Geometride Diklik Merkezi Nedir, Nasıl Bulunur? Matematikte Nerelerde Kullanılır?

Matematikte yükseklik, bir üçgenin köşelerinin birinden o köşenin açısının gördüğü kenara doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa veya başka bir deyişle köşenin açısının gördüğü kenara doğru inen en kısa uzunluğa denir.

GeoGebra

Burada $B$ köşesinin yüksekliği $|BD|$ uzunluğudur. Tabii ki yükseklikler her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Üçgen geniş açılı ise yükseklik üçgenin dışında olabilir ve şu şekilde görünür:

GeoGebra

Bu durumda, "bir üçgenin köşelerinden birinden o köşenin açısının gördüğü kenara doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa" değil "bir üçgenin köşelerinden birinden o köşenin açısının gördüğü kenarın uzantısına doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa" yükseklik deriz. İşte diklik merkezi, üçgenin bütün yüksekliklerinin kesiştiği noktadır ve genelde $H$ ile gösterilir. Bu nokta üçgenin içinde, dışında ya da $90°$''lik kenarda bulunabilir. Bunu belirleyen üçgenin türüdür: Eğer üçgen dar açılı ise içinde, geniş açılı ise dışında, dik üçgen ise $90°$'lik kenarda olur.

GeoGebra

GeoGebra

GeoGebra

Teoremler ve Özellikler

Öncelikle şu soruyu soralım: Bir üçgende yükseklikler her zaman kesişir mi? Yani yükseklikleri kesişmeyen bir üçgen olabilir mi? Cevap kesin olarak hayır! İstisnasız her üçgende, yükseklikler kesişmek zorundadır. Bunun ispatını anlatalım: Bir $ABC$ üçgenini ele alalım ve her kenarının orta noktalarını bulalım. Bu noktaları birleştirerek yeni bir üçgen (yani ters-orta üçgeni) çizelim.

Bu yeni üçgen, yani $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir. Ayrıca $|BC|$ ile $|C^{\prime }{B}^{\prime }|$, $|AB|$ ile $|B^{\prime }{A}^{\prime }|$ ve $|AC|$ ile $|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ birbirlerine paraleldir. Şimdi de üçgenin kenar orta dikmelerini çizelim. Bunların her zaman kesişeceğine dikkat edelim.

Bu çizdiklerimiz, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeninin yükseklikleridir! O halde bu yükseklikler de kesişir. Ayrıca, buradan eğer 2 tane yükseklik bir yerde kesişiyor ise 3. yüksekliğin de oradan geçeceğini anlayabiliriz. Şimdi biraz açılar arasındaki bağıntılara bakalım. İlk olarak diklik merkezinin etrafındaki açıları inceleyelim.

Burada $AFHE$ bir dörtgendir ve iç açıları toplamı $360°$ olur. Bu halde $\beta +\alpha =180°$ denebilir. Yani bu açılar bütünler açılardır. O zaman $BHC$ açısı da $\beta$'ya eşit olduğundan dolayı şunlar yazılabilir:

Şimdi diğer bir kenarlar ile ilgili bir teoreme geçelim.,Bu teoreme göre aşağıdaki özellikler her zaman sağlanır:

Bunun çok kolay bir ispatı için birazcık trigonometri kullanabiliriz. Kenarların her birine ayrı ayrı bakalım. Önce $A$ ile başlayalım: $AEB$ üçgeni ile $AFC$ üçgeni benzerdir, çünkü $FAE$ açısına $\beta$ derseniz $ABE$ ve $ACF$ açıları eşit olur. $\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AC|}$ olduğundan $|AF|\cdot |AB|=|AE|\cdot |AC|$ eşitliğine ulaşılır.

Aslında bu teoremi kullanarak Pisagor Teoremini kanıtlayabilirsiniz! Hemen bir dik üçgen çizelim:

Şimdi bu üçgenin yüksekliklerini çizelim.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Böylece $B$ noktası diklik merkezi olur. Şimdi her kenara birer kare çizelim:

Şimdi az önceki teoremi hatırlıyalım: $A$ köşeşinde $|AB|$ kenarına az önceki teoremi uygularsak $|AB{|}^2$ sonucunu alırız. Sonra da teorem gereği bunun $|AD|\cdot |AC|$ çarpımı ile eşit olduğunu söylebiliriz. Aynısını $C$ köşesi için $|CB{|}^2=|CD|\cdot |CA|$ olarak gösterebiliriz. İşte bunların toplamı, yani $|AB{|}^2+|CB{|}^2=|CD|\cdot |CA|+|AD|\cdot |AC|=|AC{|}^2$ ve $|AC|$ hipotenüs olduğu için $|AB{|}^2+|CB{|}^2=|AC{|}^2$ olarak bulunur. Bu da hepimizin bildiği Pisagor Teoremi'dir!

Şimdi bir başka teoreme bakalım. Bu teoreme göre şu özellik her zaman sağlanır:

İspat için benzerlik kurallarını kullanabiliriz. $BHF$ üçgeni ile $CHE$ üçgeni benzer üçgenlerdir. O halde $|FH|$'ye $n$ dersek $|HE|=n\cdot k$ olacaktır. Aynı şekilde $|BH|$'ye $m$ dersek $|HC|=m\cdot k$ olur, bunların karşılıklı çarpımları yani $|FH|\cdot |HC|=|EH|\cdot |HB|=m\cdot n\cdot k$ olur. Bunu diğer yükseklikler için yaparsanız az önceki eşitliği elde edersiniz.

Bir diğer özellik ise ortik üçgen dediğimiz özel üçgenle ilgilidir. Ortik üçgen, tanım olarak bir üçgenin dikme ayaklarını köşe kabul eden üçgendir. Yani aşağıdaki görselde bulunan $FDE$ üçgeni bir ortik üçgendir.

Ortik üçgenin özelliklerine bakarsak, ilk olarak $|DH|$, $|HE|$ ve $|HF|$ açıortaydır. Yani $m(FDH)=m(EDH),m(DFH)=m(EFH)$ ve $m(FEH)=m(DEH)$ olarak yazılabilir. Bunun ispatı için yine benzer kurallarını kullanabiliriz. $m(ABE)=\alpha$ diyelim. $FHB$ ve $EHC$ üçgenleri benzerdir. Şimdi biraz da çember kullanalım.

Şimdi görseli biraz daha temize çekip kirişler dörtgenini gösterelim.

$G$ noktası $|AB|$'nin orta noktasıdır. Bunun nedeni $m(BDE)$ ve $m(BEA)$'nın $90°$ olmasıdır, yani bunlar çapı gören çevre açılardır. Buradan $m(ABE)$ ile $m(ADE)$'nin eşit olduğunu görebiliriz. O zaman üçgeni şu şekilde çizelim:

Şimdi ikinci kez benzerlik kuralı uygulayalım. $ABE$ üçgeni ile $ACF$ üçgeni benzerdir. $m(BAC)$ iki üçgende ortak olduğu için $m(FCA)=\delta$'dir. az önce yaptığımız işlemleri tekrardan buna da uygularsak $m(ADE)=\delta$ gelir ve bu $|HD|$'nin açı ortay olduğu anlamına gelir. Bunu diğer noktalar için de uygularsanız $H$ noktasının $DEF$ üçgeninin ağırlık merkezi, yani açıortayların kesişim noktası olduğunun görürsünüz.

Şimdi bir diğer teoreme geçelim. Fagnano Teoremi diye bilinen bu teoreme göre ortik üçgen, bir üçgenin içinde çizilebilecek en küçük çevreye sahip üçgendir. İspatı ise biraz karmaşıktır. Öncelikle bir $ABC$ üçgeni alalım:

Şimdi her kenardan rastgele birer nokta alalım. Bunları birleştirerek bir $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeni oluşturalım:

Şimdi $|AB|$ kenarına göre simetrik olacak şekilde $C^{\prime }$ noktasından $|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ uzunluğunda bir doğru çizelim. Sonra aynısını $|AC|$kenarında $|B^{\prime }{A}^{\prime }|$ için yapalım. Aşağıdaki gibi bir şekil elde ederiz:

Burada $|D{C}^{\prime }|=|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ ve $|E{B}^{\prime }|=|B^{\prime }{A}^{\prime }|$'dir. Aynı zamanda doğru parçaları simetrik olduğu için $m(D{C}^{\prime }B)=m(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ ve $m(A^{\prime }{B}^{\prime }C)=m(E{B}^{\prime }C)$'dir. Şimdi $|DE|$'yi doğru parçası olacak şekilde çizelim:

Agora Bilim Pazarı

Hayvanlar Üzerine (3 Kitap)

Hayvan Olmak: Bir İnsanın Hayvana Dönüşmesinin İzini Sürmek

Charles Foster

Bu değerli gezegeni herkes ve her şey gibi paylaşan insanlara, canlı olmaya dair samimi ve radikal bir bakış açısı sunan Hayvan Olmak, hayvan olmayı deneyimleyebilmek gerçekten mümkün müdür, sorusunu hep yakınında tutarak diğer canlı türleriyle aramızda zaman içinde oluşmuş sınırları belirsizleştirmeye dönük bir çabanın ürünüdür.

Bir imkansızın peşinden giderek hayvan olmanın doğasını keşfe çıkan tutkulu doğabilimci Charles Foster, porsuk, susamuru, alageyik, tilki ve ebabil “olmayı” tecrübe etmeye kalkışarak, yitirdiğimiz vahşiliğimizin, inkar ettiğimiz vahşiliğimizin ve vahşileşebilmemizin nükteli hikâyesiyle zamanda unuttuğumuz tabiatımızı yeniden hatırlamamızı sağlıyor.

“Doğa yazını genellikle etrafı sömürgeci adımlarla arşınlayan ve iki metrelik mesafeden yeryüzünde gördüklerini anlatan insan hikayelerinden ya da hayvanların giyindiğini savunan insanlardan ibarettir. Bu kitap dünyayı, çıplak Welsh porsukları, Londra tilkileri, Exmoor susamurları, Oxford ebabilleri, İskoç ve West Country alageyikleriyle aynı düzlemde görerek anlatmak üzerine bir çabadır. Aynı zamanda koklama ve işitmenin görme duyusundan daha işlevsel olduğu bir yaşam alanında hareket etmenin nasıl bir his olduğunu öğrenmenin de hikayesi… Bir nevi edebi Şamanizm, ve itiraf etmeliyim ki, çok ama çok eğlenceliydi.”

Hayvanların Gizli Yaşamı

Peter Wohlleben

“Geyikler, yabandomuzları ya da kargaların, kendi içinde mükemmel olan hayatlarını yaşarken eğlenebildiklerini de kavrayan biri, kadim ormanlardaki yapraklar arasında neşeyle dolaşan o minik hortumluböceklerine de saygı duyabilir belki.”

Kimisi evimizin sakini, kimisi sokakların, kimisiyle penceremizde karşılaşıyoruz kimisiyle yabanda, ama kesin olan şu ki ne zaman seslerine kulak versek günümüz güzelleşiyor. Ne kadar farkında olduğumuz bir yana onları duyuyor, onları görüyor, onları etkiliyor ve onlardan etkileniyoruz. Bu kitap farklılıklarıyla bizi büyüleyen hayvanlarla duygu, düşünce ve değerler dünyamızdaki ortaklıkları gösteriyor. Bu sayede bizi hayvanlar âleminin diğer üyeleriyle ilgili varsayımlarımızı sorgulamaya ve bizimki kadar kırılgan yaşamlarına iştirak ederken bu bilgiyle hareket etmeye davet ediyor.

Doğa üzerine yazdığı kitapları onlarca dile çevrilip milyonlarca okura ulaşan Peter Wohlleben bu kitabında birbirlerine adlarıyla seslenen kuzgunlardan kendi yaptıklarına kafa yorup pişman olan sıçanlara, tavukları kandıran horozlardan sadık domuzlara, utangaç atlardan yas tutan geyiklere ve yavrularını eğiten keçilere kadar yeryüzünü paylaştığımız türlü çeşit hayvanın hikâyesine yer veriyor.

“Etkileyici ve okunaklı diliyle Peter Wohlleben’ın bu kitabı da başka bir cevher. Yazarın bilimsel keşiflerle kendi deneyimlerini harmanlamaktaki ustalığı sayesinde her bir sayfasını zevkle okudum. Siz de okuyun ve bir daha asla yeryüzünü diğer canlıların renkli ve zengin yaşamlarıyla paylaştığımız konusunda şüpheye düşmeyin.”

―Jonathan Balcombe

Hayvanların Tarihi – Felsefi Bir Deneme

Oxana Timofeeva

Sunuş: Slavoj Žižek

“Hayvanlar gitgide, teker teker sahneyi terk edip insanlığı kendi temsilleriyle, evcil hayvanları ve oyuncaklarıyla baş başa bırakıyor.”

Çalışmalarını çağdaş felsefenin sorunları merkezinde sürdüren akademisyen Oxana Timofeeva, Aristoteles’ten ödünç aldığı adla Hayvanların Tarihi’ni felsefi bir hat üzerinde kuruyor, tabiri caizse, “felsefe tarihini hayvanların tarihi olarak okumayı” öneriyor.

Hayvanlar bugün daha ziyade evcilleştirme, kapatma ya da imgeleştirme yoluyla gündelik hayatımıza, dilimize, düşünce dünyamıza dahil olurken bu çalışma “hayvan meselesi”ni Aristoteles’ten Hegel’e, Adorno’dan Deleuze’e uzanan geniş bir felsefe geleneğine ve Bataille, Kafka, Platonov gibi yazarların metinlerine atıfta bulunarak ele alıyor, hayvanla insan arasında aşina olduğumuz tüm ayrımlardan, insanlığa ve hayvanlığa dair tüm keskin tanımlardan azade yeni bir düşünme ve tartışma imkânı sunuyor.

“Eğer felsefe bilgelik sevgisiyse, Oxana Timofeeva’nın Hayvanların Tarihi, hayvan sevgisinden mürekkep bir felsefe çalışmasıdır. Felsefeyi hayvanlara karşı yanlış tutumundan ötürü kolayca mahkûm etmek yerine, hayvanlara haysiyetlerini iade etmek üzere Aristoteles’ten Deleuze’e filozofların nasıl daha farklı yorumlanabileceğini yeni baştan anlama çabasına giriyor. Hayvanların Tarihi, bize, biz insanlara, yeni bir dünya kazanmak için tüm ‘devrimci hayvanlar’la birlik olmayı öğretiyor. “

— Benjamin Noys

Devamını Göster

₺769.00

Satın Al Tüm Ürünler

Yeni oluşan $F$ ve $G$ köşelerinden bir $FG{A}^{\prime }$ üçgeni çizerseniz bu $A^{\prime }$ noktası için oluşabilecek en küçük çevreye sahip üçgendir. Çünkü iki nokta arasındaki olabilecek en kısa mesafe, o iki noktadan geçen doğrunun uzunluğudur. Fakat $D$ ve $E$ noktaları arasındaki $|D{C}^{\prime }|+|C^{\prime }{B}^{\prime }|+|B^{\prime }E|$ uzunluğu mümkün olan en kısa uzunluk değildir. Ama eğer $FG{A}^{\prime }$ üçgenini kullansaydık, bu sefer aynı işlemleri yaptığımız zaman mümkün olan en kısa uzunluk bulunacağından dolayı $A^{\prime }$ için en küçük çevreye sahip üçgen olurdu.

Peki nasıl bir $A^{\prime }$ seçilmeli ki bu üçgenlerin arasındaki en küçük çevreye sahip üçgeni bulalım? Cevap basit. $A$'dan inen dikmenin $|BC|$ ile temas ettiği nokta! Neden mi? Açıklayalım: Önce ortadaki üçgeni silelim ve az önceki $A^{\prime }$ köşesine sahip en küçük üçgeni çizelim:

Şimdi, $|DF|$ ve $|F{A}^{\prime }|$, $|AB|$'ye simetrik olduğundan ve ayrıca $m(D{C}^{\prime }B)=m(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ ve $m(A^{\prime }{B}^{\prime }C)=m(E{B}^{\prime }C)$ olduğundan $|AD|$ ile $|A{A}^{\prime }|$ aynı uzunluğa sahip olur. Aynı şey $|AE|$ ve $|A{A}^{\prime }|$ için de geçerlidir, o halde köşeleri şu şekilde birleştirelim:

Şimdi, $|A{A}^{\prime }|$'yı en kısa tutalım. Ne zaman bu şekilde bir doğru en kısa olur? Yüksekliğin tanımından yola çıkalım: "Üçgenin köşenin açısının gördüğü kenara doğru inen en kısa uzunluk" yani olası en kısa $|A{A}^{\prime }|$ uzunluğu. O zaman $|A{A}^{\prime }|$'yı yükseklik yapmalıyız! Bunu 3 köşeye de uygularsanız her zaman olası en kısa uzunluğun yükseklik olduğunu görürsünüz. Bu yüzden ortik üçgen, bir üçgenin içinde çizilebilecek en küçük çevreye sahip üçgendir.^[2]

Son olarak, diklik merkezinin fizikte aslında çok fazla kullanım alanı yoktur. Sadece bazı çok spesifik alanlarda kullanılır. Mesela mühendislikte iç arama algoritmalarındaki bazı stratejilerde kullanılabilir.^[3] Bunun dışında Minkowski uzayı denklemlerinde, ses sistemlerinde, bulanık sayıların ortam merkezleri kullanarak sıralanmasında ve bazı fonksiyon çözümlerinde kullanılır.^{[4], [5], [6]}