İkinci Dereceden Denklemler: Tarihte Nerelerde Görülürler? Çözüm Metotları Nelerdir?

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri $a$, $b$ ve $c$ sabit sayılar ve $a\ne 0$ iken şu şekilde tanımlayabiliriz:

$a{x}^2+bx+c=0$

Bu denklemlerin tarihi Antik Mezopotamya'ya kadar uzanmaktadır.^[1] Gelin hep birlikte önce bu denklemlerin tarihine bir göz atalım sonra da nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

Geometriden Cebire

Cebrin ne olduğunu tanımlamak pek kolay değildir, ama çoğu insan ikinci dereceden denklemlerin cebrin bir parçası olduğu konusunda hemfikirdir. Bu yüzden ikinci dereceden denklemlerin tarihi ile cebrin tarihi yakından bağlantılıdır.

Genel olarak cebir tarihini onu geometriden kurtarmaya çalışma süreci olarak tanımlamak pek yanlış olmaz. Cebir, ilk dönemlerinde neredeyse tamamen geometriye dayanıyordu, hatta bazen "geometrik cebir" olarak adlandırılırdı. Maalesef bu durum, cebri pozitif reel sayılar ile sınırlıyordu, bu sınırı aşmaksa çok uzun yıllar aldı. Ayrıca matematikçileri üçüncü dereceden denklemler ile kısıtlıyordu (Yüksek dereceden temel polinomlar ve monomlar hariç).^{[2], [3], [4]}

Cebrin kendisi son birkaç bin yılda oldukça değişmiş olsa da bazı şeyler hiç değişmedi. Sahip olduğumuz erken matematik metinlerinin çoğu öğrencilere yönelik pratik problemlerdi ve birçok modern matematik kitabında olduğu gibi, problemlerin içindeki sayılar çoğu problemin çözümünü daha kolay hale getirmek için seçilmişti. Bunun bir istisnası olarak karmaşık çözümlere sahip karmaşık problemlerin bulunduğu erken Çin metinleri de mevcuttu.^{[1], [4]}

M.Ö. 3000'den Modern Zamanlara

Bugün sahip olduğumuz en eski matematik metinleri M.Ö. 3000'li yıllara, Mezopotamya'daki ilk okuryazarlık dönemlerine kadar uzanmaktadır. Bu ilk metinlerin birinde bulunan örnek bir problemde öğrencilerden kenarları verilen iki dörtgenin alanlarını bulmaları isteniyor.^[1]

İkinci dereceden denklemlere yer veren ilk metinler ise M.Ö. 2300'lü yıllara ait eski Akad metinleridir. Bu problemleri çözmek için kullanılan yaygın yöntem, Friberg tarafından açıklandığı üzere hedefe ulaşılana kadar birim kesirlerin ardışık olarak eklenmesini içeren bir alan genişletme prosedürüydü. Örnek olarak bir metin, alanı yarıya bölen tabana paralel olan bir çizginin uzunluğunu bulmayı içeriyordu.^[1]

M.Ö. 2000 yıllarından kalma Babil tabletleri de zengin bir matematiksel eserlerdir ve denklem sistemlerini çözümlerinin yanı sıra, basit doğrusal denklemlerin çözümlerini de içerirler. Bu tabletler geometriye dayalı çeşitli sayısal algoritmalar içerir ve bunlardan bazıları tamsayıların kareköklerini ve çarpmaya göre terslerini bulmaya yöneliktir. Friberg'e göre Babilliler için bir sayının çarpmaya göre tersi oldukça önemliydi ve bunu bazı problemleri çözmek için kullanıyor, şablonlar oluşturuyorlardı. Örnek vermek gerekirse $ax=b$ türünden denklemleri $a$'nın çarpmaya göre tersi ile çarparak çözüyorlardı.^{[1], [4]}

Babil metinleri ikinci dereceden denklemlerle çözülen problemler de içerirdi. Sadece pozitif rasyonel sayılarla çalıştıkları için ikinci dereceden denklemleri 9 farklı türe ayırmışlardı. Bu türlerden birisi bilinen bir $k$ için $n+\frac{1}{n}=k$ şeklinde olan denklemlerdi. Günümüzde bu denklem, sol tarafı ortak paydaya alıp sonra içler dışlar çarpımı yapıp $n^2+1=kn$ denklemine ulaşarak rahatlıkla çözülebilir. Friberg'e göre ise Babiller bu tür denklemleri çözmek için karşılıklı tablolar ile birlikte şu özdeşliği kullanıyorlardı:

$[\frac{1}{2}(n+\frac{1}{n}){]}^2-1=[\frac{1}{2}(n-\frac{1}{n}){]}^2$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Bu özdeşlik $n+\frac{1}{n}$'i bulduktan sonra kolaylıkla $n-\frac{1}{n}$'i bulmanızı sağlıyordu ve bu ikisini toplayıp ikiye bölerek $n$'i bulabilirdiniz.^{[1], [3]}

Bu tabletlerde bulunan bir diğer ikinci dereceden denklem türü ise çevresinin yarısı ve alanı verilen bir dikdörtgenin kenarlarını bulmakla ilgiliydi. Günümüzde bu $a$ ve $b$ sabit sayılar iken $x+y=a$ ve $xy=b$ denklem sistemini çözmek demektir. Bu denklem sistemi için geometrik ve daha modern bir yorum yapabiliriz. Eğer y">$x>y$ olarak alırsak aşağıdaki denklem elde edilir:

$\frac{b}{2}=\frac{x+y}{2}=x-\frac{x-y}{2}=y+\frac{x-y}{2}$

Aşağıdaki de Babillerin kullandığı bu yöntemin geometrik yorumudur.

A Brief History of Quadratic Equations, David Taub (2022)

Bize verilen yarı çevreyi ikiye bölerek bir kare oluşturarak başlayalım. Bu bize yukarıdaki şekildeki kırmızı kareyi verir. Kırmızı karenin alanı $(\frac{b}{2}{)}^2$'dir. Bu alandan $xy$ alanını çıkartırsak elde edilen küçük mavi karenin alanının $(\frac{x-y}{2}{)}^2$ olduğunu buluruz. Bunun karekökünü $\frac{x-y}{2}$ olarak buluruz ve bunun $y$ ile toplamı bize $x$'i verir.

Babillerin geometrik çözümlerini sundukları bir diğer denklem şekli ise $a{x}^2\pm bx=c$ şeklinde olan denklemlerdir (Ancak $b$ her zaman pozitif kabul edilmiştir). Babil çözümleri geometriye dayanıyor olsa da genellikle bunlar için sayısal algoritmalar bulmaya çalışmışlardır.^{[3], [4]}

Antik Yunan'da Denklemler

M.Ö. 300 civarında Yunanlılar, cebirleri için daha da güçlü bir geometrik temele sahiplerdi. Sayılar çizgilerin uzunluğu veya kare gibi şekillerin alanları ile temsil ediliyordu. Özünde ikinci dereceden denklemler olan geometrik problemlere Öklid, tamamen geometrik çözümler sundu. Katz tarafından verilen bir örnek, Öklid'in Elementler kitabındaki "VI-29" adlı önermedir:^[4]

$bx-x^2=c⟹x=\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}$

M.S. 3. yüzyılda Diophantus, farklı türdeki lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümlerini tanımlamak için semboller kullanarak cebiri geometriden ayırma konusunda adımlar atmıştır. Buna bir örnek problem $18+3n-n^2$'nin tamkare bir sayı olduğu $n$ tam sayısını bulmak olabilir.^[4]

Uzak Doğu'da Denklemler

Cebirdeki bir diğer ilerleme M.Ö. 200 yıllarında başlayıp M.S. 2. yüzyıla kadar birkaç yüzyıl boyunca yazılan Matematik Sanatı Üzerine 9 Bölüm kitabı ile Çin'de belgelenmiştir. Bu kitap, geometriye dayanmayan lineer denklem sistemlerini çözmek için algoritmalar içerir.^[4]

Ancak Katz bu dönemde Çin'de ikinci dereceden denklemlere dair yalnızca çözüm ipuçları olduğunu belirtmektedir. Katz, Hintlerin 5. yüzyıla geldiğinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için kurallar oluşturmaya başladığına dair kanıtlardan bahsetmektedir. Bu dönemde ikinci dereceden denklemlerin kullanımına örnek olarak aritmetik ilerlemelerle ilgili problemleri çözmek verilebilir.^[4]

Hindistan'da 6. yüzyılda Brahmagupta şu 3 tür ikinci dereceden denklemde ilerleme kaydetmesine rağmen her biri için sadece tek çözüm sunabilmiştir: $a^2+bx=c$, $bx+c=a{x}^2$ ve $a{x}^2+c=bx$. Brahmagupta, negatif sayılara yönelik bazı tanımlamalar yapmış olsa da Hint matematikçilerinin negatif ve irrasyonel sayılarının varlığını ve ikinci dereceden denklemlerin 2 farklı kökü olduğunu fark etmeleri 7. yüzyıla kadar gerçekleşmemiştir^[3]

Ancak bu, Hintlerin ondalık sistemleri ve sıfır kullanımları ile birlikte cebrin ilerlemesine büyük katkı sağlamıştır. Cebrin geometriden ayrılması ve bazı araştırmacıların aritmetik cebir olarak adlandırdığı alanın geliştirilmesi yönünde ilk adımlar İslam dünyasında 9. yüzyılda Harezmi tarafından atılmıştır. El-Harezmi ikinci dereceden denklemlerin aritmetik çözümleriyle başlamış ve daha sonra çözümlerine sadece geometrik açıklamalar eklemiştir. Bu dönemde negatif sayılar hâlâ kabul görmemektedir. Bu yüzden Harezmi ikinci dereceden denklemleri 5'e ayırmıştır: $x^2=bx$, $x^2=c$, $x^2=bx+c$, $x^2+c=bx$ ve $x^2+bx=c$. Bunlardan son üçünü az sonra bahsedeceğimiz kareye tamamlama yöntemi ile çözmeyi başarmıştır.^{[2], [3]}

Agora Bilim Pazarı

İnsanlar

“Bu satırları okuyanlarınızın büyük çoğunluğunun, insanların bir mitten ibaret olduğuna inandığını biliyorum ama ben size onların gerçekten var olduklarını bildirmek üzere buradayım. Bilmeyenler için söyleyeyim, insan dediğimiz şey orta zekâlı ve iki ayaklı bir yaşam formu; evrenin çok ıssız bir köşesinde yer alan küçük ve sulu bir gezegende, büyük ölçüde yanılsamalarla dolu bir varoluş sürdürüyor.”

Yağmurlu bir akşamda Profesör Andrew Martin, önce dünyanın en büyük matematik bilmecesini çözmeyi başarıyor, ardından sırra kadem basıyor. Nihayet bir yol kenarında çırılçıplak halde bulunduğunda, kıyafetsizlikten daha ciddi bir meselesi olduğu ortaya çıkıyor: Andrew Martin artık insanlardan tiksiniyor; görünüşlerinden de yiyip içtiklerinden de bitmeyen şiddet ve savaş arzularından da… Yabancı bir tür arasında kaybolmuş hissediyor kendini. Sevgi ve aile kavramları onda şaşırtıcı bir ilgi uyandırsa da tüm sakinlerinden nefret ediyor bu gezegenin. Newton hariç… Ama o da bir köpek işte…

Sahi, kim bu adam? Onun –ya da herhangi birinin– insanlık hakkındaki tüm fikrini değiştiren şey ne olabilir?

Son yılların en önemli romancılarından Matt Haig, onca karmaşıklığına rağmen hayatın içindeki mutluluğa ve insan doğasına dair alışılmadık bir hikâye sunuyor. İnsanlar, neşeli ve etkileyici bir üslupla “bizi” bize anlatıyor.

Devamını Göster

₺233.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Harezmi'nin metinleri, daha önceki geleneklerden farklı olarak çoğunlukla teorik sayı problemleri ve çok az pratik örnek içermektedir.^[4]

Sonraki birkaç yüzyıl boyunca, İslam dünyasında cebir alanında daha fazla ilerleme kaydedilmiştir. Buna Katz'a göre kareköklerin sayılar olarak daha çok kabul görmesi, polinomlarda negatif katsayıların kullanılması ve üslü ifade kavramının gelişmesi de dahildir. Bu dönemde Çin'de de ilerlemeler kaydedilmiştir. 11. ve 12. yüzyıllarda Çin, Hindistan ve İslam dünyası arasında matematiksel fikirlerin akışına ilişkin metinsel kanıtlar mevcuttur.^{[4], [5]}

Katz, 14. yüzyılda Hindu-Arap sayılarının ve ucuz kâğıdın Avrupa'ya girmesi ile birlikte, öğrenciler tarafından kalem ve kâğıt ile çözülebilecek cebir problemlerini içeren ders kitaplarının daha yaygın hale geldiği ileri sürülmektedir. Sonraki birkaç yüzyılda Avrupa'da cebirsel simgelerin kullanımında gelişmeler görülmüştür; bu cebiri geometriden daha da uzaklaştırdığı gibi, negatif sayıların daha fazla kabul görmesi ile birlikte karmaşık kökler fikrinin de temelini atmıştır.^[4]

16. yüzyıl Avrupa'sında Cardano, denklemlerin çözümleri olarak negatif sayıları ve hatta bir noktaya kadar bunların kareköklerini düşünmeye başlamış, ancak bunları bir çözüm kabul etmekte zorlanmış ve "yanlış çözümler" olarak adlandırmıştır. Negatif ve karmaşık sayıların tamamen kabulü hâlâ uzak bir noktadadır.^[6]

Cebrin temel teoremi ve polinomlar için modern faktör teoreminin ilk versiyonu 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır.^[4] Basit bir ifadeyle cebrin temel teoremi şu şekildedir: $n$ dereceli bir polinomun en fazla $n$ tane farklı çözümü vardır. Ayrıca basit bir ifade ile faktör teoremi de eğer $r$, $P(x)$ polinomunun bir kökü ise o zaman $(x-r)$, $P(x)$ polinomunun bir faktörüdür anlamına gelir.

Bu noktada belirtmekte fayda var ki, 17. yüzyılda Descartes ve Fermat koordinat sistemlerini geliştirerek cebir ve geometri arasında güçlü bir bağ kurmuştur. Ancak bunlar bir geri adım gibi görülmemelidir, çünkü cebrin geometriye olan bağını arttırmamış, aksine çözümlerin birinden diğerine uygulanmasına olanak sağlamışlardır. Örneğin Descartes geometri problemlerini çözmek için cebir kullanmanın nasıl mümkün olduğunu göstermiştir.^[4]

Polinomların köklerini hesaplamaya yönelik sayısal işlemler 18. yüzyılda geliştirilmiş ve Katz'a göre karmaşık sayılarla ilgili ilk kurallar ortaya çıkmıştır.^[4]

19. yüzyıla doğru cebir, sadece problem çözmekle ilgili olmaktan çıkmış ve gruplar, halkalar ve alanlar hakkında teoriler de dahil olmak üzere iyi tanımlanmış aksiyomlara dayanan yapıların incelenmesine doğru değişmeye başlamıştır. Katz, Hamilton'un negatif ve karmaşık sayıları içeren bir cebir tanımını burada oluşturabildiğini yazmaktadır. Bu bizi cebir için mevcut sembolik temsilimiz ve negatif sayıların, irrasyonel sayıların ve karmaşık sayıların tam kabulü ve kuralları, ayrıca cebirsel yapıların devam eden çalışmaları ile birlikte modern zamana getirmiştir.^[4]

Günümüzde geometriye bağımlılığın olmaması, cebrin geliştirilmesinde ve anlaşılmasında büyük ilerleme kaydedilmesine izin vermesine rağmen, özellikle öğrencilerin zihinlerindeki cebrin geometriden çok uzaklaşmış olabileceğine dair bazı kanıtlar vardır. Örneğin Lemañska, üniversite öğrencilerine geometri ile çözülmesi oldukça kolay ama cebir ile çok daha zor olan problemler sunmuştur. Öğrencilerinin çok azının aklına soruyu geometri kullanarak çözmek gelmiştir. Bulgular sonucunda yazarlar okullarda cebir ve geometri arasındaki güçlü bağlantının öğretilmesini önermektedir.^[7]

Çözüm Yöntemleri

Bu başlık altında "Tam kareye tamamlama" ve "Kuadratik formül" adlı yöntemleri anlatacağız. Tabii ki bundan çok daha fazla yöntem vardır, fakat bu 2 yöntem ile neredeyse her ikinci dereceden denklemi çözmeniz mümkündür.

Tam Kareye Tamamlama

İlk metodumuz genelde tam kareye tamamlamak olarak bilinen yöntemdir, bir örnek üstünden anlatalım:

$x^2-x-1=0$

İlk olarak her iki tarafa $1$ ekleyeceğiz:

$x^2-x=1$

Şimdi denklemin sol tarafını kareye tamamlayalım. Bunu yapmak için denkleme $\frac{1}{4}$ ekleyeceğiz:

$x^2-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

Şu anda denklemin sol tarafı $(x-\frac{1}{2})$``'nin karesidir:

$(x-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{5}{4}$

İki tarafı da karekök içine alalım:

$x-\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\frac{5}{4}}$

Burada $\pm$ kısmı kafa karışıklığına sebep olabilir, bunu şöyle düşünebilirsiniz: sağ taraf negatif de olsa pozitif de olsa karesini aldığımızda sonuç pozitif olacağından (karmaşık sayılarsa da negatif olabilir ama gene işaret önemli olmayacak), iki farklı durum da çözüme dahil olacaktır. Son olarak ise denkleme $\frac{1}{2}$ ekleyelim:

$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Bu sayı tanıdık gelmiş olabilir, bu sayı altın oran olarak bilinir. Denklem üzerinde uğraşıp aşağıdaki şekli verdiğimizde şuna ulaşırız:

$n^2{x}^2+2nmx+m^2$

Bu denklemi ise $(nx+m{)}^2$ olarak yazabiliriz. Amacımız da bu zaten! Burada $x^2$ ile oynamadığımız için $n^2=a$ demekte sakınca yoktur. Amacımız denklemin $c$ kısmını değiştirerek $2nm=b$ eşitliğine ulaşmak olmalıdır. Az önceki örneğimizden bakarsak $a=1$ olduğuna göre: $b=-1$, $2nm=-1$ ve $n=1$ ve buradan da $m=-\frac{1}{2}$ olarak elde edilir.

Kuadratik Formül

Bir diğer metodumuz ise "kuadratik formül" olarak bilinen formüldür:

$a{x}^2+bx+c=0⟹x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

İspat için öncelikle sol tarafı $a$ parantezine alalım:

$a(x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a})=0$

İki tarafı da $a$'ya bölersek şu denklemi elde ederiz:

$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$

Şimdi iki taraftan da $\frac{c}{a}$ çıkaralım:

$x^2+\frac{bx}{a}=\frac{-c}{a}$

İki tarafa da $\frac{b^2}{4a^2}$ ekleyelim:

$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

Böylece $x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ kısmı $(\frac{x+b}{2a}{)}^2$ şeklini alır, aynı şekilde $-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ kısmı $\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ şeklini alır:

$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

İki tarafı da karekök içine alalım:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Az önce açıkladığımız nedenden ötürü $\pm$ koyulduğuna dikkat edelim. Böylece sağ tarafın paydası karekök dışında çıkabilir:

$x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Şimdi iki taraftan da $\frac{b}{2a}$ çıkartalım:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bu formül ile katsayıları bilinen herhangi bir 2. Dereceden denklemi çözebilirsiniz.

Üstteki ispatta bir sorun yok, ama ikinci bir ispattan zarar gelmez.

$a{x}^2+bx+c=0$

Bu sefer denklemi $4a$ ile çarpacağız:

$4a^2{x}^2+4abx+4ac=0$

İki taraftan da $4ac$ çıkartalım:

$4a^2{x}^2+4abx=-4ac$

Her iki tarafa $b^2$ ekleyelim:

$4a^2{x}^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

Bu halde sol taraf $(2ax+b{)}^2$ ye eşittir:

$(2ax+b{)}^2=b^2-4ac$

Her iki tarafı karekök içine alalım:

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

İki taraftan da $b$ çıkartalım:

$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$

İki tarafı da $2a$'ya bölelim:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Burada denklemde kritik bir nokta olduğu görülür. Akla ilk gelen sorun, paydanın $0$ olması olabilir ama $a\ne 0$ ön kabulünden dolayı bunu yok sayabiliriz. Matematikte karekökün içi olan $b^2-4ac$ kısmına diskriminant denir ve $\Delta$ ile gösterilir. Eğer 0">$\Delta >0$ ise denklemin 2 tane reel kökü vardır. Eğer $\Delta =0$ ise bu denklemin 1 reel kökü vardır. Eğer $\Delta <0$ ise denklemin reel çözümü yoktur ama iki adet karmaşık çözümü vardır.^[8]

Son olarak kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini ispatları ile gösterip yazımızın sonuna gelelim. Denklemin iki kökünü şu şekilde ifade edelim:

$x_1=\frac{-b-\surd \Delta }{2a}$

$x_2=\frac{-b+\surd \Delta }{2a}$

Şimdi bunları toplayalım:

$x_1+x_2=\frac{-b-\surd \Delta -b+\surd \Delta }{2a}=-\frac{b}{a}$

Böylece kökler toplamının $-\frac{b}{a}$ olduğunu gösterdik. Sırada kökler çarpımı var. Yukarıda tanımladığımız köklerin çarpımı şu şekilde yazılır:

$x_1\cdot x_2=(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=\frac{c}{a}$

Buradan da kökler çarpımının $\frac{c}{a}$ olduğu sonucuna varırız.

Sonuç

İkinci dereceden denklemlerin, insanların çözmeye ilgi gösterdiği ilk denklemlerden bazıları olduğunu gördük. İkinci dereceden denklemlerin çözümlerindeki gelişmeler cebrin geometriden kurtarılması, negatif sayıların, irrasyonel sayıların ve karmaşık sayıların hem katsayı hem de çözüm olarak kabul görmesi gibi matematiksel düşüncedeki gelişmelerin yanı sıra matematiksel gösterimdeki önemli ilerlemeleri de takip etmiştir. İkinci dereceden denklemlerin oldukça basitçe ve iyice anlaşıldığı günümüzde bile, cebir ve geometriyi yeniden birleştirmenin bazı yerlerde yararlı olabileceği görülmüştür.^[9]