N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!

Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde karşımıza çıkan bir dizidir. Bu dizi, ilk olarak Hintli matematikçiler tarafından inşa edilmiş olsa da adını Leonardo Fibonacci'den alır.^[1] Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

• İlk iki elemanı $1$ olarak tanımlanır. (Esasında Fibonacci dizisinin başlangıç koşulları bazıları tarafından bir sıfırıncı terim eklenerek $F_0=0,F_1=1$ olarak da kabul edilir. Bu, kaynaktan kaynağa değişiklik gösterse de biz bu yazıda ilk iki terimi $1$ olarak ele alacağız. )
• Sonraki her elemanın bir önceki iki elemanın toplanmasıyla elde edilir.

Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şöyledir:

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...$

Matematiksel olarak ifade edecek olursak Fibonacci dizisi, $n\in \mathbb{N}$ için $F_n$, dizinin $n.$ terimi olmak üzere $F_1=F_2=1$ ve $\forall n\ge 2,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ olarak tanımlanır.

Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahiptir; fakat bu yazının kapsamı dışında olduğundan Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan olan altın oran dışında kalan özelliklere değinmeyeceğiz.

Altın Oran

Altın oran, matematikte en çok bilinen sabitlerde biridir. $\varphi$ ile gösterilir ve yaklaşık değeri $\varphi \simeq 1.618$'dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Çünkü esas tanımı şu eşitlik ile verilir:

$\varphi =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur, tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer, $F_n=x^n$ formunda bir çözüm önerisi getirilir), $x^2-x-1=0$ denklemine ulaşırız. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri de

$x_1=\varphi ,x_2=-\frac{1}{\varphi }$

olduğundan,

$F_n=c_1{\varphi }^n+c_2{\left(-\frac{1}{\varphi }\right)}^n$

denklemine ulaşırız, başlangıç koşulları olan $F_1=F_2=1$ koşullarını kullanırsak bilinmeyen sabitleri

$c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

olarak buluruz. Altın oran hakkında çok daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.

Tribonacci Dizisi

Matematik, en kaba tabiriyle basit şeyleri genelleştirme sporudur. Fibonacci dizisi de bundan nasibini almıştır. Tribonacci dizisi, Fibonacci dizisine benzer; fakat bu kez ardışık üç terim toplayarak sıradaki terimi oluştururuz. Ayrıca başlangıç koşullarında da ufak bir fark vardır: bazı kaynaklar ilk üç terimi $1$ kabul ederken, çoğu kaynak ilk üç terimi $F_0=0,F_1=F_2=1$ olarak almaktadır. Diğer terimler ise, sözel olarak da ifade ettiğimiz üzere, şöyle hesaplanır:

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}$

Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalışalım. Fibonacci dizisi kısmında biraz bahsettiğimiz üzere, bu bağıntıyı çözmek için çözüm önerisi sunduğunuzda, karşınıza şu denklem çıkar:

$x^3-x^2-x-1=0$

Bu denklemi nümerik olarak çözersek, şu çözümlere ulaşırız:

$x\simeq 1.8393,x\simeq -0.41964-0.60629i,x\simeq -0.41964+0.60629i$

Buradaki reel çözüm, altın oran kadar olmasa da meşhur olmayı hak edecek türden bir sayıdır. Daha sonrasında da başlangıç koşulları yerine konursa, oldukça karmaşık olsa da yine de bir sonuç karşımıza çıkar.

N-Bonacci Dizisi

$N$-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hâlidir. İlk $N$ tane elemanın ilki $0$ ve diğerleri $1$ olarak belirlenir, daha sonraki elemanlar kendinden önceki $N$ elemanın toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel olarak ifade edecek olursak, başlangıç koşulları şöyledir:

$F_0=0,F_1=F_2=...=F_{N-1}=1$

Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:

Agora Bilim Pazarı

Cinsellik Üzerine (3 kitap)

Arzunun Sınırları

Kötü Yasalar, İyi Seks ve Değişen Kimliklerin Yüzyıllık Tarihi

Eric Berkowitz

Sekse dair teamüllerimiz nasıl değişti ve seks hukukunu nasıl etkiledi?
Neyin yasal, neyin yasak olduğunu belirleyen insan kendi hayatını bu yolla nasıl düzenledi?
Gazeteci, yazar, hukukçu Eric Berkowitz seks hukuku ve seksin politik çıkarlar doğrultusunda yönetilmesi bahsine bir önceki kitabı Seks ve Ceza’da bıraktığı yerden, yirminci yüzyıldan devam ediyor.

Arzunun Sınırları’nda seksin aile, iktidar, ırkçılık, sömürgeleştirme, cinsiyet ve kimlik mefhumlarıyla ikircikli ilişkisini yirminci yüzyıldan çarpıcı örnekler eşliğinde nüktedan bir dille aktaran Berkowitz, “cinsel devrim”, mağduru korumaktan uzak tecavüz yasaları, eşcinsel hakları mücadelesi, modern psikiyatrinin hukuk üzerindeki etkisi, insan ticareti ve sanal seks haberleri üzerinden bu ilişkinin izini günümüze kadar sürüyor.

“Bu kitabın her bölümü farklı bir dizi yasayı ele alıyor ancak her biri, toplum tarafından kabul edilebilir cinsel davranışlar bütününe dayanarak güçlünün güçsüzün bedeni üzerinde kurduğu iktidara sesleniyor. Cahil dindar gruplar tarafından ‘kurtarıldıktan’ sonra üzerine kilit vurulup istismar edilen fahişeleri, Nazi döneminde Alman sevgilisi olduğu için ‘üstün ırkı kirlettiği’ gerekçesiyle öldürülen Yahudileri, beyazlarla cinsel ilişkiye girdiği için linç edilen Afrikalı Amerikalıları, akıl hastanelerinde lobotomi ‘tedavisi’ gören eşcinselleri, ‘uçkuru gevşek’ olduğu için zorla kısırlaştırılan siyah genç kadınları, oyun arkadaşlarıyla deneysel keşifte bulunduğu için tehlikeli seks suçlusu yaftası yapıştırılan küçücük çocukları, cinsel içerikli kısa mesaj paylaşmaktan çocuk pornocusu diye hapse atılan ergenleri kapsıyor. Seks suçlusu olmak çoğu zaman yanlış yerde veya yanlış zamanda yakalanmak, yanlış sınıf ya da ırkın mensubu olmak, hayatlarımızdan geçmekte olan bir ahlak vesvesesine ters düşmek talihsizliğinden ibaret.”

Seks ve Ceza

Eric Berkowitz

Yatak odasından mahkeme salonuna seks hukukunun hayret verici tarihi…

Kraliyet metresleri, eşcinsel at arabası yarışçıları, Ortaçağ travestileri, cadılar, keçi seviciler, rahibe fahişeler ve Londralı kiralık oğlanlar gibi aykırı oyuncuların renklendirdiği seks tarihinde bir çağ ve toplumda hoşgörülen davranışlar bir ötekinde en ağır şekilde cezalandırıldı. Ancak seks dürtüsü antik çağlardan beri kendini dizginlemeye çalışan her türlü girişime karşı koydu. Seks ve Ceza, dört bin yıllık cinsellik, din ve mülkiyet üçgeninin açılarının çok da değişmediğini gösteriyor bizlere.

“Elbette tecavüz, zina, ensest ve seks hukuku alanına giren diğer tüm meseleler insanlığın varoluşundan beri vuku bulmuştur. Değişen tek şey, insanların birbirlerinin bedenlerini kontrol etmek için kullandıkları yöntemler ve bu yöntemleri kullanma gerekçeleridir.”

Eric Berkowitz Antik Mezopotamya’da zina yapan bir kadının kazığa oturtulmasından başlayıp 1895’te Oscar Wilde’ın “büyük ahlaksızlık” suçuyla hapis cezası aldığı döneme kadarki seks hukukunun uzun tarihini gözler önüne seriyor.

Seks ve Ceza, mahkeme tutanaklarıyla tarihi belgelerde yer alan gerçek insanların hayatlarından yola çıkarak insanlık tarihine ayna tutarken, insan ruhunun karanlık taraflarını ortaya çıkarıyor. Berkowitz zaman zaman tüyler ürperten, zaman zaman hayal gücünü zorlayan bir yolculuğa davet ediyor okurları.

Seksin Doğası

Dr. Carin Bondar

“Seks dostlukla mı ilgilidir? Aşkla mı? Tutkuyla mı? Üremeyle mi? Cevap, çok sayıda biyolojik ve ekolojik unsura bağlı olarak bunların hepsi ya da hiçbiri olabilir. Emin olabileceğimiz tek bir konu varsa o da seksin dünya üzerindeki her canlının varoluşu için elzem olduğudur. İnsanlar için seks rahatlama, eğlence, gıda ve yaşam demektir.”

Dr. Carin Bondar

Biyolog ve başarılı bir doğa belgeseli programcısı Dr. Carin Bondar, hayvanlar âleminde gözlemlenen çeşitli cinsel davranışları ele aldığı bu çalışmasında primatlardan balinalara, çakallardan salyangozlara, ötücü kuşlardan yırtıcılara hayvanların üreme döngülerinde insanların cinsel yaşamını renksiz gösteren ve onunla şaşırtıcı paralellikler taşıyan pek çok detayı bulabileceğimiz ansiklopedik bir gezintiye çıkarıyor okuru.

Seksin Doğası doğada eşleşebilecek partner bulmak, başarıyla çiftleşebilmek ve sonucunda dünyaya gelecek yavruları büyütebilmek için ne mücadeleler verildiğini ve bize bugün garip gelen pek çok detayın aslında ne kadar doğal olduğunu görme fırsatı veriyor.

“Dostlarım, dışarıda acımasız bir dünya var. Hazırsanız acımasız olduğu kadar iç gıdıklayan, heyecan veren, korku uyandıran, mide bulandıran, aynı zamanda çekici ve akıl almaz bu dünyaya, Seksin Doğası’na giriş yapıyoruz.”

Devamını Göster

₺800.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

$F_n=\sum _{k=n-N}^{n-1}{F}_k$

Dikkatinizi çektiyse biz bütün pozitif $N$ tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.

Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:

$x^N-x^{N-1}-...-x-1=0$

Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre $N$ tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin $N=1,2,3,4,...,10$ için gerçek sayı çözümlerini yazdık.

import sympy as smp
  from sympy import *
  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  from matplotlib.pyplot import cm
  import matplotlib.ticker as ticker
  p=[1] #N-Bonacci için denklemimizi tanımlıyoruz.
  counter=1 #N-Bonacci için sayaç.
  color = cm.rainbow(np.linspace(0, 1, 10)) #Grafik için renk paleti.
  for i in range(10):
    p=np.append(p,[-1]) #Denklemin -x^n'li kısımlarını ekliyoruz.
    r=np.roots(p) #Kökleri buluyoruz.
    r=r[~np.iscomplex(r)] #Reel kökleri alıyoruz.
    r=r.real
    r=r.round(decimals=3)
    for k in range(len(r)):
      plt.plot(counter,r[k],'*',color=color[i]) #Kökleri çizdiriyoruz.
      plt.text(counter,r[k],r[k],verticalalignment='bottom')
    counter+=1
  plt.xlabel('n')
  plt.ylabel('Kökler')
  plt.title('$x^n-x^{n-1}-...-x-1=0$ denkleminin reel kökleri')
  x_ticks = range(1,13)
  plt.xticks(x_ticks, x_ticks)
  plt.show() #Grafiği ayarladıktan sonra grafiği ekrana bastırıyoruz.
  

Python

Bu çözüm üzerinde şöyle bir gözlem yapmak mümkündür: $N$ tek sayı iken reel kök sayısı 1, çift iken reel kök sayısı 2'dir. Ayrıca görebileceğiniz (ve bekleyeceğiniz) üzere $2-$Bonacci dizisi bildiğimiz Fibonacci dizisi ile, $3-$Bonacci dizisi ise Tribonacci dizisi aynıdır. Bunlara ilave olarak $F_1=1,F_n=F_{n-1},n\ge 2$ ile bir $1-$Bonacci dizisi de tanımlamış olduk, bu dizi de aslında $1,1,1,1,1,...$ dizisidir.