Bu Reklamı Kapat
Bu Reklamı Kapat

Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!

Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!
4 dakika
8,396
  • Matematiksel Temeller
  • Geometrik Topoloji

Cebrail'in Borusu ("Cebrail'in Sûru" veya "Torricelli'nin Trompeti"), sınırlı/sonlu hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzey alanı olan, ilginç bir geometrik şekildir.

Bu geometrik şekil, adını Hristiyan inancının bir parçası olduğu söylenen (ama bu konuda tartışma bulunan), Kıyamet Günü'nde Cebrail'in üfleyeceğine inanılan sûrdan alır.[1] Bu anlatı, İslamiyet'te İsrafil isimli meleğin üfleyeceğine inanılan, ama sûra üfleyecek meleğin adı Kuran'da geçmediği için bu konuda da tartışmalar bulunan sûr olarak karşımıza çıkmaktadır.[2] Sûra üfleme konusundaki benzerlikleri bir yana, İsrafil isimli meleğin Hristiyanlık'taki Cebrail (Gabriel) ile değil, Raphael ile aynı başmelek olduğu düşünülmektedir (ama bu konuda da tartışmalar bulunmaktadır).[3], [4]

Bu Reklamı Kapat

Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda belirlenmemiştir; yani bu boru tasarımı, insanlar tarafından sonradan hayal edilmiştir. Buna rağmen, hayal edilen bu sûr şekli, matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık gelmektedir.

Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllardır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmektedir: Yukarıda da bahsettiğimiz gibi geometrik olarak Cebrail'in Borusu, sınırlı bir hacme sahip olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi zaman "Torricelli'nin Trompeti" de denir. Her hâlükarda, aşağıda, sözünü ettiğimiz "boru" veya "trompet"in şekli görülmektedir:

Bu Reklamı Kapat

Cebrail'in Borusu
Cebrail'in Borusu
Wikipedia

Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; dolayısıyla sadece matematiksel bir kavramdır. Buna rağmen, çok ilginç özellikleri bulunmaktadır.

Cebrail'in Borusu'nun Matematiği

Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için, f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} fonksiyonunun grafiğinin x>1x>1 bölgesi ele alınır. Daha sonra bu eğri x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Cebrail'in Borusu adı verilir. Aşağıda, bu borunun nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir:

Learning Curve

Cebrail'in Borusunun Yüzey Alanı Nasıl Hesaplanır?

Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını hesaplayabiliriz. Biliyoruz ki bir ff fonksiyonunun x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin yüzey alanı şöyle hesaplanır:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

∫ab2πf(x)1+(f′(x)2dx\displaystyle\int_a^{b}2\pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^2}dx

Cebrail'in borusu için f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ve f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2} olur. Bu ifadeleri integralde yerine koyacak olursak yüzey alanımız için integral şöyle olacaktır:

∫1∞2πx1+1x4dx\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx

Bu integralin ıraksadığını, yani yanıtının sonlu bir değer olmadığını göstereceğiz. Biz biliyoruz ki x>1x>1 için:

2πx1+1x4>2πx\displaystyle \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} > \frac{2\pi}{x}

Bu Reklamı Kapat

ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:

lim⁡a→∞∫1a2πx1+1x4dx>lim⁡a→∞∫1a2πxdx\displaystyle \lim_{a\rightarrow\infty} \int_1^a \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx > \lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx

olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren integrallerin hesaplanması için kullanılan metottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu biliyoruz:

lim⁡a→∞∫1a2πxdx=lim⁡a→∞2πln⁡a=∞\displaystyle\lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx =\lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi\ln a =\infty

Bu Reklamı Kapat

Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız integralin değeri de ∞\infty'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı değildir.

Learning Curve

Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?

Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgedir. Kalkülüs'ten bilindiği üzere ff fonksiyonu ile x−x- ekseni arasında kalan bölgenin x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:

∫abπ(f(x))2dx\displaystyle\int_a^b \pi (f(x))^2dx

Burada f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:

Bu Reklamı Kapat

Agora Bilim Pazarı
Organik Kimya Yapı ve İşlev
  • Boyut: 20 x 28
  • Sayfa Sayısı: 1426
  • Basım: 6
  • Basım Yeri: Ankara
  • ISBN No: 9786054414659
Devamını Göster
₺190.00
Organik Kimya Yapı ve İşlev

∫1∞π1x2dx=lim⁡a→∞π(1−1a)=π\displaystyle\int_1^{\infty} \pi \frac{1}{x^2}dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi

sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi π br3\pi \ br^3 olarak bulunur. Bu, sonlu bir sayıdır.

Learning Curve

Sonuç: Sonlu Hacim, Sonsuz Alan!

Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen, sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, yukarıdaki videoda gösterildiği gibi Cebrail'in borusunun içini boya ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra boya eklemeye devam ederseniz, boya taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.

Ne var ki o boyayı kullanarak, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi π br3\pi \ br^3 iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey ∞\infty olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya asla yetmezdi. İşte bu nedenle kimi zaman bu probleme Boyacı Problemi de denmektedir.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • İnanılmaz 30
  • Tebrikler! 9
  • Merak Uyandırıcı! 9
  • Muhteşem! 7
  • Bilim Budur! 5
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 3
  • Güldürdü 1
  • Grrr... *@$# 1
  • İğrenç! 1
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
Bu Reklamı Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 18/05/2022 07:36:06 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11357

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Bu Reklamı Kapat
Size Özel (Beta)
İçerikler
Sosyal
Dna
Işık
Primatlar
Mars
Evrimsel Antropoloji
Sars-Cov-2
Hava
Makina
Einstein
Risk
Jinekoloji
Kuvvet
Depresyon
Köpekbalığı
Çeşitlilik
Genel Görelilik
Kedigiller
Hastalık Kontrolü
2019-Ncov
Kafatası
Sanat
Biliş
Kamuflaj
Doğa Olayları
Mikroevrim
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Başlık
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Bağlantı
Gönder
Soru Sor
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nda reklamları 2 şekilde kapatabilirsiniz:

  1. Ücretsiz üye girişi yapmak: Sitedeki reklamların %50 kadarını kapatmak için ücretsiz bir Evrim Ağacı üyeliği açmanız ve sitemizi/uygulamamızı kullanmanız yeterli!

  2. Maddi destekçilerimiz arasına katılmak: Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Önizleme
Görseli Kaydet
Sıfırla
Vazgeç
Ara
Bu Eseri Neden Tavsiye Ediyorsun?
Aşağıdaki kutuya, isimli neden tavsiye ettiğini girebilirsin. Ne kadar detaylı ve kapsamlı bir analiz yaparsan, bu eseri [OKUMAK/İZLEMEK] isteyenleri o kadar doğru ve fazla bilgilendirmiş olacaksın. Tavsiyenin faydalı bulunması halinde Evrim Ağacı kullanıcılarından daha fazla UP kazanman mümkün olacak. Tavsiyenin sadece negatif içerikte olamayacağını, eğer bu sistemi kullanıyorsan tavsiye ettiğin içeriğin pozitif taraflarından bahsetmek zorunda olduğunu lütfen unutma. Yapıcı eleştiri hakkında daha fazla bilgi almak için burayı okuyabilirsin.
Tavsiye Et