Collatz Sanısı Nedir?

Basit şeyler bazen şaşırtıcıdır. Matematik, öyle büyüleyicidir ki son derece basit gibi görünen bazı problemler, onlarca yıl boyunca en azılı matematikçiler tarafından bile çözülemeyebilir. "Collatz Problemi" de basit görünen ancak insanların içinde kaybolup gittiği problemlerden biridir. O kadar kaotik ve öngörülemez nitelikte sayı dizileri üretir ki çözülemez veya karar verilemez bir bilmece olduğu söylenir. Bazı uzmanlar bunu bir siren şarkısı veya bir bataklık olarak görürler ve sadeliğiyle baştan çıkaran bu problem için amatör ve genç matematikçileri, bu problemden uzak durmaları konusunda uyarırlar.

Matematikçi Jeffrey Lagarias'a göre, sayı teorisyeni Shizuo Kakutani, Soğuk Savaş sırasında Yale Üniversitesindeki herkesin yaklaşık bir ay boyunca bu problem üzerinde çalıştığını ancak hiçbir sonuç alınamadığını söylemiştir. Kakutani, benzer durumu Chicago Üniversitesinde de yaşayınca bu sorunun matematik araştırmalarını yavaşlatmak için komplo amaçlı ortaya atıldığı esprisini yapmıştır.^[1]

Collatz Sanısı Nedir?

Alman matematikçi Lothar Collatz, matematik çalışmaları sırasında yinelemeli fonksiyonlarla ilgilenmeye başlamış ve bunları araştırmıştır. 1950'li ve 1960'lı yıllara gelindiğinde Helmut Hasse ve Shizuo Kakutani'nin de bulunduğu matematikçiler tarafından Syracuse Üniversitesi de dahil olmak üzere çeşitli üniversitelere dağıtılmasıyla Collatz'ın bu varsayımı ünlenmiştir.

Bu varsayım; "3n+1" Problemi, Syracuse Algoritması, Ulam Varsayımı, Kakutani Problemi, Hasse Algoritması gibi isimlerle de anılmaktadır.

Onlarca yıl boyunca matematikçiler Collatz prosedürünün sonlu sayıda tekrarladıktan sonra 1'e ulaştığını ve bunun tüm pozitif tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlamaya çalıştılar. Buradaki çabanın esas sebebi Collatz Varsayımı'nın matematikteki diğer önemli sorularla ilişkili olmasıdır. Örneğin, bu tür yinelemeli fonksiyonlar; gezegenlerin yörüngelerini tanımlayan modeller gibi dinamik sistemlerde görülür. Bu varsayım, sayılar teorisindeki en eski problemlerden biri olan Riemann Varsayımı ile de ilişkilidir.

Collatz Sanısı en basit şekilde şöyle ifade edilebilir: Seçtiğimiz bir doğal sayı tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleriz, seçtiğimiz sayı çift ise sayıyı ikiye böleriz. Bunu herhangi bir x için yaparsak, x tek ise 3x+1 hesaplanır; x çift ise x/2 hesaplanır. İşte bu varsayıma göre her zaman 1'e ulaşırız. Örneğin 5 ile başladığımızı düşünelim. 5 sayısı tek olduğundan 3 ile çarpıp 1 eklediğimizde 16 sayısını elde ederiz. 16 sonucu çift olduğundan onu yarıya bölmemiz gerekir ve bu da bizi 8'e ulaştırır. Yine çift sayı ikiye bölünür, sonrasında 4 ikiye bölünür, 2 de ikiye bölünür ve sonuç 1'dir. Bu hesaplama sürecinde 5 ile başlayıp beş adımda varsayımda olduğu gibi 1'e ulaştık.

Seçeceğimiz her sayı farklı adımlardan geçerek bizi yine 1'e ulaştırır mı? Bu defa 1'i seçelim. Tek olduğundan sonraki adımda 4 elde ederiz ve yine kurallara uygun şekilde ilerlediğimizde 1'e ulaşırız. Görüldüğü gibi bu hesaplama kuralı bizi kaçınılmaz bir döngüye sokar. Bazı başlangıç sayıları hızlıca bizi 1'e ulaştırırken bazıları uzun adımlar sonrasında sonuca ulaştırır. Örneğin 27 başlangıç sayısı tam 111 adım sonrasında 1'e ulaşır. Meraklı ve sabırlı olanlar için güzel bir sağlama olabilir.^{[1], [3]}

Varsayımın Matematiksel Tanımı

Collatz varsayım fonksiyonunun matematiksel gösterimi parçalı fonksiyon olmak üzere şu şekildedir:

$f(n)=\{\begin{array}{llc}n/2& ,& nmod2=0\\ 3n+1& ,& nmod2=1\end{array}$

Burada tek ve çift sayıları ayırt etmek için modül işlemini kullanırız. Şimdi modellemeyle destekleyeceğimiz küçük bir pratik yapabiliriz.

Seçtiğimiz sayı 10 olsun, yani n=10. Fonksiyon tanımından; 10'un 2'ye bölümünden kalan 0'dır, dolayısıyla çifttir. 10/2 işlemi uygularsak 5 elde ederiz. Yine fonksiyon tanımından; 5'in 2'ye bölümünden kalan 1'dir ve 5 tek sayıdır. Sonraki basamakta 3x5+1=16 elde edilir. Fonksiyon tanımına uygun şekilde basamak işlemleri gerçekleştirilince 1'e ulaşılır.

Cantor's Paradise

Örneğimizdeki gibi daha fazla başlangıç noktası belirleyerek daha sonra açıklayacağımız "dolu deseni" oluşturabiliriz.

Collatz Dizilerinin Davranışları

Collatz Varsayımı, f fonksiyonunun "yörüngeleriyle" ilgilenir. Bu yörüngeyi, bir sayıyla başlayıp fonksiyon şartlarını tekrar tekrar uygulayarak yani her çıktıyı alıp fonksiyona yeni bir girdi olarak tekrar geri beslediğimizde oluşturabiliriz. Buna "iterasyon" diyoruz. Bu sayede başlangıç sayısı ne olursa olsun sonunda "1, 4, 2, 1" döngüsüne ulaşan sayı dizileri oluşur. Bu noktada şu soru sorulur: Herhangi bir sayıdan başlayan bu sayı dizileri nasıl davranacak?^{[4], [2]}

"1, 4, 2, 1" döngüsüne girene kadar bazı dizilerin grafiklerindeki salınımları büyük olabilir. Örneğin 31 sayısı 1'e ulaşana kadar 9000'in üzerinde bir sayıya kadar çıkar. Bu son derece öngörülemez salınımlı davranışlar nedeniyle bu dizilere "dolu dizisi" denir. Çünkü bu diziler, bulut içindeki dolu taneleri gibi salınımlı hareket ederler.

Quanta Magazine

Collatz dizilerinde salınımlar öngörülemezdir, bu durum adım sayısı için de geçerlidir. Kaç adımda 1'e ulaşılacağı önceden kestirilemez. Yapılan bir çalışmada bilgisayar programı yardımıyla önce 1-10 arası sayıların adım grafiği, sonrasında da 1-100 arası sayıların adım grafiği oluşturulmuştur. Grafikler analiz edilerek bazı yüzdeler ve sonuçlar elde edilmiştir. Aynı zamanda sayının tekliğinin veya çiftliğinin sonucu nasıl etkilediği de incelenmiştir.

Geo maths

Bu grafiklere göre bazı ardışık sayıların 1'e ulaşmak için aynı sayıda adım attığı görüldü. Örneğin 36, 37, 38 sayıları 22 adım atarken 98, 99, 100 sayıları 26 adım atıyor.

Yine çıkarılan bazı sonuçlara göre 2'nin kuvvetlerinin 1'e daha hızlı yani daha az adımla yaklaştığı fark edildi. Bu çalışmayla tüm pozitif tam sayılar düşünüldüğünde çok küçük bir kesit üzerinde araştırma yapılmış olsa da sayı türüne göre adım ortalamasını veren bir tablo oluşturulmuştur.

2019 ve 2020 yıllarında araştırmacılar tarafından, iş birlikçi bir bilgisayar bilimi projesinde $2^{68}$'in altındaki tüm pozitif tam sayılar, yani yaklaşık 3x$10^{20}$ sayı kontrol edildi. Tüm sayılar Collatz Sanısını karşılıyordu. Ancak yine de bir yerlerde varsayıma aykırı bir sayı olabilir miydi? Tekrarlanan Collatz işlemlerinin sonucunda sonsuza kadar yükselen daha büyük başlangıç değerleri var mıydı? Alanında uzman birçok kişi tarafından bu sorulara uzun yıllar cevap arandı ve bazıları son yıllarda öne çıktı.^[1]

Sanının İspatı Üzerine Çalışmalar

Matematikçiler yıllar içinde $2^{68}$ tam sayısına kadar bu varsayımı sağlatabilmiş, yine de kanıtlayamamıştır. Varsayımı çürütmek için Collatz sanı fonksiyonunu sağlamayan tek bir pozitif tam sayı "k", yeterli olacaktır. Tam sayıların sonsuzluğunu düşündüğümüzde doğrulanabilen bu sayı oldukça küçük kalacaksa da "neredeyse" kanıtlanmış olduğu söylenebilir. Konu hakkında Paul Erdos'un yorumu şu şekildedir: "Matematik henüz bu tür problemlere hazır değil."

Collatz sayı dizilerinin uzun vadeli davranışlarını değerlendirmek için Jeffrey C. Lagarias, 1985 yılında yapılmış değerlendirmelerden yola çıkarak geometrik ortalamayı hesaplamış ve şu sonucu elde etmiştir: Dizi elemanları yinelemeli hesaplama kuralının her adımında 3/4 ortalama kadar küçüldüğünü gösterir. Bu nedenle varsayımın bir sonucu olarak sonsuza kadar büyüyen bir başlangıç değeri olması olası görünmemektedir.

2019 yılında UCLA'dan Terrence Tao, ne kadar yavaş olursa olsun sonsuza kadar büyüyen herhangi bir f fonksiyonu için neredeyse tüm başlangıç değerleri olan "n"in sonunda 1'e yakın bir değere ulaştığını gösterdi. Yani Collatz yörüngelerinin neredeyse tamamı, neredeyse sınırlı değerlere ulaşır (görüldüğü gibi matematikte "neredeyse" çok şey demektir). Tao'ya göre bu, Collatz Sanısının gerçekten çözülmeden çözülmeye en yakın noktasıdır!

2020 yılında Patrick Honner, f fonksiyonu yerine daha basit bir g fonksiyonu aldı. Bu fonksiyon f'e benzerdir ancak tek sayılar için üçe katlamadan sadece 1 ekler. Sonuç olarak fonksiyonlar farklı olduğu için yörüngeleri de farklıdır. Örneğin g fonksiyonu altında 11 sayısı 1 sayısına, f fonksiyonunda olduğundan daha hızlı ulaşır. Honner, g fonksiyonu için yörüngenin altında kalanların her zaman 1'e ulaştığını varsaymış ve bu varsayımı "Nollatz Varsayımı" olarak adlandırmıştır (n+1 varsayımı da denebilir). Bunu şöyle ispatlamıştır (bu ispatın Collatz Sanısına ait olmadığını, yalnızca benzer bir fonksiyon üzerinde çalışıldığını hatırlatalım):

Bir tam sayının yarısının kendinden küçük olduğunu biliyoruz. O halde n çift ve pozitifse n/2<n olur. Başka bir deyişle bir yörünge çift sayıya ulaştığında bir sonraki sayı her zaman daha küçük olacaktır. n tek sayı ise g(n)=n+1 olduğundan n<n+1 olacaktır. Burada "n+1" çift sayıdır ve sonrası bahsettiğimiz gibi gittikçe küçülecektir. Bu bize, yörüngenin altındaki bir nokta 1'den büyük tek bir sayıya ulaştığında her zaman iki adım sonra daha küçük bir sayıda olacağımızı söyler. Yörüngenin herhangi bir yerinde, ister çift ister tek sayı olsun, aşağı doğru hatta 1'e doğru bir eğilim gösterilecektir.^[4]

Konu üzerinde yayımlanmış güncel bir makaleye göre Collatz Sanısındaki dizilerin 1'e ulaşması üzerine analiz yapılmaktadır. Global Scientific Journal'de yayımlanan bu makalede ortak bir oran olan 2'nin farklı geometrik dizilimleri, 1'den sonsuza kadar pozitif tek sayıların aritmetik dizilimiyle birleştirilmiş; 1'den sonsuza kadar tüm tam sayıları içeren ve tekrar etmeyen bir düzenleme elde edilmiştir. Varsayım, ortak bir 1/4 oranına sahip farklı geometrik dizilerin bölümlerini takip ederek ve bunları ortak bir 1/2 oranına dönüştürerek herhangi bir dizinin, 1 sayısına ulaşmasını sağlamak için aritmetiği kullanmıştır.^[2]

Sonuç

Yıllar boyunca sayılar, sonsuza kadar devam ettirebileceğimiz örüntülere sahip temel bir şey olarak insanın ilgisini çekmiştir. Simetri ve örüntüler genelde insanları görsel olarak tatmin eder.

Wikimedia Commons

Wikimedia Commons

Ancak bu örüntüden herhangi bir sapma, kendimizi rastlantısallığın içinde kaybolmuş hissetmemize ve evreni sorgularken bulmamıza sebep olabilir. Evrenin tüm soruları cevap bulup bulamayacağımızı merak etmeye devam edeceğiz. Bu süreçte kanıtlanan her şey bizim için çok önemli.