Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!

Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!
4 dakika
12,623
Tüm Reklamları Kapat

Cebrail'in Borusu ("Cebrail'in Sûru" veya "Torricelli'nin Trompeti"), sınırlı/sonlu hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzey alanı olan, ilginç bir geometrik şekildir.

Bu geometrik şekil, adını Hristiyan inancının bir parçası olduğu söylenen (ama bu konuda tartışma bulunan), Kıyamet Günü'nde Cebrail'in üfleyeceğine inanılan sûrdan alır.[1] Bu anlatı, İslamiyet'te İsrafil isimli meleğin üfleyeceğine inanılan, ama sûra üfleyecek meleğin adı Kuran'da geçmediği için bu konuda da tartışmalar bulunan sûr olarak karşımıza çıkmaktadır.[2] Sûra üfleme konusundaki benzerlikleri bir yana, İsrafil isimli meleğin Hristiyanlık'taki Cebrail (Gabriel) ile değil, Raphael ile aynı başmelek olduğu düşünülmektedir (ama bu konuda da tartışmalar bulunmaktadır).[3], [4]

Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda belirlenmemiştir; yani bu boru tasarımı, insanlar tarafından sonradan hayal edilmiştir. Buna rağmen, hayal edilen bu sûr şekli, matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık gelmektedir.

Tüm Reklamları Kapat

Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllardır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmektedir: Yukarıda da bahsettiğimiz gibi geometrik olarak Cebrail'in Borusu, sınırlı bir hacme sahip olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi zaman "Torricelli'nin Trompeti" de denir. Her hâlükarda, aşağıda, sözünü ettiğimiz "boru" veya "trompet"in şekli görülmektedir:

Cebrail'in Borusu
Cebrail'in Borusu
Wikipedia

Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; dolayısıyla sadece matematiksel bir kavramdır. Buna rağmen, çok ilginç özellikleri bulunmaktadır.

Cebrail'in Borusu'nun Matematiği

Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için, f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} fonksiyonunun grafiğinin x>1x>1 bölgesi ele alınır. Daha sonra bu eğri x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Cebrail'in Borusu adı verilir. Aşağıda, bu borunun nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir:

Learning Curve

Cebrail'in Borusunun Yüzey Alanı Nasıl Hesaplanır?

Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını hesaplayabiliriz. Biliyoruz ki bir ff fonksiyonunun x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin yüzey alanı şöyle hesaplanır:

Tüm Reklamları Kapat

∫ab2πf(x)1+(f′(x)2dx\displaystyle\int_a^{b}2\pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^2}dx

Cebrail'in borusu için f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ve f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2} olur. Bu ifadeleri integralde yerine koyacak olursak yüzey alanımız için integral şöyle olacaktır:

∫1∞2πx1+1x4dx\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx

Bu integralin ıraksadığını, yani yanıtının sonlu bir değer olmadığını göstereceğiz. Biz biliyoruz ki x>1x>1 için:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

2πx1+1x4>2πx\displaystyle \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} > \frac{2\pi}{x}

ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:

lim⁡a→∞∫1a2πx1+1x4dx>lim⁡a→∞∫1a2πxdx\displaystyle \lim_{a\rightarrow\infty} \int_1^a \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx > \lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx

olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren integrallerin hesaplanması için kullanılan metottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu biliyoruz:

lim⁡a→∞∫1a2πxdx=lim⁡a→∞2πln⁡a=∞\displaystyle\lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx =\lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi\ln a =\infty

Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız integralin değeri de ∞\infty'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı değildir.

Tüm Reklamları Kapat

Learning Curve

Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?

Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgedir. Kalkülüs'ten bilindiği üzere ff fonksiyonu ile x−x- ekseni arasında kalan bölgenin x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:

∫abπ(f(x))2dx\displaystyle\int_a^b \pi (f(x))^2dx

Burada f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:

Tüm Reklamları Kapat

∫1∞π1x2dx=lim⁡a→∞π(1−1a)=π\displaystyle\int_1^{\infty} \pi \frac{1}{x^2}dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi

sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi π br3\pi \ br^3 olarak bulunur. Bu, sonlu bir sayıdır.

Learning Curve

Sonuç: Sonlu Hacim, Sonsuz Alan!

Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen, sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, yukarıdaki videoda gösterildiği gibi Cebrail'in borusunun içini boya ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra boya eklemeye devam ederseniz, boya taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.

Ne var ki o boyayı kullanarak, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi π br3\pi \ br^3 iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey ∞\infty olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya asla yetmezdi. İşte bu nedenle kimi zaman bu probleme Boyacı Problemi de denmektedir.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
52
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • İnanılmaz 51
  • Merak Uyandırıcı! 16
  • Tebrikler! 14
  • Muhteşem! 10
  • Bilim Budur! 9
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 6
  • Güldürdü 3
  • Umut Verici! 2
  • Grrr... *@$# 1
  • İğrenç! 1
  • Korkutucu! 1
  • Üzücü! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 22/07/2024 02:20:27 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11357

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Basınç
Hominid
Kimya Tarihi
Mühendislik
Genel Görelilik Teorisi
Uçak
Skeptisizm
Protein
Homeostasis
Argüman
Araç
Teleskop
Yer
Teyit
Deniz
Karanlık Enerji
Araştırmacılar
Anksiyete
Kilometre
Nötron Yıldızı
Cinsel Yönelim
Bağışıklık Sistemi
Özel Görelilik
Uzay Aracı
Parçacık
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!. (19 Ocak 2022). Alındığı Tarih: 22 Temmuz 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/11357
Taşdemir, M., Bakırcı, Ç. M. (2022, January 19). Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!. Evrim Ağacı. Retrieved July 22, 2024. from https://evrimagaci.org/s/11357
M. Taşdemir, et al. “Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 19 Jan. 2022, https://evrimagaci.org/s/11357.
Taşdemir, Mert. Bakırcı, Çağrı Mert. “Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, January 19, 2022. https://evrimagaci.org/s/11357.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close