Bir Noktadan Doğruya Çekilen En Kısa Çizgi, Doğruyu Neden Dik Keser?
Çoğu kişinin ortaokuldan beri duyup kullandığı bir bilgi olan "Noktanın doğruya uzaklığı (aralarındaki en kısa çizgi) doğruyu dik keser." bilgisi hem çok temel olmasıyla hem de doğruluğunun kolayca görülebilir olmasıyla üzerinde pek durulmamış bir bilgidir. Noktadan çekilen çizginin uzunluğunun, doğru üzerinde diklik oluşturan noktadan uzaklaşıldıkça arttığını herkes görebilir. Ana görselde bu durumu siz de görebilirsiniz.
Yine de hem daha formal hem de türev gibi aslında düşününce alakasız bir aracın uygulandığı alternatif bir yol arayışı, bize bu tür araçların kapsamının ne kadar geniş olduğunu gösterecek ve konu hakkında halihazırda bulunan ispatlara yenisini ekleyecektir.
Neden Türev?
Türev, "en az" ve "en çok" soruları için ideal bir araçtır. Grafik üzerindeki geometrik yorumundan kaynaklı olarak değişkene bağlı bir ifadenin hangi değişken değerinde minimum ya da maksimum değerine ulaşacağını bulmamızı sağlar.[2]
Tanımlar
Sorumuzu çözebilmek için, bazı tanımlar yapmamız gerekmektedir:
- Çizginin başlangıç noktası (x1x_1 ve y1y_1 sabit birer sayı olmak üzere): P(x1,y1)P(x_1,y_1)
- Çizginin çekileceği doğru denklemi (xx bir değişken, mm ve cc birer sabit birer sayı olmak üzere): y=mx+cy=mx+c
- PP noktasından doğruya çizilen çizginin uzunluğu: LL
Değişkenler Cinsinden Çizginin Uzunluğu
P noktasından y doğrusuna çekilen çizginin uzunluğu Pisagor Teoremi ile kolaylıkla bulunabilir:
- Yatay uzaklık: ∣x−x1∣|x-x_1|
- Dikey uzaklık: ∣y−y1∣|y-y_1|
- Uzunluk (Hipotenüs): L=(x−x1)2+(y−y1)2L=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}
Ufak bir not düşelim: Kare alma işlemi zaten pozitif sonuç vereceği için mutlak değer sembolleri yazılmamıştır.
Minimum Uzunluk Değeri
Bulduğumuz uzunluk ifadesi değişken xx ve ona bağlı olan yy'ye bağlı olduğu için xx'in bir fonksiyonudur. Bu da minimum değerini bulmak için fonksiyonun xx'e göre türevini alıp 0'a eşitleyebileceğimiz anlamına gelir:
L′(x)=0L'(x)=0
1L[(x−x1)+(y−y1)y′]=0\frac{1}{L}[(x-x_1)+(y-y_1)y']=0
İfadenin iki çarpanından biri olan 1/L1/L, 0 olamayacağına göre, parantezin içi 0 olmalıdır:
(x−x1)+(y−y1)y′=0(x-x_1)+(y-y_1)y'=0
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
yy'nin türevi tanımladığımız doğrunun eğimi yani mm'dir, denklemin iki tarafını da (x−x1)(x-x_1) ifadesine bölüp, 1 çıkardığımızda gelen sonuç:
m(y−y1)(x−x1)=−1m\frac{(y-y_1)}{(x-x_1)}=-1
Burada denklemin sol tarafındaki kesirli ifade, bir doğru eğiminin temel tanımını belirtmektedir. Bu doğru ise aslında bizim uzunluğunu minimalize etmeye çalıştığımız çizgidir.
Sonuç olarak doğrunun eğimi ile çizilen en kısa çizginin eğiminin çarpımı -1'dir, bu da doğru ile çizilen en kısa çizginin birbirlerine dik oldukları anlamına gelir.[1]
İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
Soru & Cevap Platformuna Git- 20
- 9
- 7
- 4
- 3
- 3
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 03/12/2024 17:55:48 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/13052
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.