Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat
Tüm Reklamları Kapat

Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?

Green, Diverjans ve Stokes Teoremleri Nelerdir ve Ne İçin Kullanılır?

11 dakika
2,090
Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir? Öğrenci Gündemi
Tüm Reklamları Kapat

Fizik ve mühendislik gibi alanlarda kullanılan birçok matematiksel metot ve teorem vardır. Bu metotlar arasında türev ve integral gibi evreni iyi şekilde anlamamızı ve açıklamamızı sağlayan yöntemler de bulunur. Bu yazıda ise Green, Diverjans ve Stokes teoremlerinden ve bu teoremleri anlamak ve kullanmak için bilinmesi gereken eğrisel integral, yüzey ve hacim integrallerinden bahsedilecektir.

Eğrisel İntegral

EE, üç boyutlu uzayda herhangi bir bölge, 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) bu bölge üzerinde sürekli bir fonksiyon ve yer değiştirme vektörünün gösterimi 𝑟⃗=𝑥𝑖^+𝑦𝑗^+𝑧𝑘^ 𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂+ 𝑦𝑗̂+ 𝑧𝑘̂ olan CC eğrisi de EE bölgesinde tanımlı bir eğri olsun. Böylelikle 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) fonksiyonu CC eğrisi üzerinde sürekli olacaktır.

Bu CC eğrisinin (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0), (𝑥1,𝑦1,𝑧1)(𝑥_1, 𝑦_1, 𝑧_1), … , (𝑥𝑛,𝑦𝑛,𝑧𝑛)(𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑧_𝑛) noktalarına karşılık gelen değerlerine 𝐴0𝐴_0, 𝐴1𝐴_1, 𝐴2𝐴_2, … , 𝐴n𝐴_n; eğri parçalarına 𝐴0𝐴1𝐴_0𝐴_1, 𝐴1𝐴2𝐴_1𝐴_2, … , An−1AnA_{n-1}A_n ve bu eğri parçalarının uzunluklarına da Δl1\Delta l_1, Δl2\Delta l_2, … , Δln\Delta l_n diyelim. Basitçe, eğrisel bir şekilde tuttuğunuz ipi veya gideceğiniz eğrisel bir yollu belli parçalara böldüğünüzü hayal edebilirsiniz.

Tüm Reklamları Kapat

𝑓(𝑥𝑘,𝑦𝑘,𝑧𝑘)𝑓(𝑥_𝑘, 𝑦_𝑘, 𝑧_𝑘), 𝐴k−1𝐴𝑘𝐴_{k-1} 𝐴_𝑘 eğri parçasının herhangi bir noktası olmak üzere

lim⁡n→∞∑k=1nf(xk,yk,zk)Δlk\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k,z_k)\varDelta l_k

limiti matematiksel olarak aşağıdaki ifadeye eşit olur:

∫f(𝑥,𝑦,𝑧)d𝑙\int f(𝑥, 𝑦, 𝑧) d𝑙

Tüm Reklamları Kapat

Buna da 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) fonksiyonunun CC eğrisi üzerindeki eğrisel integrali denir.

Aslında buradaki d𝑙d𝑙d𝑟⃗d𝑟⃗ vektörünün büyüklüğü, CC eğrisi üzerindeki yay elemanı veya sonsuz küçüklükte bir yer değiştirme parçasıdır.

d𝑙=∣d𝑟⃗∣d𝑙 = |d𝑟⃗|

d𝑙=∣d𝑟⃗∣=(d𝑥)2+(d𝑦)2+(d𝑧)2d𝑙 = |d𝑟⃗| = \sqrt{(d𝑥)^2 + (d𝑦)^2 + (d𝑧)^2}

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Bundan dolayı d𝑟⃗=(d𝑥)𝑖^+(d𝑦)𝑗^+(d𝑧)𝑘^d𝑟⃗ = (d𝑥)𝑖̂+ (d𝑦)𝑗̂+ (d𝑧)𝑘̂ diferansiyel yer değiştirme vektörü, CC eğrisi üzerinde tanımlı Ψ(x,y,z)\varPsi (x,y,z) bir skaler fonksiyon ve F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)=𝐹1𝑖^+𝐹2𝑗^+𝐹3𝑘^\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹_1𝑖̂+ 𝐹_2𝑗̂+ 𝐹_3𝑘̂ bir vektörel fonksiyon olmak üzere kartezyen koordinat sisteminde belli başlı integraller şöyle tanımlanabilir:

∫CΨ(x,y,z)dr⃗=iˆ∫CΨ(x,y,z)dx+jˆ∫CΨ(x,y,z)dy+kˆ∫CΨ(x,y,z)dz∫CF⃗(x,y,z)⋅dr⃗=∫CF1(x,y,z)dx+∫CF2(x,y,z)dy+∫CF2(x,y,z)dz∫CF⃗(x,y,z)×dr⃗=∫C∣iˆjˆkˆF1F2F3dxdydz∣\int\limits_C \varPsi(x,y,z) d\vec{r} = \^i\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dx }+ \^j\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dy }+\^k\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dz }\\
\int\limits_C \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{r} = \int\limits_C F_1(x,y,z) dx+ \int\limits_C F_2(x,y,z) dy+ \int\limits_C F_2(x,y,z) dz\\

\int\limits_C \vec{F}(x,y,z)\times d\vec{r} = \int\limits_C \begin{vmatrix}
\^i & \^j&\^k \\
F_1 & F_2&F_3\\
dx&dy&dz
\end{vmatrix}

Eğer xy-düzleminde çalışılırsa ve gidilen yolun denklemi 𝑥=𝑥(𝑦)𝑥 = 𝑥(𝑦) veya y=y(x)y = y(x) şeklinde verilmiş ise denklem,

dl=(dx)2+(dy)2=1+(dy/dx)2dx=1+[y′(x)]2dxdl = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} =\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx =\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx

şeklinde bulunur ve integral de

  1. I=∫c𝑓(𝑥,𝑦)dl=∫xaxbf[𝑥,𝑦(𝑥)]1+[𝑦′(𝑥)]2dxI = \int_c𝑓(𝑥, 𝑦) dl = \displaystyle\int_{x_a}^{x_b}f[𝑥, 𝑦(𝑥)]\sqrt{1 + [𝑦′(𝑥)]^2}dx

olarak hesaplanır.

Tüm Reklamları Kapat

Tekrardan xy-düzlemine dönelim, ancak bu sefer xx ve yy fonksiyonu tt'ye bağlı fonksiyonlar olsun. Yani 𝑥=𝑥(t)𝑥 = 𝑥(t) ve y=y(t)y = y(t) şeklinde verilmiş ise denklemler

dx=(dx/dt)dtdx={(dx/dt)}dt ve dy=(dy/dt)dtdy = {(dy/dt)}dt

dl=[(dx/dt)dt]2+[(dy/dt)dt]2=[𝑥′(𝑡)]2+[𝑦′(𝑡)]2dtdl = \sqrt{{[(dx/dt)dt]^2}+{[(dy/dt)dt]^2}} = \sqrt{[𝑥′(𝑡)]^2 + [𝑦′(𝑡)]^2}dt

Tüm Reklamları Kapat

olarak bulunur ve integral de

I=∫c𝑓(𝑥,𝑦)dl=∫tatbf[𝑥(t),𝑦(t)][x′(t)]2+[𝑦′(𝑥)]2dxI = \int_c𝑓(𝑥, 𝑦) dl = \displaystyle\int_{t_a}^{t_b}f[𝑥(t), 𝑦(t)]\sqrt{[x'(t)]^2 + [𝑦′(𝑥)]^2}dx

şeklinde hesaplanır.

İntegral alırken yolun bu kadar önemli olmasının sebebi, fonksiyonların yola bağımlı veya bağımsız olmasıdır. Basit bir örnek olarak iş kavramını ele alalım. F⃗\vec{F} kuvvetinin yaptığı net iş

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Dâhiler Sınıfı - Pablo Picasso: Sınır Tanımaz Sanatçı

DÂHİLER SINIFI: OKUMASI KOLAY, UNUTMASI ZOR

Dünyayı görme biçimimizi değiştiren isyankâr bir sanatçı.Ve onun, resimleri kadar sıra dışı ve renkli yaşam öyküsü.

Büyük ilgi gören Dâhiler Sınıfı serisi PABLO PICASSO: SINIR TANIMAZ SANATÇI ile devam ediyor.

Dâhiler Sınıfı Serisi Hakkında:

Bunlar, her biri kendi yöntemiyle; kelimeleriyle, icatlarıyla, seçimleriyle ve hatta kaderleriyle dünyayı değiştirmiş kadınların ve erkeklerin hayat hikâyeleri; şaşkınlık ve hayranlık duymanızı sağlayacak, hayal gücü ve merak duygunuzu harekete geçirecek büyüleyici hikâyeler. Dâhiler Sınıfı serisi bu özel insanları çocuklarla (9 yaş ve üstü) tanıştırmak üzere tasarlandı. İlk olarak yayımlandığı İtalya’da büyük övgü toplayan ve ardından pek çok dile çevrilen Dâhiler Sınıfı, minik ebadı, renkli illüstrasyonları, bilgiyi heyecan ve macerayla birleştiren anlatımıyla çocukların kolay okuyacağı, zor unutacağı, onlara öğrendiklerinden daha da fazlasını merak ettirecek bir seri.

Devamını Göster
₺140.00
Dâhiler Sınıfı - Pablo Picasso: Sınır Tanımaz Sanatçı
  • Dış Sitelerde Paylaş

W=∫rarbF⃗⋅d𝑟⃗W = \displaystyle\int_{r_a}^{r_b}\vec{F} \cdot{d𝑟⃗}

şeklinde tanımlanır. Buradaki kuvvet yoldan bağımsız bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif kuvvet denir. Yer çekimi kuvveti buna bir örnek olabilir.

Yer çekimi kuvvetinin yoldan bağımsız yani konservatif bir kuvvet olduğunu gösteren bir görsel.
Yer çekimi kuvvetinin yoldan bağımsız yani konservatif bir kuvvet olduğunu gösteren bir görsel.
Wikipedia

Yer çekimi, yoldan bağımsız olduğu için yaptığı iş de kolaylıkla

W=F⃗⋅Δ𝑟⃗W = \vec{F}\cdot{\Delta𝑟⃗}

şeklinde hesaplanabilir. Fakat F⃗\vec{F} kuvveti yola bağımlı bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif olmayan kuvvet denir ve sürtünme kuvveti bu kuvvete en uygun örnektir.

Wikipedia

Yukarıdaki resimde A'dan B'ye giden soldaki yola 1 numaralı yol, ortadakine 2 numaralı yol, sağdaki yola da 3 numaralı yol diyelim. Bir kutuyu A noktasından B noktasına zeminin sürtünmeli olduğu bir ortamda taşımaya çalışırsak yolun öneminin ne kadar önemli olduğunu anlarız, çünkü 3. yol diğer yollara göre daha uzun olduğundan en çok iş yapmamızı yani enerji harcamamızı gerektirecektir.

Yüzey İntegrali

Yüzey integraline başlamadan önce nabla operatörünün ve gradyan hesabının nasıl yapıldığı ve ne olduğunun bilinmesi gerekir. O yüzden anlatılacak konuları daha iyi anlamak için bu yazıyı okuyabilirsiniz. Yüzey integralini hesaplarken

  • Yüzey elemanı,
  • Yüzey normal birim vektör yönü,
  • Diferansiyel yüzey eleman vektörün tanımlanması gerekir.

Eğer SS yüzeyi kapalı ise, 𝑛^𝑛̂ birim vektörü SS yüzeyine dik ve dışarı doğrudur. S S yüzeyi açık ise yani çift yüzlü bir yüzey ise, yüzeyin normal vektörü sağ dört parmağı integralin yönünü göstermek üzere baş parmak yönündedir. Herhangi bir SS yüzeyinin dS⃗d\vec{S} diferansiyel yüzey elemanı büyüklüğü d𝑆d𝑆’ye eşit, yönü de 𝑛^ 𝑛̂ normal birim vektörü yönünde olan bir vektördür. Böylece dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆 olmak üzere S yüzeyi üzerinden alınan yüzey integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

∬SΨ(x,y,z)dS∬SF⃗(xyz)⋅dS⃗=∬SF⃗(x,y,z)⋅nˆdS⃗∬SF⃗(x,y,z)×dS⃗\iint\limits_S \varPsi(x,y,z)dS\\
\iint\limits_S \vec{F}(xyz)\cdot d\vec{S}= \iint\limits_S \vec{F}(x,y,z) \cdot \^n d\vec{S}\\
\iint\limits_S \vec{F}(x,y,z)\times d\vec{S}

Üç boyutta SS yüzeyi genellikle 𝑔(𝑥,𝑦,𝑧)=0 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 formunda bir denklem ile verilir. ∇⃗g\vec{\nabla}g vektörü her noktada yüzeye diktir. Yüzeye dik vektör

Tüm Reklamları Kapat

𝑛^=∇⃗g/∣∇⃗g∣𝑛̂ = \vec{\nabla}g/|\vec{\nabla}g|

kapalı yüzeyde 𝑛^𝑛̂'nin yönü dışarıya doğru tanımlanır. SS yüzeyi üzerindeki 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) noktasında

dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆

dSdS yüzey vektörü, 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) de SS yüzeyine dik xy-düzlemindeki d𝐴=d𝑥d𝑦d𝐴 = d𝑥 d𝑦 dikdörtgen elemanın izdüşümüyle yapılandırılmışsa xy-düzlemine dik vektör

Tüm Reklamları Kapat

𝑛^d𝑆⋅𝑘^=∣𝑛^⋅𝑘^∣d𝑆=d𝑥d𝑦(∗∗∗)𝑛̂ d𝑆 ⋅ 𝑘̂ = |𝑛̂ ⋅ 𝑘̂|d𝑆 = d𝑥 d𝑦 (∗∗∗)

𝑛^𝑛̂ 'nün kosinüs yönleri (cos𝛼 , cos𝛽 , cos 𝛾) ile gösterilirse, bu denklem

d𝑆=∣sec⁡(γ)∣d𝑥d𝑦d𝑆 = |\sec(\gamma)|d𝑥 d𝑦

ve denklem (***)'den

Tüm Reklamları Kapat

cos⁡(γ)=∓((∇⃗g/dz)/[(∂g/dx)2+(∂g/dy)2+(∂g/dz)2]\cos(\gamma) = \mp((\vec{\nabla}g/dz)/[\sqrt{(\partial{g}/dx)^2+(\partial{g}/dy)^2+(\partial{g}/dz)^2}]

Özellikle de 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ile verilirse burada 𝑔:𝑔(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑧−𝑓(𝑥,𝑦)𝑔: 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑓(𝑥, 𝑦) ve

cos⁡(γ)=1/[1−(∂f/dx)2+(∂f/dy)2]\cos(\gamma) = 1/[\sqrt{1-(\partial{f}/dx)^2+(\partial{f}/dy)^2}]

dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆 ile tanımlanırsa

Tüm Reklamları Kapat

∬SF⃗⋅dS⃗=∬SF⃗⋅𝑛^dS=∬AF⃗⋅𝑛^(dxdy/∣𝑛^⋅𝑘^∣)\iint_S\vec{F}\cdot{d\vec{S}} = \iint_S\vec{F}\cdot{𝑛̂dS} = \iint_A\vec{F}\cdot{𝑛̂(dxdy/|𝑛̂ ⋅ 𝑘̂|)}

şeklinde hesaplanır.

Hacim İntegrali

Hacim integrali, çizgisel integral ve yüzey integraline nazaran daha kolay hesaplanmaktadır; çünkü hacimde bir yön belirtilmez, yani d𝑉=d3𝑟d𝑉 = d^3𝑟 skaler bir niceliktir. SS kapalı yüzeyi tarafından çevrili olan VV hacminin integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

∭VΨ(x,y,z)dV∭VF⃗(x,y,z)dV\iiint\limits_V \varPsi(x,y,z) dV\\
\iiint\limits_V \vec{F}(x,y,z) dV

Tüm Reklamları Kapat

Burada diferansiyel hacim elemanı kartezyen koordinat sisteminde d𝑉=d𝑥d𝑦d𝑧d𝑉 = d𝑥d𝑦d𝑧 şeklinde yazılır.

Düzlemde Green Teoremi

Düzlemde 𝑃(𝑥,𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) ve 𝑄(𝑥,𝑦)𝑄(𝑥, 𝑦) gibi kısmi türevleri sürekli iki fonksiyon ele alalım. Bu düzlemde bir DD yüzeyi ve bunu çevreleyen bir CC kapalı eğrisi olsun. Bu durumda Green Teoremi, kısmi türevlerin yüzey içindeki integralini, CC üzerinden çizgisel integrale

∮P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy=∬D(∂Q(x,y,z)∂x−∂P(x,y,z)∂y)dxdy\oint P(x,y,z) dx +Q(x,y,z) dy = \iint\limits_D(\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial x }-\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial y}) dxdy

şeklinde dönüşür.

Tüm Reklamları Kapat

pngwing

Green Teoremi Stokes Teoremi'nin tek düzlem için özel bir durumudur. Green Teoremi için CC eğrisinde pozitif yönde, yani saatin tersi yönünde ilerlenmelidir.

Khan Academy

Aslında Green Teoremi'nin anlatmak istediği şey gayet basittir. Yukarıdaki görselde bir bölge iki parçaya bölünmüş, iki alanın sınırları üzerinden eğrisel integral alınmış ve ortadaki zıt yönlü eğrisel integraller birbirini götüreceği için kalan tüm alanın sınır işi yani sınırı üzerinden integralidir. Bu alanı ne kadar çok parçaya bölersek bölelim sonuç değişmeyecektir. Bu yüzden üstteki alan üzerinden alınan integral ile üsteki alanı çevreleyen sınır üzerinden alınan integral eşit olacaktır.

Diverjans (Gauss) Teoremi

F⃗\vec{F} vektör alanı, iki boyutlu kapalı bir yüzeyi ve bu yüzeyin çevrelediği VV hacminde tanımlı olsun. F⃗\vec{F} vektörünün her bir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise diverjans teoremi

∯SF⃗⋅dS⃗=∬SF⃗⋅nˆdS=∭V(∇⃗⋅F⃗)dV\oiint\limits_S \vec{F} \cdot d \vec{S} = \iint\limits_S \vec{F}\cdot\^n dS = \iiint\limits_V (\vec{\nabla}\cdot \vec{F})dV

Tüm Reklamları Kapat

şeklinde verilir. Bu teorem bize bir vektörün diverjansının hacim üzerinden integralinin aynı vektörün o hacmi sınırlayan kapalı alan üzerinden alınan integrale eşit olduğunu söyler.

F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)=𝐹x𝑖^+𝐹y𝑗^+𝐹z𝑘^\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹_x𝑖̂+ 𝐹_y𝑗̂+ 𝐹_z𝑘̂ ve ∇⃗⋅F⃗=∂Fx/∂x+∂Fy/∂y+∂Fz/∂z\vec{\nabla}\cdot{}\vec{F} = \partial{F_x}/\partial{x} + \partial{F_y}/\partial{y}+ \partial{F_z}/\partial{z}

SS yüzeyinin birim normal vektörü

𝑛^=𝑛1𝑖^+𝑛2𝑗^+𝑛3𝑘^𝑛̂ = 𝑛_1𝑖̂+ 𝑛_2𝑗̂+ 𝑛_3𝑘̂

Tüm Reklamları Kapat

𝑛1=𝑛^⋅𝑖^=cos⁡(α),𝑛2=𝑛^⋅𝑗^=cos⁡(β),𝑛3=𝑛^⋅𝑘^=cos⁡(γ)𝑛_1 = 𝑛̂ ⋅ 𝑖̂= \cos(\alpha),𝑛_2 = 𝑛̂ ⋅ 𝑗̂ = \cos(\beta),𝑛_3 = 𝑛̂ ⋅ 𝑘̂ = \cos(\gamma)

F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)⋅𝑛^=𝐹𝑥cos⁡(α)+𝐹𝑦cos⁡(β)+𝐹𝑧cos⁡(γ)\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⋅ 𝑛̂ = 𝐹_𝑥\cos(\alpha) + 𝐹_𝑦 \cos(\beta)+ 𝐹_𝑧\cos(\gamma)

şeklindedir ve diverjans teoremi

∯(Fxcosα+Fycosβ+Fzcosγ)dS=∭V(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z)dV\oiint(F_x cos \alpha + F_y cos \beta +F_z cos\gamma)dS=\iiint\limits_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV

Tüm Reklamları Kapat

şeklinde de yazılıp hesaplanabilir.

Mühendis Beyinler

Stokes Teoremi

Stokes Teoremi'nde Green Teoreminde olduğu gibi tek düzlemde çalışılmaz. Üç boyutlu uzayda bir CC eğrisi ile sınırlandırılmış açık bir SS yüzeyinde tanımlı 𝐹⃗(𝑥,𝑦,𝑧)\vec𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) vektör alanı sürekli ise Stokes Teoremi

∮cF⃗⋅dr⃗=∬S(∇⃗×F⃗)⋅dS⃗=∬S(∇⃗×F⃗)⋅nˆdS⃗\oint\limits_c \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint\limits_S(\vec{\nabla}\times\vec {F})\cdot d\vec{S} = \iint\limits_S(\vec{\nabla}\times\vec {F})\cdot \^nd\vec{S}

ile verilir. Stokes Teoremi olarak adlandırılan bu teorem, F⃗\vec{F} vektörünün teğetsel bileşeninin kapalı bir CC eğrisi üzerinden alınan integralinin, F⃗\vec{F} vektörünün rotasyonelinin normal bileşeninin CC'yi sınır kabul eden herhangi bir yüzey üzerinden alınan integraline eşit olduğunu ifade eder. CC eğrisi üzerinden pozitif gidiş yönü, yüzey normali 𝑛^𝑛̂ vektörünü sağ el kuralı ile verecek yönde olmalıdır.

Wikipedia

Sonuç

Matematik, evreni tanımlayabilmek için çok verimli bir dildir. Bu nedenle fizikçiler matematikten çokça faydalanarak birçok matematiksel teoremi kullanmaktadırlar. Bahsedilen teoriler, özellikle elektromanyetik teoride sıkça kullanılır.

Elektromanyetizmada sıkça kullanılan Maxwell Denklemleri. Bu denklemlerde E; elektrik alanını, B; manyetik alanı ifade eder.
Elektromanyetizmada sıkça kullanılan Maxwell Denklemleri. Bu denklemlerde E; elektrik alanını, B; manyetik alanı ifade eder.
Evrim Ağacı
Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
33
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 5
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 2
  • Tebrikler! 1
  • Bilim Budur! 1
  • Güldürdü 0
  • İnanılmaz 0
  • Umut Verici! 0
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • E. Öztürk. Fizik Ve Mühendislikte Matematik Yöntemler.
  • M. L. Boas. Mathematical Methods For Physicists.
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 04/10/2024 06:17:09 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13678

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Tüm Reklamları Kapat
Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Mikoloji
Genetik Müdahale
Hafıza
Viroloji
İklim Değişimi
Kütle
Diş Gelişimi
Hematoloji
Göğüs
Cinsellik
Savaş
Newton
Canlılık
Editör Seçkisi
Büyük
Model
Çocuklar İçin Bilim
Obstetrik
Dinozorlar
Saç
Atom
Eşey
Avcı
Hasta
Şiddet
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Kafana takılan neler var?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. F. Sağlam, et al. Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?. (31 Ekim 2023). Alındığı Tarih: 4 Ekim 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/13678
Sağlam, M. F., Alparslan, E. (2023, October 31). Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?. Evrim Ağacı. Retrieved October 04, 2024. from https://evrimagaci.org/s/13678
M. F. Sağlam, et al. “Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, 31 Oct. 2023, https://evrimagaci.org/s/13678.
Sağlam, Mehmet Furkan. Alparslan, Eda. “Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?.” Edited by Eda Alparslan. Evrim Ağacı, October 31, 2023. https://evrimagaci.org/s/13678.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close