Ortalama değer teoremi matematiksel olarak bir eğri üzerinde alınan bir aralıkta, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğruya (sekant doğrusuna, kirişe) paralel, fonksiyonun en az bir teğet doğrusu (tanjant doğrusu) olduğunu ifade eder. Bu teorem, özellikle nümerik analiz gibi alanlarda, uygulanan metodun çalışması için gerekli koşulları belirtmede sıklıkla kullanılır.
Gündelik bir örnekle ortalama değer teoremini açıklamak daha kolaydır: Bir araçta olduğunuzu ve uzun bir yolculuğa çıktığınızı düşünün. Yolculuk boyunca aracınız hızlanacak ve yavaşlayacaktır. Dolayısıyla zaman içerisinde farklı hız değerlerinde olacaksınız. Fakat bir saatin sonunda eğer 50 kilometre yol aldıysanız ortalama değer teoremi, yolculuk sırasında en az bir kere saatte 50 kilometre hıza ulaşmış olduğunuzu söyler.
Figür 1, yukarıda verdiğimiz matematiksel ifadeyi bize görsel olarak açıklar. [a,b] aralığında bulunan bir eğri için ortalama türev, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğrudur. Yani f(a) ve f(b) arasında çizdiğimiz doğru, ortalama bir değişimi ifade eder. Teoremin bize dediği şey ise bu eğrinin en az bir teğet doğrusunun (tanjantının), bu doğruya paralel olması gerektiğidir.
Burada matematiksel olarak teğet olan bu noktanın yatay eksendeki değeri c'nin (a,b) aralığına düşmesi gerektiğini görürüz. Bu da kullanacağımız teoremlerde belirlediğimiz bir aralık içerisinde istenen bir değerin, bu aralıkta kalmasını sağlayan koşulu bize sunmuş olur.
Burada fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olması gerektiğine dikkat ediniz. Eğer belirli aralıkta fonksiyon sürekli değilse o aralıkta bu değere en az bir kere ulaşacağını garantileyemez.
Daha teknik bir ifadeyle ortalama değer teoremi, eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyonsa ve (a,b) açık aralığında diferansiyellenebiliyorsa; o halde (a,b) açık aralığında öyle bir c noktası vardır ki c noktasının tanjantı, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarının sekant doğrusuna paraleldir. Bunu biraz daha anlaşılır bir biçimde açıklamaya çalışalım.
Ortalama Değer Teoreminin Matematiksel İfadesi
Eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve a<b olduğu (a,b) açık aralığında diferansiyellenebilir bir fonksiyonsa (a,b) açık aralığında aşağıdaki koşulu sağlayan bir c değeri bulunur.
Burada eşitliğin sağındaki ifade, bizim sekant doğrumuzu ifade eder (doğrunun eğimini). f(b)-f(a) ifadesi dikey eksendeki değişim olan Δy'dir. b-a ifadesi ise yatay eksendeki değişim olan Δx'dir. Böylelikle, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğru denklemini yazmış oluruz.
Teoremin bize söylediği şey, bu doğruya paralel, bu aralıkta tanımlı en az bir tane teğet (tanjant) doğrusu olması gerektiğidir. Bir fonksiyonun o noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, o noktasındaki türevi olarak tanımlandığına göre, (a,b) aralığında bulunan bu c noktası için üstteki eşitlik sağlanır (f'(x) değeri (x,f(x)) noktasındaki teğetin eğimini verir).
Ek Bilgiler
Ortalama değer teoremi, verilen aralıkta, kiriş doğrusuna paralel en az bir tane teğet doğrusu olması gerektiğini söyler fakat bunun kaç tane olduğu ile ilgili bir şey ifade etmez. Eğer eğrimiz, kiriş doğrusunun kendisi ise bu durumda kiriş üzerindeki her nokta istenilen özelliğe sahiptir. Aynı zamanda ortalama değer teoremi, varlığını ima ettiği c noktasının nasıl bulunduğu hakkında da bir bilgi vermez. Basit fonksiyonlarda c kolaylıkla hesaplanabilir görünür fakat pratik değildir.
Bu yüzden ortalama değer teoremi, tek başına pek fazla anlam ifade etmez. Fakat kullanacağınız teoremde, gerekli koşulların betimlenmesi için çok iyi bir araç sunar. Bu yüzden min-max teoremi (extreme value theorem) ve ara değer teoremi (intermediate value theorem) gibi varlık teoremleri sınıfının bir üyesidir.
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Özellikle sayısal analiz (nümerik analiz) ile ilgili ders alanlar bu teoremle sık karşılaşırlar. Çünkü sayısal analizde belirli bir aralıkta sayısal değeri tespit etmeye çalışırken o aralıkta ilgili bir değerin bulunacağını bilmek önemlidir.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git-
6
-
4
-
3
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
- Mathworld Wolfram. Mean-Value Theorem. Alındığı Tarih: 4 Ağustos 2023. Alındığı Yer: Mathworld Wolfram | Arşiv Bağlantısı
- R. A. Adams. (2017). Calculus: A Complete Course. ISBN: 9780134154367. Yayınevi: Pearson Education Australia. sf: 136-138.
- T. Öziş. (Ders Notu). Ege Üniversitesi Matematik Bölümü Nümerik Analiz Ders Notları.
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 23/12/2024 11:09:37 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12913
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
