N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!
David A. Reimann
- Özgün
- Matematik
Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde karşımıza çıkan bir dizidir. Bu dizi, ilk olarak Hintli matematikçiler tarafından inşa edilmiş olsa da adını Leonardo Fibonacci'den alır.[1] Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:
- İlk iki elemanı 11 olarak tanımlanır. (Esasında Fibonacci dizisinin başlangıç koşulları bazıları tarafından bir sıfırıncı terim eklenerek F0=0, F1=1F_0=0,\ F_1=1 olarak da kabul edilir. Bu, kaynaktan kaynağa değişiklik gösterse de biz bu yazıda ilk iki terimi 11 olarak ele alacağız. )
- Sonraki her elemanın bir önceki iki elemanın toplanmasıyla elde edilir.
Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şöyledir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...
Matematiksel olarak ifade edecek olursak Fibonacci dizisi, n∈Nn\in\mathbb{N} için FnF_n, dizinin n.n. terimi olmak üzere F1=F2=1F_1=F_2=1 ve ∀n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2\forall n\geq 2,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} olarak tanımlanır.
Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahiptir; fakat bu yazının kapsamı dışında olduğundan Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan olan altın oran dışında kalan özelliklere değinmeyeceğiz.
Altın Oran
Altın oran, matematikte en çok bilinen sabitlerde biridir. ϕ\phi ile gösterilir ve yaklaşık değeri ϕ≃1.618\phi\simeq1.618'dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Çünkü esas tanımı şu eşitlik ile verilir:
ϕ=limn→∞Fn+1Fn\displaystyle\phi=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}
Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur, tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer, Fn=xnF_n=x^n formunda bir çözüm önerisi getirilir), x2−x−1=0x^2-x-1=0 denklemine ulaşırız. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri de
x1=ϕ, x2=−1ϕ\displaystyle x_1=\phi, \ x_2=-\frac{1}{\phi}
olduğundan,
Fn=c1ϕn+c2(−1ϕ)n\displaystyle F_n=c_1\phi^n+c_2\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n
denklemine ulaşırız, başlangıç koşulları olan F1=F2=1F_1=F_2=1 koşullarını kullanırsak bilinmeyen sabitleri
c1=15, c2=−15\displaystyle c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},\ c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}
olarak buluruz. Altın oran hakkında çok daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.
Tribonacci Dizisi
Matematik, en kaba tabiriyle basit şeyleri genelleştirme sporudur. Fibonacci dizisi de bundan nasibini almıştır. Tribonacci dizisi, Fibonacci dizisine benzer; fakat bu kez ardışık üç terim toplayarak sıradaki terimi oluştururuz. Ayrıca başlangıç koşullarında da ufak bir fark vardır: bazı kaynaklar ilk üç terimi 11 kabul ederken, çoğu kaynak ilk üç terimi F0=0, F1=F2=1F_0=0,\ F_1=F_2=1 olarak almaktadır. Diğer terimler ise, sözel olarak da ifade ettiğimiz üzere, şöyle hesaplanır:
Fn=Fn−1+Fn−2+Fn−3F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}
Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalışalım. Fibonacci dizisi kısmında biraz bahsettiğimiz üzere, bu bağıntıyı çözmek için çözüm önerisi sunduğunuzda, karşınıza şu denklem çıkar:
x3−x2−x−1=0x^3-x^2-x-1=0
Bu denklemi nümerik olarak çözersek, şu çözümlere ulaşırız:
x≃1.8393, x≃−0.41964−0.60629i, x≃−0.41964+0.60629ix\simeq1.8393, \ x\simeq -0.41964 - 0.60629 i, \ x\simeq -0.41964 +0.60629 i
Buradaki reel çözüm, altın oran kadar olmasa da meşhur olmayı hak edecek türden bir sayıdır. Daha sonrasında da başlangıç koşulları yerine konursa, oldukça karmaşık olsa da yine de bir sonuç karşımıza çıkar.
N-Bonacci Dizisi
NN-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hâlidir. İlk NN tane elemanın ilki 00 ve diğerleri 11 olarak belirlenir, daha sonraki elemanlar kendinden önceki NN elemanın toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel olarak ifade edecek olursak, başlangıç koşulları şöyledir:
F0=0, F1=F2=...=FN−1=1F_0=0,\ F_1=F_2=...=F_{N-1}=1
Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:
Fn=∑k=n−Nn−1Fk\displaystyle F_n=\sum_{k=n-N}^{n-1} F_k
Dikkatinizi çektiyse biz bütün pozitif NN tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.
Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:
xN−xN−1−...−x−1=0x^N-x^{N-1}-...-x-1=0
Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre NN tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin N=1,2,3,4,...,10N=1,2,3,4,...,10 için gerçek sayı çözümlerini yazdık.
import sympy as smp
from sympy import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pyplot import cm
import matplotlib.ticker as ticker
p=[1] #N-Bonacci için denklemimizi tanımlıyoruz.
counter=1 #N-Bonacci için sayaç.
color = cm.rainbow(np.linspace(0, 1, 10)) #Grafik için renk paleti.
for i in range(10):
p=np.append(p,[-1]) #Denklemin -x^n'li kısımlarını ekliyoruz.
r=np.roots(p) #Kökleri buluyoruz.
r=r[~np.iscomplex(r)] #Reel kökleri alıyoruz.
r=r.real
r=r.round(decimals=3)
for k in range(len(r)):
plt.plot(counter,r[k],'*',color=color[i]) #Kökleri çizdiriyoruz.
plt.text(counter,r[k],r[k],verticalalignment='bottom')
counter+=1
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Kökler')
plt.title('$x^n-x^{n-1}-...-x-1=0$ denkleminin reel kökleri')
x_ticks = range(1,13)
plt.xticks(x_ticks, x_ticks)
plt.show() #Grafiği ayarladıktan sonra grafiği ekrana bastırıyoruz.
PythonBu çözüm üzerinde şöyle bir gözlem yapmak mümkündür: NN tek sayı iken reel kök sayısı 1, çift iken reel kök sayısı 2'dir. Ayrıca görebileceğiniz (ve bekleyeceğiniz) üzere 2−2-Bonacci dizisi bildiğimiz Fibonacci dizisi ile, 3−3-Bonacci dizisi ise Tribonacci dizisi aynıdır. Bunlara ilave olarak F1=1, Fn=Fn−1,n≥2F_1=1,\ F_n=F_{n-1}, n\geq 2 ile bir 1−1-Bonacci dizisi de tanımlamış olduk, bu dizi de aslında 1,1,1,1,1,...1,1,1,1,1,... dizisidir.
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git-
16
-
7
-
3
-
3
-
3
-
2
-
2
-
1
-
0
-
0
-
0
-
0
- ^ Wikipedia. Fibonacci Number. Alındığı Tarih: 3 Temmuz 2022. Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
- Wikipedia. Generalizations Of Fibonacci Numbers. Alındığı Tarih: 3 Temmuz 2022. Alındığı Yer: Wikipedia | Arşiv Bağlantısı
- OEIS. N-Bonacci Numbers. Alındığı Tarih: 3 Temmuz 2022. Alındığı Yer: OEIS | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 12/12/2023 02:03:44 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/12040
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
