Keşfedin, Öğrenin ve Paylaşın
Evrim Ağacı'nda Aradığın Her Şeye Ulaşabilirsin!
Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir?

7 dakika
46,501
Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir? Wikimedia Commons
Tüm Reklamları Kapat

Pisagor teoremine göre bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarının kareleri toplamı, "hipotenüs" olarak adlandırılan üçüncü kenarın uzunluğunun karesine eşittir. Bu teorem adını ünlü Yunan düşünür Pisagor'dan alır.

Eğer üçgenin birbirine dik olan iki kenarına aa ve bb, hipotenüse de cc dersek Pisagor teoremini şu şekilde ifade edebiliriz:

a2+b2=c2\Large a^2+b^2=c^2

Tüm Reklamları Kapat

Bu denklem, aslında Öklidyen geometride geçerlidir. Fakat eğitim hayatlarımızın önemli bir süresi boyunca sadece Öklidyen geometride çalıştığımız için bu durum genellikle göz ardı edilir. Pisagor'dan bu yana Pisagor teoremi üzerinde çalışan matematikçiler, nn pozitif bir doğal sayı olmak üzere aşağıdaki maddelerin sağlandığı genellemesine ulaşmıştır:

a=2n+1\Large a = 2n + 1

b=2n2+2n\Large b = 2n^2 + 2n

c=2n2+2n+1\Large c = 2n^2 + 2n + 1

Tüm Reklamları Kapat

eşitliklerini sağlayan tüm aa, bb ve cc doğal sayıları, a2+b2=c2a^2+ b^2= c^2 eşitliğini de sağlar.[1]

Bu teoreme göre dik üçgen oluşturabilecek çeşitli tamsayı kümeleri vardır. Örneğin (3,4,5)(3, 4, 5) bunlardan biridir çünkü 32+42=523^2 + 4^2 = 5^2 eder. Bu kombinasyon ve bunun türevleri, Antik Mısır, Çin, Babil ve Hint uygarlıklarında genellikle inşaat işlerinde kullanılmıştır. Ancak şu an kısa bir cümle ile teoremi anlatabiliyorsak bunu Pisagor'a borçlu olduğumuz söylenebilir, çünkü bin küsur yıldır kullanılan yöntemi gözlemleyip formülleştiren kendisi olmuştur.[2], [3]

Efsaneye göre Pisagor, sarayda Samos tiranı Polycrates'i beklerken sıkılır ve yerdeki fayans döşemeyi incelemeye başlar. Buradaki motiften, dik üçgenlerin hipotenüs kenarındaki karelerin alanlarının, diğer iki kenardaki karelerin alanlarına eşit olduğunu fark eder ve sonrasında ünlü Pisagor teoremini geliştirir.[2]

Pisagor Teoreminin Deneyi

Pisagor teoreminin birçok ispatı vardır. Fakat insanlar olarak bazen bazı şeyleri gözle görmek, konuyu çok daha iyi kavramamızı sağlayabiliyor. Bu nedenle Pisagor teoremini, görsel olarak basit bir deneysel doğrulama yaparak, özellikle bu konuyu yeni öğrenen öğrencilere çok daha açıklayıcı bir biçimde anlatabilirsiniz. Aşağıdaki GIF bize bunu harika bir şekilde gösteriyor.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Medium

Pisagor Kimdir?

Yerdeki döşemeye bakıp hem kendi adıyla anılacak hem de asırlar boyunca kullanılacak bir teorem geliştirmek Pisagor'un büyük bir şansı gibi görünebilir fakat Pisagor'un şansı, o anda orada bulunması değil, Miletli Thales gibi önemli bir öğretmene sahip olmuş olmasıydı. Thales sayesinde matematik ve astronomiyle tanışmış ve yine onun sayesinde Mısır'a bu alanlarda eğitim görmeye gidebilmişti.

Pisagor'un gördüğü eğitim, matematiğin doğadaki yerini ve önemini kavramasını sağlamıştı. Doğanın ve doğadaki düzenin sayılarla açıklanabileceğine inanıyordu. Bu nedenle tek, çift, üçgensel ve mükemmel sayıların özelliklerini inceledi.

Pisagor ve takipçilerinin tarihte büyük bir yeri var, ancak bunun tek nedeni elbette Pisagor'un dik üçgenlerle ilgili teoremi değil. Bunun yanında geometriye bilimsel bir bakış getirmeleri, bulgularını sistemli kanıtlara dayandırmaları da onların önemini artırdı.[2]

Öklid'in İspatı

Bugün bile neredeyse aynen kullandığımız, Öklid'in Elementler adlı eserinin oluşmasına da Pisagor zemin hazırlamıştır. Elementler'de Öklid, Pisagor bağıntısını aşağıdaki resim üzerinden ispatlar.

Wikimedia

Öncelikle AA açısı dik olacak şekilde bir ABCABC üçgeni çizer. Bir kenarı ABCABC üçgenin kenar uzunlukları kadar olan kareleri, bu üçgenin etrafına yerleştirir ve AA köşesinden DEDE kenarına bir dikme indirir. İspatın sonunda pembe alanlar ile mavi alanların birbirine eşit olduğunu ortaya koyar ve bu da iki küçük karenin alanları toplamının hipotenüsteki karenin alanına eşit olduğu anlamına gelir.

Yukarıda gösterildiği gibi DADA ve ICIC doğru parçalarını çizdiğimizde oluşan içi taralı yeşil üçgenlerin alanları birbirine eşit olur. Çünkü DBADBA ile IBCIBC açıları ve bu açıyı oluşturan kolların uzunlukları (bb ve cc kenarları) birbirine eştir. Kenar-açı-kenar benzerliğinden bu iki üçgenin eş üçgenler olduğunu söyleyebilir ve buradan da alanlarının da eşit olacağı sonucuna varabiliriz.

Tüm Reklamları Kapat

Aynı iki doğru arasında bulunan ve taban uzunlukları eşit olan bir dikdörtgen ve üçgenden, dikdörtgenin alanı üçgenin alanının iki katı olur. Bu durumda BDJK dikdörtgeninin alanı, BDA üçgenininkinin iki katı (ikisi de BD ve AJ paralel doğruları arasında); BAHI karesinin alanı da IBC üçgenininkinin (her ikisi de IB ve HC paralel doğruları arasında) iki katı olur. Üçgenlerin alanı eşit olduğundan, belirtilen dikdörtgenlerin alanları da eşit olacaktır.

Yukarıda belirtilen işlemlerin aynısını bu kez de AEAE ve AFAF doğru parçalarını çizerek mavi taralı alanlar için yaptığımızda, bunların da birbirine eşit olduğunu görürüz.

Sonuçta mavi alanlar birbirine, pembe alanlar da birbirine eşitse karenin alan formülü gereği a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 demek mümkündür ve bu da bize Pisagor teoremini verir.[3]

Tüm Reklamları Kapat

Bhaskara'nın İspatı

Tarih boyunca Pisagor teoremi birçok matematikçinin ilgi odağı olmuş ve 300’den fazla ispatı yapılmıştır.[4] Bhaskara da 12. yüzyılda yaşamış ve bu teoremle ilgilenmiş Hint bir matematikçidir.[5] Bhaskara, ispatına bir dik üçgen ile başlar. Şekildeki bu üçgene ABCABC üçgeni diyelim.

Daha sonra bu üçgenin hipotenüs kenarına bir dikme indirelim (hh ile gösterilen yer). Bu durumda üçgende benzerlik kuralları gereği (açı-açı benzerliği) CBECBE (üçgenin sağ yarısı) veABC ABC (büyük üçgen) üçgenleri benzer olurlar çünkü BB açısı ortaktır ve EE ile CC açıları her iki üçgenin de dik olan açılarıdır. Sonuç olarak bu iki üçgenin tüm iç açıları birbirine eşit olduğundan benzerlerdir diyebiliriz. Benzer olan bu iki üçgen arasında s/a=a/cs/a = a/cbağıntısını yazmak mümkündür. Eşitliğin her iki tarafını da acac ile çarptığımızda da sc=a2sc = a^2 sonucunu elde ederiz.

Bir önceki paragrafta belirtilenle aynı benzerlik kuralları gereği AECAEC üçgeni (üçgenin sol yarısı) ile ACBACB (büyük üçgen) üçgenleri de benzerdir. Bu durumda r/b=b/cr/b = b/c eşitliğini yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafını bcbc ile çarptığımızda ise rc=b2rc = b^2 sonucunu elde ederiz.

Bulduğumuz bu iki sonucu toplarsak sc+rc=a2+b2sc + rc = a^2 + b^2 olur. Eşitliğin sol tarafını cc parantezine aldığımızda şu denklem elde edilir:

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Bilim Devrimcileri

Bilim Devrimcileri tarih boyunca halkın bilim algısını ve bilimin “otorite” olarak rolünü şekillendiren önemli düşünürleri mercek altına alıyor.

Bilimsel bir keşif ne zaman kabul edilen bir gerçeğe dönüştü? Bilimsel gerçekleri inkâr etmek neden kolaylaştı? Ve biz bu konuda neler yapabiliriz? Filozof ve bilim tarihçisi Robert P. Crease, Bilim Devrimcileri’nde bu soruları, bilimsel altyapının kökenlerini ve dünyanın önemli on düşünürünün bilimsel aklı şekillendirmedeki rollerini bir bir tanımlayarak yanıtlıyor.

Bilim Devrimcileri kitabında günümüz politikacıları ve hükümet yetkilileri; bilim insanlarını bilim dışı yorumlarıyla eleştirirken, bu güvensizlik düzeyine nasıl geldiğimizi ve bundan nasıl kurtulabileceğimizi örnekleriyle ortaya koyuyor. Eserde tarih boyunca gözlerini kırpmadan hayatlarını da tehlikeye atarak bilimsel aklı üstün kılmaya çalışan on düşünür ve bilim devrimcisine yer veriliyor. Bilimin cehaletinin ve yanlış kullanımının insan yaşamına ve kültüre yönelik en büyük tehdidi nasıl oluşturduğu inceleniyor.

Bilimi ortak yarar için uygulamanın ne anlama geldiğine ve bilimden bağımsız siyasi eylemin tehlikesine dair güncel ve önemli bir araştırma olan Bilim Devrimcileri, hem mevcut bilim karşıtı söylemin kökenlerini hem de modern dünyanın dağılmasını önlemek için neler yapılabileceğini anlamamıza yardımcı oluyor.

Devamını Göster
₺210.00
Bilim Devrimcileri
  • Dış Sitelerde Paylaş

c(s+r)=a2+b2\Large c(s + r) = a^2 + b^2

cc kenarı ise ss ve rr kenarlarının toplamına eşittir, diğer bir deyişle c=s+rc = s + r ise denklem şöyle yazılabilir:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

Bu da Pisagor teoreminin kendisidir.[6]

Pisagor Üçgeni ile Alanlar Arasındaki İlişki

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenar uzunluklarıyla ilgili bir eşitlik olmasının yanında, bu kenarlara yerleştirilecek düzgün şekillerin alanlarıyla da ilgili bir bağıntı verir. Zaten eğer hatırlayacak olursanız, efsaneye göre de Pisagor bu denkleme fayans döşemelerinin alanlarından yola çıkarak varmıştır.

Şekilde gösterilen dik üçgende bir kenar uzunluğu aa, bb ve cc kenarlarına eşit olacak şekilde, aynı (hepsine üçgen, hepsine beşgen vb.) düzgün geometrik şekiller yerleştirdiğimizde, aa ve bb kenarındaki şekillerin alanları toplamı, cc kenarındakinin alanına eşit olur. Bu şekillere üçgenin her bir kenarını çap kabul eden daireler de dâhildir. Aşağıdaki görselde ne demek istediğimizi daha iyi anlayabilirsiniz.

Buradaki her üç şekil için de yeşil ve mavi alanların toplamı, pembe alana eşittir.[1]

Hiperbolik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Hiperbolik geometri, Öklid'in beş aksiyomundan ilk dördünün geçerliliğini kabul ederken beşincisini etmeyen Öklid dışı bir geometridir.[7] Öklid'in beş aksiyomu şöyle sıralanabilir:

  • Düz bir doğru parçası, iki noktanın birleştirilmesiyle ifade edilebilir.
  • Herhangi bir düz doğru parçası, düz bir doğru üzerinde sonsuza kadar uzatılabilir.
  • Herhangi bir düz doğru parçası için, bu parçası yarıçap olan ve bir noktası merkezi olan bir çember çizilebilir.
  • Tüm dik açılar birbirine eştir.
  • Herhangi bir doğru parçası ve onun üzerinde yer almayan bir nokta için, yalnızca ve yalnızca bir doğru parçası bu keyfi noktadan geçer ama ne kadar uzatılırsa uzatılsın doğruyu kesmez.[8]

Belirttiğimiz gibi hiperbolik geometri Öklid'in beşinci aksiyomunu kabul etmez ve bir doğruya dışındaki bir noktadan en az iki paralel doğru çizilebileceğini söyler.[7] Hiperbolik geometri burada açıklayamayacağımız kadar geniş bir konudur. Fakat hiperbolik üçgen ile Pisagor bağıntısı arasındaki ilişkiyi daha kolay anlatabilmek adına hiperbolik geometrinin ne olduğuna kısaca değindikten sonra konumuza geri döneceğiz.

Pringles'ların yüzeyi hiperbolik yüzeylere güzel bir örnektir. Elinize üçgen oluşturacak şekilde üç parça ip alıp bunları Pringles'ın üzerinde üçgen haline getirdiğinizi hayal edin. Oluşan üçgen alışık olduğumuz gibi dümdüz kenarlara sahip olmayacaktır. İşte bu üçgene hiperbolik üçgen denir ve iç açılarının toplamı 180°’den küçük olur.[9] Elinizdeki iplerle bir dik üçgen yapıp bunu Pringles'ın üzerine yerleştirdiğinizde ise bir hiperbolik dik üçgen elde etmiş olursunuz.

Tüm Reklamları Kapat

Hiperbolik üçgen. (Buradaki mavi yüzey, bir Pringles cipsi gibi hiperboliktir.)
Hiperbolik üçgen. (Buradaki mavi yüzey, bir Pringles cipsi gibi hiperboliktir.)
Wikipedia

Matematikçiler, Pisagor teoreminin hiperbolik dik üçgenler için de geçerli olup olmayacağını merak etmiş ve bunları incelemişlerdir. Ancak ne yazık ki Pisagor teoremi yalnızca Öklidyen bir geometride geçerlidir. Ancak hiperbolik geometride Pisagor teoremine benzeyen başka bir eşitlik bulunur:[10]

cosh(a).cosh(b)=cosh(c)\Large cosh(a).cosh(b) = cosh(c)

Burada coshcosh, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
38
1
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • İnanılmaz 8
  • Tebrikler! 7
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 5
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Muhteşem! 1
  • Bilim Budur! 1
  • Güldürdü 1
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 14/12/2024 07:06:23 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12873

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Zihin
Keşif
Diş Hastalıkları
Bilimkurgu
İletişim
Kalori
Habercilik
Saç
Antarktika
Mitler Ve Gerçekler
Mers
Manyetik
Doğa Olayları
Yiyecek
Editör Seçkisi
Evrimsel Tarih
Mantık
Köpek
İnfografik
Higgs Bozonu (Parçacığı)
Bitki
Coronavirus
Dinozorlar
Gün
Genom
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
A. Elçi, et al. Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir?. (10 Ocak 2024). Alındığı Tarih: 14 Aralık 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/12873
Elçi, A., Kayalı, Ö. (2024, January 10). Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir?. Evrim Ağacı. Retrieved December 14, 2024. from https://evrimagaci.org/s/12873
A. Elçi, et al. “Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir?.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, 10 Jan. 2024, https://evrimagaci.org/s/12873.
Elçi, Arya. Kayalı, Ögetay. “Pisagor Teoremi Nedir? Pisagor Kimdir?.” Edited by Ögetay Kayalı. Evrim Ağacı, January 10, 2024. https://evrimagaci.org/s/12873.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close