Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi

Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi
18 dakika
2,544
  • Gerçek Analiz
  • Geometrik Optimizasyon

Bir önceki yazımızda; tarihi, Kraliçe Dido'dan 17-18. yüzyıl matematikçilerine ve oradan da günümüze kadar uzanan Eşçevre Problemini tanıtmış, fizik alanındaki bazı uygulamalarını inceleyip, Eşçevre Eşitsizliğinin iki boyutlu reel uzay için ispatını vermiştik. Şimdi, varyasyonel analize bir giriş yapalım.

Varyasyonel Analiz

Geçmişi, Newton ve Leibniz'in 1600'lerdeki çalışmalarına kadar uzanan Varyasyonel Analiz, ilk defa aynı yüzyılda Jacob ve Johann Bernoulli tarafından başlı başına bir alan olarak çalışılmaya başlandı. İlerleyen yüzyıllarda ise Euler, Lagrange ve Laplace tarafından gerçekleştirilen büyük çaplı çalışmalarla oldukça geniş bir alan haline gelen Varyasyonel Analiz, daha sonrasında ise Hamilton, Jacobi, Weierstrass, Dirichlet ve Hilbert'in yaptığı katkılarla günümüz matematiksel analizinin merkezindeki alanlardan biri oldu ve hala, matematiğin bir çok alanından fiziğe ve oradan da mühendisliğe kadar uzanan uygulamalarıyla, günümüz dünyasındaki bir çok büyük ilerlemeye olanak vermeye devam ediyor.

Tüm Reklamları Kapat

Varyasyonel analiz; en basit haliyle, bir fonksiyon uzayı ile reel uzay arasında tanımlı olan fonksiyonellerin, verilen şartlar altında optimize edilmesi ile ilgilenen bir analiz alanıdır.

Mesela; JJ fonksiyoneli, y[σ1,σ2]→ℜy_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re }∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonlarını içeren uzay üzerinde tanımlanmış ve Fℜ3→ℜ∈C2(ℜ3)F_{\,\Re^3 \to \Re} \, \in C^2(\Re^3) olsun,

Tüm Reklamları Kapat

ext\,\,\,ext J[y]=∫σ1σ2\,\,\,\,J[y] = \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} F(x,y(x),y′(x))dxF(x,y(x),y^{'}(x)) \,dx

s.t.\,\,\,s.t. y(σ1)=ω1,\,\,\,\,y(\sigma_1)=\omega_1 \,\,, y(σ2)=ω2y(\sigma_2)=\omega_2

formunda olan optimizasyon probleminin çözümleri yani extremalleri; JJ fonksiyonelinin, yukarıdaki sınır şartlarını sağlayan bütün fonksiyonlar arasından, maksimum veya minimum değerlerini aldığı fonksiyonlardır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Yani, daha net bir şekilde ifade etmek gerekirse; eğer y[σ1,σ2]→ℜ∗y^*_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re } ∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonu, yukarıdaki optimizasyon probleminin bir çözümü ise, mesela minimizer fonksiyonu ise yani JJ fonksiyonelini minimize ediyorsa; y∗y^* fonksiyonunun, y(σ1)=ω1y(\sigma_1)=\omega_1 ve y(σ2)=ω2y(\sigma_2)=\omega_2 şartlarını sağlayan bütün y[σ1,σ2]→ℜy_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re }∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonları için, J[y∗]≤J[y]J[y^*] \leq J[y] eşitsizliğini sağladığını söyleyebiliriz.

Euler-Lagrange Denklemi

Şimdi, böyle bir y∗y^* extremalini bulabilmek için öncelikle herhangi bir η(σ1)=η(σ2)=0\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0 şartını sağlayan η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonu seçelim ve y∗ˉ=y∗+ϵη=y∗+δy∗{\bar{y^*}}=y^* + \epsilon \eta=y^*+\delta y^* fonksiyonunu tanımlayalım; buradaki δy∗=ϵη\delta y^* = \epsilon\eta fonksiyonu, y∗y^* fonksiyonunun bir varyasyonudur.

Daha sonrasında ise, ϵ\epsilon parametresine bağlı bir Φ\Phi fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.

Φ(ϵ)=J[y∗ˉ]=J[y∗+ϵη]\Phi(\epsilon)=J[\bar{y^*}]=J[y^*+\epsilon\eta] =∫σ1σ2=\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} F(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)dxF(x,{y^*}+\epsilon\eta,{y^*}'+\epsilon{\eta}')\, dx

Φ\Phi fonksiyonu, ϵ=0\epsilon=0 noktasında J[y∗]J[y^*] değerini aldığından ve y∗y^* fonksiyonunu da JJ fonksiyonelinin extremali olarak seçmiş olduğumuzdan dolayı; Φ(0)\Phi (0) değeri, Φ\Phi fonksiyonunun bir extremum noktasıdır ve böylece Φ′(0)=0{\Phi}'(0)=0 olur, yani ϵ=0\epsilon=0 için aşağıdaki denklem sağlanır.

Tüm Reklamları Kapat

Φ′(ϵ)=ddϵ[∫σ1σ2 {\Phi}'(\epsilon)= \frac {d}{d\epsilon}\,[\,\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} F(x,y∗+ϵηF(x,y^*+\epsilon\eta,y∗′+ϵη′)dx], {y^*}'+\epsilon{\eta}' )\,dx \,] =∫σ1σ2= \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} [ddϵF(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)]dx[ \frac{d}{d\epsilon}\,F(x,\,{y^*}+\epsilon\eta,\,{y^*}'+\epsilon{\eta}')\,]\, dx =0=0

Tam bu noktada bir antiparantez açıp ddϵF(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)\frac{d}{d\epsilon} F (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}') türevinin neye eşit olduğunu detaylıca açıklayalım. Öncelikle, G:ϵ⟼(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)G: \epsilon \longmapsto (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}') olacak şekilde bir G=(G1,G2,G3)G=(G_1,G_2,G_3) fonksiyonu tanımlayalım; böylece yukarıdaki türevi, ddϵ(F∘G)\frac{d}{d\epsilon} (\,F \circ G\,)(ϵ)(\epsilon) şeklinde yazabiliriz ve fonksiyonların Jacobian matrisleri için:

ddϵ(F∘G)=[D(F∘G)]=\frac{d}{d\epsilon}(F\circ G)=[D ( F\circ G)] = [DF∘G]×[DG][DF \circ G ] \times [ DG ]

yani,

Tüm Reklamları Kapat

ddϵ(F∘G)\frac{d}{d\epsilon}(F\circ G)=[∂F∂x∘G,∂F∂y∘G,∂F∂y′∘G]×= [ \,\frac{\partial{F}}{\partial{x}} \circ G ,\,\, \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \circ G ,\,\, \frac{\partial{F}}{\partial{y^{'}}} \circ G\,] \times[ddϵG1ddϵG2ddϵG3]\begin{bmatrix} \frac{d}{d \epsilon} {G_1} \\ \frac{d}{d \epsilon} {G_2} \\ \frac{d}{d \epsilon} {G_3} \end{bmatrix}

olduğundan ve

ddϵG1\frac{d}{d\epsilon} G_1(ϵ)(\epsilon)=ddϵ(x)=\frac{d}{d\epsilon} (x)=0=0 , ddϵG2(ϵ)=ddϵ(y∗+ϵη)\frac{d}{d\epsilon} G_2 (\epsilon)= \frac{d}{d\epsilon} (y^{*}+\epsilon\eta)=η=\eta ve ddϵG3(ϵ)=ddϵ(y∗′+ϵη′)\frac{d}{d\epsilon} G_3(\epsilon)= \frac{d}{d\epsilon}({y^{*}}'+\epsilon{\eta}') =η′={\eta}'

olduğundan dolayı,

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Tanzania AA Top Utengule Estate Yöresel Kahve 1000 gr.

Tanzania AA Top Utengule Estate Yöresel Kahve 1000 gr.UYARI: Bu ürün, müşterilerimizin tercihine göre özel olarak öğütülerek (veya hiç öğütülmeden) temin edilmektedir; yani müşteri talebine özel olarak hazırlanmaktadır. Bu nedenle lütfen sipariş notlarına talep ettiğiniz öğütme türünü ekleyiniz:

  1. Çekirdek (Öğütme İstemiyorum)
  2. Filtre Kahve Makinesi,
  3. Espresso (Öğütülmüş),
  4. French Press,
  5. Moka Pot,
  6. Hario V60,
  7. Aeropress,
  8. Metal Filtre,
  9. Chemex – Pour Over.

Tercih belirtilmemesi halinde öğütülmemiş çekirdekler gönderilecektir ve tarafınızdan öğütülmesi veya değirmen olan bir yerde öğüttürülmesi gerekecektir.

Devamını Göster
₺355.00
Tanzania AA Top Utengule Estate Yöresel Kahve 1000 gr.

ddϵF(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)=\frac{d}{d\epsilon} F (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}')= ddϵ(F∘G)(ϵ)\frac{d}{d\epsilon} (\,F \circ G\,)(\epsilon) =(∂F∂y∘G)(ϵ)η(x)+(∂F∂y′∘G)(ϵ)η′(x)=(\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \circ G)(\epsilon)\,\, \eta (x) + (\frac{\partial{F}}{\partial{y^{'}}} \circ G)(\epsilon)\,\, {\eta}'(x)

olur. Böylece:

Φ′(0)=\,\,{\Phi}'(0)= ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} [∂F∂yη+∂F∂y′η′][\,\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta + \frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \, {\eta}' \,] dxdx =0=0 yani, ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ∂F∂yηdx\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta \, dx ++ ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ∂F∂y′η′dx \frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \, {\eta}'\,dx =0=0

olur.

Daha sonrasında ise ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}∂F∂y′η′dx\frac{\partial{F}}{\partial{y}'} \, {\eta}'\,dx =∫σ1σ2=\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ∂F∂y′dη\frac{\partial{F}}{\partial{y}'} \,\, d{\eta} integrali için parçalı integrasyon yapılırsa:

∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ∂F∂yηdx\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta \, dx ++ ∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2}−- ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ηd(∂F∂y′)\, \eta \, d(\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}) == ∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2} ++ ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} ∂F∂yη\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta −- ηddx(∂F∂y′)\, \eta \, \frac{d}{dx}(\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}) dxdx =0=0

eşitliği elde edilir. Öte yandan, η(σ1)=η(σ2)=0\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0 olduğundan dolayı, ∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2} =0=0 olur; yani, eğer y∗y^* fonksiyonu, JJ fonksiyonelinin bir extremali ise; η(σ1)=η(σ2)=0\,\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0 şartını sağlayan her η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonu için:

∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}[[ ∂F∂y\frac{\partial{F}}{\partial{y}}−\,- ddx∂F∂y′](x,y∗(x),y∗′(x)) \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,]\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) η(x)dx\eta(x) \,\,dx =0=0

eşitliğini sağlar.

Böylece, Euler-Lagrange Denklemine ulaşmamıza son bir adım kalmış oldu. Şimdi; yukarıdaki integrali, FF fonksiyonunun bir kısmi diferansiyel denklemine indirgeyerek hedefimize ulaşabilmek için, Varyasyonel Analizin Temel Lemmasını ve bu lemmanın ispatını vereceğiz.

Tüm Reklamları Kapat

Lemma (Fundamental Lemma of the Calculus of Variations)

ϕ[σ1,σ2]→ℜ∈C0([σ1,σ2])\phi_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^0([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonu için; her η(σ1)=η(σ2)=0 \eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0 şartını sağlayan η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonu, ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}ϕ(x)η(x)dx=0\phi(x) \eta(x) \, dx\,=0 eşitliğini sağlıyorsa, ϕ≡0\phi ≡ 0 yani, her x∈[σ1,σ2]x \in [\sigma_1,\sigma_2] için ϕ(x)=0\phi(x)=0 olur.

İspat

Çelişki elde ederek ispatlamak için, ϕ\phi fonksiyonunun x=ξx=\xi noktasında sıfıra eşit olmadığını, pozitif olduğunu varsayalım. Bu durumda, ϕ\phi sürekli olduğundan dolayı, ξ\xi noktasının öyle bir G=(ξ0,ξ1)∋ξ⊂(σ1,σ2)G= (\xi_0,\xi_1)_{\ni \xi} \subset (\sigma_1,\sigma_2) komşuluğu vardır ki, ϕ∣G\phi |_{G} >0\gt 0 olur.

Burada bir antiparantez daha: Eğer ϕ(ξ)>0\phi(\xi) \gt 0 olması için ξ=σ1\xi=\sigma_1 ya da ξ=σ2\xi=\sigma_2 olarak seçilirse de, zaten ϕ\phi fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı öyle bir ξ∗∈(σ1,σ2)\xi^* \in (\sigma_1,\sigma_2) vardır ki ϕ(ξ∗)>0\phi(\xi^*) \gt 0 olur, bu durumda da öyle ξ0∗\xi^*_0 ve ξ1∗\xi^*_1 sayıları seçilebilir ki ξ∗\xi^* noktasının G∗=(ξ0∗,ξ1∗)∋ξ∗⊂(σ1,σ2)G^*= (\xi^*_0,\xi^*_1)_{\ni \xi^*} \subset (\sigma_1,\sigma_2) komşuluğu için ϕ∣G∗>0\phi |_{G^*} \gt 0 olur ve bu ξ∗\xi^* noktası için de ispata aşağıdaki gibi devam edilebilir.

η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonunu da:

Tüm Reklamları Kapat

η(x)=\eta(x)= {(x−ξ0)4(x−ξ1)4x∈G0x∉G\begin{cases} ( x-\xi_0 )^4 ( x-\xi_1 )^4 && x \in G \\ 0 && x\notin G \end{cases} \,\,\,

olarak tanımlayalım.

Bu durumda; ∫Gϕ(x)η(x)dx>0\int_G \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0 ve ∫[σ1,σ2]∖Gϕ(x)η(x)dx=0\int_{[\sigma_1,\sigma_2]\setminus G} \phi(x) \eta(x) \, dx = 0 olduğundan dolayı, ∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx>0\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0 sonucuna ulaşırız. Böylece:

∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx=0\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx = 0 ⟹∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx>0\implies \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0

Tüm Reklamları Kapat

şeklinde bir çelişki elde etmiş olduk.

Öyleyse ϕ(ξ)>0\phi(\xi)\gt0 olacak şekilde bir ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2] seçemeyiz ve aynı yolu izleyerek ϕ(ξ)<0\phi(\xi) <0 olacak şekilde de bir ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2] seçemeyeceğimizi de gösterebiliriz. Böylece ϕ(ξ)≠0\phi(\xi) \neq0 olacak şekilde bir ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2] seçemeyeceğimizi göstererek, ϕ≡0\phi ≡ 0 olduğunu ispatlamış olduk.

■\blacksquare

İşte şimdi; ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} [∂F∂y−ddx∂F∂y′](x,y∗(x),y∗′(x))η(x)dx[\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,]\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) \,\, \eta(x) \,dx =0=0 eşitliğindeki integrali, FF fonksiyonunun bir kısmi diferansiyel denklemi olarak yazabiliriz. Detaylıca açıklayacak olursak, H:x⟼H: x \longmapsto (x,y∗(x),y∗′(x))(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) olacak şekilde bir H=(H1,H2,H3)H=(H_1,H_2,H_3) fonksiyonu tanımlayıp∂F∂y−ddx∂F∂y′(x,y∗(x),y∗′(x))\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) =([∂F∂y−ddx∂F∂y′]∘H)(x)= \big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big) (x) eşitliğini yazarak, Varyasyonel Analizin Temel Lemmasındaki ϕ[σ1,σ2]→ℜ∈C0([σ1,σ2])\phi_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^0([\sigma_1,\sigma_2]) fonksiyonunu,([∂F∂y−ddx∂F∂y′]∘H)\big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big) fonksiyonu olarak seçtiğimizde, ([∂F∂y−ddx∂F∂y′]∘H)≡0\big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big) ≡ 0 sonucuna ulaşırız.

Tüm Reklamları Kapat

Yani; eğer y∗y^* fonksiyonu, JJ fonksiyonelinin bir extremali ise, Euler-Lagrange Denklemi olarak adlandırılan aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi sağlar:

∂F∂y\frac{\partial{F}}{\partial{y}} (x,y∗(x),y∗′(x))(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) −- ddx∂F∂y′ \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} (x,y∗(x),y∗′(x))(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) =0=0

Böylece; her extremalin, yukarıdaki denklemi sağladığını ispatlamış olduk yani denklemin hiçbir çözümü yoksa fonksiyonelin de hiçbir extremali yoktur; ancak bu durum, tabii ki de bu denklemin her çözümünün bir extremal olduğu anlamına gelmiyor. Extremalin varlığından emin olduğumuz durumlarda; bu extremali, denklemin çözümlerinde ararız ya da bunun üzerine extremalin tekliğinden de eminsek, yani ilgilendiğimiz fonksiyonel bahsettiğimiz durumlarla ilgili olan teoremlerin şartları ile uyuşuyorsa, denklemin tek çözümü olan fonksiyonun, extremal olduğunu söyeleyebiliriz.

Son bölümümüzde de Leonhard Euler ve Joseph-Louis Lagrange'ın isim verdiği bu denklemin bazı uygulamalarından bahsederek yazımızı sonlandıralım.

Tüm Reklamları Kapat

Euler-Lagrange Denklemi ile Optimizasyon

İki Nokta Arasındaki Minimal Eğri

En basit örneklerden bir tanesi ile başlayalım: düzlemdeki iki nokta arasındaki en kısa eğri. Cevabın, sezgisel olarak, bir doğru parçası olduğu çok açık olsa da biz bu sonuca, Varyasyonel Analiz ile nasıl ulaşabileceğimiz üzerinde duralım:

minmin \,\,\,\, ∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} 1+(u′)2dx\sqrt{1+(u')^2}\, dx

s.t.s.t.\,\,\,\, u(σ1)=ω1u(\sigma_1)=\omega_1 ,u(σ2)=ω2, \, u(\sigma_2)=\omega_2

Yani, düzlemdeki herhangi iki nokta, (σ1,ω1)(\sigma_1,\omega_1) ve (σ2,ω2)(\sigma_2,\omega_2), arasındaki u[σ1,σ2]→ℜ∈C2u_{\,\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2 eğrilerinden hangisinin yay uzunluğu daha azdır?

Tüm Reklamları Kapat

Antiparantez; esasında, ζ[κ1,κ2]→ℜ2∈C2\zeta_{\,\,[\kappa_1,\kappa_2] \to \Re^2}\in C^2 parametrize eğrileriyle yani problemin daha genel bir domainiyle çalışmak daha doğru olurdu ancak; cevabın, u[σ1,σ2]→ℜ∈C2u_{\,\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2 eğrilerinden olması gerektiği sezgisini kabul edip bu eğriler üzerine oluşturmuş olduğumuz denklemimizi kullanarak ve extremalin varlığını ise, ilerleyen problemlerde de, varsayarak cevap vereceğiz.

L(x,u,u′)=1+(u′)2L(x,u,u')=\sqrt{1+(u')^2}\, olmak üzere, ∂L∂u\frac{\partial L}{\partial u} =0=0 ve ∂L∂u′=u′1+(u′)2\frac{\partial L}{\partial u'} = \frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}\,} olduğundan dolayı,

Euler-Lagrange Denklemi: ∂L∂u\frac{\partial L}{\partial u} −ddx∂L∂u′- \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial u'} == ddx \frac{d}{dx} (u′1+(u′)2)( \frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} ) =0=0 eşitliğini elde ederiz, böylece:

ddx \frac{d}{dx} (u′1+(u′)2)( \frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} ) =u′′1+(u′)2−(1+(u′)2)−12u′u′u′′1+(u′)2= \frac {u''\sqrt{1+(u')^2} - (1+(u')^2)^{- \frac{1}{2}}u'u'u''}{1+(u')^2}=0=0

Tüm Reklamları Kapat

olur (1+(u′)2)(1+(u')^2) ile çarparak:

u′′1+(u′)2u''\sqrt{1+(u')^2} =(1+(u′)2)−12u′u′u′′= (1+(u')^2)^{- \frac{1}{2}}u'u'u''

eşitliğini elde edip, her iki tarafı 1+(u′)2\sqrt{1+(u')^2} ile çarpıp:

(1+(u′)2)u′′(1+(u')^2)\,u'' =(u′)2u′′= (u')^2\,u'' yani, [(1+(u′)2)−(u′)2]u′′=0[ (1+(u')^2) - (u')^2 ] \, u'' = 0

Tüm Reklamları Kapat

sonucuna ulaşmış oluruz.

Yani, u′′=0u''=0 olduğundan dolayı, denklemin çözümü, bir doğru parçasıdır.

Minimal Revulasyon Yüzeyi

Bir diğer klasik problem ise Minimal Revulasyon Yüzeyi, yani konusu, v[−t,t]→ℜ∈C2v_{\,\,[-t,t] \to \Re} \in C^2 fonksiyonlarının xx ya da yy ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan yüzeyler arasından minimum alana sahip olanı bulmak olan problem... Bu problemde, verilen sınır şartlarına uyan bütün v[−t,t]→ℜ∈C2v_{\,\,[-t,t] \to \Re} \in C^2 fonksiyonları arasından hangisinin, xx ekseninde döndürülünce minimum alana sahip yüzeyi oluşturduğu üzerinde duracağız:

minmin \,\,\,\, 2π∫−tt2 \pi \int_{-t}^{\,t} v(x)1+(v′(x))2dxv(x) \sqrt{1+(v'(x))^2}\,\,dx

Tüm Reklamları Kapat

s.t.s.t. \,\,\,\, v(−t)=v(t)=rv(-t)=v(t)=r

Şimdi, fonksiyonelin integrandı olan fonksiyonun xx değişkenine bağlı olmadığı, yani L(z,ϕ)L(z,\phi) formunda olduğu, yukarıdaki gibi problemler için daha sade bir denklem yazalım. LL fonksiyonunun xx değişkenine bağlı türevini açıp,

ddxL(u,u′)=\frac{d}{dx} L(u,u') = ∂L∂z(u,u′)u′\frac{\partial L}{\partial z} (u,u')\, u' +∂L∂ϕ(u,u′)u′′+\, \frac{\partial L}{\partial {\phi}}(u,u') \, u''

eşitliğini elde ettikten sonra,

Tüm Reklamları Kapat

LL fonksiyonu için Euler-Lagrange Denklemi: ∂L∂z\frac{\partial L}{\partial z} =ddx∂L∂ϕ=\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial \phi} olduğundan dolayı,

ddxL(u,u′)=\frac{d}{dx} L(u,u') = u′u' ddx∂L∂ϕ\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial \phi} (u,u′)(u,u') +∂L∂ϕ(u,u′)u′′+\, \frac{\partial L}{\partial {\phi}}(u,u') \, u''=ddx[∂L∂ϕ(u,u′)u′]= \frac{d}{dx}[ \frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u' ]

eşitliğini elde ederiz, böylece,

ddx[L(u,u′)−\frac{d}{dx}[ L(u,u')- ∂L∂ϕ(u,u′)u′]\frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u' ] =0=0 yani herhangi bir CC sabiti için, L(u,u′)−∂L∂ϕ(u,u′)u′ L(u,u')-\frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u' == CC olur ve istediğimiz sadeleştirilmiş denkleme ulaşmış oluruz.

Tüm Reklamları Kapat

Minimal Revulasyon Yüzeyi problemimize geri dönecek olursak:

∂L∂ϕ(v,v′)v′\frac{\partial L}{\partial \phi}(v,v')\, v' =v′(x)∂∂ϕ[v(x)1+(v′(x))2]=v'(x)\, \frac{\partial}{\partial \phi} [v(x) \sqrt{1+(v'(x))^2}\,] =v(x)(v′(x))21+(v′(x)2)= \frac{v(x)(v'(x))^2}{\sqrt{1+(v'(x)^2)}}

olduğundan dolayı, Sadeleştirilmiş Euler-Lagrange Denklemi:

v(x)1+(v′(x))2v(x) \sqrt{1+(v'(x))^2} −v(x)(v′(x))21+(v′(x)2)-\,\frac{v(x)(v'(x))^2}{\sqrt{1+(v'(x)^2)}} =1c= \frac{1}{c}

Tüm Reklamları Kapat

olur.

Böylece, her iki tarafı 1+(v′(x))2 \sqrt{1+(v'(x))^2} ile çarparak, cv(x)=1+(v′(x))2cv(x)= \sqrt{1+(v'(x))^2} eşitliğine ulaşırız.

Öte yandan, 1+(v′(x))2 \sqrt{1+(v'(x))^2} ≥1\ge 1 olduğundan dolayı v≥1cv\ge \frac{1}{c} olduğu açıktır ve yukarıdaki denklemden, v(x)=1c⟺v′(x)=0v(x)=\frac{1}{c} \iff v'(x)=0 sonucuna ulaşılabileceğinden ötürü vv fonksiyonunun minimum değerinin 1c\frac{1}{c} olduğunu bulmuş oluruz.

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının karesini alarak elde edeceğimiz c2v(x)2−(v′(x))2=1c^2v(x)^2-(v'(x))^2=1 denkleminde her iki tarafında türevini aldığımızda, 2c2v(x)v′(x)−2v′(x)v′′(x)2c^2 v(x) v'(x) -2v'(x)v''(x) =0=0 yani, v′′(x)=c2v(x)v''(x)=c^2v(x) sonucuna ulaşırız ki bu denklemin çözümü de basitçe v(x)=Y12ecx+Y22e−cxv(x)=\frac{Y_1}{2}e^{cx}+\frac{Y_2}{2}e^{-cx} fonksiyonudur.

Tüm Reklamları Kapat

Yüzeysel bir şekilde geçecek olursak, v′′>0v''\gt0 yani v′v' fonksiyonun monoton artıyor olmasıyla, diğer bir deyişle vv fonksiyonun minimuma kadar mutlak azalan sonrasında mutlak artan oluşu ile, çözümün tekliği varsayımı, fonksiyonun yy eksenine göre simetrik olmasını yani fonksiyonun çiftliğini gerektirir ve böylece, Y1=Y2Y_1=Y_2 yani v(x)=Y1(ecx+e−cx2)v(x)=Y_1(\frac{e^{cx} + \,e^{-cx}}{2})=Y1cosh(cx)=Y_1\, cosh(cx) olur ve vv fonksiyonunun türevinin sıfıra eşit olması için yani Y12(cecx−ce−cx)=0\frac{Y_1}{2}(ce^{cx}-ce^{-cx}) =0 olması için de x=0x=0 olması gerektiği de açıktır. Dolayısıyla vv fonksiyonu x=0x=0 değerinde minimum değerini alır ve bu minimumun 1c\frac{1}{c} olduğunu yukarıda bulmuş olduğumuzdan dolayı v(0)=1cv(0)=\frac{1}{c} sonucuna ulaşırız. Öte yandan v(0)=Y1v(0)=Y_1 olduğundan dolayı da, 1c=Y1\frac{1}{c}=Y_1 sonucuna ulaşırız.

Yani yüzeyi minimize eden fonksiyon: v(x)=1ccosh(cx)v(x)=\frac{1}{c}\,cosh(cx) fonksiyonu olur ve bu eğri Catenary Eğrisi olarak isimlendirilir. Ve böylece minimal yüzeyimiz de, bu eğrinin xx ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan Catenoid Minimal Yüzeyi olmuş olur.

İlk başta, iki nokta arasındaki minimal eğri, o noktalar arasındaki doğru parçası olduğundan dolayı minimal yüzeyi oluşturacak fonksiyonun da bu doğru parçası olması gerektiği gibi bir sezgisel yanılgıya düşülebilse de problemin tek parametresi bu olmadığından dolayı, yüzeysel bir anlatımla da olsa, yukarıdaki sonuca ulaştık. Yani, (−t,v(−t))(-t,\,v(-t)) ve (t,v(t))(t,\,v(t)) noktaları arasındaki eğrinin uzunluğunu artırmak pahasına eğriyi xx eksenine yaklaştırarak oluşacak yüzeyin çeşitli dikey kesitlerinin çaplarını azaltarak toplamdaki yüzey alanını azalttık, eğer eğriyi olması gerektiğinden fazla uzatsaydık bu sefer de yüzey alanını artırmaya başlamış olacaktık, en nihayetinde bu dengeyi sağlayarak yüzey alanını minimize eden fonksiyonu ve böylece aşağıdaki Catenoid Minimal Yüzeyini bulmuş olduk.

Tüm Reklamları Kapat

Catenoid Minimal Yüzeyi
Catenoid Minimal Yüzeyi
Minimal Surfaces

Minimal Yüzeyler

U⊂ℜ2U \subset \Re^2 olmak üzere vU→ℜ3v_{\,\,U\to \Re^3 }∈C1(Uˉ)\in C^1(\bar{U}) yüzey paratmerizasyonları ve gg∂U→ℜ_{\,\,{\partial U}\to \Re} olsun.

minA[v]=∫U1+∣∇v∣2dxmin \,\,\,\,\, A[v]=\int_U \sqrt{1+| \nabla v|^2\,\,}\,dx

s.t.s.t. \,\,\,\,\, v∣∂U=gv|_{\partial U} = g

formunda olan Minimal Yüzey Problemi, tanım kümesinin sınırında, verilmiş bir g∂U→ℜg_{\,\,{\partial U}\to \Re} fonksiyonuna eşit olan v=(v1(x1,x2),v2(x1,x2),v3(x1,x2))v=(v_1(x_1,x_2),\,v_2(x_1,x_2),\,v_3(x_1,x_2)) yüzeyleri arasından hangisinin minimum alana sahip olduğu üzerinedir.

Tüm Reklamları Kapat

Examples of Variational Problems

uU→ℜ3∈C2(U)u_{\,\,U\to \Re^3 } \in C^2(U) fonksiyonu problemin bir çözümü ise aşağıdaki Euler-Lagrange Denklemini yani bu problemdeki isimiyle Minimal Yüzey Denklemini sağlar:

∂∂x1(∂u∂x11+∣∇u∣2)+∂∂x2(∂u∂x21+∣∇u∣2)=0\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2\,\,}})\,+\, \frac{\partial}{\partial x_2} (\frac{\frac{\partial u}{\partial x_2}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2\,\,}}) = 0

Sonuç

Bu yazımızda ise, matematiksel analizin bir alanı olan Varyasyonel Analizi ve bu alanın en basit Optimizasyon Problemlerinden bazılarını tanıtıp Euler-Lagrange Denklemi'nden bahsederek matematiksel analiz teorilerindeki uygulamalarına örnekler verdik. Bir sonraki yazımızda ise bir çeşit Optimizasyon Problemi olan Kraliçe Dido Problemi'ni tanıtıp, bu problemin çözümüne dair, tüm zamanların en iyi matematikçilerinden olan Leonhard Euler ve Joseph-Louis Lagrange'ın 18. yüzyılın ortalarında yaptıkları çalışmalara dayanan iki farklı ispat vereceğiz.

Alıntı Yap
Okundu Olarak İşaretle
8
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 4
  • Muhteşem! 2
  • Tebrikler! 2
  • Umut Verici! 1
  • Merak Uyandırıcı! 1
  • Bilim Budur! 0
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 08/02/2023 10:50:43 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9299

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Size Özel (Beta)
İçerikler
Sosyal
Kişilik
Galaksi
Evrenin Genişlemesi
Uydu
Kuşlar
Süpernova
Kuantum
Astrofotoğrafçılık
Covıd-19
Mikrobiyoloji
Antropoloji
Teori
Kimyasal
Değişim
Sinek
Damar
Korku
Sağlık Bakanlığı
Kuantum Fiziği
Kök Hücre
Mit
Manyetik Alan
Öğrenme Teorileri
Allah
Orman
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Gönder
Ekle
Soru Sor
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Alıntı Yap
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
F. Aktepe, et al. Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi. (20 Eylül 2020). Alındığı Tarih: 8 Şubat 2023. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/9299
Aktepe, F., Bakırcı, Ç. M. (2020, September 20). Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi. Evrim Ağacı. Retrieved February 08, 2023. from https://evrimagaci.org/s/9299
F. Aktepe, et al. “Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 20 Sep. 2020, https://evrimagaci.org/s/9299.
Aktepe, Furkan. Bakırcı, Çağrı Mert. “Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, September 20, 2020. https://evrimagaci.org/s/9299.

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Paylaş
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'ndaki reklamları, bütçenize uygun bir şekilde, kendi seçtiğiniz bir süre boyunca kapatabilirsiniz. Tek yapmanız gereken, kaç ay boyunca kapatmak istediğinizi aşağıdaki kutuya girip tek seferlik ödemenizi tamamlamak:

10₺/ay
x
ay
= 30
3 Aylık Reklamsız Deneyimi Başlat
Evrim Ağacı'nda ücretsiz üyelik oluşturan ve sitemizi üye girişi yaparak kullanan kullanıcılarımızdaki reklamların %50 daha az olduğunu, Kreosus/Patreon/YouTube destekçilerimizinse sitemizi tamamen reklamsız kullanabildiğini biliyor muydunuz? Size uygun seçeneği aşağıdan seçebilirsiniz:
Evrim Ağacı Destekçilerine Katıl
Zaten Kreosus/Patreon/Youtube Destekçisiyim
Reklamsız Deneyim
Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Önizleme
Görseli Kaydet
Sıfırla
Vazgeç
Ara
Moderatöre Bildir

Raporlama sisteminin amacı, platformu uygunsuz biçimde kullananların önüne geçmektir. Lütfen bir içeriği, sadece düşük kaliteli olduğunu veya soruya cevap olmadığını düşündüğünüz raporlamayınız; bu raporlar kabul edilmeyecektir. Bunun yerine daha kaliteli cevapları kendiniz girmeye çalışın veya size sunulan (oylama gibi) diğer araçlar ile daha kaliteli cevaplara teşvik edin. Kalitesiz bulduğunuz içerikleri eleyebileceğiniz, kalitelileri daha ön plana çıkarabileceğiniz yeni araçlar geliştirmekteyiz.

Kural İhlali Seç
Öncül Ekle
Sonuç Ekle
Mantık Hatası Seç
Kural İhlali Seç
Soru Sor
Aşağıdaki "Soru" kutusunu sadece soru sormak için kullanınız. Bu kutuya soru formatında olmayan hiçbir cümle girmeyiniz. Sorunuzla ilgili ek bilgiler vermek isterseniz, "Açıklama" kısmına girebilirsiniz. Soru kısmının soru cümlesi haricindeki kullanımları sorunuzun silinmesine ve UP kaybetmenize neden olabilir.
Görsel Ekle
Kurallar
Platform Kuralları
Bu platform, aklınıza takılan soruları sorabilmeniz ve diğerlerinin sorularını yanıtlayabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Gerçekten soru sorun, imâdan ve yüklü sorulardan kaçının.
Sorularınızın amacı nesnel olarak gerçeği öğrenmek veya fikir almak olmalıdır. Şahsi kanaatinizle ilgili mesaj vermek için kullanmayın; yüklü soru sormayın.
2
Bilim kimliğinizi kullanın.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla sorular ve cevaplar, bilimsel perspektifi yansıtmalıdır. Geçerli bilimsel kaynaklarla doğrulanamayan bilgiler veya reklamlar silinebilir.
3
Düzgün ve insanca iletişim kurun.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Sahtebilimi desteklemek yasaktır.
Sahtebilim kategorisi altında konuyla ilgili sorular sorabilirsiniz; ancak bilimsel geçerliliği bulunmayan sahtebilim konularını destekleyen sorular veya cevaplar paylaşmayın.
5
Türkçeyi düzgün kullanın.
Şair olmanızı beklemiyoruz; ancak yazdığınız içeriğin anlaşılır olması ve temel düzeyde yazım ve dil bilgisi kurallarına uyması gerekmektedir.
Soru Ara
Aradığınız soruyu bulamadıysanız buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Alıntı Ekle
Eser Ekle
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, fark edildiğinde ufku genişleten tespitler içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Formu olabildiğince eksiksiz doldurun.
Girdiğiniz sözün/alıntının kaynağı ne kadar açıksa o kadar iyi. Açıklama kısmına kitabın sayfa sayısını veya filmin saat/dakika/saniye bilgisini girebilirsiniz.
2
Anonimden kaçının.
Bazı sözler/alıntılar anonim olabilir. Fakat sözün anonimliğini doğrulamaksızın, bilmediğiniz her söze/alıntıya anonim yazmayın. Bu tür girdiler silinebilir.
3
Kaynağı araştırın ve sorgulayın.
Sayısız söz/alıntı, gerçekte o sözü hiçbir zaman söylememiş/yazmamış kişilere, hatalı bir şekilde atfediliyor. Paylaşımınızın site geneline yayılabilmesi için kaliteli kaynaklar kullanın ve kaynaklarınızı sorgulayın.
4
Ofansif ve entelektüel düşünceden uzak sözler yasaktır.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
5
Sözlerinizi tırnak (") içine almayın.
Sistemimiz formatı otomatik olarak ayarlayacaktır.
Gönder
Tavsiye Et
Aşağıdaki kutuya, [ESER ADI] isimli [KİTABI/FİLMİ] neden tavsiye ettiğini girebilirsin. Ne kadar detaylı ve kapsamlı bir analiz yaparsan, bu eseri [OKUMAK/İZLEMEK] isteyenleri o kadar doğru ve fazla bilgilendirmiş olacaksın. Tavsiyenin sadece negatif içerikte olamayacağını, eğer bu sistemi kullanıyorsan tavsiye ettiğin içeriğin pozitif taraflarından bahsetmek zorunda olduğunu lütfen unutma. Yapıcı eleştiri hakkında daha fazla bilgi almak için burayı okuyabilirsin.
Kurallar
Platform Kuralları
Bu platform; okuduğunuz kitaplara, izlediğiniz filmlere/belgesellere veya takip ettiğiniz YouTube kanallarına yönelik tavsiylerinizi ve/veya yapıcı eleştirel fikirlerinizi girebilmeniz içindir. Tavsiye etmek istediğiniz eseri bulamazsanız, buradan yeni bir kayıt oluşturabilirsiniz. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu platformun ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Önceliğimiz pozitif tavsiyelerdir.
Bu platformu, beğenmediğiniz eserleri yermek için değil, beğendiğiniz eserleri başkalarına tanıtmak için kullanmaya öncelik veriniz. Sadece negatif girdileri olduğu tespit edilenler platformdan geçici veya kalıcı olarak engellenebilirler.
2
Tavsiyenizin içeriği sadece negatif olamaz.
Tavsiye yazdığınız eserleri olabildiğince objektif bir gözlükle anlatmanız beklenmektedir. Dolayısıyla bir eseri beğenmediyseniz bile, tavsiyenizde eserin pozitif taraflarından da bahsetmeniz gerekmektedir.
3
Negatif eleştiriler yapıcı olmak zorundadır.
Eğer tavsiyenizin ana tonu negatif olacaksa, tüm eleştirileriniz yapıcı nitelikte olmak zorundadır. Yapıcı eleştiri kurallarını buradan öğrenebilirsiniz. Yapıcı bir tarafı olmayan veya tamamen yıkıcı içerikte olan eleştiriler silinebilir ve yazarlar geçici veya kalıcı olarak engellenebilirler.
4
Düzgün ve insanca iletişim kurun.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
5
Türkçeyi düzgün kullanın.
Şair olmanızı beklemiyoruz; ancak yazdığınız içeriğin anlaşılır olması ve temel düzeyde yazım ve dil bilgisi kurallarına uyması gerekmektedir.
Eser Ara
Aradığınız eseri bulamadıysanız buraya tıklayarak ekleyebilirsiniz.
Tür Ekle
Üst Takson Seç
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu platform, yaşamış ve yaşayan bütün türleri filogenetik olarak sınıflandırdığımız ve tanıttığımız Yaşam Ağacı projemize, henüz girilmemiş taksonları girebilmeniz için geliştirdiğimiz bir platformdur. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Takson adlarını doğru yazdığınızdan emin olun.
Taksonların sadece ilk harfleri büyük yazılmalıdır. Latince tür adlarında, cins adının ilk harfi büyük, diğer bütün harfler küçük olmalıdır (Örn: Canis lupus domesticus). Türkçe adlarda da sadece ilk harf büyük yazılmalıdır (Örn: Evcil köpek).
2
Taksonlar arası bağlantıları doğru girin.
Girdiğiniz taksonun üst taksonunu girmeniz zorunludur. Eğer üst takson yoksa, mümkün olduğunca öncelikle üst taksonları girmeye çalışın; sonrasında daha alt taksonları girin.
3
Birden fazla kaynaktan kontrol edin.
Mümkün olduğunca ezbere iş yapmayın, girdiğiniz taksonların isimlerinin birden fazla kaynaktan kontrol edin. Alternatif (sinonim) takson adlarını girmeyi unutmayın.
4
Tekrara düşmeyin.
Aynı taksonu birden fazla defa girmediğinizden emin olun. Otomatik tamamlama sistemimiz size bu konuda yardımcı olacaktır.
5
Mümkünse, takson tanıtım yazısı (Taksonomi yazısı) girin.
Bu araç sadece taksonları sisteme girmek için geliştirilmiştir. Dolayısıyla taksonlara ait minimal bilgiye yer vermektedir. Evrim Ağacı olarak amacımız, taksonlara dair detaylı girdilerle bu projeyi zenginleştirmektir. Girdiğiniz türü daha kapsamlı tanıtmak için Taksonomi yazısı girin.
Gönder
Tür Gözlemi Ekle
Tür Seç
Fotoğraf Ekle
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu platform, bizzat gözlediğiniz türlerin fotoğraflarını paylaşabilmeniz için geliştirilmiştir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Net ve anlaşılır görseller yükleyin.
Her zaman bir türü kusursuz netlikte fotoğraflamanız mümkün olmayabilir; ancak buraya yüklediğiniz fotoğraflardaki türlerin özellikle de vücut deseni gibi özelliklerinin rahatlıkla ayırt edilecek kadar net olması gerekmektedir.
2
Özgün olun, telif ihlali yapmayın.
Yüklediğiniz fotoğrafların telif hakları size ait olmalıdır. Başkası tarafından çekilen fotoğrafları yükleyemezsiniz. Wikimedia gibi açık kaynak organizasyonlarda yayınlanan telifsiz fotoğrafları yükleyebilirsiniz.
3
Paylaştığınız fotoğrafların telif hakkını isteyemezsiniz.
Yüklediğiniz fotoğraflar tamamen halka açık bir şekilde, sınırsız ve süresiz kullanım izniyle paylaşılacaktır. Bu fotoğraflar nedeniyle Evrim Ağacı’ndan telif veya ödeme talep etmeniz mümkün olmayacaktır. Kendi fotoğraflarınızı başka yerlerde istediğiniz gibi kullanabilirsiniz.
4
Etik kurallarına uyun.
Yüklediğiniz fotoğrafların uygunsuz olmadığından ve başkalarının haklarını ihlâl etmediğinden emin olun.
5
Takson teşhisini doğru yapın.
Yaptığınız gözlemler, spesifik taksonlarla ilişkilendirilmektedir. Takson teşhisini doğru yapmanız beklenmektedir. Taksonu bilemediğinizde, olabildiğince genel bir taksonla ilişkilendirin; örneğin türü bilmiyorsanız cins ile, cinsi bilmiyorsanız aile ile, aileyi bilmiyorsanız takım ile, vs.
Gönder
Tür Ara
Aradığınız türü bulamadıysanız buraya tıklayarak ekleyebilirsiniz.