Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?

İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?
8 dakika
8,070
Tüm Reklamları Kapat

Denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli bir parçasını oluşturur. Elimize bir problem geldiğinde, o problemi bir denkleme dökmeye çalışırız. Bu problem, temel bilimlere ait bir problem de olabilir, sosyal bilimler problemi de, hiç fark etmez. Algoritmalar ile düşünürüz ve bu yüzden bir denklemi çözmek ve ulaşılan sonucu değerlendirmek, araştırmalarımız için çok önemlidir. Fakat bazı denklemler vardır ki bunları çözmek biraz matematik bilgisi gerektiriyor olabilir ve sizde de yeterli matematik bilgisi olmayabilir. Bir başka durum da, normal yöntemlerle çözülemeyen bir denklemle karşı karşıya olmanızdır. Mesela ne kadar iyi bir matematikçi olursanız olun:

sin⁡(x226)+34/x=lnx\sin(\frac{x}{226})+34/x=lnx

Tüm Reklamları Kapat

gibi bir denklemi kağıt kalem ile çözmekte zorlanırsınız. Bu yüzden hesap makineleri var! Fakat her hesap makinesi denklem çözemiyor ve diyelim ki sizin elinizde denklem çözemeyen bir hesap makinesi var. Neredeyse hiç matematik kullanmadan, karmaşık bir denklemi, basit bir hesap makinesiyle nasıl çözebiliriz?

İkiye bölme metodu adı verilen bir yöntem ile! Metodu aşağıda anlatacağız; ancak en baştan söyleyelim: Bu metodun da bazı sıkıntılı noktaları var. Öncelikle denklemi çözerken, kökün (yani çözüm veya çözümlerin) aşağı yukarı hangi aralıkta olabileceğini tahmin etmeniz lazım. Bunun için de ara değer teoremi denilen bir teoremi bilmeniz lazım.

Tüm Reklamları Kapat

"Hani hiç matematik bilmeyecektik?" dediğinizi duyar gibiyiz. Endişe etmenize gerek yok; çünkü bu teorem, oldukça kolay ve son derece kolaylıkla anlayabileceğiniz, hatta muhtemelen ne olduğunu bildiğiniz ama ismini bilmediğiniz bir teorem. Hatta şimdiden söyleyebiliriz: Ara değer teoremini anlamak için, "süreklilik" sözcüğünün anlamını bilmeniz bile yeterlidir. Söz verdiğimiz gibi, yazı boyunca lise düzeyinden hiç çıkmayacağız.

Ara Değer Teoremi

Teorem, basitçe şunu söyler: ff fonksiyonu, bir [a,b][a,b] kapalı aralığında sürekli olsun ve f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 olsun. O halde, bu fonksiyonun verilen aralıkta en az bir kökü vardır.

Teorem, gördüğünüz üzere fazlasıyla kolay. Yine de izah edelim. Diyelim ki süreklilik nedir bilmiyorsunuz, "bir aralıkta süreklilik" kavramını şöyle düşünebilirsiniz: Bir fonksiyon, bir aralıkta sürekli ise, o fonksiyonun grafiğini kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilmeniz lazım.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Ara değer teoremi
Ara değer teoremi
Wikipedia

Şekli inceleyerek yukarıda anlattığımız her şeyi özetleyelim: [a,b][a,b] aralığını ss doğrusu üzerinde hayal edin. f(a)f(a) negatif ve f(b)f(b) pozitif verilmiş. Bu fonksiyon, bu aralıkta süreklidir çünkü grafiğini bir kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilirsiniz. Görüyorsunuz ki fonksiyon, ss doğrusunu farklı noktalarda kesiyor. Kesmesi lazım, çünkü negatiften pozitife geçerken 0 değerini alması gerekli (çünkü fonksiyon "sürekli").

Burada şuna da dikkat edin: s=0s=0 olan noktalar, bizim için özellikle değerli; çünkü fonksiyonun kökü, fonksiyonu sıfır yapan değerlerdir. İkiye bölme metodunu, sadece ara değer teoremini sağlayan fonksiyonlarda kullanabiliriz. Unutmayın ki bir denklem, f(x)=0f(x)=0 biçiminde yazılabilen matematiksel bir fonksiyondur.

Örnek Bir Fonksiyon

Örneğin profesörünüz bir deney yaptı ve sonuç olarak f(x)=x2−x+ln(x)f(x)=x^2-x+ln(x) fonksiyonu ile tarif edilebilecek bir model geliştirdi. Tamamen somutlaştırmak adına, bu deney, uzayda bir sarkacın ucundaki topun konumunun bir xx anındaki modellemesi olsun. Profesör sizden sarkacın ne zaman başladığı noktaya geleceğini, yani hangi anda f(x)=0f(x)=0 olacağını soruyor olsun. Tabii böylesi bir model bulabilen bir profesör, elbette denklemi de çözmüştür; ancak sizi denemek istiyor diyelim. Kendinizi kanıtlamanız lazım; ancak hesap makineniz sadece temel işlemleri yapabiliyor ve şansa bakın ki internet ve sorabileceğiniz hiç kimse yok. Ne yapmanız lazım?

Önce algoritmayı verip sonra denklem üzerinde uygulayalım.

İkiye Bölme Metodu

Varsayalım ki ff fonksiyonu [a,b][a,b] aralığında ara değer teoremini sağlasın. Bir ϵ\epsilon hata payı ile f(x)=0f(x)=0 denkleminin bir kökünü bulmak için aşağıdaki algoritmayı takip ederiz.

Tüm Reklamları Kapat

  1. c=a+b2c=\frac{a+b}{2} olarak alırız; yani aralığın tam orta noktasını... Daha sonra f(c)f(c) değerine bakarız; burada ilkel hesap makinemiz işe yarayacaktır. Bulacağımız değerin mutlak değeri ϵ\epsilon 'dan küçükse kökü bulmuşuz demektir. Değilse, bir sonraki adıma geçeriz.
  2. f(c)f(a)f(c)f(a) çarpımına bakarız. Bu çarpım negatifse, bb yerine hesapladığımız cc sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız. Eğer pozitifse bu kez aa yerine hesapladığımız cc sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız.

Oldukça ilkel bir algoritmadır ve yakınsama hızı olarak normal sayılabilecek hıza sahiptir; fakat ilkelliğine göre, oldukça hızlı bir algoritmadır, yani sonuca ulaşmak için pek işlem yapmazsınız.

İkiye bölme metodu için bir örnek
İkiye bölme metodu için bir örnek
Australian Mathematical Sciences Institute

Şimdi, profesörün sorusuna geri dönelim. Böyle bir metodu uygulamaya karar verdik; ancak elimizde aralık yok.

Dahası, bu fonksiyonun sürekli olduğunu nereden biliyoruz? f1=x2,f2=−x,f3=lnxf_1=x^2,f_2=-x,f_3=lnx olsunlar, bu üç fonksiyonun da sürekli olduğunu biliyoruz (görmesi oldukça kolaydır, grafiklerini hatırlayın). Dolayısıyla bunların toplamı olan ff fonksiyonu da süreklidir.

Minik bir analiz daha yapalım: Aradığımız kök, negatif olamaz; çünkü lnxlnx fonksiyonu sadece pozitif gerçek sayılarda tanımlıdır. Pek matematik kullanmama sözü vermiştik, o yüzden analizi fazla uzatmayalım, devam edelim.

Tüm Reklamları Kapat

Şimdi bir aralık tahmin edelim: Burada hesap makinemizden yararlanabiliriz. 1e\frac{1}{e} değeri için ff fonksiyonu negatif değer alacaktır. Hesap makinesi kullanmadan da bunu görebilirdik; ama matematik kullanmama sözümüz var, bu yüzden ilkel bir hesap makinesi ile bunu doğrulayın. Aynı zamanda ee değeri için ff fonksiyonu pozitif değer alacaktır, bunu da kontrol edin.

Bunları tahmin etmek esasında çok zor değildir, çünkü 1e\frac{1}{e} değeri 1'den küçüktür ve 1'den küçük sayılar için x2−x<0x^2-x<0 olur. Ayrıca ln⁡(1e)<0\ln(\frac{1}{e})<0 olduğunu da biliyoruz dolayısıyla (1e)2−1e+ln⁡1e<0(\frac{1}{e})^2-\frac{1}{e}+\ln \frac{1}{e}<0 olur. Öbür taraftan 1">e>1e>1 'dir ve 1'den büyük sayılar için 0">x2−x>0x^2-x>0 olur ve 0">ln⁡e>0\ln e>0 olur dolayısıyla 0">e2−e+ln⁡e>0e^2-e+\ln e >0 olur. Lise düzeyinde matematik bilgisi kullanıyoruz hala! Hiç lisans düzeyinde bir matematik kullanmadık.

Dolayısı ile f(x)=x2−x+ln⁡xf(x)=x^2-x+\ln x fonksiyonunun [1e,e][\frac{1}{e},e] aralığında bir kökü vardır ve biz bunu ikiye bölme metodu ile hesaplayabiliriz. Hata payını da çok küçük belirleyelim: ϵ=10−5\epsilon=10^{-5} olarak seçelim.

Algoritmanın Kağıt, Kalem ve Basit Bir Hesap Makinesi ile Uygulanması

Algoritma biraz eski olduğundan ve matematiksel altyapısı çok zayıf olduğundan bazen uzun sürebilir. Tabii bu bilgisayar için pek problem değildir ancak kağıt kalem ile yapıyorsanız kağıt zayiatı yüksek olabilir. İlk adımları burada yapacağız, daha sonra ise MATLAB üzerinden tam çözümü vereceğiz. Hazırsanız adım adım yapmaya başlayalım.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
  • Dış Sitelerde Paylaş

1. Adım

  • c=e−1+e2=1.5431c=\frac{e^{-1}+e}{2}=1.5431 ve
  • f(e−1)=−1.2325,f(e)=5.6708f(e^{-1})=-1.2325, f(e)=5.6708 ve f(c)=f(1.5431)=1.2718f(c)=f(1.5431)=1.2718 ve
  • hata payı 10^{-5}">∣f(1.5431)∣=1.2718>10−5|f(1.5431)|=1.2718 > 10^{-5} olduğundan bir sonraki adıma geçmeliyiz.
  • f(e−1)f(1.5431)<0f(e^{-1})f(1.5431)<0 olduğundan yeni aralığımız [e−1,1.5431][e^{-1},1.5431] olur.

2. Adım

  • c=e−1+1.54312=0.9555c=\frac{e^{-1}+1.5431}{2}=0.9555 ve
  • f(0.9555)=−0.0881f(0.9555)=-0.0881 dolayısıyla hata payı 10^{-5}">∣f(0.9555)∣=0.0881>10−5|f(0.9555)|=0.0881>10^{-5} olduğundan bir sonraki adım için aralık oluşturmalıyız.
  • f(0.9555)f(1.5431)<0f(0.9555)f(1.5431)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.5431][0.9555,1.5431] olur.

3. Adım

  • c=0.9555+1.54312=1.2493c=\frac{0.9555+1.5431}{2}=1.2493 ve
  • f(1.2493)=0.5340f(1.2493)=0.5340
  • dolayısıyla hata payı 10^{-5}">∣f(1.2493)∣=0.5340>10−5|f(1.2493)|=0.5340> 10^{-5} olduğundan, yine algoritmayı devam ettirmeliyiz,
  • f(1.2493)f(0.9555)<0f(1.2493)f(0.9555)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.2493][0.9555,1.2493] olur.

4. Adım

  • c=0.9555+1.24932=1.1024c=\frac{0.9555+1.2493}{2}=1.1024 ve
  • f(1.1024)=0.2103f(1.1024)=0.2103 ve
  • hata payı 10^{-5}">∣f(0.2103)∣=0.2103>10−5|f(0.2103)|=0.2103>10^{-5} olduğundan algoritmayı devam ettirmeliyiz.
  • f(1.1024)f(0.9555)<0f(1.1024)f(0.9555)<0 olduğundan yeni aralığımız [0.9555,1.1024][0.9555,1.1024] olur.

Görüleceği üzere algoritma biraz uzun sürüyor. Biz, burada algoritmayı devam ettirmeyi kesiyoruz çünkü algoritma toplam 19 adımda bize toplam sonucu veriyor. Algoritmayı, alıştırma olarak kağıt kalem ve hesap makinesi ile sürdürmenizi tavsiye ederiz, biz MATLAB kodu ile çözdük. Sonuçta kurallar arasında çevrimdışı bir program ile çözmek yasak değil. Merak etmeyin, hile yapmadık algoritmayı koda döktük sadece. MATLAB bilenlerin kodu incelemesini tavsiye ederiz.

MATLAB Kodu ile Çözümü

f= @(x) x^2-x+log(x);
b=exp(1);
a=exp(-1);
k=10^(-5);
c=(a+b)/2;
i=1;
d=linspace(exp(-1),exp(1),100);
e=d.^2-d+log(d);
while abs(f(c))> k
c=(a+b)/2;
if f(a)*f(c)<0
b=c;
else
a=c;
end
i=i+1;
v(i)=c
end
plot(d,e,v,0,'*')
i
c

Kodu direkt derlerseniz, karşınıza bir grafik de çıkacaktır. Bu grafikte, fonksiyonun grafiği verilmiştir ve her adımda bulunan orta nokta da işaretlenmiştir. Sayma amacı ile koyduğumuz i değişkeninin değeri kodun sonunda 19 değerini verecektir. Yani 19 adımda problem çözülmüştür. (Evet elle yapması birazcık zor olabilir; ama sonuçta lise seviyesi matematik ile çözmek var işin ucunda.) Sonucun ise 1 olduğu hesaplanmıştır. Aslında görmesi zor bir sonuç da değildir 12−1+ln⁡1=01^2-1+\ln 1=0 eşitliği sağlanır. Ayrıca bahsedilen grafik, aşağıdadır.

x^2-x+ln x=0 denkleminin çözümü için ikiye bölme algoritmasının aşamaları.
x^2-x+ln x=0 denkleminin çözümü için ikiye bölme algoritmasının aşamaları.
MATLAB

Her bir yıldız bir adımda bulunan orta noktaya tekabül etmektedir. Görülüyor ki 1 civarına doğru noktalar gittikçe yığılmıştır. Zaten beklenilen bir şeydir, çünkü kök 1'dir. Bu sonucu profesöre gösterdiğinizde çok mutlu olacağından eminiz.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
41
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 13
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Muhteşem! 1
  • Bilim Budur! 1
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 1
  • Grrr... *@$# 1
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 27/02/2024 15:24:35 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9683

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Ses Kaydı
Göz
Tarım
Sağlık Personeli
Deri
Sayı
Bilgi
Dışkı
Güneş Sistemi
Semptom
Mühendislik
Hastalıkların Tedavisi
Nasa
Diyet
Kuvvet
Çeşitlilik
Ana Bulaşma Mekanizması
Parçacık
Şempanze
Saç
Kozmik Mikrodalga Arkaplan Işıması (Cmb)
Hormon
Anatomi
Homeostasis
Evrimsel Psikoloji
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Youtube
Havacılık Tarihinin 90 Yıllık En Gizemli Olayı Çözülmüş Olabilir mi?
Havacılık Tarihinin 90 Yıllık En Gizemli Olayı Çözülmüş Olabilir mi?
Kral Joffrey Neden Öldü?
Kral Joffrey Neden Öldü?
Ötanazi: Ölüm Hakkımız Var mı? | Taner Beyter (Öncül Analitik Felsefe)
Ötanazi: Ölüm Hakkımız Var mı? | Taner Beyter (Öncül Analitik Felsefe)
Yaşamı Başlatan Manyetizma mı? | Furkan Öztürk (Harvard Üniversitesi)
Yaşamı Başlatan Manyetizma mı? | Furkan Öztürk (Harvard Üniversitesi)
Elektronlar Duvarlardan Nasıl Geçiyor? | Kuantum Tünelleme!
Elektronlar Duvarlardan Nasıl Geçiyor? | Kuantum Tünelleme!
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?. (9 Aralık 2020). Alındığı Tarih: 27 Şubat 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/9683
Taşdemir, M., Bakırcı, Ç. M. (2020, December 09). İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?. Evrim Ağacı. Retrieved February 27, 2024. from https://evrimagaci.org/s/9683
M. Taşdemir, et al. “İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 09 Dec. 2020, https://evrimagaci.org/s/9683.
Taşdemir, Mert. Bakırcı, Çağrı Mert. “İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, December 09, 2020. https://evrimagaci.org/s/9683.
ve seni takip ediyor
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close