İmkansızın Şekil Bulmuş Hali: Gömböc Nedir?

Sırt üstü yatan bir kaplumbağanın çaresizliği her ne kadar hepimizi etkilese de görünürdeki risk faktörü olan kaplumbağanın sert kabuğunun, bir dezavantajdan çok avantaj olmasının sırrı matematikte yatmaktadır.^{[1], [2], [3]} Kaplumbağaları ters çevirip kendilerini düzeltmelerini izlemek, bazı matematikçilerin uzun zamandır teorize edilen üç boyutlu bir şeklin varlığının keşfedilmesine yardımcı olmuştur.

Doğrulma hareketi her zaman kaplumbağanın uzunluk ekseni etrafında, vücudun ortasındaki ana kesitin çevresi boyunca enine bir yuvarlanma yoluyla gerçekleşir. Bu nedenle, yuvarlanmanın geometrisi esasen düzlemseldir ve düzlemde kolayca gösterilebilir: Yatay bir yüzeyde yuvarlanan dışbükey, homojen bir disk.

Sıradan bir yumurta hayal edelim. Yan yatırdığımızda biraz yuvarlanır ama sonunda durur. Hafifçe ittiğimizde tekrar yerine oturur. Biraz beceriyle iki ucundan birinin üzerinde dengede tutabiliriz. Ancak uzun süre dayanmaz, en ufak bir sarsıntı onu devirecektir. Burada yumurtanın iki ucu, kararsız denge noktaları olarak bilinir. Kararlı denge noktaları, yumurtayı bu noktalarda dengede tutabildiğimiz için karasız denge noktaları ise en ufak bir sarsıntıda yumurtanın devrileceği için bu şekilde adlandırılır.

Peki bir cismin sahip olabileceği denge noktalarının kombinasyonu nedir? Gömböc'ü "imkansız" kılan noktalardan biri de budur. İki boyutta düşünürsek bir karenin dört kararlı denge noktası (karenin kenarlarının merkezleri) ve dört kararsız denge noktası (karenin köşeleri) vardır. Aynı durum üçgen için de üç kararlı ve üç kararsız denge noktası olmak üzere geçerlidir. Bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip olmak demek; bu şeklin, ağırlık merkezine imkansız taleplerde bulunacağı anlamına gelir.

Üç boyutlu uzayda da benzer durum geçerli olduğundan matematikçiler doğal olarak yalnızca bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip, üç boyutlu, dışbükey ve homojen bir cismin olmadığını varsaydılar.

Gömböc Nedir?

Gömböc, yatay bir yüzeyde bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına; dolayısıyla iki denge noktasına sahip bilinen ilk homojen cisimdir. Gömböc, rastgele bir konumda yatay bir yüzeye yerleştirildiğinde "weeble" oyuncakları; yani bildiğimiz hacıyatmaz oyuncakları gibi kararlı denge noktasına geri döner. Ancak bahsedilen oyuncakların dengesi, tabanındaki ağırlığa bağlı iken Gömböc homojen bir yapıda olduğu için şeklin kendi kendine denge durumuna gelmesini sağlar.^[4]

Gömböc tamamen sabit bir ağırlığa sahiptir. Düz bir yüzeye nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin kendini düzeltir. Buna mono-monostatik şekil denir ve matematiksel bir teoriden doğmuştur.^[6]

Gömböc'ün Ortaya Çıkışı

1995 yılında, dünyaca ünlü Rus matematikçi Vladimir Igorevich Arnold; düz bir yüzey üzerinde dururken yalnızca bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip yani mono-monostatik olan dışbükey, homojen cisimler sınıfının var olması gerektiğini öne sürdü. Bu varsayım doğru çıktı ve 2006 yılında Macar bilim adamları Peter Varkonyi ve Gabor Domokos, üç boyutlu cisimlerin kararlı ve kararsız denge noktalarının sayısına göre sınıflandırılmasının önünü açtı. Varkonyi ve Domokos bu sınıfın varlığını önce matematiksel ve sonrasında da fiziksel bir örnek oluşturarak kanıtlamışlardır.

Domokos, bir Yunan adasında tatildeyken eşiyle 2000 plaj çakılı topladılar ve içlerinden birinin Gömböc gibi davranacağını umut ederek incelediler. Aradığını bulamayan Domokos şöyle söylemiştir:

Çakıl taşı açısından çok ilginç şeyler öğrendik ancak Gömböc açısından hiçbir şey öğrenemedik. Yorgun ve moralsizdik. Bu çakıl taşlarına baktığınızda diğer tüm Yunan adalarına gitseniz bile Gömböc gibi davranan bir taşa asla rastlayamayacağınız hissine kapılıyordunuz. Ama neden olmasın? Eğer bu tür bir çakıl taşı yoksa bunun matematiksel bir nedeni olmalıydı.

Bu düşünce çizgisi önemli bir içgörüye yol açtı. Domokos ve meslektaşı Varkonyi, eğer bir Gömböc varsa bunun çok düz veya çok ince olamayacağını fark ettiler. Frisbee gibi düz bir cismin genellikle iki yüzü vardır ve her birinde birden fazla kararlı denge noktası bulunur. Kalem gibi ince bir cismin ise genellikle iki ucunda iki kararsız denge noktası bulunur ve bu nedenle o da bir Gömböc olamaz.

Domokos ve Varkonyi, bir Gömböc'ün düzlüğünün ve inceliğinin her ikisinin de 1'e eşit olması gerektiğini, yani her iki değerin de mümkün olan en küçük değer olması gerektiğini kanıtladılar. Bir Gömböc şeklini inceltir veya düzleştirirsek düzlük ve incelik değerleri artık minimum olmaktan çıkar. Dolayısıyla bu Gömböc, ekstra denge noktası kazandığı ve dışbükeyliğini kaybettiği için artık bir Gömböc olmayacaktır.

Domokos, Varkonyi ile birlikte küresel bir koordinat sistemi kullanarak bir küreyi hafifçe ezen, yüzeyine bir çift ekstra düzleştirilmiş düzlem ekleyen ve bir tarafını keskin bir kenara dönüştüren formüller oluşturdular. Fiziksel uygulamada son derece hassasiyet gerekiyordu. Erken uygulamalarda $10^{-5}$lik toleranslar, daha sonraki uygulamalarda ise daha makul ancak yine de aşırı olan $10^{-3}$lük toleranslar söz konusuydu. Böylece matematiksel bir yapı olarak var olmasına rağmen Varkonyi ve Domoskov, 3 boyutlu yazıcıyla bir model oluşturana kadar şeklin ne kadar ilginç olduğunu gerçekten anlamamışlardı. Gömböc'ü ellerine aldıklarında şeklinin Hint Yıldız Kaplumbağası'nın oldukça kubbeli kabuğuna benzerliğinden etkilendiler.

Bu tarz cisimler doğada oldukça nadirdir. Yine de bazı kubbeli kara kaplumbağalarının şekli onlara çok benzemektedir.

Analitik Bir Gömböc

Üç boyutlu geometrik bir nesnenin Gömböc yani mono-monostatik olarak nitelendirilmesi için gereken matematiksel şartların incelenmesi, analitik Gömböc şeklinin keşfedilmesiyle sonuçlanmıştır.^[7]

Gömböc Gereksinimleri

Genel olarak analitik bir Gömböc'ün sınırlayıcı yüzeyi aşağıdaki fonksiyonla belirtilebilir:

$\Psi (z,x,y)=sabit$

Burada $x,y,z$ Gömböc'ün yerleştirildiği 3 boyutlu uzayı tanımlayan standart kartezyen koordinatlardır. Koordinat sistemini, orijinin yani $x=y=z=0$ noktasının Gömböc'ün kütle merkezi olacak şekilde yönlendiriyoruz.

Kutupsal koordinatlar $r,\Theta ,\Phi$ olmak üzere;

• $x=rsin(\Theta )cos(\Phi )$ ,
• $y=rsin(\Theta )sin(\Phi )$ ,
• $z=rcos(\Theta )$ şeklindedir.

O halde Gömböc'ün kütle merkezi $r=0$ noktasıdır.

$\Psi (z,x,y)=sabit$ sınır yüzeyine dönüşüm uygulayarak Gömböc'ün sınırına ilişkin $r$ cinsinden $r=F(\Theta ,\Phi )$ şeklinde bir çözüm elde edilebilir. Dışbükeylik şartı, $r$ nin $\Theta ,\Phi$ için tek değerli ve pozitif tanımlı olmasını sağlar.

$r=0$ Gömböc'ün kütle merkezi olduğundan şu değerlere ihtiyacımız vardır:

$d^{3}V=r^{2}sin(\Theta )drd\Theta d\Phi$ olacak şekilde

• $\int d^{3}Vx(r,\Theta ,\Phi )=0$,
• $\int d^{3}Vy(r,\Theta ,\Phi )=0$,
• $\int d^{3}Vz(r,\Theta ,\Phi )=0$.

Aşağıdaki kütle merkezi gereksinimine ulaşılır:

• $\int {}_0^{2\pi }d\Phi \int {}_0^{\pi }sin(\Theta )cos(\Theta )F^4(\Theta ,\Phi )d\Theta =0$,
• $\int {}_0^{2\pi }d\Phi \int {}_0^{\pi }si{n}^2(\Theta )sin(\Phi )F^4(\Theta ,\Phi )d\Theta =0$,
• $\int {}_0^{2\pi }d\Phi \int {}_0^{\pi }si{n}^2(\Theta )cos(\Phi )F^4(\Theta ,\Phi )d\Theta =0$.

$r-F(\Theta ,\Phi )=0$ şeklinde tanımlanan bir Gömböc şekli verildiğinde denge noktaları; $\nabla (r-F(\Theta ,\Phi ))$ yüzeyine dik olan doğrunun, $\hat{r}$ birim normal doğrultusu üzerindeki noktalardır.

Agora Bilim Pazarı

Kuşların Felsefesi

Yaşamın sağduyulu ustaları kuşların, doğallıkları ve hafiflikleriyle bize söyleyecekleri çok şey var. Yeter ki onlara kulak verelim.

Ömrünü kuşları izleyerek geçirmiş Fransız kuş bilimci Philippe J. Dubois ve filozof Élise Rousseau, kuşların yaşamlarından ilham almış yirmi iki küçük hayat dersi ile bizi –evrimin tepesinde olduğunu düşünerek kendini “dünyanın efendisi” ilan eden bizi!– önce kendimiz üzerine düşünmeye, sonra da kanatlarımızı açmaya davet ediyor.

15 dile çevrilen Kuşların Felsefesi’ni okurken kızılgerdanın neden kartaldan daha cesur olduğunu, kuzey denizkırlangıcının bize “yola çıkmak” hakkında neler öğretebileceğini ve –yeşilbaş ve penguenin göstereceği üzere– sevmenin en iyi yolunun akıldan mı yoksa kalpten mi geçtiğini keşfedeceksiniz. Doğanın ritmini duymamızı sağlayan, hayatı nasıl yaşayabileceğimize dair taptaze bir bakış açısı kazandıran bir kitap bu.

“Nefis, büyülü, çarpıcı. Artık kuşları eskisi gibi görmem mümkün değil.”
—Peter Wohlleben, Ağaçların Gizli Yaşamı’nın yazarı

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
2. Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
3. Bu kampanya, Domingo Yayınevi tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺250.00

Satın Al Tüm Ürünler

Dolayısıyla özellikle denge noktaları, eğim $\nabla$'nın $\Theta$ ve $\Phi$ yönündeki bileşenlerinin sıfır olduğu $\Theta$ ve $\Phi$ nokta kümeleridir. Bir şeklin Gömböc olabilmesi için bu nokta kümelerinden yalnızca iki tane bulunmalıdır.

Tüm dışbükey Gömböc şekillerinde olduğu gibi Gömböc yüzeyinin her noktasında eğrilik yarıçapı pozitif olmalıdır. Aşağıda bağlantısı verilen özel uygulama, spesifik analitik Gömböc için faydalı olacaktır:

$\beta$ küçük bir pozitif sabit olmak üzere,

$r^4=F^4(\Theta ,\Phi )=1+4\beta sin(\Theta )cos(\Phi -P(\Theta ))$.

Bu Gömböc şekli esasen küçük yüzey bozulmalarına sahip birim yarıçaplı bir küredir. $\beta$ 'ya göre en düşük mertebede bu özel uygulama, birim küreyi $z$ eksenine dik olarak sonsuz küçük diske bölerek ve ardından diskleri yeniden birleştirerek küreyi işlevsel olarak gerçekleştirebilir. Ancak her diskin merkezi $z$ ekseninden

$(x_0,y_0)=(\beta cosP(\Theta ),\beta sinP(\Theta ))$' e kadar kaydırılmış olmalıdır.

Bu formülasyonun, yalnızca iki denge noktası vardır:

• $\Theta =\pi /2,\Phi =P(\pi /2)+\pi$ (Kararlı Denge Noktası)
• $\Theta =\pi /2,\Phi =P(\pi /2)$ (Kararsız Denge Noktası)

Ayrıca (*) denklemi, kütle merkezi $P(\Theta )$ için$\int {}_0^{\pi }si{n}^3(\Theta )exp(iP(\Theta ))d\Theta =0$ denklemini sağlıyorsa analitik bir Gömböc tanımlanmış olur.

Dünyada Gömböc

Gömböc, temelde matematiğin en sevilen parçalarından biridir. Adı, Macarcada "küre" anlamına gelen "gömb" kelimesinden gelir. Ayrıca Macaristan'da, birkaç insanı yutan ve sonunda ağırlığı nedeniyle bir tepeden aşağı yuvarlanırken patlayan Gömböc adında insan biçimli bir varlık hakkında bir Macar halk masalı da vardır.

Gömböc modelleri 2007 yılından beri üretilmektedir. Her modelin kendine özgü bir seri numarası vardır. Her Gömböc parçası için ayrı ayrı aletler üretilmekte ve bunlar daha sonra kullanılmamaktadır.^[5]

Ayrıca üretilmiş olan diğer tüm Gömböc modelleri için konumlarını bulabilmek amacıyla resmi bir Gömböc Haritası bulunmaktadır.

Macarlar için bir gurur kaynağı olan bu modelin, Budapeşte'de 4,5 tonluk "Corvin Gömböc" adlı bir kopyası sergilenmektedir. Ağırlığının yanı sıra Gömböc Heykeli, termal genleşme nedeniyle 97 derece Fahrenheit (36 derece Celsius) sıcaklıkta uzunluğu 4851 milimetreye ulaşacak şekilde tasarlanmıştır. Burada Corvin Gömböc'ün kabuğunun uzunluğu, Vladimir Arnold'un çalışmasına bir göndermedir: 4851 sayısı, 97. eklaktik sayıdır. Bu tür sayılar Profesör Arnold'un dört köşeli teoremin genelleştirilmesi üzerine yaptığı çalışmalarda ortaya çıkmıştır.

Geometrik Bir Kök Hücre

Domokos ve Varkonyi'ye göre eğer bir Gömböc varsa bu, diğer tüm denge noktası konfigürasyonlarıyla üç boyutlu şekiller yetiştirebileceğiniz bir kök hücre olurdu.

Üç boyutta kararlı ve kararsız noktalar tek denge noktaları değildir, eyer noktaları da olabilir. Nesneniz bir eyer noktasında dengede duruyorsa denge hareketi sonsuz yönde kararsızdır. Bu bir eyerin orta noktasında duran bir bilyeye benzer. Bilyeyi eyerin kenarından sonsuz sayıda yönde yuvarlayabilirsiniz ancak onu eyerin önünden arkasına uzanan çizgi boyunca tam olarak iterseniz eyer noktasına geri döner (tek yönde denge hareketi).

Domokos ve Varkonyi, denge noktalarının sayısını artırmalarının mümkün olduğunu farkederek dışbükey ve homojen 3 boyutlu bir şekle fazladan bir denge noktası kazandırmanın tam olarak nasıl yapılacağını anlatan açık bir algoritma buldular. Domokos konuyla ilgili şunları söylüyor:

Bu sonuç bize şunu gösterdi: Eğer bir nesneniz varsa (minimum sayıda denge noktasına sahip mono-monostatik) bu, nesnelerin diğer tüm sınıflarda da var olduğunu kanıtlar çünkü denge noktalarının sayısını birer birer artırabilirsiniz. Yani bu nesne bir kök hücre gibi olurdu. Diğer tüm kategorilerin varlığını ondan türetebilirdiniz. Ancak varlığını daha yüksek denge noktasına sahip cisimlerden türetemezdiniz. Matematik tamamen güzellikle ilgilidir ve bu çok güzel.

Sonuç

Gömböc matematikçilerden saklanmada başarılı olsa da evrimin delici bakışlarından kaçamadı. Gömböc benzeri şekillerin doğada bir yerlerde ortaya çıkması gerektiğini düşünen Domokos, dikkatini kaplumbağalara çevirdi ve haklı çıktı. Varkonyi ile üzerinde yaptıkları çalışmalar sonucu yazdıkları bir makale, biyoloji dergisi Proceedings of the Royal Society B'de yayımlandı ve biyologlar, Gömböc benzeri kabukların gerçekten de kendi kendini düzeltme lehine doğal seçilimin bir sonucu olduğunu kabul ettiler. Bu gelişmeler Domokos'u şekillerin evrimini daha derinlemesiye incelemeye yöneltti. Ayrıca gezegenler gibi yuvarlak olmayan ancak keskin kenarları ve düz alanları olan asteroitlerin şekillerinin nasıl evrimleştiğini açıklayan The Astrophysical Journal 'da yayımlanan bir makale yazdı.^[8]

Ayrıca Gömböc'ün keşif yolculuğu, bu yolculuğun ardındaki matematik, moleküler biyoloji ile paralellik ve en son özellikle Vladimir Arnold'un doğadaki Gömböc'ün şekil evriminin kökeni değil nihai hedefi olduğu fikri üzerine Oxford Üniversitesi Matematik Enstitüsü tarafından halka açık bir konferans gerçekleştirildi.^[9]

Sonuç olarak Gömböc'ün keşfi sadece kendi başına önemli olmakla kalmadı, gelecekteki keşifler için de bir olasılıklar dünyasının kapılarını açtı.

Son olarak Gömböc keşfinin günümüze kadar bilimden sanata pek çok alanda ilham olduğu çalışmalar şu şekilde:

IOP Science

The Mathematical Intelligencer

Gömböc

Antonin Comestaz

PNAS

Nature Communications

BBC