Üçgenin İç Açılarının 180 Derece Olmadığı Geometri: Küresel Geometri

Hepimizin ilkokuldan beri öğrendiği; “üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir” bilgisi, kimi durumlarda yetersiz bir tanımdır.

Bu durumlardan biri ise küresel geometridir. Küresel geometri diye adlandırdığımız bu sistem bize; salt üçgenin iç açılarının 180 derece olmadığını, aynı zamanda üçgenin alanı büyüdükçe iç açıların da büyüdüğünü söylüyor. Yine bu geometriye göre bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.

Bu geometri üç boyutlu küresel cisimler için geçerlidir. Düzlem yapılar için Öklit geometrisi kullanmak yeterlidir. Peki yazımızın başında küresel geometriden bahsettik, ne demek istediğini açıklamaya çalışalım ve örneklerle geliştirelim.

1. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece değildir: Evet küresel bir şekilde herhangi üç noktayı ele alalım bunların birleşiminden bir üçgen oluşturursak iç açıları 180 derece olmayacak. Bunu bir örnek ile açıklayalım. Aklımıza standart düz bir Türkiye haritasını getirip buradan üç şehir seçtiğimizi farz edelim.

Örneğin Ankara, İzmir ve İstanbul olsun. Bu üç şehri düz doğrular ile birleştirirsek bir üçgen elde ederiz. Bu üçgenin iç açıları 180 derece olacaktır. Fakat Dünya haritada olduğu gibi düz değil yuvarlaktır. Şimdi elimizdeki bu haritayı dör bir yanından bükersek (Dünya’nın bir kesiti gibi) işte o zaman doğruları yanlış çizdiğimizi göreceğiz. Bu yanlış doğrular (noktaları birleştirdiğimiz) düzeltilince ortaya çıkan üçgenin iç açıları 180’den büyük olacaktır

Gördüğünüz gibi küresel bir cisimde, üçgen veya kare fark etmez, geometrik bir kesit alırsanız daima boyutlar, düzlemden alınan geometrik kesitlerden farklı olacaktır. Ve gördüğünüz gibi üçgenin veya çokgenin alanı büyüdükçe iç açıların toplamı da büyür.

2.Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir. Bunu önce açıklmaya çalışalım sonra da örnekle pekiştirelim. Öklid geometrisine göre herhangi faklı yerlerde, iki nokta veya bir nokta ve bir doğru ele alalım. Bu nokta ve doğrulardan birbirine pararlel iki doğru elde edebiliriz. Yani iki çubuğu düz bir masaya birbirine paralel yerleştirebiliriz.

Ayrıca Öklid geormetrisinde birbirine paralel iki doğru sonsuzda dahi birleşmez. Fakat bunu bir dairede yapamayız. Elimize çok büyük bir futbol topu alalım ve tam ekvatoruna paralel olacak şekilde yerleştirelim. Işte sorun burada başlıyor. İki çubuğu esnetebildiğimizi düşünelim, çünkü bu çubukları tam zemine oturtmamız lazım.

Paralel bu çubukları esnetip zemine oturtursanız ve topu biraz daha şişirirseniz (şişirmeden de aynı sonucu verir fakat daha açıklayıcı olsun diye şişiriyoruz) bu paralelik gittikçe bozulur ve aralarındaki mesafe açılır. Ayrıca bu çubukları uzatabildiğimizi düşünelim. Bu “paralel olarak koyduğumuz” iki çubuk kutup noktalarında birleşeceklerdir. Ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarıdaki mesafede küçülecektir.

Gördüğünüz gibi “paralel” iki boylam arası ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarındaki mesafe azalıyor. İki doğru ise güney ve kuzey kutbunda kesişince bir çember oluştururlar.

İşte bir üçgenin iç açılarının 180 derece olmadığ küresel geometri bize bunları söylüyor; peki bunlar bize nasıl bir avantaj sağlıyor? Bu konu anlatılırken hep verilen bir örnekle size ufak bir faydasından bahsedelim.

Burada bir uçak rotası var neden bu rota mor ile çizilen düz çizgi değil de üstteki gibi eğimli?

Cevaplar şöyledir:

Dünya yuvarlak olduğu için göz yanılması, önce Kanada’ya uğrayıp yolcu alacaktır ondandır, o düz olan rota üzerinde denizde metafiziki şeyler gerçekleşiyor bundan dolayı gidemiyordur… vs. Fakat cevapların hiçbiri doğru değildir, çünkü ise en kısa mesafe kırmızı rotadır.

Öklit geometrisine göre hipotenüs en kısa mesafedir, burada Kanada tarafına kırmızı çizgiye bir nokta koysak bir üçgen elde edebiliriz ve öklitsel mantığa göre hipotenüsten gidersek daha kısa mesafede yol alabiliriz. Fakat şu haritayı merkezinden şişirdiğimizi düşünelim. Yukarıda da bahsettiğimiz gibi ekvatora yakın yerler arasında mesafe kutuplara yakın yerlerden daha uzaktır. Hatta bu konu anlatılırken çok bilindik bir örnek ile bu durmu açıklayalım. Newyork ile Madrid arasındaki en kısa mesafeyi nasıl gösterirsiniz?

Öklitçi düşünce tarzına göre harita üzerinde Madrid ve Newyork arasında düz bir çizgi çizersiniz. Bir uçakla bu çizgi üzerinde yol alırsanız 3707 mil yol gidersiniz. Ancak büyük çember boyunca uçarsanız yani kuzeydoğuya yönelip, sonra yavaş yavaş güneydoğuya yönelirseniz kat ettiğiniz mesafe 3605 mil olacaktır. Bu yolun yerküreyi düz gösteren harita üzerindeki görüntüsü aldatıcıdır. Dünya gibi cisimler külte çekimi denilen kuvvet yüzünden çok eğrilmiş uzayda, jeodezik denilen, doğru çizgiye en yakın yolu izlediklerinden eğik yörüngeler üzerinde hareket ederler.

Son olarak astronomide de çok önemli olan küresel geometri bize en yakını ve en yakın şekilde nasıl gideceğimizi gösteren güzel bir metottur. Bu bilgiler dahilinde artık siz de küresel şekillerde en yakına en kolay şekilde gidebilirsiniz.