İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?

İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?
Çağrı Mert Bakırcı Editör Çağrı Mert Bakırcı
8 dakika
5,931 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli bir parçasını oluşturur. Elimize bir problem geldiğinde, o problemi bir denkleme dökmeye çalışırız. Bu problem, temel bilimlere ait bir problem de olabilir, sosyal bilimler problemi de, hiç fark etmez. Algoritmalar ile düşünürüz ve bu yüzden bir denklemi çözmek ve ulaşılan sonucu değerlendirmek, araştırmalarımız için çok önemlidir. Fakat bazı denklemler vardır ki bunları çözmek biraz matematik bilgisi gerektiriyor olabilir ve sizde de yeterli matematik bilgisi olmayabilir. Bir başka durum da, normal yöntemlerle çözülemeyen bir denklemle karşı karşıya olmanızdır. Mesela ne kadar iyi bir matematikçi olursanız olun:

sin⁡(x226)+34/x=lnx\sin(\frac{x}{226})+34/x=lnx

gibi bir denklemi kağıt kalem ile çözmekte zorlanırsınız. Bu yüzden hesap makineleri var! Fakat her hesap makinesi denklem çözemiyor ve diyelim ki sizin elinizde denklem çözemeyen bir hesap makinesi var. Neredeyse hiç matematik kullanmadan, karmaşık bir denklemi, basit bir hesap makinesiyle nasıl çözebiliriz?

Reklamı Kapat

İkiye bölme metodu adı verilen bir yöntem ile! Metodu aşağıda anlatacağız; ancak en baştan söyleyelim: Bu metodun da bazı sıkıntılı noktaları var. Öncelikle denklemi çözerken, kökün (yani çözüm veya çözümlerin) aşağı yukarı hangi aralıkta olabileceğini tahmin etmeniz lazım. Bunun için de ara değer teoremi denilen bir teoremi bilmeniz lazım.

"Hani hiç matematik bilmeyecektik?" dediğinizi duyar gibiyiz. Endişe etmenize gerek yok; çünkü bu teorem, oldukça kolay ve son derece kolaylıkla anlayabileceğiniz, hatta muhtemelen ne olduğunu bildiğiniz ama ismini bilmediğiniz bir teorem. Hatta şimdiden söyleyebiliriz: Ara değer teoremini anlamak için, "süreklilik" sözcüğünün anlamını bilmeniz bile yeterlidir. Söz verdiğimiz gibi, yazı boyunca lise düzeyinden hiç çıkmayacağız.

Ara Değer Teoremi

Teorem, basitçe şunu söyler: ff fonksiyonu, bir [a,b][a,b] kapalı aralığında sürekli olsun ve f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 olsun. O halde, bu fonksiyonun verilen aralıkta en az bir kökü vardır.

Teorem, gördüğünüz üzere fazlasıyla kolay. Yine de izah edelim. Diyelim ki süreklilik nedir bilmiyorsunuz, "bir aralıkta süreklilik" kavramını şöyle düşünebilirsiniz: Bir fonksiyon, bir aralıkta sürekli ise, o fonksiyonun grafiğini kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilmeniz lazım.

Ara değer teoremi
Ara değer teoremi
Wikipedia

Şekli inceleyerek yukarıda anlattığımız her şeyi özetleyelim: [a,b][a,b] aralığını ss doğrusu üzerinde hayal edin. f(a)f(a) negatif ve f(b)f(b) pozitif verilmiş. Bu fonksiyon, bu aralıkta süreklidir çünkü grafiğini bir kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilirsiniz. Görüyorsunuz ki fonksiyon, ss doğrusunu farklı noktalarda kesiyor. Kesmesi lazım, çünkü negatiften pozitife geçerken 0 değerini alması gerekli (çünkü fonksiyon "sürekli").

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Burada şuna da dikkat edin: s=0s=0 olan noktalar, bizim için özellikle değerli; çünkü fonksiyonun kökü, fonksiyonu sıfır yapan değerlerdir. İkiye bölme metodunu, sadece ara değer teoremini sağlayan fonksiyonlarda kullanabiliriz. Unutmayın ki bir denklem, f(x)=0f(x)=0 biçiminde yazılabilen matematiksel bir fonksiyondur.

Örnek Bir Fonksiyon

Örneğin profesörünüz bir deney yaptı ve sonuç olarak f(x)=x2−x+ln(x)f(x)=x^2-x+ln(x) fonksiyonu ile tarif edilebilecek bir model geliştirdi. Tamamen somutlaştırmak adına, bu deney, uzayda bir sarkacın ucundaki topun konumunun bir xx anındaki modellemesi olsun. Profesör sizden sarkacın ne zaman başladığı noktaya geleceğini, yani hangi anda f(x)=0f(x)=0 olacağını soruyor olsun. Tabii böylesi bir model bulabilen bir profesör, elbette denklemi de çözmüştür; ancak sizi denemek istiyor diyelim. Kendinizi kanıtlamanız lazım; ancak hesap makineniz sadece temel işlemleri yapabiliyor ve şansa bakın ki internet ve sorabileceğiniz hiç kimse yok. Ne yapmanız lazım?

Önce algoritmayı verip sonra denklem üzerinde uygulayalım.

İkiye Bölme Metodu

Varsayalım ki ff fonksiyonu [a,b][a,b] aralığında ara değer teoremini sağlasın. Bir ϵ\epsilon hata payı ile f(x)=0f(x)=0 denkleminin bir kökünü bulmak için aşağıdaki algoritmayı takip ederiz.

Reklamı Kapat

  1. c=a+b2c=\frac{a+b}{2} olarak alırız; yani aralığın tam orta noktasını... Daha sonra f(c)f(c) değerine bakarız; burada ilkel hesap makinemiz işe yarayacaktır. Bulacağımız değerin mutlak değeri ϵ\epsilon 'dan küçükse kökü bulmuşuz demektir. Değilse, bir sonraki adıma geçeriz.
  2. f(c)f(a)f(c)f(a) çarpımına bakarız. Bu çarpım negatifse, bb yerine hesapladığımız cc sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız. Eğer pozitifse bu kez aa yerine hesapladığımız cc sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız.

Oldukça ilkel bir algoritmadır ve yakınsama hızı olarak normal sayılabilecek hıza sahiptir; fakat ilkelliğine göre, oldukça hızlı bir algoritmadır, yani sonuca ulaşmak için pek işlem yapmazsınız.

İkiye bölme metodu için bir örnek
İkiye bölme metodu için bir örnek
Australian Mathematical Sciences Institute

Şimdi, profesörün sorusuna geri dönelim. Böyle bir metodu uygulamaya karar verdik; ancak elimizde aralık yok.

Dahası, bu fonksiyonun sürekli olduğunu nereden biliyoruz? f1=x2,f2=−x,f3=lnxf_1=x^2,f_2=-x,f_3=lnx olsunlar, bu üç fonksiyonun da sürekli olduğunu biliyoruz (görmesi oldukça kolaydır, grafiklerini hatırlayın). Dolayısıyla bunların toplamı olan ff fonksiyonu da süreklidir.

Minik bir analiz daha yapalım: Aradığımız kök, negatif olamaz; çünkü lnxlnx fonksiyonu sadece pozitif gerçek sayılarda tanımlıdır. Pek matematik kullanmama sözü vermiştik, o yüzden analizi fazla uzatmayalım, devam edelim.

Reklamı Kapat

Şimdi bir aralık tahmin edelim: Burada hesap makinemizden yararlanabiliriz. 1e\frac{1}{e} değeri için ff fonksiyonu negatif değer alacaktır. Hesap makinesi kullanmadan da bunu görebilirdik; ama matematik kullanmama sözümüz var, bu yüzden ilkel bir hesap makinesi ile bunu doğrulayın. Aynı zamanda ee değeri için ff fonksiyonu pozitif değer alacaktır, bunu da kontrol edin.

Bunları tahmin etmek esasında çok zor değildir, çünkü 1e\frac{1}{e} değeri 1'den küçüktür ve 1'den küçük sayılar için x2−x<0x^2-x<0 olur. Ayrıca ln⁡(1e)<0\ln(\frac{1}{e})<0 olduğunu da biliyoruz dolayısıyla (1e)2−1e+ln⁡1e<0(\frac{1}{e})^2-\frac{1}{e}+\ln \frac{1}{e}<0 olur. Öbür taraftan 1">e>1e>1 'dir ve 1'den büyük sayılar için 0">x2−x>0x^2-x>0 olur ve 0">ln⁡e>0\ln e>0 olur dolayısıyla 0">e2−e+ln⁡e>0e^2-e+\ln e >0 olur. Lise düzeyinde matematik bilgisi kullanıyoruz hala! Hiç lisans düzeyinde bir matematik kullanmadık.

Dolayısı ile f(x)=x2−x+ln⁡xf(x)=x^2-x+\ln x fonksiyonunun [1e,e][\frac{1}{e},e] aralığında bir kökü vardır ve biz bunu ikiye bölme metodu ile hesaplayabiliriz. Hata payını da çok küçük belirleyelim: ϵ=10−5\epsilon=10^{-5} olarak seçelim.

Algoritmanın Kağıt, Kalem ve Basit Bir Hesap Makinesi ile Uygulanması

Algoritma biraz eski olduğundan ve matematiksel altyapısı çok zayıf olduğundan bazen uzun sürebilir. Tabii bu bilgisayar için pek problem değildir ancak kağıt kalem ile yapıyorsanız kağıt zayiatı yüksek olabilir. İlk adımları burada yapacağız, daha sonra ise MATLAB üzerinden tam çözümü vereceğiz. Hazırsanız adım adım yapmaya başlayalım.

1. Adım

  • c=e−1+e2=1.5431c=\frac{e^{-1}+e}{2}=1.5431 ve
  • f(e−1)=−1.2325,f(e)=5.6708f(e^{-1})=-1.2325, f(e)=5.6708 ve f(c)=f(1.5431)=1.2718f(c)=f(1.5431)=1.2718 ve
  • hata payı 10^{-5}">∣f(1.5431)∣=1.2718>10−5|f(1.5431)|=1.2718 > 10^{-5} olduğundan bir sonraki adıma geçmeliyiz.
  • f(e−1)f(1.5431)<0f(e^{-1})f(1.5431)<0 olduğundan yeni aralığımız [e−1,1.5431][e^{-1},1.5431] olur.

2. Adım

Agora Bilim Pazarı
Klinik Onkoloji El Kitabı
  • Boyut: 14 x 20
  • Sayfa Sayısı: 750
  • ISBN No: 9779758624875
Devamını Göster
₺90.00
Klinik Onkoloji El Kitabı

  • c=e−1+1.54312=0.9555c=\frac{e^{-1}+1.5431}{2}=0.9555 ve
  • f(0.9555)=−0.0881f(0.9555)=-0.0881 dolayısıyla hata payı 10^{-5}">∣f(0.9555)∣=0.0881>10−5|f(0.9555)|=0.0881>10^{-5} olduğundan bir sonraki adım için aralık oluşturmalıyız.
  • f(0.9555)f(1.5431)<0f(0.9555)f(1.5431)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.5431][0.9555,1.5431] olur.

3. Adım

  • c=0.9555+1.54312=1.2493c=\frac{0.9555+1.5431}{2}=1.2493 ve
  • f(1.2493)=0.5340f(1.2493)=0.5340
  • dolayısıyla hata payı 10^{-5}">∣f(1.2493)∣=0.5340>10−5|f(1.2493)|=0.5340> 10^{-5} olduğundan, yine algoritmayı devam ettirmeliyiz,
  • f(1.2493)f(0.9555)<0f(1.2493)f(0.9555)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.2493][0.9555,1.2493] olur.

4. Adım

  • c=0.9555+1.24932=1.1024c=\frac{0.9555+1.2493}{2}=1.1024 ve
  • f(1.1024)=0.2103f(1.1024)=0.2103 ve
  • hata payı 10^{-5}">∣f(0.2103)∣=0.2103>10−5|f(0.2103)|=0.2103>10^{-5} olduğundan algoritmayı devam ettirmeliyiz.
  • f(1.1024)f(0.9555)<0f(1.1024)f(0.9555)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.1024][0.9555,1.1024] olur.

Görüleceği üzere algoritma biraz uzun sürüyor. Biz, burada algoritmayı devam ettirmeyi kesiyoruz çünkü algoritma toplam 19 adımda bize toplam sonucu veriyor. Algoritmayı, alıştırma olarak kağıt kalem ve hesap makinesi ile sürdürmenizi tavsiye ederiz, biz MATLAB kodu ile çözdük. Sonuçta kurallar arasında çevrimdışı bir program ile çözmek yasak değil. Merak etmeyin, hile yapmadık algoritmayı koda döktük sadece. MATLAB bilenlerin kodu incelemesini tavsiye ederiz.

MATLAB Kodu ile Çözümü

f= @(x) x^2-x+log(x);
b=exp(1);
a=exp(-1);
k=10^(-5);
c=(a+b)/2;
i=1;
d=linspace(exp(-1),exp(1),100);
e=d.^2-d+log(d);
while abs(f(c))> k
c=(a+b)/2;
if f(a)*f(c)<0
b=c;
else
a=c;
end
i=i+1;
v(i)=c
end
plot(d,e,v,0,'*')
i
c

Kodu direkt derlerseniz, karşınıza bir grafik de çıkacaktır. Bu grafikte, fonksiyonun grafiği verilmiştir ve her adımda bulunan orta nokta da işaretlenmiştir. Sayma amacı ile koyduğumuz i değişkeninin değeri kodun sonunda 19 değerini verecektir. Yani 19 adımda problem çözülmüştür. (Evet elle yapması birazcık zor olabilir; ama sonuçta lise seviyesi matematik ile çözmek var işin ucunda.) Sonucun ise 1 olduğu hesaplanmıştır. Aslında görmesi zor bir sonuç da değildir 12−1+ln⁡1=01^2-1+\ln 1=0 eşitliği sağlanır. Ayrıca bahsedilen grafik, aşağıdadır.

x^2-x+ln x=0 denkleminin çözümü için ikiye bölme algoritmasının aşamaları.
x^2-x+ln x=0 denkleminin çözümü için ikiye bölme algoritmasının aşamaları.
MATLAB

Her bir yıldız bir adımda bulunan orta noktaya tekabül etmektedir. Görülüyor ki 1 civarına doğru noktalar gittikçe yığılmıştır. Zaten beklenilen bir şeydir, çünkü kök 1'dir. Bu sonucu profesöre gösterdiğinizde çok mutlu olacağından eminiz.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 12
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Muhteşem! 1
  • Bilim Budur! 1
  • Grrr... *@$# 1
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 26/10/2021 20:06:33 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9683

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Öğrenme Alanı
Su
Elementler
Besin
Kadın Sağlığı
Oksijen
Hastalıkların Tedavisi
Yas
Yeni Koronavirüs
Santigrat Derece
Evrimsel Biyoloji
İngiltere
Neandertal
Avrupa
Tardigrad
Goril
Karanlık
Okyanus
Güneş Sistemi
Renk
Covıd-19
Mucize
Bağışıklık
Evrim
Elektron
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın