Ağ Biliminde Ölçüm Nasıl Yapılır?

Bir ağın analizi; içerisindeki düğüm, bağlantı ve düğüm gruplarını anlayabilmek için çeşitli ölçümlerden oluşur. Nicel ölçümlerin ve görselleştirmenin bir araya gelmesi, düğümler ve bağlantılar arasındaki ilişkileri anlamak için çok önemlidir. Bu yazıda ağlar için bazı temel ölçümler ve bunların gösterimleri incelenecektir.

Düğümün Derecesi

Bir ağdaki bir düğümün yaptığı bağlantı sayısı, o düğümün derecesini verir. $N$ tane düğümü olan yönsüz bir ağda her $i$ düğümü için $k_ i$ derecesi şöyle gösterilir:

$k_i=\sum _{\begin{array}{c}j=1\end{array}}^N{A}_{ij}$

Yönsüz ağlarda her bir bağlantının iki adet etki yönü vardır ($\leftrightarrow$. Diğer bir deyişle $E$ adet bağlantının $2E$ adet etki yönü vardır. Böylece $2E$, tüm düğümlerin derecelerinin toplamına eşittir:

$2E=\sum _{i=1}{k}_i$

Toplam bağlantıların sayısı matristen elde edilmek istenirse

$E=\frac{1}{2}\sum _{i=1}{k}_i=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{A}_{ij}$

şeklinde ifade edilebilir. Ağdaki bir düğümün ortalama derecesi $<k>$ aşağıdaki gibi gösterilir:

$<k>=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{k}_i=\frac{2E}{N}$

Yönlü ağlarda ise düğümlerin dereceleri daha karmaşıktır. Bir düğüme gelen bağlantılar iç dereceyi, giden bağlantılar da dış dereceyi meydana getirir. İç ve dış dereceler aşağıdaki gibi ifade edilir:

$k_i^{iç}=\sum _{j=1}^N{A}_{ji},k_i^{dış}=\sum _{j=1}^N{A}_{ij}$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Yönlü ağlarda toplam bağlantı sayısı tüm düğümlerin iç veya dış derecelerinin toplamıdır:

$E=\sum _{i=1}^N{k}_i^{iç}=\sum _{j=1}^N{k}_j^{dış}=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{A}_{ij}$

Böylece iç ve dış derecelerin ortalamaları da birbirine eşit olur:

$<k_{iç}>=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{k}_i^{iç}=\frac{1}{N}\sum _{j=1}^N{k}_j^{dış}=<k_{dış}>$

Ortalama derece de böylece yönsüz ağlardakinin yarısı olmaktadır:

$<k>=\frac{E}{N}$

Derece Dağılımı

Derece dağılımı $P(k)$, seçilen bir düğümün $k$ adet bağlantısının olma olasılığıdır. Aynı dereceye sahip düğümlerin sayısının toplam düğüm sayısına oranı ile olasılıklar ve dağılım elde edilir. $N(k),k=1,2,\dots ,\xi$ olmak üzere

$P(1)=\frac{N(1)}{N},P(2)=\frac{N(2)}{N},...,P(\xi )=\frac{N(\xi )}{N}$

şeklinde ifade edilir.

Yukarıdaki denklemde, ağlarda bir veya daha fazla düğümün kendine bağlantısı varsa maksimum düğüm derecesi farklılık göstereceği için $N$ yerine $\xi$ yazılmıştır. $\xi =N+1$gibi düşünülebilir. Çünkü yönsüz ağlardaki kendine bağlantıların matris köşegen değeri 2'dir. Aşağıda örnek bir derece dağılımı gösterilmektedir.

İndir

Yönlü ağlarda derece dağılımı, iç derece dağılımı ve dış derece dağılımı olmak üzere iki biçimdedir. Olasılıklar iç ve dış dereceler için ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

$N(k{)}_{iç},k=1,2,...,N$ olmak üzere,

$P(1{)}_{iç}=\frac{N(1{)}_{iç}}{N},P(2{)}_{iç}=\frac{N(2{)}_{iç}}{N},...,P(N{)}_{iç}=\frac{N(N{)}_{iç}}{N}$

Agora Bilim Pazarı

Cinsellik Üzerine (3 kitap)

Arzunun Sınırları

Kötü Yasalar, İyi Seks ve Değişen Kimliklerin Yüzyıllık Tarihi

Eric Berkowitz

Sekse dair teamüllerimiz nasıl değişti ve seks hukukunu nasıl etkiledi?
Neyin yasal, neyin yasak olduğunu belirleyen insan kendi hayatını bu yolla nasıl düzenledi?
Gazeteci, yazar, hukukçu Eric Berkowitz seks hukuku ve seksin politik çıkarlar doğrultusunda yönetilmesi bahsine bir önceki kitabı Seks ve Ceza’da bıraktığı yerden, yirminci yüzyıldan devam ediyor.

Arzunun Sınırları’nda seksin aile, iktidar, ırkçılık, sömürgeleştirme, cinsiyet ve kimlik mefhumlarıyla ikircikli ilişkisini yirminci yüzyıldan çarpıcı örnekler eşliğinde nüktedan bir dille aktaran Berkowitz, “cinsel devrim”, mağduru korumaktan uzak tecavüz yasaları, eşcinsel hakları mücadelesi, modern psikiyatrinin hukuk üzerindeki etkisi, insan ticareti ve sanal seks haberleri üzerinden bu ilişkinin izini günümüze kadar sürüyor.

“Bu kitabın her bölümü farklı bir dizi yasayı ele alıyor ancak her biri, toplum tarafından kabul edilebilir cinsel davranışlar bütününe dayanarak güçlünün güçsüzün bedeni üzerinde kurduğu iktidara sesleniyor. Cahil dindar gruplar tarafından ‘kurtarıldıktan’ sonra üzerine kilit vurulup istismar edilen fahişeleri, Nazi döneminde Alman sevgilisi olduğu için ‘üstün ırkı kirlettiği’ gerekçesiyle öldürülen Yahudileri, beyazlarla cinsel ilişkiye girdiği için linç edilen Afrikalı Amerikalıları, akıl hastanelerinde lobotomi ‘tedavisi’ gören eşcinselleri, ‘uçkuru gevşek’ olduğu için zorla kısırlaştırılan siyah genç kadınları, oyun arkadaşlarıyla deneysel keşifte bulunduğu için tehlikeli seks suçlusu yaftası yapıştırılan küçücük çocukları, cinsel içerikli kısa mesaj paylaşmaktan çocuk pornocusu diye hapse atılan ergenleri kapsıyor. Seks suçlusu olmak çoğu zaman yanlış yerde veya yanlış zamanda yakalanmak, yanlış sınıf ya da ırkın mensubu olmak, hayatlarımızdan geçmekte olan bir ahlak vesvesesine ters düşmek talihsizliğinden ibaret.”

Seks ve Ceza

Eric Berkowitz

Yatak odasından mahkeme salonuna seks hukukunun hayret verici tarihi…

Kraliyet metresleri, eşcinsel at arabası yarışçıları, Ortaçağ travestileri, cadılar, keçi seviciler, rahibe fahişeler ve Londralı kiralık oğlanlar gibi aykırı oyuncuların renklendirdiği seks tarihinde bir çağ ve toplumda hoşgörülen davranışlar bir ötekinde en ağır şekilde cezalandırıldı. Ancak seks dürtüsü antik çağlardan beri kendini dizginlemeye çalışan her türlü girişime karşı koydu. Seks ve Ceza, dört bin yıllık cinsellik, din ve mülkiyet üçgeninin açılarının çok da değişmediğini gösteriyor bizlere.

“Elbette tecavüz, zina, ensest ve seks hukuku alanına giren diğer tüm meseleler insanlığın varoluşundan beri vuku bulmuştur. Değişen tek şey, insanların birbirlerinin bedenlerini kontrol etmek için kullandıkları yöntemler ve bu yöntemleri kullanma gerekçeleridir.”

Eric Berkowitz Antik Mezopotamya’da zina yapan bir kadının kazığa oturtulmasından başlayıp 1895’te Oscar Wilde’ın “büyük ahlaksızlık” suçuyla hapis cezası aldığı döneme kadarki seks hukukunun uzun tarihini gözler önüne seriyor.

Seks ve Ceza, mahkeme tutanaklarıyla tarihi belgelerde yer alan gerçek insanların hayatlarından yola çıkarak insanlık tarihine ayna tutarken, insan ruhunun karanlık taraflarını ortaya çıkarıyor. Berkowitz zaman zaman tüyler ürperten, zaman zaman hayal gücünü zorlayan bir yolculuğa davet ediyor okurları.

Seksin Doğası

Dr. Carin Bondar

“Seks dostlukla mı ilgilidir? Aşkla mı? Tutkuyla mı? Üremeyle mi? Cevap, çok sayıda biyolojik ve ekolojik unsura bağlı olarak bunların hepsi ya da hiçbiri olabilir. Emin olabileceğimiz tek bir konu varsa o da seksin dünya üzerindeki her canlının varoluşu için elzem olduğudur. İnsanlar için seks rahatlama, eğlence, gıda ve yaşam demektir.”

Dr. Carin Bondar

Biyolog ve başarılı bir doğa belgeseli programcısı Dr. Carin Bondar, hayvanlar âleminde gözlemlenen çeşitli cinsel davranışları ele aldığı bu çalışmasında primatlardan balinalara, çakallardan salyangozlara, ötücü kuşlardan yırtıcılara hayvanların üreme döngülerinde insanların cinsel yaşamını renksiz gösteren ve onunla şaşırtıcı paralellikler taşıyan pek çok detayı bulabileceğimiz ansiklopedik bir gezintiye çıkarıyor okuru.

Seksin Doğası doğada eşleşebilecek partner bulmak, başarıyla çiftleşebilmek ve sonucunda dünyaya gelecek yavruları büyütebilmek için ne mücadeleler verildiğini ve bize bugün garip gelen pek çok detayın aslında ne kadar doğal olduğunu görme fırsatı veriyor.

“Dostlarım, dışarıda acımasız bir dünya var. Hazırsanız acımasız olduğu kadar iç gıdıklayan, heyecan veren, korku uyandıran, mide bulandıran, aynı zamanda çekici ve akıl almaz bu dünyaya, Seksin Doğası’na giriş yapıyoruz.”

Devamını Göster

₺871.00

Satın Al Tüm Ürünler

$N(k{)}_{dış},k=1,2,...,N$olmak üzere,

$P(1{)}_{dış}=\frac{N(1{)}_{dış}}{N},P(2{)}_{dış}=\frac{N(2{)}_{dış}}{N},...,P(N{)}_{dış}=\frac{N(N{)}_{dış}}{N}$

şeklinde hesaplanabilir. Yönlü bir ağın iç ve dış derece dağılımları aşağıda gösterilmiştir.

İndir

Eğer iç ve dış derece dağılımları daha sofistike bir şekilde, tek grafikte görülmek istenirse ortak bir dağılım elde edilebilir. Burada olasılıklar,

$i$ iç derece ve $j$ dış derece olacak şekilde iki indislidir. Bu durumda tüm olasılık değerleri, tüm olası durumlar üzerinden ($i=1,2,...,N,j=1,2,...,N$ olmak üzere)

$P_{ij}=\frac{N_{ij}}{N}$

şeklinde hesaplandığında, yönlü ağların bütünleşik derece dağılımı ortaya çıkmaktadır. Dağılımın kendisi iki boyutludur, bu nedenle basit bir histogram olarak çizilemez. İki boyutlu bir renk haritası veya üç boyutlu bir grafik şeklinde gösterilmelidir. Yukarıdaki Zachary Karate Kulübü'nün yönlü ağının olasılık değerleri hesaplanarak üç boyutlu bütünleşik derece dağılımı çizilmiştir.

İndir

Bütünleşik derece dağılımı kullanılarak iç ve dış dereceler arasında bir korelasyonun olup olmadığı incelenebilir. Örneğin yüksek iç dereceye sahip düğümler aynı zamanda yüksek dış dereceye sahip ise ($P_{ij}$'de hem $i$ hem de $j$ yüksek ise) bunun yansımasını $k_{iç}$ ve $k_{dış}$'ın büyük değerlerinde yükseltiler olarak görebiliriz. Bu durumun tam tersi de geçerlidir ve her ikisi de yukarıdaki şekilde görülmektedir. Eğer iç ve dış dereceler bütünleşik diyagram yerine ayrı ayrı ifade edilirlerse yönlü ağın derece korelasyonu içerip içermediğine bakılamamaktadır.

Bir ağın derece dağılımı, ağ hakkında önemli bilgiler vermektedir. Örneğin derece dağılımı kuvvet yasası formundaysa, yani düşük olasılık değerlerindeki yüksek derecelerin sıfırdan farklı olması durumu varsa, ağlarda merkez düğümlerin (İng: "hub") olduğuna işaret eder. Bununla birlikte normal dağılım gibi tepeye sahip dağılımlarda düşük ya da yüksek dereceler benzer olasılıklardadır ve merkez düğümlerin olmadığı bir ağ söz konusudur. Ancak aynı derece dağılımına sahip çok fazla sayıda farklı ağ olabilir. Bu nedenle bir ağın tüm yapısı sadece derece dağılımı bulunarak elde edilememektedir.

En Kısa Yol ve Ortalama Yol Uzunluğu

Ağın içindeki iki düğüm arasındaki mesafe yol uzunluğu (İng: "path length") olarak ifade edilir. İki düğüm arasında çok sayıda farklı yol olabileceği için en kısa yol bunlar içinde ayrı bir öneme sahiptir. En az bağlantı ile hedefe ulaşmayı ifade eder. Yönlü ağlarda

$s_1$ düğümünden $s_2$'ye giden en kısa yol olan $l_{s_1{s}_2}$, $s_2$'den $s_1$'e giden $l_{s_2{s}_1}$ yolundan genellikle farklıdır. Ortalama yol uzunluğu $<l>$, ağdaki bütün düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolların bir ortalamasıdır.

$<l>=\frac{\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{l}_{ij}}{\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N(ba\breve{g}lantıvarsa{l}_{ij}=1)}$

Yukarıdaki eşitlikte her $i$'den her $j$'ye olan yol uzunlukları ayrı ayrı hesaplanır ve eğer ilgili $i$ ile $j$ arasında ulaşım varsa paydaya 1 eklenir. Ortalama yol uzunluğu, ağın düğümleri arasındaki ulaşılabilirliğin bir ölçüsüdür. Yönsüz ağlarda her düğümün arasında bir şekilde bağlantı varken yönlü ağlarda durum farklıdır.

İndir

Kümelenme Katsayısı

Çoğu ağda eğer $s_1$ ve $s_2$ düğümleri bağlı olup $s_2$ ve $s_3$ arasında bağlantı varsa, $s_1$ ve $s_3$ arasında da bağlantı olması olası bir durumdur. Eğer düğümler arası bağlantılar kapalı bir alan oluşturursa, ki en küçüğü üç düğüm arası bağlantıların oluşturduğu üçgendir, bu durum kümelenme katsayısı ile karakterize edilir.

Kümelenme katsayısı bir düğümün komşularının aralarındaki bağlantıların ölçüsüdür. Gerçel ağlarda düğümlerin dereceleri ile ters orantılıdır ve bir ağın hiyerarşik yapısına işaret etmektedir. Yönsüz ağlarda her $i$ düğümü için kümelenme katsayısı şu şekildedir:

$C_i=\frac{2n_i}{k_i(k_i-1)}$

Burada $n_i$, $k_i$ adet komşu arasındaki bağlantı sayısıdır. Başka bir deyişle $C_i$, $i$ düğümünün içinde yer aldığı üçgenleri verir ve maksimum sayısı $k_i(k_i-1)/2$'dir. Her bir düğümün kümelenme katsayısı lokal kümelenme katsayılarını oluşturur ve ağın kümelenme katsayısını elde etmek için ortalaması alınmalıdır.

$<C>=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{2n_i}{k_i(k_i-1)}$

Yönlü ağlarda bir düğümün kümelenme katsayısı yönsüz ağlardakinin yarısıdır. Çünkü yönsüz ağların bağlantıları çift yönlü oldukları için iki adet yönlü bağlantı varmış gibi düşünülebilir. Bu nedenle her bir düğüm için lokal kümelenme katsayıları ve tüm ağın ortalama kümelenme katsayısı şu şekildedir:

$C_i=\frac{n_i}{k_i(k_i-1)}$

$<C>=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{n_i}{k_i(k_i-1)}$

Yönlü ve yönsüz ağlar için bu genel ifadelerin özel durumları da vardır. Kümelenme katsayısı 0 ile 1 aralığında değerler alır. Kapalı bir bağlantısı bulunmayan (veya hiç bağlantısı bulunmayan) ağlarda 0, her bir düğümün birbirine bağlı olduğu ağlarda ise 1'dir.

Ağın yapısı ile ilgili önemli bir ölçüm de kümelenme katsayısından ortaya çıkmaktadır. Bazı durumlarda kümelenme katsayısının tüm düğümler üzerinden dağılımına bakılması gerekebilir. Bu da kümelenme katsayısı dağılımıdır. Örneğin bir ağın sıkı kümelenmiş ve az kümelenmiş bölgeleri olabilir. İstatistiksel ölçüm olarak, her $i$ düğümü için lokal kümelenme katsayıları üzerinden olasılıklar şu şekilde hesaplanır:

$P_{C_i}=\frac{C_i}{\sum _{i=1}^N}{C}_i=\frac{1}{N}\frac{C_i}{<C>}$

Ortalama derece $<k>$, ortalama yol uzunluğu$<l>$ ve ortalama kümelenme katsayısı $<C>$ ağdaki düğümlerin ve bağlantıların sayısına $(N,E)$ bağlıdır. Bu nicelikler ağın topolojisi hakkında kapsamlı bilgiler verebilmektedir.