Lineer Vektör Uzayı Nedir? Özellikleri Nelerdir?

Vektörler yönü ve büyüklüğü olan, yazarken üzerine bir ok işareti çizdiğimiz niceliklerdir. Örneğin hız, momentum ya da ivme vektörel niceliklerdir. Bunlarla ilgili bazı tuhaf gelen kurallar, vektör cebiri altında işlenir.

Örneğin $A$ ve $B$ birer vektörse $A+B=B+A$ denebilir. Bu zaten sezgilerimizin bize söylediği bir şeydir, çünkü şu zamana kadar karşımıza çıkan matematikte yaptığımız işlemler $3+5=5+3$ gibi sezgisel işlemlerdi.

Keza $q$ gibi bir skalerle çarpma işleminde $q(A+B)=qA+qB$ oluyordu. Bunların hepsi sezgilerimizle uyumludur, birazdan paylaşacağımız detayların da sezgilerimizle uyumlu olduğunu göreceksiniz. Fakat "bunları zaten biliyoruz", "ne var ki bunda", "neden bunları anlatıyorsunuz" diye düşünmemenizi ve nelerin bu kurallara uyduğunu anlamaya çalışmanızı istiyoruz. Nedenini ilerleyip, bazı şeylerin bu şekilde tanımlanmadığını görünce daha iyi anlayacaksınız.

Vektör uzayının tanımlarını incelerken, oklarla gösterdiğimiz bildiğimiz vektörlerle olan ilişkilerine dikkat edin. Bazen öyle vektör uzayı örnekleri göreceksiniz ki, içeriğinin bir büyüklüğe ya da yöne sahip olup olmadığını sezgisel olarak ayırt edemeyeceksiniz. Şu zamana kadar reel sayıların veya kompleks sayıların adını anmadığımıza da dikkat edin.

İlk olarak kuantum mekaniğinde kullandığımız dili tanıyalım. Dirac notasyonu ya da bra-ket notasyonu olarak adlandırdığımız bu gösterimde $|V⟩$ ya da $⟨V|$ şeklinde ifadeler göreceksiniz. Bunların ilki bra vektörü, ikincisi ise ket vektörü olarak adlandırılır. Bunların ne anlama geldiğini göreceğiz, fakat şu an için bilmemiz gereken aşağıdaki kurallara uydukları ve işimizi oldukça kolaylaştırdıkları.

Lineer Vektör Uzayları

$a,b,...$ birer skaler olmak üzere $|1⟩,|2⟩,...,|V⟩,|W⟩,|Z⟩...$vektörlerinden oluşan bir vektör uzayı için şunlar yazılabilir:

• Herhangi $V$ ve $W$ vektörleri için vektör toplamı:$|V⟩+|W⟩$
• Herhangi $a$ skaleri ile $V$ vektörünün çarpımı: $a|V⟩$

Bunlar ayrıca aşağıdaki özellikleri sağlarlar:

1. |$V⟩+|W⟩$ toplamının ürünü, bu uzayın bir başka ürünüdür (kapalılık özelliği).
2. Skaler çarpım, vektörler üzerinde dağılabilirdir: $a(|V⟩+|W⟩)=a|V⟩+a|W⟩$
3. Skaler çarpım, skalerler üzerinde dağılabilirdir: $(a+b)|V⟩=a|V⟩+b|V⟩$
4. Skaler çarpım, birleşebilirdir (asosiyedir): $a(b|V⟩)=ab|V⟩$
5. Toplama, yer değiştirebilir (komütatiftir): $|V⟩+|W⟩=|W⟩+|V⟩$
6. Toplama, birleşebilirdir (asosiyedir): $|V⟩+(|W⟩+|Z⟩)=(|V⟩+|W⟩)+|Z⟩$
7. $|V⟩+|0⟩=|V⟩$eşitliğini sağlayan bir $|0⟩$ vektörü vardır.
8. Her $|V⟩$ vektörü için $|V⟩+|-V⟩=|0⟩$ eşitliğini sağlayan toplama işlemine göre tersi $|-V⟩$ bulunur.

Bu noktaya kadar değindiğimiz her şey sezgilerimizin şu zamana kadar bize söyledikleriyle uyumludur, yani pek de yeni bir şey yok gibi görünüyor. Fakat bunların ne anlama geldiklerini yorumlamaya çalışmamız önemli. Bu kurallara uyan bir sistem nasıl bir sistemdir, fiziksel olarak ne anlam ifade eder?

Örneğin ikinci madde ($a(|V⟩+|W⟩)=a|V⟩+a|W⟩$) bize ne söylemektedir? Bunun bize söylediği, iki vektörü toplayıp bir skalerle ($a$) çarpmanın onları ayrı ayrı bu skalerle çarpıp toplamakla aynı sonucu verdiğidir. Aşağıdaki figürde bunu daha net bir şekilde görebiliriz.

Bir diğer örnek olarak altıncı maddeyi ($|V⟩+(|W⟩+|Z⟩)=(|V⟩+|W⟩)+|Z⟩$) inceleyelim. En kaba tabiriyle bu madde şunu söyler, üç vektörü toplarken önce hangi iki vektörü topladığınızdan bağımsız olarak, sonuçta aynı vektöre ulaşırsınız. Bunun beşinci maddeyle olan uyumuna dikkat edecek olursak, sadece $|V⟩+(|W⟩+|Z⟩)=(|V⟩+|W⟩)+|Z⟩$ olduğunu değil aynı zamanda $|V⟩+(|Z⟩+|W⟩)=(|V⟩+|Z⟩)+|W⟩$ olacağını da görürüz. Yani toplamanın sırası sonucu değiştirmez, işlem sırasında farklı vektörler oluşsa da sonuç aynıdır. Aşağıdaki figürde bu iki farklı senaryoyu görebiliyoruz, sonuçta oluşan yeşil renkli vektörlerin aynı olduğuna dikkat edin.

Peki burada bahsettiğimiz, vektörler üzerinde onların büyüklüklerini değiştiren (eğer negatifse yönlerini tersine de çeviren) skalerler, bir vektör uzayında ne ifade eder? Biz buna vektör uzayı üzerinde alan (İng: "field") diyoruz. Buradaki alan kavramının tanımını anlamak için matematikte neyi ifade ettiğine bakmanızı öneririz, bunun detaylarına burada detaylarına girmeyeceğiz. Fakat şunları bilmemiz gerek:

1. $0|V⟩=|0⟩0\mid V⟩=\mid 0⟩0\mid V⟩=\mid 0⟩$
2. $|-V⟩=-|V⟩\mid -V⟩=-\mid V⟩\mid -V⟩=-\mid V⟩$
3. $|-V⟩,|V⟩$'nin toplamaya göre tek (İng: "unique") tersidir.
4. $|0⟩$ tektir ve eğer bunun tüm özelliklerini sağlayan bir başka $|0^{\prime }⟩$ varsa $|0⟩=|0^{\prime }⟩$ olur.

Bunlar ilk gördüğünüzde çok manalı gelmeyebilir, fakat bunların neden böyle olduğunu anlamamız gerek. Bunun için de böyle olması gerektiğini, önceki aksiyomlara dayanarak ispatlamaya çalışalım. Örneğin dördüncü madde $|0⟩$'ın tek olduğunu söylüyor, peki gerçekten öyle midir? Hatırlayacak olursak, şu ifade verilmişti:

$|V⟩+|0⟩=|V⟩$

Bu durumda $|0^{\prime }⟩$ gibi bir başka vektörün bu şartı sağlaması durumunda $|0⟩$'a eşit olacağını gösterebilmeliyiz:

$|V⟩+|0^{\prime }⟩=|V⟩$

İfadesi sağlanmalı dersek aklımıza şu gelebilir: $|V⟩$ sonuçta herhangi bir vektör olduğundan pekala $|0^{\prime }⟩$ veya $|0⟩$ da olabilir. O halde sırasıyla $|V⟩=|0^{\prime }⟩$ ve $|V⟩=|0⟩$ yapıp önceki denklemlerde yerine koyarsak aşağıdaki ifadeleri elde ederiz.

$$\begin{gathered} |0^{\prime }⟩+|0⟩=|0^{\prime }⟩ \\ |0⟩+|0^{\prime }⟩=|0⟩ \end{gathered}$$

Hatırlayacak olursak toplamda komütatiflik özelliğimiz vardı, yani bunların yerleri değişebilir. İkinci denklemde sol tarafta yerleri değiştirirsek görürüz ki,

$$\begin{gathered} |0^{\prime }⟩+|0⟩=|0^{\prime }⟩ \\ |0⟩+|0^{\prime }⟩=|0⟩ \end{gathered}$$

haline gelirler. O halde $|0^{\prime }⟩=|0⟩$ olmalıdır.

Eğer skalerler reel sayılardan oluşuyorsa uzayımız reel vektör uzayı, eğer kompleks sayılardan oluşuyorsa kompleks vektör uzayı olarak anılır. Dikkat ederseniz henüz bu skalerleri herhangi biriyle sınırlandırmadık.

Buraya kadar bu bra ve ket vektörlerinden bahsederken, bunları üzerine ok işareti çizdiğimiz, büyüklüğü ve yönü olan vektörlerle ilişkilendirdik. Fakat bir vektör uzayının elemanlarının bu büyüklük ve yöne sahip olması gerekmeyebileceğini bilmeli ve aklımızın bir ucunda tutmalıyız.

Bu söylediğimiz havada kalabilir. Fakat lineer cebirden eğer matrisleri hatırlayacak olursak, bunların da bahsettiğimiz kurallara uyduğunu ama yön ve büyüklük hakkında hiçbir şey söylemediğini görebiliriz. Örneğin $2\times 2$'lik tüm matrisleri barındıran bir küme düşünecek olursak bunların yukarıda tanımladığımız özelliklere uyduğunu görüyoruz. Yani elimizde bir vektör uzayı var, fakat içerdiği elemanlar vektörler gibi yön ve büyüklük bilgisini içermek zorunda değil.