Lorentz-Minkowski Uzayında Eğri ve Yüzeylerin İncelenmesi
Günümüzde uzay zamanı anlamamızı sağlayan bütün teorilerin altında yatan Lorentz-Minkowski Uzayı, içinde barındırdığı elemanlar bakımından klasik Öklid uzayına çok benziyor!
Phys.org
- Özgün
- Geometri
Lorentz-Minkowski uzayı, teorik fizik ve matematikle uğraşanların kapsamlı bir şekilde çalıştığı bir alandır. Bu alan, 20. yüzyılda Einstein'ın özel ve genel görelilik kuramlarında kullanılmasıyla popülerliği artmış ve dolayısı ile gelişme imkanı bulmuştur. Günümüzde teorik veya uygulamalı fark etmeksizin, bilimin bütün alanlarında kullanılan bir yapı halini almıştır. Riemann geometrisi ile birlikte "Öklidyen geometri imparatorluğunu" neredeyse sona erdirmiş bir geometri olma özelliği taşır. Bu yazıda, bu uzayda yer alan eğri ve yüzeylerin yapılarını inceleyeceğiz ve Öklid geometrisindeki eğriler ve yüzeyler ile karşılaştıracağız.
Aşağıdaki giriş kısmında, Lorentz-Minkowski uzayı hakkında gerekli altyapıyı vereceğiz; ancak daha önceden bu uzay ve Öklid uzayının karşılaştırması hakkında biraz daha detaylı bir yazıyı Evrim Ağacı'nda halihazırda yayınlamıştık; merak edenlerin "Bir Eksi Neyi Değiştirir ki? Lorentz-Minkowski Uzayı ile Öklid Uzayı Arasındaki Fark Nedir?" başlıklı yazımızı okumasını tavsiye ederiz.
1. Giriş: Lorentz-Minkowski Uzayı Hakkında Ön Bilgiler
Tanım 1.1: Lorentz-Minkowski Uzayı Nedir?
Lorentz-Minkowski uzayı, 3 boyutlu Öklid uzayı üzerine kurulmuş bir metrik uzaydır. Bu uzay,E13=(E3,⟨,⟩)\mathbb{E}_1^3=(\mathbb{E}^3,\langle , \rangle) ile gösterilir ve buradaki metrik olarak tanımlanan iç çarpım ⟨u⃗,v⃗⟩=u1v1+u2v2−u3v3,u⃗=(u1,u2,u3),v⃗=(v1,v2,v3)∈E3\langle \vec{u} , \vec{v}\rangle=u_1v_1+u_2v_2-u_3v_3 , \vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3) \in \mathbb{E}^3 olarak tanımlanır. Bu metriğin Öklid iç çarpımından tek farkı, üçüncü bileşendeki eksi işaretidir. Bu işaret bize bu uzaydaki vektörleri üç sınıfa ayırmamıza olanak verir. Bu sınıflandırma uzaysal, zamansal ve ışıksal olarak yapılacaktır.
Tanım 1.2: Vektörlerin Sınıflandırılması
u⃗∈E13,u⃗≠0⃗\vec{u}\in \mathbb{E}_1^3 , \vec{u} \neq \vec{0} olsun.
- 0">⟨u⃗,u⃗⟩>0\langle \vec{u} , \vec{u}\rangle >0 ise u⃗\vec{u} uzaysal,
- ⟨u⃗,u⃗⟩<0\langle \vec{u} , \vec{u}\rangle <0 ise u⃗\vec{u} zamansal,
- ⟨u⃗,u⃗⟩=0\langle \vec{u} , \vec{u}\rangle =0 ise u⃗\vec{u} ışıksal
olarak adlandırılır. Lorentz-Minkowski uzayı üç çeşit vektör ile geometri yapmaya olanak tanır. C={v⃗=(v1,v2,v3)∈E13∣v12+v22−v32=0}\mathcal{C}=\{\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{E}_1^3 | v_1^2+v_2^2-v_3^2=0 \} olsun. Bu kümeye ışık konisi adı verilir; ışıksal vektörlerin kümesidir. Ayrıca u⃗\vec{u}, zamansal olsun. T(u⃗)={v⃗∈E13∣⟨u,v⟩}\mathcal{T}(\vec{u})=\{\vec{v}\in\mathbb{E}_1^3 |\langle u,v \rangle \} kümesi de, u⃗ \vec{u} 'nun zaman konisidir. Bu tanımlar, bu vektörlerin geometrik yapısını incelerken işe yarayacak.
Lorentz-Minkowski uzayı ile Öklid uzayı birbirini andıran noktalarından birisi de Cauchy-Schwarz eşitsizliğidir. Zamansal vektörlerin iç çarpımı, Öklid uzayındaki Caucy-Schwarz eşitsizliğine benzer bir eşitsizliğe sahiptir.
Teorem 1.1
u⃗,v⃗∈E13\vec{u} , \vec{v} \in\mathbb{E}_1^3 zamansal olsunlar. O halde aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:
∥⟨u⃗,v⃗⟩∥≥∥u⃗∥∥v⃗∥\LARGE{\|\langle \vec{u} , \vec{v} \rangle \| \geq \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}
Ayrıca, ⟨u⃗,v⃗⟩=−∥u⃗∥∥v⃗∥coshϕ\langle \vec{u} , \vec{v} \rangle=-\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| \cosh\phi eşitliğini sağlayan tek bir ϕ\phi açısı vardır. Buna hiperbolik açı denir.
Öklid uzayındaki vektörler hakkındaki bildiklerimizi bir başka uzay olan Lorentz -Minkowski uzayına taşımaya devam edelim. Şimdi de vektör çarpımını bu uzayda tanımlayalım.
Tanım 1.3: Vektör Çarpımı Nasıl Yapılır?
u⃗,v⃗∈E13\vec{u}, \vec{v}\in \mathbb{E}_1^3 olsun. Vektör çarpımı, u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} ile gösterilir ve u⃗×v⃗=∣e1⃗e2⃗−e3⃗u1u2u3v1v2v3∣\vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & -\vec{e_3} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\\ \end{vmatrix} olarak tanımlanır burada ei⃗,i=1,2,3\vec{e_i}, i=1,2,3 standart baz vektörleridir.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Öklid geometrisinden ihtiyacımız kadar yapıyı bu uzaya taşıdık. Şimdi, bu uzaydaki parametrik eğrilerden konuşmaya başlayabiliriz.
2. Lorentz-Minkowski Uzayında Eğriler
Aynı Öklid uzayında olduğu gibi, Lorentz-Minkowski uzayında da eğriler mevcuttur ve ışıksal, zamansal ve uzaysal olmak üzere üçe ayrılırlar. Bu ayrımı yapmadan önce, düzenli/düzensiz eğri kavramından bahsetmek gerekiyor. Tanım, Öklid uzayındaki ile aynıdır:
Tanım 2.1: Düzenli ve Düzensiz Eğriler
α⃗:I→E13\vec{\alpha}: \textit{I}\rightarrow \mathbb{E}_1^3 eğrisi ∀t∈I,α⃗′(t)≠0⃗\forall t\in \textit{I} ,\vec{\alpha}'(t)\neq \vec{0} özelliğini sağlıyorsa bu eğriye düzenli eğri denir.
Öklid uzayında olduğu gibi, Lorentz-Minkowski uzayında da vektörler için Frenet çatısı tanımlayabiliriz. Bunun için, bir diklik tanımı yapmamız gerekiyor: Aynı tip vektörlerin iç çarpımı sıfır olursa, bu iki vektörün dik olduğunu biliyoruz.
Ancak ışıksal vektörlerin hepsi bu koşulda birbirine dik çıkar. Bu sorunu ortadan kaldırmak için, ışıksal vektörlerde diklik tanımını kaldırırız. Dolayısıyla ışıksal vektörler üzerinde bir Frenet çatısı kurulmaz. Ancak zamansal ve uzaysal vektörler için Frenet çatısı kurulabilir.
Çatıyı kurmadan önce, bir vektörün Lorentz-Minkowski uzayında normu ve yay uzunluğu parametrizasyonunu tanımlayalım.
Tanım 2.2: Norm ve Yay Uzunluğu
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3 bir düzenli eğri olsun. Bu eğrinin boyu ∥α⃗∥\|\vec{\alpha}\| ile gösterilir ve ∥α⃗∥=∣⟨α⃗,α⃗⟩∣\|\vec{\alpha}\|=\sqrt{|\langle \vec{\alpha},\vec{\alpha} \rangle|} ile tanımlanır. Bu eğrinin uzunluğu ise s(t)=∫0t∥α⃗′(ψ)∥dψs(t)=\int_{0}^{t}\|\vec{\alpha}'(\psi)\|d\psi olarak tanımlanır.
Şimdi, Lorentz-Minkowski uzayındaki uzaysal ve zamansal eğriler için Frenet çatılarını tanımlayalım. Frenet çatısını kurmak için eğrileri karakterize ederken şunu kullanırız: Bir eğrinin teğeti hangi karakterde ise, eğri de o karakterdedir. Yay uzunluğu parametrizasyonu ise, bir eğrinin Tanım 2.1'deki ss'yi argüman olarak kullanmasına denir. Bu tip eğrilerin teğetinin normu birdir.
Tanım 2.3: Frenet Çatısı
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3 ir düzenli eğri olsun ve bu eğri yay uzunluğuna göre parametrize edilsin. Bu eğrinin keyfi bir noktadaki teğet normal binormal vektörleri sırasıyla T⃗,N⃗,B⃗\vec{T} , \vec{N},\vec{B} ile , eğrilik ve burulması ise sırasıyla κ,τ\kappa, \tau ile gösterilsin. Bu eğri için Frenet çatısı {T⃗,N⃗,B⃗,κ,τ}\{\vec{T} , \vec{N},\vec{B},\kappa,\tau \} şu koşulu sağlar:
[T⃗′N⃗′B⃗′]=[0κϵ10−κϵ00−τϵ0ϵ10−τϵ10][T⃗N⃗B⃗]\begin{bmatrix} \vec{T}' \\ \vec{N}' \\ \vec{B}'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa \epsilon_1 & 0 \\ -\kappa\epsilon_0 & 0 & -\tau \epsilon_0 \epsilon_1 \\ 0 & -\tau \epsilon_1 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{T}\\ \vec{N} \\ \vec{B} \\ \end{bmatrix}
Bu denklem sisteminde α\alpha sırasıyla uzaysal veya zamansal ise ϵ0=1\epsilon_0=1 veya ϵ0=−1\epsilon_0=-1 değerini alır. Eğer eğri uzaysal ise ϵ1=1\epsilon_1=1 veya ϵ1=−1\epsilon_1=-1 değerleri sırasıyla eğrinin tip1, tip2 isimlerini almasını sağlar. Yani bütün uzayda geçerli bir Frenet çatısı mevcut değildir; çünkü eğriler uzayın farklı yerlerinde farklı davranışlar sergilerler. Bu da karakteristiğine göre ayrı çatılar tanımlanmasını sağlar.
Uzaysal bir eğrinin iki kategoride incelenmesinin nedeni, normal vektörün uzaysal veya zamansal olmasıyla ilgilidir. Bu yüzden normali uzaysal ve normali zamansal olmak üzere iki tip uzaysal eğri mevcuttur. Şimdi Lorentz-Minkowski uzayındaki eğriler üzerinde doal eşg˘\textit{doğal eş} kavramını tanıtalım ve eğri ile doğal eş eğrisi arasındaki bazı özellikleri inceleyelim.
Tanım 2.4: Doğal Eş
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3 bir düzenli eğri olsun ve {Tα⃗,Nα⃗,Bα⃗,κα,τα}\{\vec{T_{\alpha}} , \vec{N_{\alpha}},\vec{B_{\alpha}},\kappa_{\alpha},\tau_{\alpha} \} Frenet çatısına sahip olsun. Bir β⃗∈E13\vec{\beta}\in\mathbb{E}_1^3 eğrisinin teğeti α⃗\vec{\alpha} 'nın normaline eşit ise bu eğriye α⃗\vec{\alpha} 'nın doğal eş eğrisi adı verilir.
Teorem 2.1
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3 bir düzenli eğri olsun ve {Tα⃗,Nα⃗,Bα⃗,κα,τα}\{\vec{T_{\alpha}} , \vec{N_{\alpha}},\vec{B_{\alpha}},\kappa_{\alpha},\tau_{\alpha} \} Frenet çatısına sahip olsun. Bu eğrinin doğal eşi β⃗\vec{\beta} olsun, o halde β⃗\vec{\beta}'nın Frenet çatısı {Tβ⃗,Nβ⃗,Bβ⃗,κβ,τβ}\{\vec{T_{\beta}} , \vec{N_{\beta}},\vec{B_{\beta}},\kappa_{\beta},\tau_{\beta} \} şöyle verilir:
Tβ⃗=Nα⃗\LARGE{\vec{T_{\beta}}=\vec{N_{\alpha}}}
Nβ⃗=−ϵ0ϵ1ταBα⃗−ϵ0καTα⃗ϵ1(κα2−ϵ0τα2)\LARGE{\vec{N_{\beta}}=\frac{-\epsilon_0\epsilon_1\tau_{\alpha}\vec{B_{\alpha}}-\epsilon_0\kappa_{\alpha}\vec{T_{\alpha}}}{\sqrt{\epsilon_1(\kappa_{\alpha}^2-\epsilon_0\tau_{\alpha}^2})}}
Bβ⃗=−ϵ0ϵ1ταTα⃗−ϵ0ϵ1καBα⃗ϵ1(κα2−ϵ0τα2)\LARGE{\vec{B_{\beta}}=\frac{-\epsilon_0\epsilon_1\tau_{\alpha}\vec{T_{\alpha}}-\epsilon_0\epsilon_1\kappa_{\alpha}\vec{B_{\alpha}}}{\sqrt{\epsilon_1(\kappa_{\alpha}^2-\epsilon_0\tau_{\alpha}^2)}}}
κβ=ϵ1(κα2−ϵ0τα2)\LARGE{\kappa_{\beta}=\sqrt{\epsilon_1(\kappa_{\alpha}^2-\epsilon_0\tau_{\alpha}^2)}}
τβ=κα2ϵ1(κα2−ϵ0τα2)(τακα)′\LARGE{\tau_{\beta}=\frac{\kappa_{\alpha}^2}{\epsilon_1(\kappa_{\alpha}^2-\epsilon_0\tau_{\alpha}^2)}(\frac{\tau_{\alpha}}{\kappa_{\alpha}})'}
Tabii burada eğrilik ve burulmanın birbirinden büyük veya küçük olmasına göre kareköklü ifadenin içindeki ifadenin de eksi ile çarpılması gerekebilir.
Bu teoremin kanıtı, teğet normal ve binormal vektörlerin tanımlarından rahatlıkla görülebilir. Şimdi bu teoremin birkaç uygulamasına bakalım.
Sonuç 2.1
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3, eğriliği burulmasına eşit olmayan bir düzenli eğri olsun. O halde bu eğrinin heliks (veya helis) olması için gerek ve yeter koşul, doğal eşinin bir düzlemsel eğri olmasıdır.
Helis, biyolojiyi fazlaca ilgilendiren bir eğridir. DNA sarmalı, iki tane helisin iç içe geçmiş hali olarak düşünülebilir.
Sonuç 2.2
α⃗∈E13\vec{\alpha}\in\mathbb{E}_1^3 eğrisinin yarıçapı rr olan bir küre olması için gerek ve yeter koşul, doğal eş eğrisi olan β⃗\vec{\beta}'nın κβ′κβ=−ϵ1τβτακα±ϵ0(1−ϵ1r2κα2)\frac{\kappa_{\beta}'}{\kappa_{\beta}}=-\epsilon_1\tau_{\beta}\frac{\tau_{\alpha}}{\kappa_{\alpha}}\pm\sqrt{\epsilon_0(1-\epsilon_1r^2\kappa_{\alpha}^2)} eşitliğini sağlamasıdır. Burada, kareköklü ifade için Teorem 2.1'deki düzenlemeler gerekebilir.
Şimdi de bir eğrinin doğal eş eğrisinin küre olması için yeterli koşulları verelim.
Teorem 2.2
Lorentz-Minkowski uzayında, uzaysal veya zamansal fark etmeksizin, bir eğrinin eğriliği pozitif bir sabit ise o eğrinin doğal eşi bir küredir.
Bu bölümde, klasik diferansiyel geometriyi Lorentz-Minkowski uzayına taşıdık ve eğriler üzerinde bilinen bazı özelliklerin burada da geçerli olduğundan bahsettik. Ancak geometride eğriler sadece bir temel taştır. Öbür temel taş ise, yüzeylerdir. Bir sonraki bölümde Lorentz-Minkowski uzayında yüzeylerin davranışını inceleyeceğiz.
3. Lorentz-Minkowski Uzayında Yüzeyler
Lorentz-Minkowski uzayında eğrileri üçe ayırdık ve özellikle zamansal ve uzaysal olan eğrilerin özelliklerinin Öklid uzayındaki eğrilere benzer olduğunu gördük. Benzer bir durum, yüzeyler için de geçerlidir. Yüzeyler de uzaysal, zamansal ve ışıksal olarak üçe ayrılır; ancak bu ayrım için bazı bilinen tanımları yapmamız gerekiyor.
Tanım 3.1
MM, Lorentz-Minkowski uzayında bir yüzey olsun ve x:M→E13x:M \rightarrow \mathbb{E}_1^3 bu yüzeyin parametrizasyonu olsun. Bu parametrizasyonun diferansiyeli dxp:TpM→E13dx_p:T_pM \rightarrow \mathbb{E}_1^3 olarak tanımlanır. Yüzeyler üzerinde tanımlanan metrik ise x∗(⟨,⟩p)(u⃗,u⃗)=⟨dx(u⃗),dx(u⃗)⟩p,u⃗,v⃗∈TpMx^*(\langle , \rangle _p)(\vec{u},\vec{u})=\langle dx(\vec{u}), dx(\vec{u}) \rangle _p , \vec{u},\vec{v} \in T_pM olarak tanımlanır. Dolayısıyla yüzeylerin karakterizasyonu, bu metriğe göre yapılabilir. Eğer yüzeyin teğet düzlemi sırasıyla uzaysal, zamansal veya ışıksal ise, yüzey de aynı karaktere sırasıyla sahip olacaktır.
Aslında burada gördüğümüz, eğrilerde yapılan tanım ile aynıdır: Eğri, teğeti ile aynı karakterdedir; yüzey de teğet düzlemi ile... Öklid uzayında bir yüzey üzerinde diferansiyel geometri yapmak için, Gauss ve ortalama eğrilikler kullanılır; ancak öncesinde esas formlar kavramını tanımlamak gerekir.
Tanım 3.2: Esas Formlar
MM, Lorentz-Minkowski uzayında bir yüzey olsun ve xx, bu yüzeyin uzaysal veya zamansal bir parametrizasyonu olsun. Ψ\Psi, bu yüzeye teğet bütün düzlemlerin kümesi ve ∇0\nabla^0 Levi-Civita bağlantısı olsun. O halde X,Y∈ΨX,Y\in \Psi için σ(X,Y)=(∇X0Y)⊥\sigma(X,Y)=(\nabla^0_XY)^{\bot} ikincil esas form olarak tanımlanır.
Tanım 3.3: Weingarten Endomorfizması
Bir MM yüzeyinin bir pp noktasındaki Weingarten endomorfizması, o yüzeyin teğet uzayları arasındaki Ap=−∇v0N=−(dN)p(v)A_p=-\nabla_v^0N=-(dN)_p(v) bağıntısı olarak tanımlanır. Ayrıca özel olarak AN=−∇X0NA_N=-\nabla_X^0N olarak tanımlanır ve daha kısa bir notasyon olarak AXAX ile gösterilir.
Önceki iki tanımda, Gauss fonksiyonunun Lorentz-Minkowski uzayında genelleştirildiği görülebilir. Bu tanımlardan yola çıkarak, ortalama eğrilik vektörü, ortalama eğrilik ve Gauss eğriliği kavramlarını bu uzayda sıradaki iki tanımdaki gibi yapılır.
Tanım 3.4: Eğrilik Vektörü
MM, bir yüzey olsun. Bu yüzeyin ortalama eğrilik vektörü H⃗ \vec{H} ile gösterilir ve H⃗=12tr(AN)\vec{H}=\frac{1}{2}tr(A_N) olarak tanımlanır. Ortalama eğrilik ise H=⟨H⃗,N⟩H=\langle \vec{H}, N \rangle olarak tanımlanır.
Şimdi de Gauss eğriliğini tanımlayalım.
Tanım 3.5: Gauss Eğriliği
Lorentz-Minkowski uzayına bir yüzeyin Weingarten endomorfizması AA olsun. Bu yüzeyin Gauss eğriliği K=ϵdet(A)K=\epsilon \det(A) ile tanımlanır. Burada ϵ\epsilon, yüzeyin sırasıyla uzaysal ve zamansal olmasına göre 1 veya -1 değerini alır. Ayrıca eğer Weingarten endomorfizması köşegenleştirilebilir ise, özdeğerleri λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2, bu yüzeyin öz eğrilikleri adını alır. Bu durumda H=ϵλ1+λ22H=\epsilon\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} ve K=ϵλ1λ2K=\epsilon\lambda_1\lambda_2 olarak hesaplanabilir. Ek olarak bir pp noktasında ⟨σ(u,v),N⟩=λ⟨u,v⟩\langle \sigma(u,v) , N \rangle = \lambda \langle u,v \rangle eşitliğini sağlayan bir λ\lambda var ise yani birincil ve ikincil esas form oranlı ise, bu noktaya göbek noktası adı verilir.
Bu tanımdan çok şey öğrenebiliyoruz: H2−ϵK=0H^2-\epsilon K=0 oluyorsa o noktanın göbek noktası olduğu anlamına gelir.
4. Sonuç
Sonuç olarak, Lorentz ve Minkowski uzayında, Öklid uzayında olduğu gibi kuvvetli bir geometrik altyapı kurulabilir ve dahası bu uzayda bu tanımlar aracılığı ile geniş uygulama alanları bulunabilir. İşin içine tensör kavramı katılarak, özellikle yüzeyler teorisi bu uzayda genişletilebilir. Bu genelleştirilmiş tanımlar uzay-zaman evrenini daha iyi anlamamıza yol açar.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git-
6
-
2
-
1
-
1
-
1
-
1
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
- R. Lopez. (2014). Differential Geometry Of Curves And Surfaces In Lorentz-Minkowski Space. International Electronic Journal of Geometry, sf: 44-107. | Arşiv Bağlantısı
- Wikipedia. Levi-Civita Connection. (8 Ağustos 2020). Alındığı Tarih: 8 Ağustos 2020. Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
- J. B. Formiga, et al. On The Differential Geometry Of Curves In Minkowski Space. (8 Ağustos 2020). Alındığı Tarih: 8 Ağustos 2020. Alındığı Yer: Researchgate | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 22/12/2024 07:23:13 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9133
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
