Kozmoloji - 3: Robertson-Walker Metriği

Robertson-Walker metriği kozmolojide evrenin homojen ve izotropik olduğu varsayımı altında sıklıkla kullandığımız bir metriktir. Yapısal olarak küresel kutupsal koordinatlara oldukça benzer, fakat evrenin geometrisine dair bazı ekler barındırır.

Koordinatlar

Gündelik yaşantımızda, iki nesne arasındaki uzaklığı tanımlamak oldukça kolaydır. En basitinden bir koordinat sistemi tanımlayabiliriz. Kartezyen, yani (x,y,z) koordinat sistemi üzerinde iki parçacığı yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu iki parçacığın (x,y,z) koordinatları arasındaki uzaklık farkı (dx,dy,dz) ise, bu durumda aralarındaki mesafe ds'yi aşağıdaki şekilde ifade ederiz. (İspatı için detaylar kısmına bakın.)

Bu tanımlama çok sıradan bir tanımlamadır ve kartezyen koordinatlarda çalışmak, her ne kadar basit gibi görünse de oldukça yorucudur. Bunun yerine küresel kutupsal koordinatlar üzerinden hareket etmek çok daha pratiktir. Parçacığın orijinden uzaklığı, r, y ekseni ile yaptığı açı Φ, z ekseni ile  yaptığı açı Θ olsun. Böylelikle iki parçacık arasındaki uzaklığı, bir uzunluk birimi ve iki açı cinsinden kolaylıkla ifade edilebilir. Bu durumda benzeri bir yaklaşımla, ds iki parçacık arasındaki mesafeyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Buraya kadar her şey oldukça güzel. Böylelikle herhangi bir noktadaki iki parçacık arasındaki mesafeyi rahatlıkla ölçebiliriz öyle değil mi? Aslında hayır. Çünkü tüm bunlar, düz bir uzay üzerinde geçerlidir. Fakat evren için bir geometriden bahsetmek durumundayız. Yani dümdüz gittiğinizi sanırken, aslında dümdüz gitmiyor olabilirsiniz. Tıpkı Dünya üzerinde hareket etmek gibi. Eğer yeterince ilerlerseniz, başladığınız noktaya geri dönersiniz, çünkü küresel bir geometriye sahiptir. Bu yüzden, evren için, işin içerisine geometrisini de dahil eden bazı parametreler eklemeliyiz.

Robertson-Walker Metriği

Evrenin izotropik ve homojen olduğu varsayımı altında, olası tek bir metrik söz konusudur. Elbette küçük ölçeklerde farklı konuşulabilir, fakat büyük ölçekte dikkate almamız gereken bazı şeyler var. Bu metrik, Robertson-Walker metriği, aslında küresel kutupsal koordinatların biraz değiştirilmiş halidir.

Burada a(t) basitçe; evrenin kendi üzerine çöküp çökmeyeceğini ya da tüm evrenin genişleyip genişlemeyeceğini ifade eden, ölçek faktörüdür. k ise, evrenin geometrisini ifade eder.
Bir an için a(t)'nin sabit olduğunu düşünüp, k'nın, iki parçacık arasındaki mesafe için durumu nasıl değiştireceğini ele alalım. Çünkü a(t) zamanın bir fonksiyonudur ve aynı anlarda, değeri aynıdır. Bu yüzden, geometriyi değerlendirmek adına onu görmezden gelebiliriz.
Eğer k=0 olursa, bu durumda ilk terim dr^2 olacak ve denklemimiz a(t)² ifadesi hariç, küresel kutupsal koordinatlardaki formuna dönecektir. Böylesi bir durumun düz evren için yapıldığına dikkat edin. Zaten az önce de, yukarıda bahsettiğimiz formülasyonun, düz bir uzayda geçerli olacağını söylemiştik. Yani küresel kutupsal koordinatlarda yaptığımız mesafe ölçümü, herhangi bir eğriliği barındırmıyordu. Bu yüzden k=0 için, küresel kutupsal koordinatlardaki formun aynısına ulaştık. Yani k=0 için, düz bir evren söz konusudur. k<0 ve k>0 için durum biraz daha farklıdır ve bu durum, pi sayısının sabit olmamasına neden olmaktadır! Yani pi sayısı, yalnızca düz bir evrende sabit bir sayıdır.

Geometriye Göre Pi Sayının Değişimi

Tekrar a(t)² terimini göz ardı edelim. Bu sadece zamanın bir fonksiyonudur, dolayısıyla aynı zamanlar için aynı değeri alacağından, k'nın değişimini incelemek için bunu göz ardı edebiliriz. Bu durumda Robertson-Walker metriği, küresel kutupsal koordinatlara çok benzemektedir. Bir tek fark vardır, o da ilk terimde paydada bulunan 1-kr^2'dir. Dikkat ederseniz, denklemin açısal kısımları tamamen aynıdır!
Eğer k>0 ise, bu durumda 1-kr^2 küçük bir değer alır ve bundan dolayı ds² büyük bir değer alır. Yani böyle bir geometri üzerinde bir çember alırsanız, çevresi tamamen aynı olacaktır, fakat r değişecektir. Burada r büyük bir değer aldığına göre, çevrenin aynı kalması için π daha küçük bir değer almalıdır. Çevre aynı kalıyor, çünkü denklemin açısal kısımları değişmemekte, yalnızca uzaklık birimi (r) değişmekte.
k<0 durumunda ise, tam aksi bir durum gerçekleşir ve π daha büyük değerler alır. Oldukça garip bu durumun, gerçekten büyük ölçeklerde gerçekleştiğine dikkat edin.
*Bu durum elbette ki bir kabule dayanmaktadır. Bunu fiziksel bir gerçeklik değil, geometrinin ne kadar ilginç yorumlamalara neden olabileceğini göstermeye çalışan bir metafor olarak görmelisiniz.

Detaylı Çözüm

Bir çember üzerinde dΘ kadar bir birim alalım. Bu durumda r sabit olduğu için dr=0olur, aynı zamanda Φ de sabit olacağından dΦ=0'dır. Bu durumda elimizdeki metrik,

olur. Terimlerin kareleri üzerinden bir sadeleştirme yapacak olursak,

eşitliğini elde ederiz. Burada r için r_0 diyelim ve bizim referans değerimiz olsun. Çemberin çevresi için c dersek, birim açı elemanının tüm çember boyunca integrallenmesi ile c değerini bulabiliriz.

Böylelikle çemberin çevresi,

olarak bulunur. Şimdi de aynı şeyi, yarıçap boyunca ilerleyerek birim uzaklık elemanı $$dr$$ üzerinden yapalım. Çemberin çapı $d$, çemberin çevresi $c$ ve $\pi$ cinsinden $d=c/\pi$ olarak ifade edilir. Eğer Robertson-Walker metriğine tekrar geri dönersek, birim açı elemanları sıfır olacağından, sadece ilk terim kalır. Bu durumda $d$,

Bu integralin çözümünden k<0 için arcsinh, k>0 için arcsin'e bağlı bir ifade gelir.
Eğer k>0 ise

Eğer k<0 ise, (çözüm koşulu budur, aşağıda k için pozitif karşılıklarını kullanın.)

Sonuç

Bu durumda π sayısı, yalnızca düz bir evren (k=0) için, sabit bir sayıdır. k<0 ve k>0 için, π, r'ye bağlı olarak aşağıdaki gibi bir değişim gösterecektir. k>0 için giderek küçülecek, k<0 için ise giderek büyüyecektir. Neden büyük ölçeklerde diyoruz, bunu da görmüş olduk. Çünkü r'nin küçük değerleri için, fark çok az olmaktadır. Bu duruma yol açan temel etmenin, metrikteki kr² ifadesinden geldiğine dikkat edin. k=0 olduğu durumda r'ye bağımlılık yok olur. Dolayısıyla r değişse de π değişmez. Fakat k'nın farklı değerlerinde r'ye bağlılık vardır ve bu bağlılık, k'nın aldığı değerlere göre aşağıdaki gibi bir grafik verir.

Detaylar

Yukarıdaki grafikte, her üç eksenin birbirine dik olduğuna dikkat edin. Bu sayede Pisagor eşitliğini kullanabildik. Açılar, bakış doğrultumuzdan ötürü 90 derece değil gibi görünse de, gerçekte bu üç doğru (x,y,z) birbirine diktir.
*Not: Anlatımda ds ifadesini iki parçacık arasındaki mesafe olarak kullandık, elbette bu fiziksel olarak daha farklı bir şeyi ima eder. ds yolunu integre ederek genellikle yoldan söz ederiz. Fakat basit bir kavram yakalama adına, bunu aradaki mesafe olarak görmekte bir sakınca yok. Bu yüzden ds=0 gibi kavramlar gördüğünüzde, bunun mesafenin sıfır olduğunu ima ettiğini düşünmeyiniz.

---

Bu konular hakkında biraz daha teknik detay merak ediyorsanız:Evrenin Gözlemsel Özellikleri
Kozmoloji konularını detaylı olarak ele aldığımız başlıklara yazı dizilerimize giderek ya da aşağıdaki bağlantılardan ulaşabilirsiniz.

1. Kozmoloji - 0: Kozmoloji (Evren Bilimi) Nedir?
2. Kozmoloji - 1: Evrenin İlk Üç Dakikası
3. Kozmoloji - 2: Kozmolojik İlke – Homojenlik ve İzotropi
4. Kozmoloji - 3: Robertson-Walker Metriği
5. Kozmoloji - 4: Kozmik Uzaklık Merdiveni
6. Kozmoloji - 5: Evrenin Geometrisi
7. Kozmoloji - 6: Evrenin Yoğunluğu
8. Kozmoloji - 7: Evrenin Yaşı
9. Kozmoloji - 8: Hubble Sabiti
10. Kozmoloji - 9: Son Saçılma Yüzeyi ve Foton Ayrışması
11. Kozmoloji - 10: Kozmik Mikrodalga Arkaplan Işınımı (CMBR)
12. Kozmoloji - 11: CMB Kuvvet Tayfı
13. Kozmoloji - 12: Genel Görelilik Teorisinin Gözlemsel Testleri
14. Kozmoloji - 13: Kozmolojik Parametreler ve Belirlenme Yöntemleri
15. Kozmoloji - 14: Gökada Dönme Eğrisi
16. Kozmoloji - 15: Çekimsel Merceklenme
17. Kozmoloji - 16: Aktif Galaksi Çekirdeği (AGN)

---

Hazırlayan:Ögetay Kayalı
Referanslar
1. Paul Francis & Briand Schmidt, Austuralian National University, Cosmology Courses (EdX: ANU-ASTRO4x Astrophysics: Cosmology)
2. Peter Coles & Francesco Lucchin, Cosmology
3. <http://www.astronomy.ohio-state.edu/~dhw/A5682/notes3.pdf>
4. <http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/teach/module_home/px436/notes/lecture20.pdf>