Varyasyonel Analizde Optimizasyon: Euler-Lagrange Denklemi

Bir önceki yazımızda; tarihi, Kraliçe Dido'dan 17-18. yüzyıl matematikçilerine ve oradan da günümüze kadar uzanan Eşçevre Problemini tanıtmış, fizik alanındaki bazı uygulamalarını inceleyip, Eşçevre Eşitsizliğinin iki boyutlu reel uzay için ispatını vermiştik. Şimdi, varyasyonel analize bir giriş yapalım.

Varyasyonel Analiz

Geçmişi, Newton ve Leibniz'in 1600'lerdeki çalışmalarına kadar uzanan Varyasyonel Analiz, ilk defa aynı yüzyılda Jacob ve Johann Bernoulli tarafından başlı başına bir alan olarak çalışılmaya başlandı. İlerleyen yüzyıllarda ise Euler, Lagrange ve Laplace tarafından gerçekleştirilen büyük çaplı çalışmalarla oldukça geniş bir alan haline gelen Varyasyonel Analiz, daha sonrasında ise Hamilton, Jacobi, Weierstrass, Dirichlet ve Hilbert'in yaptığı katkılarla günümüz matematiksel analizinin merkezindeki alanlardan biri oldu ve hala, matematiğin bir çok alanından fiziğe ve oradan da mühendisliğe kadar uzanan uygulamalarıyla, günümüz dünyasındaki bir çok büyük ilerlemeye olanak vermeye devam ediyor.

Varyasyonel analiz; en basit haliyle, bir fonksiyon uzayı ile reel uzay arasında tanımlı olan fonksiyonellerin, verilen şartlar altında optimize edilmesi ile ilgilenen bir analiz alanıdır.

Mesela; $J$ fonksiyoneli, $y[σ1,σ2]→ℜy_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re }$ $∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonlarını içeren uzay üzerinde tanımlanmış ve $Fℜ3→ℜ∈C2(ℜ3)F_{\,\Re^3 \to \Re} \, \in C^2(\Re^3)$ olsun,

$ext\,\,\,ext$ $J[y]=∫σ1σ2\,\,\,\,J[y] = \int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $F(x,y(x),y^{'}(x)) \,dx$

$s.t.\,\,\,s.t.$ $y(σ1)=ω1,\,\,\,\,y(\sigma_1)=\omega_1 \,\,,$ $y(σ2)=ω2y(\sigma_2)=\omega_2$

formunda olan optimizasyon probleminin çözümleri yani extremalleri; $J$ fonksiyonelinin, yukarıdaki sınır şartlarını sağlayan bütün fonksiyonlar arasından, maksimum veya minimum değerlerini aldığı fonksiyonlardır.

Yani, daha net bir şekilde ifade etmek gerekirse; eğer $y[σ1,σ2]→ℜ∗y^*_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re }$ $∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonu, yukarıdaki optimizasyon probleminin bir çözümü ise, mesela minimizer fonksiyonu ise yani $J$ fonksiyonelini minimize ediyorsa; $y^*$ fonksiyonunun, $y(σ1)=ω1y(\sigma_1)=\omega_1$ ve $y(σ2)=ω2y(\sigma_2)=\omega_2$ şartlarını sağlayan bütün $y[σ1,σ2]→ℜy_{\,\,{[\sigma_1,\sigma_2]} \to \, \Re }$ $∈C2([σ1,σ2])\,\in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonları için, $J[y∗]≤J[y]J[y^*] \leq J[y]$ eşitsizliğini sağladığını söyleyebiliriz.

Gerçek Analiz ile ilgili diğer içerikler ›

Euler-Lagrange Denklemi

Şimdi, böyle bir $y^*$ extremalini bulabilmek için öncelikle herhangi bir $η(σ1)=η(σ2)=0\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0$ şartını sağlayan $η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonu seçelim ve $y∗ˉ=y∗+ϵη=y∗+δy∗{\bar{y^*}}=y^* + \epsilon \eta=y^*+\delta y^*$ fonksiyonunu tanımlayalım; buradaki $δy∗=ϵη\delta y^* = \epsilon\eta$ fonksiyonu, $y^*$ fonksiyonunun bir varyasyonudur.

Daha sonrasında ise, $ϵ\epsilon$ parametresine bağlı bir $Φ\Phi$ fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım.

$Φ(ϵ)=J[y∗ˉ]=J[y∗+ϵη]\Phi(\epsilon)=J[\bar{y^*}]=J[y^*+\epsilon\eta]$ $=∫σ1σ2=\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $F(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)dxF(x,{y^*}+\epsilon\eta,{y^*}'+\epsilon{\eta}')\, dx$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor. Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak... Daha fazla göster

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$Φ\Phi$ fonksiyonu, $ϵ=0\epsilon=0$ noktasında $J[y^*]$ değerini aldığından ve $y^*$ fonksiyonunu da $J$ fonksiyonelinin extremali olarak seçmiş olduğumuzdan dolayı; $Φ(0)\Phi (0)$ değeri, $Φ\Phi$ fonksiyonunun bir extremum noktasıdır ve böylece $Φ′(0)=0{\Phi}'(0)=0$ olur, yani $ϵ=0\epsilon=0$ için aşağıdaki denklem sağlanır.

${\Phi}'(\epsilon)= \frac {d}{d\epsilon}\,[\,\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $F(x,y∗+ϵηF(x,y^*+\epsilon\eta$ ${y^*}'+\epsilon{\eta}' )\,dx \,]$ $\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $\frac{d}{d\epsilon}\,F(x,\,{y^*}+\epsilon\eta,\,{y^*}'+\epsilon{\eta}')\,]\, dx$ $= 0$

Tam bu noktada bir antiparantez açıp $ddϵF(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)\frac{d}{d\epsilon} F (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}')$ türevinin neye eşit olduğunu detaylıca açıklayalım. Öncelikle, $\epsilon \longmapsto (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}')$ olacak şekilde bir $G=(G_1,G_2,G_3)$ fonksiyonu tanımlayalım; böylece yukarıdaki türevi, $ddϵ(F∘G)\frac{d}{d\epsilon} (\,F \circ G\,)$ $(ϵ)(\epsilon)$ şeklinde yazabiliriz ve fonksiyonların Jacobian matrisleri için:

$ddϵ(F∘G)=[D(F∘G)]=\frac{d}{d\epsilon}(F\circ G)=[D ( F\circ G)] =$ $\circ G ] \times [ DG ]$

yani,

$ddϵ(F∘G)\frac{d}{d\epsilon}(F\circ G)$ $\,\frac{\partial{F}}{\partial{x}} \circ G ,\,\, \frac{\partial{F}}{\partial{y}} \circ G ,\,\, \frac{\partial{F}}{\partial{y^{'}}} \circ G\,] \times$ $[ddϵG1ddϵG2ddϵG3]\begin{bmatrix} \frac{d}{d \epsilon} {G_1} \\ \frac{d}{d \epsilon} {G_2} \\ \frac{d}{d \epsilon} {G_3} \end{bmatrix}$

olduğundan ve

$ddϵG1\frac{d}{d\epsilon} G_1$ $(ϵ)(\epsilon)$ $=ddϵ(x)=\frac{d}{d\epsilon} (x)$ $= 0$ , $ddϵG2(ϵ)=ddϵ(y∗+ϵη)\frac{d}{d\epsilon} G_2 (\epsilon)= \frac{d}{d\epsilon} (y^{*}+\epsilon\eta)$ $=η=\eta$ ve $ddϵG3(ϵ)=ddϵ(y∗′+ϵη′)\frac{d}{d\epsilon} G_3(\epsilon)= \frac{d}{d\epsilon}({y^{*}}'+\epsilon{\eta}')$ $=η′={\eta}'$

olduğundan dolayı,

$ddϵF(x,y∗+ϵη,y∗′+ϵη′)=\frac{d}{d\epsilon} F (x,\, y^{*}+\epsilon\eta, \,{y^{*}}'+\epsilon{\eta}')=$ $ddϵ(F∘G)(ϵ)\frac{d}{d\epsilon} (\,F \circ G\,)(\epsilon)$ $=(∂F∂y∘G)(ϵ)η(x)+(∂F∂y′∘G)(ϵ)η′(x)=(\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \circ G)(\epsilon)\,\, \eta (x) + (\frac{\partial{F}}{\partial{y^{'}}} \circ G)(\epsilon)\,\, {\eta}'(x)$

olur. Böylece:

$Φ′(0)=\,\,{\Phi}'(0)=$ $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $[∂F∂yη+∂F∂y′η′][\,\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta + \frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \, {\eta}' \,]$ $d x$ $= 0$ yani, $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $∂F∂yηdx\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta \, dx$ $+$ $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \, {\eta}'\,dx$ $= 0$

olur.

Agora Bilim Pazarı

Süper Sağlıklı Çocuk El Kitabı

‘Süper Sağlıklı Çocuk El Kitabı’nın yazarı Dr. Nina Shapiro, beslenme, egzersiz, uyku, hijyen, stres, ekran başında geçirilen süre ve daha fazlası hakkında bilinmesi gerekenleri kitap severlerle buluşturdu. Harvard Tıp Okulu’ndan mezun ve uzmanlığı Pediatri olan Dr. Shapiro, sağlıklı kalmanın sırrını, “Ne, neden ve nasıl?” sorularının cevaplarını anne, babave çocuklar için kitabında cevaplıyor.

Her yaştan çocuk ve yetişkinler için erişilebilir bir sağlık kılavuzu olan “Süper Sağlıklı Çocuk El Kitabı” çocukların “Ama neden?” diyerek sorduğu tüm sağlık sorularını cevaplıyor. Hem ebeveynlerin hem çocukların anlayabileceği günlük, sade, mizah dolu ve eğlenceli bir dille uygulanabilir tavsiyelere dönüştüren Dr. Shapiro bu kitapla çocukları sağlıklı ve enerjik olmayı istemeye teşvik etmeyi amaçlıyor.

Tüm yetişkinlerin dikkatine! Çocukların sorularına kulan verin!

Her yaştaki çocuk, vücudunun nasıl çalıştığını ve yetişkinlerin sağlıklı olmak için yapılması gerekenler hakkındaki ısrarlı fikirlerinin nedenlerini bilmek ister. Yetişkinler çocuklara sürekli aşağıdaki gibi şeyler söylerler:

“Kalk artık ekranın karşısından!”
“Sebzelerini bitir!”
“Akşam yemeği yerine kurabiye yiyemezsin!”
“İlaçlarını almalısın!”
“Ellerini sabunla yıka!”
“Geç oluyor! Yatmaya hazırlan!”

Peki ama neden? Çocuklara bunların aslında bir yetişkinin huysuzlukları değil, kendi vücudunun muhteşem işleyişini bozmamak için gerekenler olduğunu anlatmalıyız.

İşte bu kitapta Süper Sağlıklı Çocuk El Kitabı Nina Shapiro okuyucularını; beslenirken, ilaç alırken, egzersiz yaparken, temizlenirken ve dinlenirken vücutta meydana gelenleri basit bir dille anlattığı inanılmaz bir yolculuğa çıkarıyor. Her bölümde çocukların bedenleri ve sağlıkları hakkında kafalarını kurcalayanları hem bilime dayalı hem de yaşlarına uygun açıklamalar ve çizimlerle anlatmaya çalışıyor. Bu yolculuğun sonunda çocuklar, sağlıklı, güçlü, temiz, dinlenmiş ve enerjik olmanın gerçekten de ne anlama geldiğini anlayarak, en sağlıklı hallerine kavuşmak için doğru kararları verebilecek hale dönüşecekler.

Vücudumuzun gerçekten de muhteşem bir çalışma sistemi var. Onun nasıl çalıştığını, etrafımızda olup bitenlerin bedenlerimizi; bedenlerimizin de dış dünyayı nasıl etkilediğini gösteren bilim de bir o kadar havalı. Haydi büyükler ve çocuklar, eğlenerek öğreneceğiz.

Devamını Göster

₺55.00

Satın Al Tüm Ürünler

Dış Sitelerde Paylaş

Daha sonrasında ise $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $∂F∂y′η′dx\frac{\partial{F}}{\partial{y}'} \, {\eta}'\,dx$ $=∫σ1σ2=\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $∂F∂y′dη\frac{\partial{F}}{\partial{y}'} \,\, d{\eta}$ integrali için parçalı integrasyon yapılırsa:

$∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $∂F∂yηdx\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta \, dx$ $+$ $∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta$ $∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $-$ $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $ηd(∂F∂y′)\, \eta \, d(\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}})$ $=$ $∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta$ $∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $+$ $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $∂F∂yη\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \, \eta$ $-$ $ηddx(∂F∂y′)\, \eta \, \frac{d}{dx}(\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}})$ $d x$ $= 0$

eşitliği elde edilir. Öte yandan, $η(σ1)=η(σ2)=0\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0$ olduğundan dolayı, $∂F∂y′η\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}} \eta$ $∣σ1σ2\mid_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $= 0$ olur; yani, eğer $y^*$ fonksiyonu, $J$ fonksiyonelinin bir extremali ise; $η(σ1)=η(σ2)=0\,\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0$ şartını sağlayan her $η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonu için:

$∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $[$ $∂F∂y\frac{\partial{F}}{\partial{y}}$ $−\,-$ $\frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,]\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,)$ $η(x)dx\eta(x) \,\,dx$ $= 0$

eşitliğini sağlar.

Böylece, Euler-Lagrange Denklemine ulaşmamıza son bir adım kalmış oldu. Şimdi; yukarıdaki integrali, $F$ fonksiyonunun bir kısmi diferansiyel denklemine indirgeyerek hedefimize ulaşabilmek için, Varyasyonel Analizin Temel Lemmasını ve bu lemmanın ispatını vereceğiz.

Lemma (Fundamental Lemma of the Calculus of Variations)

$ϕ[σ1,σ2]→ℜ∈C0([σ1,σ2])\phi_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^0([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonu için; her $\eta(\sigma_1)=\eta(\sigma_2)=0$ şartını sağlayan $η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonu, $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $ϕ(x)η(x)dx=0\phi(x) \eta(x) \, dx\,=0$ eşitliğini sağlıyorsa, $ϕ≡0\phi ≡ 0$ yani, her $\in [\sigma_1,\sigma_2]$ için $ϕ(x)=0\phi(x)=0$ olur.

İspat

Çelişki elde ederek ispatlamak için, $ϕ\phi$ fonksiyonunun $x=ξx=\xi$ noktasında sıfıra eşit olmadığını, pozitif olduğunu varsayalım. Bu durumda, $ϕ\phi$ sürekli olduğundan dolayı, $ξ\xi$ noktasının öyle bir $(\xi_0,\xi_1)_{\ni \xi} \subset (\sigma_1,\sigma_2)$ komşuluğu vardır ki, $ϕ∣G\phi |_{G}$ $>0\gt 0$ olur.

Burada bir antiparantez daha: Eğer $ϕ(ξ)>0\phi(\xi) \gt 0$ olması için $ξ=σ1\xi=\sigma_1$ ya da $ξ=σ2\xi=\sigma_2$ olarak seçilirse de, zaten $ϕ\phi$ fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı öyle bir $ξ∗∈(σ1,σ2)\xi^* \in (\sigma_1,\sigma_2)$ vardır ki $ϕ(ξ∗)>0\phi(\xi^*) \gt 0$ olur, bu durumda da öyle $ξ0∗\xi^*_0$ ve $ξ1∗\xi^*_1$ sayıları seçilebilir ki $ξ∗\xi^*$ noktasının $G∗=(ξ0∗,ξ1∗)∋ξ∗⊂(σ1,σ2)G^*= (\xi^*_0,\xi^*_1)_{\ni \xi^*} \subset (\sigma_1,\sigma_2)$ komşuluğu için $ϕ∣G∗>0\phi |_{G^*} \gt 0$ olur ve bu $ξ∗\xi^*$ noktası için de ispata aşağıdaki gibi devam edilebilir.

$η[σ1,σ2]→ℜ∈C2([σ1,σ2])\eta_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonunu da:

$η(x)=\eta(x)=$ ${(x−ξ0)4(x−ξ1)4x∈G0x∉G\begin{cases} ( x-\xi_0 )^4 ( x-\xi_1 )^4 && x \in G \\ 0 && x\notin G \end{cases} \,\,\,$

olarak tanımlayalım.

Bu durumda; $∫Gϕ(x)η(x)dx>0\int_G \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0$ ve $∫[σ1,σ2]∖Gϕ(x)η(x)dx=0\int_{[\sigma_1,\sigma_2]\setminus G} \phi(x) \eta(x) \, dx = 0$ olduğundan dolayı, $∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx>0\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0$ sonucuna ulaşırız. Böylece:

$∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx=0\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx = 0$ $⟹∫σ1σ2ϕ(x)η(x)dx>0\implies \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \phi(x) \eta(x) \, dx \gt0$

şeklinde bir çelişki elde etmiş olduk.

Öyleyse $ϕ(ξ)>0\phi(\xi)\gt0$ olacak şekilde bir $ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2]$ seçemeyiz ve aynı yolu izleyerek $ϕ(ξ)<0\phi(\xi) <0$ olacak şekilde de bir $ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2]$ seçemeyeceğimizi de gösterebiliriz. Böylece $ϕ(ξ)≠0\phi(\xi) \neq0$ olacak şekilde bir $ξ∈[σ1,σ2]\xi \in [\sigma_1,\sigma_2]$ seçemeyeceğimizi göstererek, $ϕ≡0\phi ≡ 0$ olduğunu ispatlamış olduk.

$■\blacksquare$

İşte şimdi; $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $[∂F∂y−ddx∂F∂y′](x,y∗(x),y∗′(x))η(x)dx[\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,]\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,) \,\, \eta(x) \,dx$ $= 0$ eşitliğindeki integrali, $F$ fonksiyonunun bir kısmi diferansiyel denklemi olarak yazabiliriz. Detaylıca açıklayacak olursak, $\longmapsto$ $x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,)$ olacak şekilde bir $H=(H_1,H_2,H_3)$ fonksiyonu tanımlayıp $∂F∂y−ddx∂F∂y′(x,y∗(x),y∗′(x))\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,\,(x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,)$ $\big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big) (x)$ eşitliğini yazarak, Varyasyonel Analizin Temel Lemmasındaki $ϕ[σ1,σ2]→ℜ∈C0([σ1,σ2])\phi_{\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^0([\sigma_1,\sigma_2])$ fonksiyonunu, $([∂F∂y−ddx∂F∂y′]∘H)\big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big)$ fonksiyonu olarak seçtiğimizde, $([∂F∂y−ddx∂F∂y′]∘H)≡0\big( [\frac{\partial{F}}{\partial{y}} \,- \frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}\,] \circ H \big) ≡ 0$ sonucuna ulaşırız.

Yani; eğer $y^*$ fonksiyonu, $J$ fonksiyonelinin bir extremali ise, Euler-Lagrange Denklemi olarak adlandırılan aşağıdaki kısmi diferansiyel denklemi sağlar:

$∂F∂y\frac{\partial{F}}{\partial{y}}$ $x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,)$ $-$ $\frac{d}{dx}\frac{\partial{F}}{\partial{{y}'}}$ $x,\,{y^*}(x),\,{y^*}'(x)\,)$ $= 0$

Böylece; her extremalin, yukarıdaki denklemi sağladığını ispatlamış olduk yani denklemin hiçbir çözümü yoksa fonksiyonelin de hiçbir extremali yoktur; ancak bu durum, tabii ki de bu denklemin her çözümünün bir extremal olduğu anlamına gelmiyor. Extremalin varlığından emin olduğumuz durumlarda; bu extremali, denklemin çözümlerinde ararız ya da bunun üzerine extremalin tekliğinden de eminsek, yani ilgilendiğimiz fonksiyonel bahsettiğimiz durumlarla ilgili olan teoremlerin şartları ile uyuşuyorsa, denklemin tek çözümü olan fonksiyonun, extremal olduğunu söyeleyebiliriz.

Son bölümümüzde de Leonhard Euler ve Joseph-Louis Lagrange'ın isim verdiği bu denklemin bazı uygulamalarından bahsederek yazımızı sonlandıralım.

Euler-Lagrange Denklemi ile Optimizasyon

İki Nokta Arasındaki Minimal Eğri

En basit örneklerden bir tanesi ile başlayalım: düzlemdeki iki nokta arasındaki en kısa eğri. Cevabın, sezgisel olarak, bir doğru parçası olduğu çok açık olsa da biz bu sonuca, Varyasyonel Analiz ile nasıl ulaşabileceğimiz üzerinde duralım:

$\,\,\,\,$ $∫σ1σ2\int_{\sigma_1}^{\sigma_2}$ $1+(u′)2dx\sqrt{1+(u')^2}\, dx$

$s.t.s.t.\,\,\,\,$ $u(σ1)=ω1u(\sigma_1)=\omega_1$ $\, u(\sigma_2)=\omega_2$

Yani, düzlemdeki herhangi iki nokta, $(σ1,ω1)(\sigma_1,\omega_1)$ ve $(σ2,ω2)(\sigma_2,\omega_2)$ , arasındaki $u[σ1,σ2]→ℜ∈C2u_{\,\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2$ eğrilerinden hangisinin yay uzunluğu daha azdır?

Antiparantez; esasında, $ζ[κ1,κ2]→ℜ2∈C2\zeta_{\,\,[\kappa_1,\kappa_2] \to \Re^2}\in C^2$ parametrize eğrileriyle yani problemin daha genel bir domainiyle çalışmak daha doğru olurdu ancak; cevabın, $u[σ1,σ2]→ℜ∈C2u_{\,\,[\sigma_1,\sigma_2] \to \Re} \in C^2$ eğrilerinden olması gerektiği sezgisini kabul edip bu eğriler üzerine oluşturmuş olduğumuz denklemimizi kullanarak ve extremalin varlığını ise, ilerleyen problemlerde de, varsayarak cevap vereceğiz.

$L(x,u,u′)=1+(u′)2L(x,u,u')=\sqrt{1+(u')^2}\,$ olmak üzere, $∂L∂u\frac{\partial L}{\partial u}$ $= 0$ ve $∂L∂u′=u′1+(u′)2\frac{\partial L}{\partial u'} = \frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}\,}$ olduğundan dolayı,

Euler-Lagrange Denklemi: $∂L∂u\frac{\partial L}{\partial u}$ $\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial u'}$ $=$ $\frac{d}{dx}$ $\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} )$ $= 0$ eşitliğini elde ederiz, böylece:

$\frac{d}{dx}$ $\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} )$ $\frac {u''\sqrt{1+(u')^2} - (1+(u')^2)^{- \frac{1}{2}}u'u'u''}{1+(u')^2}$ $= 0$

olur $1+(u')^2)$ ile çarparak:

$u′′1+(u′)2u''\sqrt{1+(u')^2}$ $(1+(u')^2)^{- \frac{1}{2}}u'u'u''$

eşitliğini elde edip, her iki tarafı $1+(u′)2\sqrt{1+(u')^2}$ ile çarpıp:

$1+(u')^2)\,u''$ $u')^2\,u''$ yani, $1+(u')^2) - (u')^2 ] \, u'' = 0$

sonucuna ulaşmış oluruz.

Yani, $u^{''} = 0$ olduğundan dolayı, denklemin çözümü, bir doğru parçasıdır.

Minimal Revulasyon Yüzeyi

Bir diğer klasik problem ise Minimal Revulasyon Yüzeyi, yani konusu, $v[−t,t]→ℜ∈C2v_{\,\,[-t,t] \to \Re} \in C^2$ fonksiyonlarının $x$ ya da $y$ ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan yüzeyler arasından minimum alana sahip olanı bulmak olan problem... Bu problemde, verilen sınır şartlarına uyan bütün $v[−t,t]→ℜ∈C2v_{\,\,[-t,t] \to \Re} \in C^2$ fonksiyonları arasından hangisinin, $x$ ekseninde döndürülünce minimum alana sahip yüzeyi oluşturduğu üzerinde duracağız:

$\,\,\,\,$ $\pi \int_{-t}^{\,t}$ $\sqrt{1+(v'(x))^2}\,\,dx$

$\,\,\,\,$ $v (- t) = v (t) = r$

Şimdi, fonksiyonelin integrandı olan fonksiyonun $x$ değişkenine bağlı olmadığı, yani $L(z,ϕ)L(z,\phi)$ formunda olduğu, yukarıdaki gibi problemler için daha sade bir denklem yazalım. $L$ fonksiyonunun $x$ değişkenine bağlı türevini açıp,

$ddxL(u,u′)=\frac{d}{dx} L(u,u') =$ $∂L∂z(u,u′)u′\frac{\partial L}{\partial z} (u,u')\, u'$ $+∂L∂ϕ(u,u′)u′′+\, \frac{\partial L}{\partial {\phi}}(u,u') \, u''$

eşitliğini elde ettikten sonra,

$L$ fonksiyonu için Euler-Lagrange Denklemi: $∂L∂z\frac{\partial L}{\partial z}$ $=ddx∂L∂ϕ=\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial \phi}$ olduğundan dolayı,

$ddxL(u,u′)=\frac{d}{dx} L(u,u') =$ $u^{'}$ $ddx∂L∂ϕ\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial \phi}$ $(u, u^{'})$ $+∂L∂ϕ(u,u′)u′′+\, \frac{\partial L}{\partial {\phi}}(u,u') \, u''$ $\frac{d}{dx}[ \frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u' ]$

eşitliğini elde ederiz, böylece,

$ddx[L(u,u′)−\frac{d}{dx}[ L(u,u')-$ $∂L∂ϕ(u,u′)u′]\frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u' ]$ $= 0$ yani herhangi bir $C$ sabiti için, $L(u,u')-\frac{\partial L}{\partial \phi}(u,u')\, u'$ $=$ $C$ olur ve istediğimiz sadeleştirilmiş denkleme ulaşmış oluruz.

Minimal Revulasyon Yüzeyi problemimize geri dönecek olursak:

$∂L∂ϕ(v,v′)v′\frac{\partial L}{\partial \phi}(v,v')\, v'$ $=v′(x)∂∂ϕ[v(x)1+(v′(x))2]=v'(x)\, \frac{\partial}{\partial \phi} [v(x) \sqrt{1+(v'(x))^2}\,]$ $\frac{v(x)(v'(x))^2}{\sqrt{1+(v'(x)^2)}}$

olduğundan dolayı, Sadeleştirilmiş Euler-Lagrange Denklemi:

$\sqrt{1+(v'(x))^2}$ $−v(x)(v′(x))21+(v′(x)2)-\,\frac{v(x)(v'(x))^2}{\sqrt{1+(v'(x)^2)}}$ $\frac{1}{c}$

olur.

Böylece, her iki tarafı $\sqrt{1+(v'(x))^2}$ ile çarparak, $\sqrt{1+(v'(x))^2}$ eşitliğine ulaşırız.

Öte yandan, $\sqrt{1+(v'(x))^2}$ $≥1\ge 1$ olduğundan dolayı $v≥1cv\ge \frac{1}{c}$ olduğu açıktır ve yukarıdaki denklemden, $v(x)=1c⟺v′(x)=0v(x)=\frac{1}{c} \iff v'(x)=0$ sonucuna ulaşılabileceğinden ötürü $v$ fonksiyonunun minimum değerinin $1c\frac{1}{c}$ olduğunu bulmuş oluruz.

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının karesini alarak elde edeceğimiz $c^2v(x)^2-(v'(x))^2=1$ denkleminde her iki tarafında türevini aldığımızda, $2c^2 v(x) v'(x) -2v'(x)v''(x)$ $= 0$ yani, $v''(x)=c^2v(x)$ sonucuna ulaşırız ki bu denklemin çözümü de basitçe $v(x)=Y12ecx+Y22e−cxv(x)=\frac{Y_1}{2}e^{cx}+\frac{Y_2}{2}e^{-cx}$ fonksiyonudur.

Yüzeysel bir şekilde geçecek olursak, $v′′>0v''\gt0$ yani $v^{'}$ fonksiyonun monoton artıyor olmasıyla, diğer bir deyişle $v$ fonksiyonun minimuma kadar mutlak azalan sonrasında mutlak artan oluşu ile, çözümün tekliği varsayımı, fonksiyonun $y$ eksenine göre simetrik olmasını yani fonksiyonun çiftliğini gerektirir ve böylece, $Y_1=Y_2$ yani $v(x)=Y1(ecx+e−cx2)v(x)=Y_1(\frac{e^{cx} + \,e^{-cx}}{2})$ $Y_1\, cosh(cx)$ olur ve $v$ fonksiyonunun türevinin sıfıra eşit olması için yani $Y12(cecx−ce−cx)=0\frac{Y_1}{2}(ce^{cx}-ce^{-cx}) =0$ olması için de $x = 0$ olması gerektiği de açıktır. Dolayısıyla $v$ fonksiyonu $x = 0$ değerinde minimum değerini alır ve bu minimumun $1c\frac{1}{c}$ olduğunu yukarıda bulmuş olduğumuzdan dolayı $v(0)=1cv(0)=\frac{1}{c}$ sonucuna ulaşırız. Öte yandan $v(0)=Y_1$ olduğundan dolayı da, $1c=Y1\frac{1}{c}=Y_1$ sonucuna ulaşırız.

Yani yüzeyi minimize eden fonksiyon: $v(x)=1ccosh(cx)v(x)=\frac{1}{c}\,cosh(cx)$ fonksiyonu olur ve bu eğri Catenary Eğrisi olarak isimlendirilir. Ve böylece minimal yüzeyimiz de, bu eğrinin $x$ ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan Catenoid Minimal Yüzeyi olmuş olur.

İlk başta, iki nokta arasındaki minimal eğri, o noktalar arasındaki doğru parçası olduğundan dolayı minimal yüzeyi oluşturacak fonksiyonun da bu doğru parçası olması gerektiği gibi bir sezgisel yanılgıya düşülebilse de problemin tek parametresi bu olmadığından dolayı, yüzeysel bir anlatımla da olsa, yukarıdaki sonuca ulaştık. Yani, $(−t,v(−t))(-t,\,v(-t))$ ve $(t,v(t))(t,\,v(t))$ noktaları arasındaki eğrinin uzunluğunu artırmak pahasına eğriyi $x$ eksenine yaklaştırarak oluşacak yüzeyin çeşitli dikey kesitlerinin çaplarını azaltarak toplamdaki yüzey alanını azalttık, eğer eğriyi olması gerektiğinden fazla uzatsaydık bu sefer de yüzey alanını artırmaya başlamış olacaktık, en nihayetinde bu dengeyi sağlayarak yüzey alanını minimize eden fonksiyonu ve böylece aşağıdaki Catenoid Minimal Yüzeyini bulmuş olduk.

Minimal Yüzeyler

$\subset \Re^2$ olmak üzere $vU→ℜ3v_{\,\,U\to \Re^3 }$ $∈C1(Uˉ)\in C^1(\bar{U})$ yüzey paratmerizasyonları ve $g$ $∂U→ℜ_{\,\,{\partial U}\to \Re}$ olsun.

$\,\,\,\,\, A[v]=\int_U \sqrt{1+| \nabla v|^2\,\,}\,dx$

$\,\,\,\,\,$ $v∣∂U=gv|_{\partial U} = g$

formunda olan Minimal Yüzey Problemi, tanım kümesinin sınırında, verilmiş bir $g∂U→ℜg_{\,\,{\partial U}\to \Re}$ fonksiyonuna eşit olan $v=(v_1(x_1,x_2),\,v_2(x_1,x_2),\,v_3(x_1,x_2))$ yüzeyleri arasından hangisinin minimum alana sahip olduğu üzerinedir.

$uU→ℜ3∈C2(U)u_{\,\,U\to \Re^3 } \in C^2(U)$ fonksiyonu problemin bir çözümü ise aşağıdaki Euler-Lagrange Denklemini yani bu problemdeki isimiyle Minimal Yüzey Denklemini sağlar:

$∂∂x1(∂u∂x11+∣∇u∣2)+∂∂x2(∂u∂x21+∣∇u∣2)=0\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2\,\,}})\,+\, \frac{\partial}{\partial x_2} (\frac{\frac{\partial u}{\partial x_2}}{\sqrt{1+|\nabla u|^2\,\,}}) = 0$

Sonuç

Bu yazımızda ise, matematiksel analizin bir alanı olan Varyasyonel Analizi ve bu alanın en basit Optimizasyon Problemlerinden bazılarını tanıtıp Euler-Lagrange Denklemi'nden bahsederek matematiksel analiz teorilerindeki uygulamalarına örnekler verdik. Bir sonraki yazımızda ise bir çeşit Optimizasyon Problemi olan Kraliçe Dido Problemi'ni tanıtıp, bu problemin çözümüne dair, tüm zamanların en iyi matematikçilerinden olan Leonhard Euler ve Joseph-Louis Lagrange'ın 18. yüzyılın ortalarında yaptıkları çalışmalara dayanan iki farklı ispat vereceğiz.

Bu Makaleyi Alıntıla

Okundu Olarak İşaretle

Paylaş
Alıntıla
Alıntıları Göster

Paylaş

Sonra Oku

Notlarım

Yazdır / PDF Olarak Kaydet

Bize Ulaş

Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?

Kaynaklar ve İleri Okuma

R. Courant, et al. (1953). Methods Of Mathematical Physics Vol. Ii.
P. Olver. (2019). Introduction To The Calculus Of Variations.
J. Figueroa-O'Farrill. Brief Notes On The Calculus Of Variations. Alındığı Tarih: 19 Eylül 2020. Alındığı Yer: The University of Ediburgh | Arşiv Bağlantısı
E. Miersemann. Calculus Of Variations. (1 Ekim 2012). Alındığı Tarih: 19 Eylül 2020. Alındığı Yer: Leipzig University | Arşiv Bağlantısı
R. Cristoferi. Calculus Of Variations. (9 Mayıs 2016). Alındığı Tarih: 19 Eylül 2020. Alındığı Yer: Carnegie Mellon University | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 23/04/2024 20:27:52 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9299

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Kategoriler ve Etiketler

Tümünü Göster