Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?

Fizik ve mühendislik gibi alanlarda kullanılan birçok matematiksel metot ve teorem vardır. Bu metotlar arasında türev ve integral gibi evreni iyi şekilde anlamamızı ve açıklamamızı sağlayan yöntemler de bulunur. Bu yazıda ise Green, Diverjans ve Stokes teoremlerinden ve bu teoremleri anlamak ve kullanmak için bilinmesi gereken eğrisel integral, yüzey ve hacim integrallerinden bahsedilecektir.

Eğrisel İntegral

$E$ , üç boyutlu uzayda herhangi bir bölge, $f (x, y, z)$ bu bölge üzerinde sürekli bir fonksiyon ve yer değiştirme vektörünün gösterimi $^ 𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂+ 𝑦𝑗̂+ 𝑧𝑘̂$ olan $C$ eğrisi de $E$ bölgesinde tanımlı bir eğri olsun. Böylelikle $f (x, y, z)$ fonksiyonu $C$ eğrisi üzerinde sürekli olacaktır.

Bu $C$ eğrisinin $𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)$ , $𝑥_1, 𝑦_1, 𝑧_1)$ , … , $𝑥_𝑛, 𝑦_𝑛, 𝑧_𝑛)$ noktalarına karşılık gelen değerlerine $𝐴_0$ , $𝐴_1$ , $𝐴_2$ , … , $𝐴_n$ ; eğri parçalarına $𝐴_0𝐴_1$ , $𝐴_1𝐴_2$ , … , $A_{n-1}A_n$ ve bu eğri parçalarının uzunluklarına da $Δl1\Delta l_1$ , $Δl2\Delta l_2$ , … , $Δln\Delta l_n$ diyelim. Basitçe, eğrisel bir şekilde tuttuğunuz ipi veya gideceğiniz eğrisel bir yollu belli parçalara böldüğünüzü hayal edebilirsiniz.

$𝑓(𝑥_𝑘, 𝑦_𝑘, 𝑧_𝑘)$ , $𝐴_{k-1} 𝐴_𝑘$ eğri parçasının herhangi bir noktası olmak üzere

Kalkülüs ile ilgili diğer içerikler ›

Bir Noktadan Doğruya Çekilen En Kısa Çizgi, Doğruyu Neden Dik Keser?

$lim⁡n→∞∑k=1nf(xk,yk,zk)Δlk\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k,z_k)\varDelta l_k$

limiti matematiksel olarak aşağıdaki ifadeye eşit olur:

$∫f(𝑥,𝑦,𝑧)d𝑙\int f(𝑥, 𝑦, 𝑧) d𝑙$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor. Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak... Daha fazla göster

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Buna da $f (x, y, z)$ fonksiyonunun $C$ eğrisi üzerindeki eğrisel integrali denir.

Aslında buradaki $d l$ $d r ⃗$ vektörünün büyüklüğü, $C$ eğrisi üzerindeki yay elemanı veya sonsuz küçüklükte bir yer değiştirme parçasıdır.

$d l = ∣ d r ⃗∣$

$\sqrt{(d𝑥)^2 + (d𝑦)^2 + (d𝑧)^2}$

Bundan dolayı $^d𝑟⃗ = (d𝑥)𝑖̂+ (d𝑦)𝑗̂+ (d𝑧)𝑘̂$ diferansiyel yer değiştirme vektörü, $C$ eğrisi üzerinde tanımlı $Ψ(x,y,z)\varPsi (x,y,z)$ bir skaler fonksiyon ve $F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)=𝐹1𝑖^+𝐹2𝑗^+𝐹3𝑘^\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹_1𝑖̂+ 𝐹_2𝑗̂+ 𝐹_3𝑘̂$ bir vektörel fonksiyon olmak üzere kartezyen koordinat sisteminde belli başlı integraller şöyle tanımlanabilir:

$∫CΨ(x,y,z)dr⃗=iˆ∫CΨ(x,y,z)dx+jˆ∫CΨ(x,y,z)dy+kˆ∫CΨ(x,y,z)dz∫CF⃗(x,y,z)⋅dr⃗=∫CF1(x,y,z)dx+∫CF2(x,y,z)dy+∫CF2(x,y,z)dz∫CF⃗(x,y,z)×dr⃗=∫C∣iˆjˆkˆF1F2F3dxdydz∣\int\limits_C \varPsi(x,y,z) d\vec{r} = \^i\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dx }+ \^j\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dy }+\^k\int\limits_C{\varPsi(x,y,z) dz }\\ \int\limits_C \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{r} = \int\limits_C F_1(x,y,z) dx+ \int\limits_C F_2(x,y,z) dy+ \int\limits_C F_2(x,y,z) dz\\ \int\limits_C \vec{F}(x,y,z)\times d\vec{r} = \int\limits_C \begin{vmatrix} \^i & \^j&\^k \\ F_1 & F_2&F_3\\ dx&dy&dz \end{vmatrix}$

Eğer xy-düzleminde çalışılırsa ve gidilen yolun denklemi $x = x (y)$ veya $y = y (x)$ şeklinde verilmiş ise denklem,

$\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} =\sqrt{1+(dy/dx)^2}dx =\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$

şeklinde bulunur ve integral de

$\int_c𝑓(𝑥, 𝑦) dl = \displaystyle\int_{x_a}^{x_b}f[𝑥, 𝑦(𝑥)]\sqrt{1 + [𝑦′(𝑥)]^2}dx$

olarak hesaplanır.

Tekrardan xy-düzlemine dönelim, ancak bu sefer $x$ ve $y$ fonksiyonu $t$ 'ye bağlı fonksiyonlar olsun. Yani $x = x (t)$ ve $y = y (t)$ şeklinde verilmiş ise denklemler

$dx={(dx/dt)}dt$ ve $dy = {(dy/dt)}dt$

$\sqrt{{[(dx/dt)dt]^2}+{[(dy/dt)dt]^2}} = \sqrt{[𝑥′(𝑡)]^2 + [𝑦′(𝑡)]^2}dt$

Agora Bilim Pazarı

YIKICI POLİTİKA

Negri’nin hapislik ve sonrasındaki sürgün yıllarında kaleme aldığı Yıkıcı Politika yirmi birinci yüzyıla yöneltilmiş bir işaret fişeğidir. Bugünden bakıldığında, geçmişteki geleceği gözler önüne seren ve İmparatorluk ile Çokluk eserlerinin temellerinin atıldığı bir eser olmanın çok ötesindeki öngörüleriyle de bir baş yapıttır.

İtalyan işçici geleneğinin (operaismo) emeğin kurucu ve otonom gücüne vurgusu devam ettirilmekle birlikte, yüzyılın sonunda toplumsal mücadelelerde cisimleşen toplumsal işçinin doğuşu üretimin ve ekolojinin değişen niteliğinde aranır. Negri’ye göre toplumun her sathına yayılmış bu kurucu özne, entelektüel emeğin baskın üretim biçimi olduğu toplumsal fabrika koşullarının her fırsatta altını oyar. Bu yıkıcı uğrağın en belirgin özelliği ise, adeta Gezi ve benzeri birçok direnişin ortak öğesi, kolektif neşede ifadesini bulan proleter entelektüel öznelliklerdir.

Negri, 68’in mirasçısı olduğunu düşündüğü 86 öğrenci olaylarından hareketle devrimci teorisini hareketin içerisinde ve ötesindeki öngörüleriyle doğrular. Bu anlamda günümüzde hemen her ülkede rastladığımız faşizan ve otoriter pratiklerin kökleri nükleer devlet kavramsallaştırmasıyla ifade edilirken, ekolojik yıkımın nedenleri de yine sermayenin gerçek boyunduruk evresinin kaçınılmaz bir sonucu olarak değerlendirilir. Gerçek boyunduruk evresinde değerin ölçülemez boyutlara varan üretkenliği, Negri’ye göre, ancak ve ancak enflasyonist saldırılarla yeniden boyunduruk altına alınmaya çalışılır. Kapitalizmin son yüzyılda geçtiği evrelerin titizlikle ele alındığı çalışmanın asıl derdi, yine ve her zaman olduğu gibi, politik olanın otonomisinin nasıl kurulacağı, yani örgütlenmedir. Negri, tam da bu noktada, farklı siyasi geleneklerle hesaplaşmaya girerek, yıkıcı kuruculuğun temeli olarak barış mücadelesine çubuk büker. Devrimci bir teorisyenin hücresinden yirminci birinci yüzyılın ayak sesleri yankılanmaktadır .

Çevirisi tekrardan gözden geçirilip Negri’nin yeni önsözüyle genişletilmiş olan bu baskı, sadece geçmişin bir muhasebesi olarak değil, aynı zamanda bugünü anlamak için önemli bir rehberdir.

Devamını Göster

₺120.00

Satın Al Tüm Ürünler

olarak bulunur ve integral de

$\int_c𝑓(𝑥, 𝑦) dl = \displaystyle\int_{t_a}^{t_b}f[𝑥(t), 𝑦(t)]\sqrt{[x'(t)]^2 + [𝑦′(𝑥)]^2}dx$

şeklinde hesaplanır.

İntegral alırken yolun bu kadar önemli olmasının sebebi, fonksiyonların yola bağımlı veya bağımsız olmasıdır. Basit bir örnek olarak iş kavramını ele alalım. $F⃗\vec{F}$ kuvvetinin yaptığı net iş

$\displaystyle\int_{r_a}^{r_b}\vec{F} \cdot{d𝑟⃗}$

şeklinde tanımlanır. Buradaki kuvvet yoldan bağımsız bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif kuvvet denir. Yer çekimi kuvveti buna bir örnek olabilir.

Yer çekimi kuvvetinin yoldan bağımsız yani konservatif bir kuvvet olduğunu gösteren bir görsel.

Yer çekimi, yoldan bağımsız olduğu için yaptığı iş de kolaylıkla

$\vec{F}\cdot{\Delta𝑟⃗}$

şeklinde hesaplanabilir. Fakat $F⃗\vec{F}$ kuvveti yola bağımlı bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif olmayan kuvvet denir ve sürtünme kuvveti bu kuvvete en uygun örnektir.

Yukarıdaki resimde A'dan B'ye giden soldaki yola 1 numaralı yol, ortadakine 2 numaralı yol, sağdaki yola da 3 numaralı yol diyelim. Bir kutuyu A noktasından B noktasına zeminin sürtünmeli olduğu bir ortamda taşımaya çalışırsak yolun öneminin ne kadar önemli olduğunu anlarız, çünkü 3. yol diğer yollara göre daha uzun olduğundan en çok iş yapmamızı yani enerji harcamamızı gerektirecektir.

Yüzey İntegrali

Yüzey integraline başlamadan önce nabla operatörünün ve gradyan hesabının nasıl yapıldığı ve ne olduğunun bilinmesi gerekir. O yüzden anlatılacak konuları daha iyi anlamak için bu yazıyı okuyabilirsiniz. Yüzey integralini hesaplarken

Yüzey elemanı,
Yüzey normal birim vektör yönü,
Diferansiyel yüzey eleman vektörün tanımlanması gerekir.

Eğer $S$ yüzeyi kapalı ise, $^𝑛̂$ birim vektörü $S$ yüzeyine dik ve dışarı doğrudur. $S$ yüzeyi açık ise yani çift yüzlü bir yüzey ise, yüzeyin normal vektörü sağ dört parmağı integralin yönünü göstermek üzere baş parmak yönündedir. Herhangi bir $S$ yüzeyinin $dS⃗d\vec{S}$ diferansiyel yüzey elemanı büyüklüğü $d S$ ’ye eşit, yönü de $^ 𝑛̂$ normal birim vektörü yönünde olan bir vektördür. Böylece $dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆$ olmak üzere S yüzeyi üzerinden alınan yüzey integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

$∬SΨ(x,y,z)dS∬SF⃗(xyz)⋅dS⃗=∬SF⃗(x,y,z)⋅nˆdS⃗∬SF⃗(x,y,z)×dS⃗\iint\limits_S \varPsi(x,y,z)dS\\ \iint\limits_S \vec{F}(xyz)\cdot d\vec{S}= \iint\limits_S \vec{F}(x,y,z) \cdot \^n d\vec{S}\\ \iint\limits_S \vec{F}(x,y,z)\times d\vec{S}$

Üç boyutta $S$ yüzeyi genellikle $g (x, y, z) = 0$ formunda bir denklem ile verilir. $∇⃗g\vec{\nabla}g$ vektörü her noktada yüzeye diktir. Yüzeye dik vektör

$𝑛^=∇⃗g/∣∇⃗g∣𝑛̂ = \vec{\nabla}g/|\vec{\nabla}g|$

kapalı yüzeyde $^𝑛̂$ 'nin yönü dışarıya doğru tanımlanır. $S$ yüzeyi üzerindeki $P (x, y, z)$ noktasında

$dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆$

$d S$ yüzey vektörü, $P (x, y, z)$ de $S$ yüzeyine dik xy-düzlemindeki $d A = d x d y$ dikdörtgen elemanın izdüşümüyle yapılandırılmışsa xy-düzlemine dik vektör

$𝑛^d𝑆⋅𝑘^=∣𝑛^⋅𝑘^∣d𝑆=d𝑥d𝑦(∗∗∗)𝑛̂ d𝑆 ⋅ 𝑘̂ = |𝑛̂ ⋅ 𝑘̂|d𝑆 = d𝑥 d𝑦 (∗∗∗)$

$^𝑛̂$ 'nün kosinüs yönleri (cos𝛼 , cos𝛽 , cos 𝛾) ile gösterilirse, bu denklem

$|\sec(\gamma)|d𝑥 d𝑦$

ve denklem (***)'den

$cos⁡(γ)=∓((∇⃗g/dz)/[(∂g/dx)2+(∂g/dy)2+(∂g/dz)2]\cos(\gamma) = \mp((\vec{\nabla}g/dz)/[\sqrt{(\partial{g}/dx)^2+(\partial{g}/dy)^2+(\partial{g}/dz)^2}]$

Özellikle de $z = f (x, y)$ ile verilirse burada $g : g (x, y, z) = z - f (x, y)$ ve

$cos⁡(γ)=1/[1−(∂f/dx)2+(∂f/dy)2]\cos(\gamma) = 1/[\sqrt{1-(\partial{f}/dx)^2+(\partial{f}/dy)^2}]$

$dS⃗=𝑛^d𝑆d\vec{S} = 𝑛̂ d𝑆$ ile tanımlanırsa

$∬SF⃗⋅dS⃗=∬SF⃗⋅𝑛^dS=∬AF⃗⋅𝑛^(dxdy/∣𝑛^⋅𝑘^∣)\iint_S\vec{F}\cdot{d\vec{S}} = \iint_S\vec{F}\cdot{𝑛̂dS} = \iint_A\vec{F}\cdot{𝑛̂(dxdy/|𝑛̂ ⋅ 𝑘̂|)}$

şeklinde hesaplanır.

Hacim İntegrali

Hacim integrali, çizgisel integral ve yüzey integraline nazaran daha kolay hesaplanmaktadır; çünkü hacimde bir yön belirtilmez, yani $d𝑉 = d^3𝑟$ skaler bir niceliktir. $S$ kapalı yüzeyi tarafından çevrili olan $V$ hacminin integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

$∭VΨ(x,y,z)dV∭VF⃗(x,y,z)dV\iiint\limits_V \varPsi(x,y,z) dV\\ \iiint\limits_V \vec{F}(x,y,z) dV$

Burada diferansiyel hacim elemanı kartezyen koordinat sisteminde $d V = d x d y d z$ şeklinde yazılır.

Düzlemde Green Teoremi

Düzlemde $P (x, y)$ ve $Q (x, y)$ gibi kısmi türevleri sürekli iki fonksiyon ele alalım. Bu düzlemde bir $D$ yüzeyi ve bunu çevreleyen bir $C$ kapalı eğrisi olsun. Bu durumda Green Teoremi, kısmi türevlerin yüzey içindeki integralini, $C$ üzerinden çizgisel integrale

$∮P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy=∬D(∂Q(x,y,z)∂x−∂P(x,y,z)∂y)dxdy\oint P(x,y,z) dx +Q(x,y,z) dy = \iint\limits_D(\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial x }-\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial y}) dxdy$

şeklinde dönüşür.

Green Teoremi Stokes Teoremi'nin tek düzlem için özel bir durumudur. Green Teoremi için $C$ eğrisinde pozitif yönde, yani saatin tersi yönünde ilerlenmelidir.

Aslında Green Teoremi'nin anlatmak istediği şey gayet basittir. Yukarıdaki görselde bir bölge iki parçaya bölünmüş, iki alanın sınırları üzerinden eğrisel integral alınmış ve ortadaki zıt yönlü eğrisel integraller birbirini götüreceği için kalan tüm alanın sınır işi yani sınırı üzerinden integralidir. Bu alanı ne kadar çok parçaya bölersek bölelim sonuç değişmeyecektir. Bu yüzden üstteki alan üzerinden alınan integral ile üsteki alanı çevreleyen sınır üzerinden alınan integral eşit olacaktır.

Diverjans (Gauss) Teoremi

$F⃗\vec{F}$ vektör alanı, iki boyutlu kapalı bir yüzeyi ve bu yüzeyin çevrelediği $V$ hacminde tanımlı olsun. $F⃗\vec{F}$ vektörünün her bir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise diverjans teoremi

$∯SF⃗⋅dS⃗=∬SF⃗⋅nˆdS=∭V(∇⃗⋅F⃗)dV\oiint\limits_S \vec{F} \cdot d \vec{S} = \iint\limits_S \vec{F}\cdot\^n dS = \iiint\limits_V (\vec{\nabla}\cdot \vec{F})dV$

şeklinde verilir. Bu teorem bize bir vektörün diverjansının hacim üzerinden integralinin aynı vektörün o hacmi sınırlayan kapalı alan üzerinden alınan integrale eşit olduğunu söyler.

$F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)=𝐹x𝑖^+𝐹y𝑗^+𝐹z𝑘^\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹_x𝑖̂+ 𝐹_y𝑗̂+ 𝐹_z𝑘̂$ ve $∇⃗⋅F⃗=∂Fx/∂x+∂Fy/∂y+∂Fz/∂z\vec{\nabla}\cdot{}\vec{F} = \partial{F_x}/\partial{x} + \partial{F_y}/\partial{y}+ \partial{F_z}/\partial{z}$

$S$ yüzeyinin birim normal vektörü

$^𝑛̂ = 𝑛_1𝑖̂+ 𝑛_2𝑗̂+ 𝑛_3𝑘̂$

$𝑛1=𝑛^⋅𝑖^=cos⁡(α),𝑛2=𝑛^⋅𝑗^=cos⁡(β),𝑛3=𝑛^⋅𝑘^=cos⁡(γ)𝑛_1 = 𝑛̂ ⋅ 𝑖̂= \cos(\alpha),𝑛_2 = 𝑛̂ ⋅ 𝑗̂ = \cos(\beta),𝑛_3 = 𝑛̂ ⋅ 𝑘̂ = \cos(\gamma)$

$F⃗(𝑥,𝑦,𝑧)⋅𝑛^=𝐹𝑥cos⁡(α)+𝐹𝑦cos⁡(β)+𝐹𝑧cos⁡(γ)\vec{F}(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⋅ 𝑛̂ = 𝐹_𝑥\cos(\alpha) + 𝐹_𝑦 \cos(\beta)+ 𝐹_𝑧\cos(\gamma)$

şeklindedir ve diverjans teoremi

$∯(Fxcosα+Fycosβ+Fzcosγ)dS=∭V(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z)dV\oiint(F_x cos \alpha + F_y cos \beta +F_z cos\gamma)dS=\iiint\limits_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$

şeklinde de yazılıp hesaplanabilir.

Stokes Teoremi

Stokes Teoremi'nde Green Teoreminde olduğu gibi tek düzlemde çalışılmaz. Üç boyutlu uzayda bir $C$ eğrisi ile sınırlandırılmış açık bir $S$ yüzeyinde tanımlı $𝐹⃗(𝑥,𝑦,𝑧)\vec𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)$ vektör alanı sürekli ise Stokes Teoremi

$∮cF⃗⋅dr⃗=∬S(∇⃗×F⃗)⋅dS⃗=∬S(∇⃗×F⃗)⋅nˆdS⃗\oint\limits_c \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint\limits_S(\vec{\nabla}\times\vec {F})\cdot d\vec{S} = \iint\limits_S(\vec{\nabla}\times\vec {F})\cdot \^nd\vec{S}$

ile verilir. Stokes Teoremi olarak adlandırılan bu teorem, $F⃗\vec{F}$ vektörünün teğetsel bileşeninin kapalı bir $C$ eğrisi üzerinden alınan integralinin, $F⃗\vec{F}$ vektörünün rotasyonelinin normal bileşeninin $C$ 'yi sınır kabul eden herhangi bir yüzey üzerinden alınan integraline eşit olduğunu ifade eder. $C$ eğrisi üzerinden pozitif gidiş yönü, yüzey normali $^𝑛̂$ vektörünü sağ el kuralı ile verecek yönde olmalıdır.

Sonuç

Matematik, evreni tanımlayabilmek için çok verimli bir dildir. Bu nedenle fizikçiler matematikten çokça faydalanarak birçok matematiksel teoremi kullanmaktadırlar. Bahsedilen teoriler, özellikle elektromanyetik teoride sıkça kullanılır.

Elektromanyetizmada sıkça kullanılan Maxwell Denklemleri. Bu denklemlerde E; elektrik alanını, B; manyetik alanı ifade eder.

Bu Makaleyi Alıntıla

Okundu Olarak İşaretle

Paylaş

Sonra Oku

Notlarım

Yazdır / PDF Olarak Kaydet

Bize Ulaş

Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?

Kaynaklar ve İleri Okuma

E. Öztürk. Fizik Ve Mühendislikte Matematik Yöntemler.
M. L. Boas. Mathematical Methods For Physicists.

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 02/12/2023 19:12:55 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13678

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Kategoriler ve Etiketler