Elektromanyetik Teori ve Maxwell Denklemleri'nin Matematiği: Gauss Yasasının Kanıtı!

Elektromanyetik Teori ve Maxwell Denklemleri'nin Matematiği: Gauss Yasasının Kanıtı!
Carl Friedrich Gauss
Slide Player
Çağrı Mert Bakırcı Editör Çağrı Mert Bakırcı
5 dakika
9,500 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Carl Friedrich Gauss, namı diğer "matematiğin prensi", matematiğin neredeyse bütün alanlarına katkı sağladığı gibi, fizikte de çok önemli keşiflere imza atmıştır. Bu katkılardan belki de en önemlisi Gauss yasasıdır. Maxwell denklemlerinden biri olan bu yasanın anlattığı şey, sadece elektromanyetik teoride değil, mekanikte de kullanılır; ancak bu teorinin arka planı da çok güçlü bir matematik içerir. Muhtemelen böylesi önemli bir yasa için sayfalar sürecek bir kanıt bekliyorsunuz; ancak kanıtı kısa, yalın, güçlü ve şıktır.

Öncelikle Maxwell denklemlerini ilk defa görecek veya tekrar hatırlamak isteyecek olabilirsiniz diye biz hatırlatalım.

Maxwell Denklemleri

Elektromanyetik teorinin dört temel denklemidir, temellerinde elektrik alanın manyetik alana dönüşebileceğini anlatırlar, özelinde ise manyetik alanın varlığının bir elektrik akımı oluşması için yeterli olacağını söyler. Diferansiyel ve integral formu olan denklemleri şöyledir:

Reklamı Kapat

İntegral Formu

Σ\Sigma, 3 boyutlu Öklidyen uzayda kapalı bir yüzeyi temsil etsin, bu yüzeylerde elektrik alan E→\overrightarrow{E} ve manyetik alan B→\overrightarrow{B}, akım yoğunluğu J→\overrightarrow{J}, yük yoğunluğu ρ\rho, ortamın dielektrik katsayısı ϵ0\epsilon_0, geçirgenlik katsayısı μ0\mu_0 olsun; yani yüzey, dünya üzerinde, normal hava ortamında olsun.

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

∮∂Σ⟨E→,dΣ→⟩=1ϵ0∭ΣρdV\LARGE{\oint_{\partial \Sigma}\langle \overrightarrow{E} , \overrightarrow{d\Sigma} \rangle= \dfrac{1}{\epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho dV}

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

∮∂Σ⟨B→,dΣ→⟩=0\LARGE{\oint_{\partial \Sigma}\langle \overrightarrow{B} ,\overrightarrow{ d \Sigma} \rangle=0}

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

3. Faraday indüksiyon yasası

∮∂Σ⟨E→,dl→⟩=−ddt∬Σ⟨B→,dΣ→⟩\LARGE{\oint_{\partial\Sigma}\langle \overrightarrow{E},\overrightarrow{dl} \rangle=-\dfrac{d}{dt}\iint_\Sigma \langle \overrightarrow{B},\overrightarrow{d \Sigma} \rangle}

4. Ampere yasası (Maxwell'in ekleme yaptığı hali)

∮∂Σ⟨B→,dl→⟩=μ0(∬Σ⟨J→,dΣ→⟩+ϵ0ddt∬Σ⟨E→,dΣ→⟩)\LARGE{\oint_{\partial \Sigma} \langle \overrightarrow{B},\overrightarrow{dl} \rangle=\mu_0(\iint_{\Sigma} \langle \overrightarrow{J},\overrightarrow{d \Sigma}\rangle+\epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_{\Sigma}\langle \overrightarrow{E}, \overrightarrow{d \Sigma} \rangle)}

Reklamı Kapat

Bu denklemlerden kısaca bahsedeceğiz, ancak bir de bu denklemlerin diferansiyel formlarına bakmamız gerekiyor.

Diferansiyel Form

Üstteki denklemler, sırasıyla Stokes ve Diverjans teoremleri yardımıyla aşağıdaki denklemlere dönüştürülebilir:

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

⟨∇,E→⟩=ρϵ0\LARGE{\langle \nabla, \overrightarrow{E} \rangle = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}}

Reklamı Kapat

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

⟨∇,B→⟩=0\LARGE{\langle \nabla, \overrightarrow{B} \rangle= 0}

3. Faraday indüksiyon yasası

rot(E)=−∂B→∂t\LARGE{rot(E)=-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}

4. Ampere yasası

rot(B)=μ0J→+μ0ϵ0∂E→∂t\LARGE{rot(B)=\mu_0\overrightarrow{J}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}}

Agora Bilim Pazarı
Anatomi Atlası - Cilt 2: İç Organlar (Prometheus)

Boyut: 23,5 X 31
Sayfa Sayısı: 483
Basım: 2
ISBN No: 9786053553373

Devamını Göster
₺287.00 ₺324.00
Anatomi Atlası - Cilt 2: İç Organlar (Prometheus)

Bu iki formun hiçbir farkı yoktur; aynı şeyi anlatırlar. Sadece probleme göre ikisinden biri kullanılır. Anlattıkları şey ise şu: Elektrik ile manyetizma aynı şeydir ve bir elektromanyetik dalga, bu iki alana da dik yönde ışık hızında ilerler.

Ampere yasasında, parantez içinde Maxwell'in bir ekleme yaptığı konusu dikkatinizi çekmiş olabilir. Maxwell'in eklediği şey, aslında bütün bu dört denklemin anlamlı olmasını sağlayanμ0ϵ0ddt∬Σ⟨E→,dΣ→⟩)\mu_0\epsilon_0\dfrac{d}{dt}\iint_{\Sigma}\langle \overrightarrow{E}, \overrightarrow{d \Sigma} \rangle) bölümüdür. Bu kısmın anlattığı şey ise, elektriksel akının zamanla değişimi ile de bir akım oluştuğudur. Bu sayede elektriğin manyetizmaya dönüşmesinin bir anlamı olur.

Bir matematikçi gözüyle incelersek, bu denklemler deneysel gözlemlerin ve Stokes teoremlerinin bir sonucudur. Gauss yasası genelde Maxwell denklemlerinde ilk sırada yazılır çünkü kendisinin anlattığı şey, diğerlerine göre bir nebze daha sık öne çıkar, çünkü uygulaması elektromanyetik teorinin de dışına çıkar.

Gauss yasasının anlatmaya çalıştığı şey, bir kapalı yüzeyde elektriksel akının sabit kaldığı ve sadece yüke bağlı olduğudur. Yani siz 5C'luk (Coulomb, yük birimidir ve C ile gösterilir) bir yükü, dünyanın merkezine de koysanız, bir araba tekerleğinin içine de koysanız, yüzeyin üstünde elektrik akısı aynı miktarda olacaktır. Bu miktar, dielektrik katsayısı ile ters orantılıdır. Havanın dielektrik katsayısı ϵ0\epsilon_0 ile gösterilir. Bu katsayının değeri 1,5.10−101,5.10^{-10}, göreli belirsizlikle birlikte 8,85418781762039.10−12Faradmetre8,85418781762039.10^{-12} \dfrac{Farad}{metre}'dir. Deneysel ölçümlerle başka ortamların dielektrik katsayıları da hesaplanabilir.

Böylesine güçlü bir yasayı kanıtlamadan önce elbette biraz uygulamalarına bakalım. Elektromanyetik teorideki bir uygulamasına bakacak olursak eğri büğrü bir cisim düşünelim. Bu cismin içindeki bir (x,y,z)(x,y,z) noktası için ρ=−e−(x2+y2)\rho=-e^{-(x^2+y^2)}nCm3\dfrac{nC}{m^3} bir yük yoğunluğu olsun. Bu cismin yüzeyindeki elektrik akısını hesaplamasını okuyucudan istiyoruz. İpucu olarak, toplam yükü bulmak için silindirik koordinatlarda bir integrasyon yapmanız gerektiğini belirtmekte fayda var. Daha sonra, cismin içine gireceğini kabul ettiğimiz bir r0r_0 yarıçaplı bir küre üzerinde Gauss yasasını uygulayabilirsiniz.

Elektromanyetizmadan başka bir uygulama olarak Newton'un kütleçekim kanununda da Gauss yasası kullanılabilir. Kapalı yüzeylerdeki gravitasyonel akı, kütleyle orantılıdır ve ∮∂Σ⟨g→,dΣ→⟩=−4GπM\oint_{\partial\Sigma}\langle \overrightarrow{g},\overrightarrow{d\Sigma}\rangle=-4G\pi M olarak ifade edilebilir. Burada MM kütle, G G gravitasyonel sabittir (6.67408×10−11m3kg−1s−26.67408 × 10-11 m^3 kg^{-1} s^{-2} ) .

Mekanik dersi alan okuyucular, bu hesap yönteminin Newton'un yöntemine kıyasla ne kadar kolay olduğunu anlamışlardır. Gauss yasası, işin içinde akı ve bir kapalı yüzey olduğu herhangi bir sistem için uygulanabilir olduğu için, diğer Maxwell denklemlerinden ayrılır. Şimdi gelelim şık Gauss yasasının şık bir kanıtına.

Reklamı Kapat

Gauss Yasasının Kanıtı

Aşağıdaki şekilde, Gauss yasasının geometrisi görülmektedir. Bu şeklin keyfi bir şekil olduğunu varsayalım, çünkü kanıtımızın her kapalı şekile uyması gerekiyor.

Gauss yasasının bir geometrisi
Gauss yasasının bir geometrisi
Doubnut

Bu kapalı şekilde bir r→\overrightarrow{r} noktasında elektrik alan Coulomb kanunu neticesinde şöyle hesaplanır:

E(r→)=14πϵ0∭Σρr→−ζ→∣∣r→−ζ→∣∣3dζ→\LARGE{E(\overrightarrow{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho\dfrac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta}}{||\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta}||^3}d\overrightarrow{\zeta}}

Diverjans teoremi kullanılırsa:

div(E→)=1ϵ0∭Σρδ(r→−ζ→)dζ→\LARGE{div(\overrightarrow{E})=\dfrac{1}{ \epsilon_0}\iiint_{\Sigma}\rho \delta(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta})d\overrightarrow{\zeta}}

Burada δ\delta, Dirac delta fonksiyonudur. Dirac delta fonksiyoniyonun özelliklerinden yararlanırsak ,div(E→)=ρϵ0div(\overrightarrow{E})= \dfrac{\rho}{\epsilon_0} sonucuna varırız ve bir kez daha diverjans teoremi kullanılırsa, Gauss yasasının integral formu elde edilir.

Reklamı Kapat

Burada kanıtı şık yapan husus, işin içine Dirac delta fonksiyonunun girmesidir. Nasıl girdiğini ise şöyle gösterelim: α→\overrightarrow{\alpha}'nın normunu α\alpha olarak alalım. Bu durumda:

div(α→α2)=1α2∂∂r(1)=0\LARGE{div(\dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2})=\dfrac{1}{\alpha^2}\dfrac{\partial}{\partial r} (1)=0}

ve diverjansın integrali:

∬Σdiv(α→α2)dV=∮∂Σ⟨α→α2,dΣ→⟩\LARGE{\iint_{\Sigma} div(\dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2}) dV=\oint_{\partial \Sigma}\langle \dfrac{\overrightarrow{\alpha}}{\alpha^2},\overrightarrow{d\Sigma}\rangle}

Burada integrali yarıçapı RR olan küre üzerinde düşünebiliriz. İntegralin sonucu 1 gelecektir. Bu da Dirac deltanın tanımıdır.

Gauss yasasının kanıtında diverjans ve Stokes teoremleri birkaç defa kullanılır. Aralarındaki bu muhteşem ilişki de, bu müthiş yasayı oluşturur. İleri okumalar kısmında Stokes ve diverjans teoremi ve elektromanyetik teori ile ilgili kaynaklar bulabilirsiniz.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Bilim Budur! 8
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 7
  • Tebrikler! 4
  • Merak Uyandırıcı! 2
  • Üzücü! 2
  • Muhteşem! 1
  • Güldürdü 1
  • İnanılmaz 1
  • Umut Verici! 1
  • Grrr... *@$# 1
  • İğrenç! 1
  • Korkutucu! 1
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 25/09/2021 12:43:37 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8798

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Yeni Koronavirüs
Klinik Mikrobiyoloji
Fare
Süpernova
Tahmin
Yaşlılık
Tür
Coronavirus
Davranış
Farmakoloji
Mikrop
Yapay
Eğitim
Aile
Biyoloji
Teyit
Afrika
Abd
Tespit
Yıl
Karanlık Madde
Hayvanlar
Kadın Doğum
Çocuklar
Uydu
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın