Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!
Cebrail'in Borusu ("Cebrail'in Sûru" veya "Torricelli'nin Trompeti"), sınırlı/sonlu hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzey alanı olan, ilginç bir geometrik şekildir.
Bu geometrik şekil, adını Hristiyan inancının bir parçası olduğu söylenen (ama bu konuda tartışma bulunan), Kıyamet Günü'nde Cebrail'in üfleyeceğine inanılan sûrdan alır.[1] Bu anlatı, İslamiyet'te İsrafil isimli meleğin üfleyeceğine inanılan, ama sûra üfleyecek meleğin adı Kuran'da geçmediği için bu konuda da tartışmalar bulunan sûr olarak karşımıza çıkmaktadır.[2] Sûra üfleme konusundaki benzerlikleri bir yana, İsrafil isimli meleğin Hristiyanlık'taki Cebrail (Gabriel) ile değil, Raphael ile aynı başmelek olduğu düşünülmektedir (ama bu konuda da tartışmalar bulunmaktadır).[3], [4]
Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda belirlenmemiştir; yani bu boru tasarımı, insanlar tarafından sonradan hayal edilmiştir. Buna rağmen, hayal edilen bu sûr şekli, matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık gelmektedir.
Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllardır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmektedir: Yukarıda da bahsettiğimiz gibi geometrik olarak Cebrail'in Borusu, sınırlı bir hacme sahip olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi zaman "Torricelli'nin Trompeti" de denir. Her hâlükarda, aşağıda, sözünü ettiğimiz "boru" veya "trompet"in şekli görülmektedir:
Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; dolayısıyla sadece matematiksel bir kavramdır. Buna rağmen, çok ilginç özellikleri bulunmaktadır.
Cebrail'in Borusu'nun Matematiği
Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için, f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} fonksiyonunun grafiğinin x>1x>1 bölgesi ele alınır. Daha sonra bu eğri x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Cebrail'in Borusu adı verilir. Aşağıda, bu borunun nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir:
Cebrail'in Borusunun Yüzey Alanı Nasıl Hesaplanır?
Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını hesaplayabiliriz. Biliyoruz ki bir ff fonksiyonunun x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin yüzey alanı şöyle hesaplanır:
∫ab2πf(x)1+(f′(x)2dx\displaystyle\int_a^{b}2\pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^2}dx
Cebrail'in borusu için f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ve f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2} olur. Bu ifadeleri integralde yerine koyacak olursak yüzey alanımız için integral şöyle olacaktır:
∫1∞2πx1+1x4dx\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx
Bu integralin ıraksadığını, yani yanıtının sonlu bir değer olmadığını göstereceğiz. Biz biliyoruz ki x>1x>1 için:
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
2πx1+1x4>2πx\displaystyle \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} > \frac{2\pi}{x}
ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:
lima→∞∫1a2πx1+1x4dx>lima→∞∫1a2πxdx\displaystyle \lim_{a\rightarrow\infty} \int_1^a \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx > \lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx
olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren integrallerin hesaplanması için kullanılan metottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu biliyoruz:
lima→∞∫1a2πxdx=lima→∞2πlna=∞\displaystyle\lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx =\lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi\ln a =\infty
Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız integralin değeri de ∞\infty'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı değildir.
Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?
Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgedir. Kalkülüs'ten bilindiği üzere ff fonksiyonu ile x−x- ekseni arasında kalan bölgenin x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:
∫abπ(f(x))2dx\displaystyle\int_a^b \pi (f(x))^2dx
Burada f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:
∫1∞π1x2dx=lima→∞π(1−1a)=π\displaystyle\int_1^{\infty} \pi \frac{1}{x^2}dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi
sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi π br3\pi \ br^3 olarak bulunur. Bu, sonlu bir sayıdır.
Sonuç: Sonlu Hacim, Sonsuz Alan!
Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen, sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, yukarıdaki videoda gösterildiği gibi Cebrail'in borusunun içini boya ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra boya eklemeye devam ederseniz, boya taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.
Ne var ki o boyayı kullanarak, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi π br3\pi \ br^3 iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey ∞\infty olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya asla yetmezdi. İşte bu nedenle kimi zaman bu probleme Boyacı Problemi de denmektedir.
Evrim Ağacı'nda tek bir hedefimiz var: Bilimsel gerçekleri en doğru, tarafsız ve kolay anlaşılır şekilde Türkiye'ye ulaştırmak. Ancak tahmin edebileceğiniz gibi Türkiye'de bilim anlatmak hiç kolay bir iş değil; hele ki bir yandan ekonomik bir hayatta kalma mücadelesi verirken...
O nedenle sizin desteklerinize ihtiyacımız var. Eğer yazılarımızı okuyanların %1'i bize bütçesinin elverdiği kadar destek olmayı seçseydi, bir daha tek bir reklam göstermeden Evrim Ağacı'nın bütün bilim iletişimi faaliyetlerini sürdürebilirdik. Bir düşünün: sadece %1'i...
O %1'i inşa etmemize yardım eder misiniz? Evrim Ağacı Premium üyesi olarak, ekibimizin size ve Türkiye'ye bilimi daha etkili ve profesyonel bir şekilde ulaştırmamızı mümkün kılmış olacaksınız. Ayrıca size olan minnetimizin bir ifadesi olarak, çok sayıda ayrıcalığa erişim sağlayacaksınız.
Makalelerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!
Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.
Soru & Cevap Platformuna Git-
53
-
17
-
16
-
9
-
9
-
7
-
3
-
2
-
1
-
1
-
1
-
0
- ^ S. V. McCasland. (1941). Gabriel's Trumpet. Journal of Bible and Religion, sf: 159-161. | Arşiv Bağlantısı
- ^ S. Burnham. (2011). A Book Of Angels: Reflections On Angels Past And Present, And True Stories Ofhow They Touch Our Lives. ISBN: 9781101486474. Yayınevi: Tarcher.
- ^ Encyclopedia Britannica. Israfil | Angel, Name, & Hadith. Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: Encyclopedia Britannica | Arşiv Bağlantısı
- ^ JewishEncyclopedia.com. Gabriel. Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: JewishEncyclopedia.com | Arşiv Bağlantısı
- Learning Curve. The Painter's Paradox Or Gabriel's Horn Paradox. (5 Nisan 2020). Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: YouTube | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 16/05/2025 16:16:21 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11357
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
