uzunluk için santimetre (cm) ve kütle için gram (g) kullanılır. Bunların ilk harflerinden türetilen bir şekilde bu sisteme cgs birim sistemi denir. Bir diğer birim sistemi ise SI birim sistemidir ve kilogram (kg), metre (m) ve saniye (s) birimlerini referans alır.

Elbette bu tek seçeneğimiz değil. Örneğin evren gibi büyük ölçeklerden bahsederken metreyi kullanmak yerine megaparsek (Mpc) ya da ışık yılı (ly) kullanmak çok daha akıllıcadır. Böylelikle çok büyük sayılardan kurtuluruz. Fakat bunlar arasında dönüşüm yaparken, yapılacak işlemlere dikkat etmek gerekir. Birçok öğrenci bu noktada hata yapıp, tuhaf sonuçlar bulur. Bu nedenle yaptığınız işlemlerin sonucunun akla yatkınlığını daima kontrol edin. Tam olarak bu noktada işinize yarayacak bir aracımız var, buna boyut analizi diyoruz.

Boyut Analizi (Birim Analizi)

Fizikte, yaptığımız cebirsel işlemlere birimler de dahil olur. Örneğin bir aracın hızı için, saatte 50 kilometre deriz. Bunun nedeni aşağıdaki denklemden anlaşılabilir.

$X=V\cdot t$

Hız ($\text{V}$), uzunluğun ($\text{X}$ ya da biz boyut analizinde "uzunluk" (İng: "length") anlamında $\text{L}$ diyelim) zamana ($\text{t}$ ya da biz ona $\text{T}$ diyelim) bölümüdür. Dolayısıyla işlem yapılırken sadece sayılar değil, birimler de dahil olur. 50 km uzunluğunu 1 saate bölerseniz, 50 km/sa niceliğini elde edersiniz. Burada saatin başındaki değer 1 olduğundan ötürü başına 1 yazmayız, çünkü o birim zamanı ifade eder. Tüm bunlardan şu sonuç çıkarılabilir: Yapacağınız bazı işlemlerde pay ve paydada aynı anda yer alan birimler birbirini götürüp, sadeleşebilir.

Örneğin 50 km/sa değerini, m/s cinsinden bulmaya çalışalım. 1 km = 1000 m eder, 1 sa = 3600 s'dir. Eğer bunları denklemde yerine koyarsak:

$V=\frac{X}{t}=\frac{50km}{1sa}=\frac{50(1000m)}{1(3600s)}=18.9m/s$

olacağını görürüz. Biraz dikkatli bir göz, km/sa ifadesinden m/s ifadesine geçişin aslında 1/3.6 ile çarpmak olduğunu fark edecektir. Bu, kilometreden metreye, saatten ise saniyeye geçişin sonucunda gelen bir çarpandır.

Analiz Örnekleri

Konum hesaplarında sıklıkla kullandığımız bir denklemi ele alalım.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$x=\frac{1}{2}a{t}^2$

Denklemin sol tarafında $\text{x}$, yani uzunluk ($\text{L}$) yer alıyor, dolayısıyla sağ tarafı da uzunluk biriminde olmalı. Fakat bu ilk bakışta o kadar belirgin görünmüyor. Denklemde ivme ve zamanın birimlerini yerlerine koyarsak:

$x=\frac{1}{2}a{t}^2\to L=\frac{L}{T^2}\cdot T^2$

İvmeden gelen paydadaki saniye kare ifadesiyle, çarpım olarak gelen saniyenin karesi sadeleşir. Böylelikle geriye sadece uzunluk birimi kalır - ki bu da beklentilerimizi doğrular. Burada 1/2 çarpanının boyut analizinde bir etkisi olmadığı için göz ardı etmekte bir sakınca yok. O birimleri değil, sadece sonucun sayısal değerini etkiler.

Bir başka örneğe basit sarkacın periyodunu veren denklemden bakalım.

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Soldaki $\text{T}$ ifadesi sarkacın periyodu, $\text{l}$ ifadesi sarkacın uzunluğu ve $\text{g}$ de çekim ivmesidir. Bu denklemdeki birimlerin tutarlı olduklarını görelim. İlk yapacağımız $2\pi$ ifadesini aradan çıkarmaktır. Bizi ilgilendiren katsayılar değil, birimler:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\sim \sqrt{\frac{l}{g}}\to \sqrt{\frac{L}{L/T^2}}=(\frac{L}{L/T^2}{)}^{0.5}=T$

Böylelikle bu denklemi de boyut analiziyle kontrol etmiş oluruz.

Skaler Kavramı

Fiziğin ilk konularından biri olması sebebiyle çok göz ardı edilen bir konu olsa da, günümüzdeki en büyük teorik çalışmalarda bile adını duyabileceğiniz bir kavram skaler kavramıdır. Örneğin Büyük Patlama Teorisi'nin bazı problemlerine çözüm getiren Enflasyon Teorisi (İng: "Inflation Theory"), mekanizma olarak hipotetik bir "inflaton skaler alanı" ön görür. En basit haliyle skaler bir nicelik, sadece büyüklüğü olan, yönü olmayan bir niceliktir. Buna verilen en basit örnek genellikle sıcaklıktır. Bunun yanında kütle, hacim, sürat (hız değil!) ve elektrik yükü de skaler niceliklerdir.

Sezgisel olarak düşünmek adına, bunu bir noktadaki fiziksel gerçekliğin sayısal değeri olarak düşünebilirsiniz. Örneğin odanın içerisindeki spesifik bir noktanın, bir sıcaklık değeri bulunur. Fakat bundan başka bir şey (örneğin yön) belirtmez. Sadece nokta ve fiziksel anlam taşıyan değeri vardır.

Skaler kavramını biraz daha dallandıracak olursak, onların koordinat dönüşümleri altında değişmez olduklarını söyleyebiliriz. Başka bir deyişle Newton mekaniğinde dönme ve yansımalar altında, relativistik teorilerde ise Lorentz dönüşümleri altında değişmez olduklarını söyleyebiliriz.

Örnek Soru

Aşağıda verilen formül ideal gazların davranışı incelenirken kullanılır.

Agora Bilim Pazarı

Kolektif Siyaset Seti (7 Kitap)

Bedreddin: Hayatı ve Düşünceleri

Murat Küçük

“Adil bir dünyanın özlemini duyuyordum. O dünyada hepimize yer olmalıydı. Oysa iktidar savaşlarıyla birbirini boğazlayan orduların ayakları altındaydı insanlık. Yoksulların çaresizliğini düşündükçe bir şeyler yapmamız gerektiğini hissediyordum.”

Söz konusu Şeyh Bedreddin olunca yanıtları belki de her daim muğlak sorularla baş başa kalırız. Bir medrese âlimiyken neden tasavvuf yolunda menzil almıştır? Fikirlerinin Anadolu ve Balkanlar’da bu kadar etkili olabilmesinin nedeni nedir? Dinlerin eşitliğine dair düşüncelerinde Hıristiyan-Helen köklerinin etkisi var mıdır? İsyancılara atfedilen özel mülkiyet karşıtı fikirlerin ilham kaynağı gerçekten Şeyh Bedreddin midir? Börklüce Mustafa ve Torlak Kemal’le yolları nasıl kesişmiştir? İsyanı planlamış mıdır yoksa rüzgârın yönüne doğru mu yürümüştür sadece?

Murat Küçük zihninde bu sorularla altı yüzyıl önceye gidip söyleşiye davet ediyor Bedreddin’i. Daha yakından tanımak istiyor bu akılcı fıkıh âlimi, gönül gözü açık sufi ve isyankarların yoldaşı şeyhi… Tarihin karanlıklarında kalmış olayları hayali bir Bedreddin’le aydınlatma emeliyle akıl ve kalple dolu bir yolculuğa çıkarıyor bizleri.

Okuyucuya Not: Hayali söyleşiler, dünyayı değiştiren, onu anlamamızı sağlayan önemli isimlerle tanışmak veya onları yeniden keşfetmek isteyenlere keyifli bir okuma sağlamak amacıyla hazırlandı. Bu söyleşiler hayal ürünü olsa da biyografik gerçeklere dayanıyor.

Gezi Ruhu ve Politik Teori

Murat Özbank

2013 yılının Haziran ayında, Taksim Meydanı ve Gezi Parkı’nı dolduran çok dilli, çok dinli, çok ideolijili, çok kimlikli insan çoğulluğu arasında bir “ruh” dolaştı: özgürlük ve demokrasi ruhu. Bu ruh, Türkiye’de siyasal hayatı ve siyasal tahayyülü derinden etkileyebilecek gelişmelerin ve arayışların yolunu açtı. Peki nasıl doğmuş, nasıl büyümüştü bu ruh? Dile gelecek olsa hangi kavramlarla konuşur, nasıl bir kuramsal zemine yaslanırdı?

Gezi Ruhu ve Politik Teori bu sorulara yanıt arayan, öznellikle nesnelliği, bir siyaset gözlemcisinin kavramsal bakışıyla bir katılımcının heyecan, umut ve öfkesini harmanlayan, hem politik hem de teorik bir kitap. Bir yandan 2013 Haziran’ının o ateşli günleri üzerine yeniden düşünmek için bir fırsat veriyor, bir yandan da Weber, Arendt, Schumpeter ve Habermas’ın siyasete dair teorileri ve kavramlarıyla tanıştırıyor bizi. Hem politikaya ve politik teoriye merak duyanlar için bir başlangıç sunuyor, hem de Gezi olaylarının demokratik siyasetin bugünü ve geleceği açısından anlamı üzerine düşünmek isteyenlere özgün, berrak ve samimi bir üslupla rehberlik ediyor.

Gezi Ruhu ve Politik Teori olayların gerçekliğini doğrudan sunan bir fotoğraf değil, çıplak gözle görülenlerin gerisindeki ruhu, “Gezi Ruhu”nu yansıtan bir portre çalışması. Tam da o ruhun içerdiği öznelerarası niteliğe uygun şekilde…

WEBER’DEN ARENDT’E GEZİ’DE POLİTİK GÜÇ VE ŞİDDET

ERDOĞAN’DAN SCHUMPETER’E GEZİ’DE DEMOKRASİ VE POLİTİK MEŞRUİYET

GEZİ’DEN HABERMAS’A DEMOKRASİ VE İNSAN HAKLARI

İşgal Et-İtaatsizlik Üzerine Üç Tez

W. J. T. Mitchell, Bernard E. Harcourt, Michael Taussig

Occupy hareketinin bir başka örneği de 2013 yılında Gezi Parkı Direnişi’yle Türkiye’de yaşandı. Direnişle birlikte Türkiye’de birçok ezberin bozulduğuna şüphe yok. Peki, Tahrir Meydanı’yla Zuccotti Park’ın “işgal”inin ardından tüm dünyayı etkisi altına alan bu hareketin temeli neye dayanıyor, talebi ne?

İşgal Et, Orta Doğu’dan New York, Chicago, Londra, Berlin, Frankfurt, Quebec ve Hong Kong gibi şehirlere uzanan “kamusal alanı işgal etme” eylemlerinin dinamiklerini üç farklı açıdan ele alıyor.

Taussig’in, eylemcilerin işgal ettiği Zuccotti Park üzerine kendi gözlemlerini etnografyayla harmanlayarak yazdığı açılış makalesinin ardından Bernard E. Harcourt “sivil itaatsizlik” ile “siyasi itaatsizlik” arasındaki önemli farkı inceliyor. Occupy Wall Street eylemcilerinin “siyasi itaatsiz”ler olarak, yani siyasi söylemleri ve stratejileri reddederek yeni, radikal bir protesto biçimini nasıl hayata geçirdiklerini gözler önüne seriyor. Son olarak medya eleştirmeni ve kuramcısı W. J. T. Mitchell, Occupy imgelerinin kitle iletişim araçları ve sosyal medya aracılığıyla tüm dünyaya yayılmasını mercek altına alıp devrim anıtı olarak “boş alan”ın nasıl kullanıldığını irdeliyor.

“Belirli talepleri olmadığı için Occupy hareketinin ilkel ve dağınık olduğunu düşünüyorlar. Sanki eşitlik bir talep, üstelik bireyi de gerçekliği de yeniden tanımlayan hem ahlaki hem ekonomik bir talep değilmiş gibi.”

-Michael Taussig

“İktidarla uzlaşmayı, geleneksel siyasete uymayı, kurallara göre oynamayı en baştan reddeden Occupy yeni bir siyasi angajman, yeni bir siyaset biçimi yarattı. Geleneksel siyasetin kelime haznesine meydan okuyan, kullandığımız grameri muğlaklaştıran, siyasetin dilini bütün oyunbazlığıyla çarpıtan yeni bir angajman biçimiydi bu.”

-Bernard E. Harcourt

“Belki de ‘boş alan’ yalnızca devrimin değil… gelecek yeni bir demokrasi, yeni bir küresel düzen ihtimalinin de tek gerçek anıtıdır.”

-W. J. T. Mitchell

Marcel Duchamp ve İşin Reddi

Maurizio Lazzarato

Zamanı ve dünyayı yaşamanın bambaşka bir yolu olarak tembel eylem!

“Duchamp kapitalist toplumdaki vazife, rol ve ölçülere teslim olmayarak hem sanatsal hem de ücretli işi inatla reddetmiş, üstelik sanatın ve sanatçının tanımlarına meydan okumakla da yetinmemiştir.” Onun radikal eylemsizliği kapitalist toplumun üç sacayağına birden meydan okumasından ileri gelir: Mübadele, mülkiyet ve emek.

Maurizio Lazzarato, Marcel Duchamp’ın yerleşik iktidar ilişkilerini askıya almanın, politik kırılmayı mümkün kılan koşulları yaratmanın ve yeni bir öznelliğin inşasının başlangıç noktası olarak tanımladığı “işin reddi” ve “tembel eylem” kavramlarını, hem sosyoekonomik bir eleştiri hem de felsefi bir kategori olarak ele aldığı kitabında, henüz çözülememiş bir ihtilafa işaret ederek Duchamp üzerinden yeni bir kapı aralıyor: “Amaçlanan çalışmama özgürlüğü müdür yoksa çalışarak özgürlüğe kavuşmak mıdır?”

“İşin reddi” ve “tembel eylem” bir olanağa işaret eder ve “Olanak bir zerreciktir,” der Duchamp. Artık aynı şekilde görüp aynı şekilde duymadığımız bu olanağa erişmekse başka bir yaşam biçimine bağlıdır, “zerreciğin tembel sakinleri” gibi.

Marx Okumak

Slavoj Žižek , Frank Ruda ve Agon Hamza

Bu kitapta sunulan felsefi okuma, Marx ile Platon, Descartes ve Hegel arasında üretken olabilecek kısa devreler sunmak üzere şekilleniyor: Kapitalist mağarada Platoncu Marx, öznellik düşmanlarına öznelliği savunan Kartezyen Marx, emek temelinde özilişkisel bir olumsuzluk gören Hegelci Marx bir araya geliyor.

Günümüzün önemli Marksist düşünürlerinden Žižek, Ruda ve Hamza, cesur bir felsefi hamleyle Marx’ı yeni bir özgürleşme siyasetine zemin sunabilecek tarzda yeniden yorumluyorlar. Sonuçta, parçacık fiziğinden güncel siyasi eğilimlere uzanan bir turla kapitalizmin içinde bulunduğu krize farklı bir yaklaşım getiren muhayyel, yaratıcı ve deneysel bir okuma çıkıyor karşımıza.

“Çok yerinde bir zamanlamayla kaleme alınmış bu eserde yazarlar, alışılagelmiş şekilde Hegel eleştirisi üzerinden Marx’ı anlama yaklaşımını tersine çeviriyor, işe Marx’tan başlayıp sonra Hegel’e dönüyorlar. Önümüze yepyeni bir entelektüel ufuk açıyorlar.”

Kojin Karatani

“Marx Okumak bizi günümüzde Marx’ın kazandığı yeni önemi anlamaya çağırdığı kadar, felsefe ile Marx’ı buluşturmanın gücünü de ortaya koyuyor. Her sayfası felsefi bir Marksizmi nasıl tasavvur edilebileceğini ortaya koyan ilham verici fikirlerle dolu.”

Todd McGowan, Vermont Üniversitesi

Mümkün Ütopya: Yaşanabilir Bir Toplum İçin Stratejiler

Michael Albert

“Zihinler değişiyor. Rejimler çöküyor. Yeni yapılar doğuyor. Çalkantılı zamanlar, çalkantılı değişimler yaşanıyor. Yine de zaferin kaçınılmaz olduğunu söyleyemeyiz. Peşine düşülen hedeflere erişmek için insanlar acı ve öfkeden sıyrılıp harekete geçmeli, bölünmüşlükten beraberliğe ve mücadeleden zafere yürümeli. Anlık zaferlerin ötesinde yeni toplumsal ilişkiler biriktiren ve çeşitlendiren kazanım yörüngelerine ihtiyacımız var.”

“Yeni bir toplum yaratma yolunda aktivist bir ‘toplumsal değişim ekibi’ işe nereden başlayacağını, nihai hedefini ve başlangıç noktasından bitiş noktasına nasıl gideceğini bilmek zorundadır. Bu kitabın konusu işte tam olarak budur.”

Mümkün Ütopya yaşanılabilir bir toplum için yeni seçenekler, davranışlar ve sonuçlar doğuracak yeni uygulamalar üzerine bir çalışma. Michael Albert mevcut gerçekliğe dair kıyamet senaryolarının kurgulandığı günümüzde sabırlı, ağırbaşlı ve cüretkâr olmanın altını çizerek “İnsanların küçümsendiği bir sığınak yerine karşılıklı yardım için bir aracıya dönüşen hareketleri” nasıl yaratabileceğimize kılavuzluk edecek bir teori ortaya koyuyor. Bunu yaparken bizi bir arada tutan hükümet, ekonomi, akrabalık ve kültürün birbirleriyle, değişimle ve tarihle ilişkisini anlamaya ve bildiğimiz toplumsal hiyerarşileri yaratmadan işlevlerini nasıl yerine getirebileceklerini görmeye yardımcı oluyor.

Birbirimiz adına nasıl harekete geçebiliriz?

Harekete geçtiğimizde karşılıklı olarak nasıl fayda sağlarız?

Kendimizi nasıl örgütleriz?

Siyasal bağlantılarımız sebebiyle ne tür faydalar ve sorumluluklar ediniriz?

İnsanlar bir toplumsal harekete katıldıktan ve o hareketin tanımlanmış hedefleriyle aynı çizgiye geldikten sonra neden o hareketi terk ederler?

Mevcut kurumların kalıcılığını önden kabullenerek yalnızca kötü yanlarını iyileştirmekle mi yetineceğiz (yani reformist olacağız) yoksa mevcut kurumları ihtiyaç duyulan işlevlerini yeni yollarla karşılayan yeni kurumlarla mı değiştireceğiz (yani devrimci olacağız)?”

“Mümkün Ütopya adil bir dünya yaratabilecek dinamik bir hareket isteyen aktivistlerin yüzleştiği birçok soruyu yanıtlıyor.”

Bill Fletcher, Jr.

Rota

Politikada Yönümüzü Nasıl Bulacağız?

Bruno Latour

“Yaşayabileceğimiz bir toprağı nasıl bulacağız? […] Nereye gideceğimizi de, nasıl yaşayacağımızı da, kimlerle birlikte yaşayacağımızı da bilmiyoruz. Bir yer bulmak için ne yapmalıyız? Yönümüzü nasıl bulacağız?”

Toprak mefhumunun yapısı değişiyor, tüm aidiyetler dönüşüm sürecinde, herkes evrensel anlamda paylaşılabilir bir dünyanın, içinde yaşanabilir bir toprağın eksikliğiyle karşı karşıya ve yerküre direnmeye başladı; tarihte ilk defa insan toplumları, yer sisteminin insan eylemine verdiği tepkileri kavramak zorunda… Bruno Latour, Rota’da çizdiği bu manzaranın “belli bir tarihsel eğrinin sonu”na işaret ettiğini iddia ediyor ve bunu toplumsal sınıf mücadelesinin, bir jeo-toplumsal yer mücadelesine dönüşümü olarak yorumluyor.

Latour dünyanın karşılaştığı üç büyük sorunu bu dönüşüm temelinde değerlendirerek göç krizinin, iklim durumunun inkârının ve inanılmaz boyutlara ulaşan eşitsizliğin aslında tek bir olay olduğunu iddia ediyor. Artık Küresellik/Yerellik, Sağ/Sol, Batı hayranlığı/karşıtlığı üzerinden politika yapmanın geçersiz kaldığını, onun yerine “Modernleşmenin birbiriyle çelişkili kıldığı, aslında birbirini tamamlayan iki hareketi” gözetmemiz gerektiğini söylüyor: bir yandan toprağa bağlanmak, öte yandan dünyasallaşmak.

Devamını Göster

₺1,000.00

Satın Al Tüm Ürünler

$PV=nrT$

Burada; $\text{P}$ basınç (Pa), $\text{V}$ hacim (litre = dm³), $\text{n}$ mol, $\text{T}$ sıcaklık (Kelvin), $\text{R}$'de gaz sabitidir. $\text{R}$'nin değeri ve birimi, elimizde olan bilgilere göre değişmektedir. Bu soru için birimini (dm³·Pa)/(mol·K) olarak alalım.

Dikkat edildiğinde eşitliğin sol tarafında bulunan değerlerin boyutlarıyla, sağ tarafı birbirine denk olduğu görülebilir.

$[Pa]\cdot [L{]}^3=[N]\cdot \frac{[L{]}^3\cdot [Pa]}{[N]\cdot [K]}\cdot [K]$

Yukarıdaki eşitlikte köşeli parantez içinde verilenler birimlerin boyutlarını göstermektedir. Burada $\text{[L]}$ uzunluğu ifade eder ve hacim üç uzunluğun (en, boy ve yükseklik) çarpımı olduğundan $\text{V}$ yerine $L^3$ kullanılmıştır.

$(P+\frac{n^{2}a}{V^2})\cdot (V-nb)=nRT$

Formülün düzeltme yapılmamış hali için verilen incelemeden ve verilen birimlerden yararlanarak, ikinci formüldeki $\text{a}$ ve $\text{b}$ değerlerinin birimlerini bulmayı kendiniz de deneyebilirsiniz. Bulduğunuz sonucun doğruluğunu öğrenmek isterseniz, aşağıdaki çözümü okuyabilirsiniz.

Çözüm

Bu sorunun çözümü için öncelikle bilinmesi gereken, iki büyüklüğün toplanabilmesi ya da birbirinden çıkarılabilmesi için birimlerinin aynı olması gerektiğidir. Aynı birimli iki büyüklükle toplama ya da çıkarma işlemi yapıldığında sonuç da bu birime sahip olacaktır. Hiç kuşkusuz 5 elma ile 3 kalemi toplayıp, buna 8 elma diyemeyiz. Örneğin 1 m + 100 K işlemi anlamsızken, 1 m + 1 m = 2 m olur.

İkinci olarak bilinmesi gereken ise birimlerle çarpma ve bölme işlemidir. Bu işlemler yapılırken birimlere de tıpkı sayılar gibi davranılır. Pay ve paydada ortak bulunan birimler sadeleştirilir, aynı birim kendisiyle çarpıldığında üssü buna göre değişir ve farklı birimler aynı işlemde kullanılabilir (toplama ve çıkarmanın aksine).

2. denklemin ilk teriminde basınç artı bir ifade bulunmaktadır. Toplanabilmeleri için bu ifadenin de basınç cinsinden olması gerektiğini biliyoruz. Dolayısıyla $V^2\cdot Pa/n^2$ ifadesini $\text{a }$ifadesi yerine koyarsak $\text{Pa}$ cinsinden bir değer kalır. Soruda $\text{V}$'nin birimi dm³ olarak verildiğinden bu ifadeyi yerine koyarsak $\text{a}$ ifadesi için dm⁶.Pa/n²olduğunu görürüz.

İkinci parantezin içinin ise hacim olması gerektiği anlaşılıyor (hacimden hacim çıkarılabilir). Bu durumda çıkarma işleminin yapılabilmesi için ikinci terim olan $\text{nb}$'nin de birimi hacim olmalı. Boyut analizinden yararlanacak olursak hacmin boyutunun $[L{]}^3$ olduğunu ve mol sayısı anlamına gelen $\text{n}$'nin $\text{[N]}$ şeklinde gösterildiğini biliyoruz. Öyleyse:

$n\cdot b=[N]\frac{[L{]}^3}{[N]}\to b=\frac{[L{]}^3}{[N]}$

olur. Boyutuyla değil soruda istendiği şekilde birimiyle yazarsak da $\text{b}$'nin birimi dm³/n olacaktır.

Vektör Kavramı

Vektör, büyüklüğü (ya da uzunluğu) ve yönü olan geometrik bir niceliktir. Kimi zaman geometrik vektör, uzaysal vektör veya Öklidyen vektör de denilir. En basit tabiriyle, yön kavramı eklenmiş skaler nicelik gibi düşünebilirsiniz. Örneğin hız bir vektöreli niceliktir. Hızı ifade edebilmek için, sadece sayısal bir değer yetmez. Çünkü hız, hareketin varlığını içerir, dolayısıyla bir yönü vardır. Mesela bir araç 50 km/sa hızla kuzey yönünde ilerlemektedir dediğimiz zaman bir hız ifadesinden bahsederiz.

Sıklıkla karıştırılan bir kavram da sürattir. Sürat ise daha ziyade gündelik hayatta kullandığımız, hızın sadece büyüklüğünü ifade etmek için kullandığımız skaler bir kavramdır. "Araç 50 km/sa sürate sahiptir." deriz (her ne kadar gündelik dilde "hız" desek de fizik için bunun doğrusu "sürat"tir). Dolayısıyla sadece sayısal bir değeri olduğundan sürat bir skalerdir, fakat ona yön ekleyip, aracın kuzeye gittiğini söylersek işte o zaman hızdan bahsetmiş oluruz.

Vektörel niceliklere bazı örnekler olarak; hız, yer değiştirme, çizgisel momentum, açısal momentum, kuvvet ve ivme gösterilebilir.

Vektörlerle de aynı zamanda bir takım işlemler yapabiliriz, örneğin toplamak ve çarpmak gibi. Fakat özellikle çarpım (biz buna farkı belirtmek için vektörel çarpım deriz), alışık olduğumuz skaler çarpıma göre farklıdır. Vektörlerle ilgili olan bu tür matematiği, vektör cebiri altında inceleriz.

Tüm bunlar bir fizikçinin, olmazsa olmaz araçlarıdır. Eğer bir alet çantamız olsaydı, içerisinden bunları asla eksik etmezdik.

Örnek Soru

Vektörler ve skalerlerle ilgili aşağıdaki yargıların doğruluğuna karar vermeye çalışın.

1. Referans sistemi belli bir noktaya göre hareketi incelememizi sağlayan koordinat sistemidir. Hız bu koordinat sistemi kullanılarak incelenir ve belirlenir. Sürat, hızın aksine skaler yani yönsüz bir büyüklük olduğundan belirlenmesi için bir referansa ihtiyaç yoktur.
2. Bir cismin belli bir andaki hızının büyüklüğü ve sürati birbirinden farklı olabilir.
3. Vektörler yönlü büyüklükler olduklarından negatif değerler alabilirler. Bunların negatif olması, pozitif seçilen yönün aksine hareket ettikleri anlamına gelir. Ancak skaler büyüklükler yön belirtmediklerinden negatif değer alamazlar.
4. Ağırlık, kütle çekiminin bir cisme uyguladığı kuvvetin ölçüsü olarak tanımlanır. Kuvvet, vektörel bir büyüklük olduğundan ağırlık da (kütlenin aksine) vektöreldir.

Cevaplar

Cevap-1: Süratin skaler, hızın ise vektörel büyüklükler olduğu doğrudur. Ancak her ne kadar sürat yönsüz bir büyüklük olsa da büyüklüğü bizim seçtiğimiz referansa göre değişiklik gösterir. Yani herhangi bir referans noktası belirlemeden süratten bahsetmek imkânsızdır.

Cevap-2: Örneğin sabit kabul ettiğimiz yola göre saatte 50 km süratle hareket ediyor olun. Bu durumda süratiniz yere göre 50 km/sa olacaktır. Önünüz de iki tane daha araç olduğunu, bunlardan birinin saatte 50 km süratle size doğru geldiğini öbürünün ise saatte 50 km hızla sizinle aynı yönde gittiğini hayal edin. Bu durumda sizin sizinle aynı yönde giden araca göre süratiniz 0 km/sa olurken, size doğru gelen araca göre süratiniz 100 km/sa olacaktır.

Sürat, tanım olarak hızın büyüklüğüdür. Çembersel bir hareketi ele alacak olursak, hızın değiştiğini ama süratin sabit kaldığını görürüz. Burada hızın değişmesinin nedeni, vektörün yönünün değişmesidir. Eğer büyüklüğü olan sürat de değişecek olursa hareket çembersel değil, gezegenlerdeki gibi eliptik olacaktır (bkz. Kepler yasaları).

Cevap-3: Genelde hepimizin alışık olduğu ve sorularda sıkça karşılaştığı referans sistemi, sağ ve yukarı yönü pozitif, sol ve aşağı yönü negatif kabul eder. Ancak bu yalnızca bir kabuldür ve karşılaştığınız problemlere göre bunu değiştirebilirsiniz. Önemli olan yönleri bir kez belirledikten sonra problemin sonuna kadar buna sadık kalmanızdır. Verilen üçüncü ifadeye dönecek olursak bu ifadenin ilk kısmı doğrudur. Problemi çözerken seçtiğiniz yöne göre negatif değerli vektörel bir büyüklük, seçtiğiniz negatif yönü gösteriyor demektir. Ancak bu, skaler büyüklükler negatif olamaz demek değildir. Örneğin sıcaklık sıfırın altında olabilir, bunda herhangi bir sakınca yoktur. Fakat vektörlerden farklı olarak skaler bir büyüklüğün negatif olması onun yönü hakkında hiçbir bilgi vermez.

Cevap-4: Ağırlık bir kuvvettir ve doğal olarak vektöreldir.