Bir Noktadan Doğruya Çekilen En Kısa Çizgi, Doğruyu Neden Dik Keser?

Çoğu kişinin ortaokuldan beri duyup kullandığı bir bilgi olan "Noktanın doğruya uzaklığı (aralarındaki en kısa çizgi) doğruyu dik keser." bilgisi hem çok temel olmasıyla hem de doğruluğunun kolayca görülebilir olmasıyla üzerinde pek durulmamış bir bilgidir. Noktadan çekilen çizginin uzunluğunun, doğru üzerinde diklik oluşturan noktadan uzaklaşıldıkça arttığını herkes görebilir. Ana görselde bu durumu siz de görebilirsiniz.

Yine de hem daha formal hem de türev gibi aslında düşününce alakasız bir aracın uygulandığı alternatif bir yol arayışı, bize bu tür araçların kapsamının ne kadar geniş olduğunu gösterecek ve konu hakkında halihazırda bulunan ispatlara yenisini ekleyecektir.

Neden Türev?

Türev, "en az" ve "en çok" soruları için ideal bir araçtır. Grafik üzerindeki geometrik yorumundan kaynaklı olarak değişkene bağlı bir ifadenin hangi değişken değerinde minimum ya da maksimum değerine ulaşacağını bulmamızı sağlar.^[2]

Tanımlar

Sorumuzu çözebilmek için, bazı tanımlar yapmamız gerekmektedir:

• Çizginin başlangıç noktası ($x_1$ ve $y_1$ sabit birer sayı olmak üzere): $P(x_1,y_1)$
• Çizginin çekileceği doğru denklemi ($x$ bir değişken, $m$ ve $c$ birer sabit birer sayı olmak üzere): $y=mx+c$
• $P$ noktasından doğruya çizilen çizginin uzunluğu: $L$

Değişkenler Cinsinden Çizginin Uzunluğu

P noktasından y doğrusuna çekilen çizginin uzunluğu Pisagor Teoremi ile kolaylıkla bulunabilir:

• Yatay uzaklık: $|x-x_1|$
• Dikey uzaklık: $|y-y_1|$
• Uzunluk (Hipotenüs): $L=\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}$

Ufak bir not düşelim: Kare alma işlemi zaten pozitif sonuç vereceği için mutlak değer sembolleri yazılmamıştır.

Minimum Uzunluk Değeri

Bulduğumuz uzunluk ifadesi değişken $x$ ve ona bağlı olan $y$'ye bağlı olduğu için $x$'in bir fonksiyonudur. Bu da minimum değerini bulmak için fonksiyonun $x$'e göre türevini alıp 0'a eşitleyebileceğimiz anlamına gelir:

$L^{\prime }(x)=0$

$\frac{1}{L}[(x-x_1)+(y-y_1)y^{\prime }]=0$

İfadenin iki çarpanından biri olan $1/L$, 0 olamayacağına göre, parantezin içi 0 olmalıdır:

$(x-x_1)+(y-y_1)y^{\prime }=0$

$y$'nin türevi tanımladığımız doğrunun eğimi yani $m$'dir, denklemin iki tarafını da $(x-x_1)$ ifadesine bölüp, 1 çıkardığımızda gelen sonuç:

$m\frac{(y-y_1)}{(x-x_1)}=-1$

Burada denklemin sol tarafındaki kesirli ifade, bir doğru eğiminin temel tanımını belirtmektedir. Bu doğru ise aslında bizim uzunluğunu minimalize etmeye çalıştığımız çizgidir.

Sonuç olarak doğrunun eğimi ile çizilen en kısa çizginin eğiminin çarpımı -1'dir, bu da doğru ile çizilen en kısa çizginin birbirlerine dik oldukları anlamına gelir.^[1]