Keşfedin, Öğrenin ve Paylaşın
Evrim Ağacı'nda Aradığın Her Şeye Ulaşabilirsin!
Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!

4 dakika
3,308
N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın! David A. Reimann
Tüm Reklamları Kapat

Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde karşımıza çıkan bir dizidir. Bu dizi, ilk olarak Hintli matematikçiler tarafından inşa edilmiş olsa da adını Leonardo Fibonacci'den alır.[1] Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

  • İlk iki elemanı 11 olarak tanımlanır. (Esasında Fibonacci dizisinin başlangıç koşulları bazıları tarafından bir sıfırıncı terim eklenerek F0=0, F1=1F_0=0,\ F_1=1 olarak da kabul edilir. Bu, kaynaktan kaynağa değişiklik gösterse de biz bu yazıda ilk iki terimi 11 olarak ele alacağız. )
  • Sonraki her elemanın bir önceki iki elemanın toplanmasıyla elde edilir.

Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şöyledir:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...

Tüm Reklamları Kapat

Matematiksel olarak ifade edecek olursak Fibonacci dizisi, n∈Nn\in\mathbb{N} için FnF_n, dizinin n.n. terimi olmak üzere F1=F2=1F_1=F_2=1 ve ∀n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2\forall n\geq 2,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} olarak tanımlanır.

Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahiptir; fakat bu yazının kapsamı dışında olduğundan Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan olan altın oran dışında kalan özelliklere değinmeyeceğiz.

Altın Oran

Altın oran, matematikte en çok bilinen sabitlerde biridir. ϕ\phi ile gösterilir ve yaklaşık değeri ϕ≃1.618\phi\simeq1.618'dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Çünkü esas tanımı şu eşitlik ile verilir:

ϕ=lim⁡n→∞Fn+1Fn\displaystyle\phi=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}

Tüm Reklamları Kapat

Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur, tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer, Fn=xnF_n=x^n formunda bir çözüm önerisi getirilir), x2−x−1=0x^2-x-1=0 denklemine ulaşırız. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri de

x1=ϕ, x2=−1ϕ\displaystyle x_1=\phi, \ x_2=-\frac{1}{\phi}

olduğundan,

Fn=c1ϕn+c2(−1ϕ)n\displaystyle F_n=c_1\phi^n+c_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

denklemine ulaşırız, başlangıç koşulları olan F1=F2=1F_1=F_2=1 koşullarını kullanırsak bilinmeyen sabitleri

c1=15, c2=−15\displaystyle c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},\ c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}

olarak buluruz. Altın oran hakkında çok daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.

Tribonacci Dizisi

Matematik, en kaba tabiriyle basit şeyleri genelleştirme sporudur. Fibonacci dizisi de bundan nasibini almıştır. Tribonacci dizisi, Fibonacci dizisine benzer; fakat bu kez ardışık üç terim toplayarak sıradaki terimi oluştururuz. Ayrıca başlangıç koşullarında da ufak bir fark vardır: bazı kaynaklar ilk üç terimi 11 kabul ederken, çoğu kaynak ilk üç terimi F0=0, F1=F2=1F_0=0,\ F_1=F_2=1 olarak almaktadır. Diğer terimler ise, sözel olarak da ifade ettiğimiz üzere, şöyle hesaplanır:

Fn=Fn−1+Fn−2+Fn−3F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}

Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalışalım. Fibonacci dizisi kısmında biraz bahsettiğimiz üzere, bu bağıntıyı çözmek için çözüm önerisi sunduğunuzda, karşınıza şu denklem çıkar:

Tüm Reklamları Kapat

x3−x2−x−1=0x^3-x^2-x-1=0

Bu denklemi nümerik olarak çözersek, şu çözümlere ulaşırız:

x≃1.8393, x≃−0.41964−0.60629i, x≃−0.41964+0.60629ix\simeq1.8393, \ x\simeq -0.41964 - 0.60629 i, \ x\simeq -0.41964 +0.60629 i

Tüm Reklamları Kapat

Buradaki reel çözüm, altın oran kadar olmasa da meşhur olmayı hak edecek türden bir sayıdır. Daha sonrasında da başlangıç koşulları yerine konursa, oldukça karmaşık olsa da yine de bir sonuç karşımıza çıkar.

N-Bonacci Dizisi

NN-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hâlidir. İlk NN tane elemanın ilki 00 ve diğerleri 11 olarak belirlenir, daha sonraki elemanlar kendinden önceki NN elemanın toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel olarak ifade edecek olursak, başlangıç koşulları şöyledir:

F0=0, F1=F2=...=FN−1=1F_0=0,\ F_1=F_2=...=F_{N-1}=1

Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Peki Ama Neden? – Bilim ve Teknik

Bilgisayarlara neden virüs bulaşır?
Posta pullarının kenarları neden tırtıklıdır?
Uçaklar arkalarında neden duman izi bırakır?

SEN YETER Kİ MERAK ET!

PEKİ ama NEDEN? serisi dev bir bilgi kasesi. İster avuç avuç hüp-let, ister eğlenceli bir oyuna çevirmek için arkadaşlarına da ikram et.
Haydi o zaman, bilimin sihir kokan dünyasına giriş vakti.

Devamını Göster
₺165.00
Peki Ama Neden? – Bilim ve Teknik
  • Dış Sitelerde Paylaş

Fn=∑k=n−Nn−1Fk\displaystyle F_n=\sum_{k=n-N}^{n-1} F_k

Dikkatinizi çektiyse biz bütün pozitif NN tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.

Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:

xN−xN−1−...−x−1=0x^N-x^{N-1}-...-x-1=0

Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre NN tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin N=1,2,3,4,...,10N=1,2,3,4,...,10 için gerçek sayı çözümlerini yazdık.

import sympy as smp
from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pyplot import cm
import matplotlib.ticker as ticker
p=[1] #N-Bonacci için denklemimizi tanımlıyoruz.
counter=1 #N-Bonacci için sayaç.
color = cm.rainbow(np.linspace(0, 1, 10)) #Grafik için renk paleti.
for i in range(10):
p=np.append(p,[-1]) #Denklemin -x^n'li kısımlarını ekliyoruz.
r=np.roots(p) #Kökleri buluyoruz.
r=r[~np.iscomplex(r)] #Reel kökleri alıyoruz.
r=r.real
r=r.round(decimals=3)
for k in range(len(r)):
plt.plot(counter,r[k],'*',color=color[i]) #Kökleri çizdiriyoruz.
plt.text(counter,r[k],r[k],verticalalignment='bottom')
counter+=1
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Kökler')
plt.title('$x^n-x^{n-1}-...-x-1=0$ denkleminin reel kökleri')
x_ticks = range(1,13)
plt.xticks(x_ticks, x_ticks)
plt.show() #Grafiği ayarladıktan sonra grafiği ekrana bastırıyoruz.
Python

Bu çözüm üzerinde şöyle bir gözlem yapmak mümkündür: NN tek sayı iken reel kök sayısı 1, çift iken reel kök sayısı 2'dir. Ayrıca görebileceğiniz (ve bekleyeceğiniz) üzere 2−2-Bonacci dizisi bildiğimiz Fibonacci dizisi ile, 3−3-Bonacci dizisi ise Tribonacci dizisi aynıdır. Bunlara ilave olarak F1=1, Fn=Fn−1,n≥2F_1=1,\ F_n=F_{n-1}, n\geq 2 ile bir 1−1-Bonacci dizisi de tanımlamış olduk, bu dizi de aslında 1,1,1,1,1,...1,1,1,1,1,... dizisidir.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
Özetini Oku
41
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 16
  • Tebrikler! 8
  • Merak Uyandırıcı! 4
  • Muhteşem! 3
  • Bilim Budur! 3
  • Güldürdü 2
  • Umut Verici! 2
  • Korkutucu! 2
  • İnanılmaz 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/12/2024 20:14:26 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12040

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Kategoriler ve Etiketler
Tümünü Göster
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Araştırmacılar
İspat Yükü
Irk
Diş Hastalıkları
Kedigiller
Neandertal
Uzun
Doktor
Göğüs Hastalığı
Yayılım
Google
Beslenme
Tehlike
Risk
Aslan
Obezite
Radyasyon
Büyük Patlama
Işık Hızı
Genel Halk
Kuantum Fiziği
Bilimkurgu
Evren
Fosil
İklim
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!. (13 Temmuz 2022). Alındığı Tarih: 21 Aralık 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/12040
Taşdemir, M., Bakırcı, Ç. M. (2022, July 13). N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!. Evrim Ağacı. Retrieved December 21, 2024. from https://evrimagaci.org/s/12040
M. Taşdemir, et al. “N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 13 Jul. 2022, https://evrimagaci.org/s/12040.
Taşdemir, Mert. Bakırcı, Çağrı Mert. “N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, July 13, 2022. https://evrimagaci.org/s/12040.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close