Elektromanyetik Teori ve Maxwell Denklemleri'nin Matematiği: Gauss Yasasının Kanıtı!

Carl Friedrich Gauss, namı diğer "matematiğin prensi", matematiğin neredeyse bütün alanlarına katkı sağladığı gibi, fizikte de çok önemli keşiflere imza atmıştır. Bu katkılardan belki de en önemlisi Gauss yasasıdır. Maxwell denklemlerinden biri olan bu yasanın anlattığı şey, sadece elektromanyetik teoride değil, mekanikte de kullanılır; ancak bu teorinin arka planı da çok güçlü bir matematik içerir. Muhtemelen böylesi önemli bir yasa için sayfalar sürecek bir kanıt bekliyorsunuz; ancak kanıtı kısa, yalın, güçlü ve şıktır.

Öncelikle Maxwell denklemlerini ilk defa görecek veya tekrar hatırlamak isteyecek olabilirsiniz diye biz hatırlatalım.

Maxwell Denklemleri

Elektromanyetik teorinin dört temel denklemidir, temellerinde elektrik alanın manyetik alana dönüşebileceğini anlatırlar, özelinde ise manyetik alanın varlığının bir elektrik akımı oluşması için yeterli olacağını söyler. Diferansiyel ve integral formu olan denklemleri şöyledir:

İntegral Formu

$\Sigma$, 3 boyutlu Öklidyen uzayda kapalı bir yüzeyi temsil etsin, bu yüzeylerde elektrik alan $\overrightarrow{E}$ ve manyetik alan $\overrightarrow{B}$, akım yoğunluğu $\overrightarrow{J}$, yük yoğunluğu $\rho$, ortamın dielektrik katsayısı ${ϵ}_0$, geçirgenlik katsayısı ${\mu }_0$ olsun; yani yüzey, dünya üzerinde, normal hava ortamında olsun.

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho dV$

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=0$

3. Faraday indüksiyon yasası

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{dl}⟩=-\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{d\Sigma }⟩$

4. Ampere yasası (Maxwell'in ekleme yaptığı hali)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}⟩={\mu }_0({\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{J},\overrightarrow{d\Sigma }⟩+{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩)$

Bu denklemlerden kısaca bahsedeceğiz, ancak bir de bu denklemlerin diferansiyel formlarına bakmamız gerekiyor.

Diferansiyel Form

Üstteki denklemler, sırasıyla Stokes ve Diverjans teoremleri yardımıyla aşağıdaki denklemlere dönüştürülebilir:

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

$⟨\nabla ,\overrightarrow{E}⟩=\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho }{{ϵ}_0}$

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

$⟨\nabla ,\overrightarrow{B}⟩=0$

3. Faraday indüksiyon yasası

$rot(E)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

4. Ampere yasası

$rot(B)={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

Bu iki formun hiçbir farkı yoktur; aynı şeyi anlatırlar. Sadece probleme göre ikisinden biri kullanılır. Anlattıkları şey ise şu: Elektrik ile manyetizma aynı şeydir ve bir elektromanyetik dalga, bu iki alana da dik yönde ışık hızında ilerler.

Ampere yasasında, parantez içinde Maxwell'in bir ekleme yaptığı konusu dikkatinizi çekmiş olabilir. Maxwell'in eklediği şey, aslında bütün bu dört denklemin anlamlı olmasını sağlayan${\mu }_0{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩)$ bölümüdür. Bu kısmın anlattığı şey ise, elektriksel akının zamanla değişimi ile de bir akım oluştuğudur. Bu sayede elektriğin manyetizmaya dönüşmesinin bir anlamı olur.

Agora Bilim Pazarı

Erdemler Serisi: Çocuklar İçin 9 Bilim Kitabı

Ülkemizde ve yurt dışında modern bilimin en önemli isimlerin hayatlarını Serhat Filiz’in harika çizimleriyle öğrenmeye ne dersiniz? Edineceğiniz kitapların detaylarını aşağıda bulabilirsiniz.

Benim Adım Aziz Sancar
İdealist Olmanın Önemi
İdealistti Aziz Sancar. Yaşamını bunun üzerine kurmuştu. Çalışmış, başarmış, ideallerini gerçekleştirmişti. Bütün dünya onu tanıyor ve başarılarını alkışlıyordu. Onu, bugünlere getirenleri hiç unutmadı Aziz Sancar.

Benim Adım Albert Einstein
Azimli Olmanın Önemi
Ben bir bilim insanıyım. Ben de herkes gibi bu dünyada yaşadım ve zamanı gelince ayrıldım. Ama eserlerim, buluşlarım, getirdiğim yenilikler asla unutulmayacak. Yeryüzündeki şartların düzelmesi, savaşların bitmesi, her şeyin güzel olması sadece bilimsel buluşlarla değil, ahlaklı ve doğru bir yaşamla sağlanır. Bunu asla unutmayın!

Benim Adım Graham Bell
Yardımlaşmanın Önemi
Ben Graham Bell. Bir bilim insanıyım. Hayatım boyunca insanların hayatını kolaylaştırmak için çalıştım. Bunun için icatlar yaptım, yeni aletler keşfettim. Tüm bunları yardımlaşmak için, insanlara faydalı olmak için yaptım. Çalışmalarımda, başka bilim dallarında çalışan arkadaşlarımdan yardım aldım. Çünkü insan her konuda anlamıyla bilgi sahibi olamaz. Bilmediğimiz konuları bir başkasına sormak, başkalarının fikirlerini almak bir eksik değil, büyük bir erdemdir.

Benim Adım Louis Pasteur
Disiplinli Olmanın Önemi
Ben bir bilim insanıyım, bir doktorum. Bilim ve barışın, cehaleti yeneceğinden eminim. Milletlerin, yıkmak ve yok etmek için değil, barışı ve yaşamayı yüceltmek için bir gün birleşeceğine inanıyorum. Geleceğimizi, bu yolda uğraş verenlere, bu yolu ışıklandıranlara
borçluyuz.

Benim Adım Marie Curie
Sözünü Tutmanın Önemi
Marie Curie, Nobel Ödülü’nü alan ilk kadın bilim insanıdır. Onun yaşadığı dönemde kadınlar günümüzdeki gibi özgür değillerdi. Bu nedenle bilimsel çalışmalarını yaparken birçok zorlukla karşılaştı. Buna karşın eşi Pierre Curie’ye pes etmemeye dair söz vermişti. Eşinin ölümünden
sonra sözünü tutarak insanlık adına çok faydalı buluşlara imza attı. Nobel Ödülü’nü iki kez alan bilim insanı olarak da tarihe geçti.

Benim Adım Nikola Tesla
Hayal Kurmanın Önemi
Hayal kuran insanları başarıya götüren şey, hayallerinden vazgeçmemeleri ve kararlı olmalarıdır. Bugün düşünüp üzerinde çalışmaya başladığınız bir fikir eğer vazgeçmezseniz ileride insanlığın kaderini değiştiren faydalı bir buluş olabilir. Başarının en büyük sırrı asla pes etmemek, sabırlı olmak ve çok çalışmaktır.

Benim Adım Galileo
Paylaşmanın Önemi
Bir insanın diğer insanların yanında kıymeti, bildiklerini paylaştığı zaman çoğalır. Bu sayede keşfettiğimiz ya da öğrendiğimiz bazı bilgiler diğer insanlara da yol gösterici olur. Sadece bilgiyi değil, elimizdekileri de diğer insanlarla ya da hayvanlarla paylaşmak
hepimizin eşit şartlara ulaşmasında ve birbirimizi sevmede etkilidir. Dünyanın daha güzel bir yer olması kardeşçe yaşamakla mümkün olur.

Benim Elon Musk
Kararlı Olmanın Önemi
Yapmak istediğimiz bir şeyde kararlı olmak o işi başarmakta çok etkilidir. Hayallerimizden, isteklerimizden vazgeçmediğimiz ve onları gerçekleştirmek için çalıştığımız sürece üstesinden gelemeyeceğimiz zorluk yoktur. Yeter ki kendimize inanalım ve güvenelim.

Benim Thomas Edison
Yaratıcı Olmanın Önemi
Hayatın en büyük hataları, başarıya ne kadar yaklaştıklarını bilmeyen insanların, vazgeçmelerinden dolayı olur. Yaratıcılığımızdan ve hayallerinden vazgeçmeyin. Başarıya ancak bu şekilde ulaşılır.

Set İçindeki Ürünler:

•  Benim Adım Aziz Sancar
•  Benim Adım Albert Einstein
•  Benim Adım Graham Bell
•  Benim Adım Louis Pasteur
•  Benim Adım Marie Curie
•  Benim Adım Nikola Tesla
•  Benim Adım Galileo
•  Benim Elon Musk
•  Benim Thomas Edison

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
2. Bu eserler, okuma-yazma bilen 5-8 yaş grubuna uygundur.
3. Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
4. Bu kampanya, Panama Yayıncılık tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺600.00

Satın Al Tüm Ürünler

Bir matematikçi gözüyle incelersek, bu denklemler deneysel gözlemlerin ve Stokes teoremlerinin bir sonucudur. Gauss yasası genelde Maxwell denklemlerinde ilk sırada yazılır çünkü kendisinin anlattığı şey, diğerlerine göre bir nebze daha sık öne çıkar, çünkü uygulaması elektromanyetik teorinin de dışına çıkar.

Gauss yasasının anlatmaya çalıştığı şey, bir kapalı yüzeyde elektriksel akının sabit kaldığı ve sadece yüke bağlı olduğudur. Yani siz 5C'luk (Coulomb, yük birimidir ve C ile gösterilir) bir yükü, dünyanın merkezine de koysanız, bir araba tekerleğinin içine de koysanız, yüzeyin üstünde elektrik akısı aynı miktarda olacaktır. Bu miktar, dielektrik katsayısı ile ters orantılıdır. Havanın dielektrik katsayısı ${ϵ}_0$ ile gösterilir. Bu katsayının değeri $1,5.10^{-10}$, göreli belirsizlikle birlikte $8,85418781762039.10^{-12}\genfrac{}{}{0ex}{}{Farad}{metre}$'dir. Deneysel ölçümlerle başka ortamların dielektrik katsayıları da hesaplanabilir.

Böylesine güçlü bir yasayı kanıtlamadan önce elbette biraz uygulamalarına bakalım. Elektromanyetik teorideki bir uygulamasına bakacak olursak eğri büğrü bir cisim düşünelim. Bu cismin içindeki bir $(x,y,z)$ noktası için $\rho =-e^{-(x^2+y^2)}$$\genfrac{}{}{0ex}{}{nC}{m^3}$ bir yük yoğunluğu olsun. Bu cismin yüzeyindeki elektrik akısını hesaplamasını okuyucudan istiyoruz. İpucu olarak, toplam yükü bulmak için silindirik koordinatlarda bir integrasyon yapmanız gerektiğini belirtmekte fayda var. Daha sonra, cismin içine gireceğini kabul ettiğimiz bir $r_0$ yarıçaplı bir küre üzerinde Gauss yasasını uygulayabilirsiniz.

Elektromanyetizmadan başka bir uygulama olarak Newton'un kütleçekim kanununda da Gauss yasası kullanılabilir. Kapalı yüzeylerdeki gravitasyonel akı, kütleyle orantılıdır ve ${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{g},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=-4G\pi M$ olarak ifade edilebilir. Burada $M$ kütle, $G$ gravitasyonel sabittir ($6.67408\times 10-11m^{3}k{g}^{-1}{s}^{-2}$ ) .

Mekanik dersi alan okuyucular, bu hesap yönteminin Newton'un yöntemine kıyasla ne kadar kolay olduğunu anlamışlardır. Gauss yasası, işin içinde akı ve bir kapalı yüzey olduğu herhangi bir sistem için uygulanabilir olduğu için, diğer Maxwell denklemlerinden ayrılır. Şimdi gelelim şık Gauss yasasının şık bir kanıtına.

Gauss Yasasının Kanıtı

Aşağıdaki şekilde, Gauss yasasının geometrisi görülmektedir. Bu şeklin keyfi bir şekil olduğunu varsayalım, çünkü kanıtımızın her kapalı şekile uyması gerekiyor.

Doubnut

Bu kapalı şekilde bir $\overrightarrow{r}$ noktasında elektrik alan Coulomb kanunu neticesinde şöyle hesaplanır:

$E(\overrightarrow{r})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4\pi {ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho \genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta }}{||\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta }|{|}^3}d\overrightarrow{\zeta }$

Diverjans teoremi kullanılırsa:

$div(\overrightarrow{E})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho \delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta })d\overrightarrow{\zeta }$

Burada $\delta$, Dirac delta fonksiyonudur. Dirac delta fonksiyoniyonun özelliklerinden yararlanırsak ,$div(\overrightarrow{E})=\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho }{{ϵ}_0}$ sonucuna varırız ve bir kez daha diverjans teoremi kullanılırsa, Gauss yasasının integral formu elde edilir.

Burada kanıtı şık yapan husus, işin içine Dirac delta fonksiyonunun girmesidir. Nasıl girdiğini ise şöyle gösterelim: $\overrightarrow{\alpha }$'nın normunu $\alpha$ olarak alalım. Bu durumda:

$div(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{\alpha }^2}\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial }{\partial r}(1)=0$

ve diverjansın integrali:

${\iint }_{\Sigma }div(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2})dV={\oint }_{\partial \Sigma }⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2},\overrightarrow{d\Sigma }⟩$

Burada integrali yarıçapı $R$ olan küre üzerinde düşünebiliriz. İntegralin sonucu 1 gelecektir. Bu da Dirac deltanın tanımıdır.

Gauss yasasının kanıtında diverjans ve Stokes teoremleri birkaç defa kullanılır. Aralarındaki bu muhteşem ilişki de, bu müthiş yasayı oluşturur. İleri okumalar kısmında Stokes ve diverjans teoremi ve elektromanyetik teori ile ilgili kaynaklar bulabilirsiniz.