sayı dili

Bana parmaklarını sayamayan bir adam mı getirdiniz?

Mısır Ölüler Kitabı'ndan

Kavramlar ve İlişkiler

Çağdaş matematikçiler, ispatla doğrulanması gereken soyut kavramlar hakkında ifadeler formüle ederler. Yüzyıllar boyunca matematik, sayıların, büyüklüklerin ve formların bilimi olarak kabul edildi. Bu nedenle, matematiksel etkinliğin erken dönem örneklerini arayanlar, sayılar, sayma veya "geometrik" desenler ve şekiller üzerindeki işlemlere dair insan farkındalığını yansıtan arkeolojik kalıntılara işaret edeceklerdir. Bu kalıntılar matematiksel etkinliği yansıtsa bile, nadiren tarihsel öneme sahip olurlar. İlgi çekici olabilirler.

Dünyanın farklı yerlerindeki insanların matematiksel olarak kabul edilen kavramlarla ilgili belirli eylemlerde bulunduğunu gösterdiklerinde bu tür bir eylemin tarihsel öneme sahip olması için, bu eylemin ilgili bir eylemde bulunan başka bir birey veya grup tarafından bilindiğini gösteren ilişkiler ararız. Böyle bir bağlantı kurulduktan sonra, aktarım, gelenek ve kavramsal değişim gibi daha spesifik tarihsel çalışmalara kapı açılır. 1

Matematiksel kalıntılar genellikle okuryazar olmayan kültürlerin alanında bulunur ve bu da bunların öneminin değerlendirilmesini daha da karmaşık hale getirir.

İşleyiş kuralları, genellikle müzik veya şiir biçiminde sözlü bir geleneğin parçası olarak var olabilir veya büyü veya ritüel diline bürünmüş olabilirler.

Bazen hayvan davranışlarının gözlemlenmesinde bulunurlar ve bu da onları tarihçinin alanından daha da uzaklaştırır. Köpek aritmetiği veya kuş geometrisi çalışmaları zoologlara, beyin lezyonlarının sayı duyusu üzerindeki etkisi nörologlara ve sayısal şifa büyüleri antropologlara aitken, tüm bu çalışmalar matematik tarihçisi için, o tarihin açık bir parçası olmadan da faydalı olabilir. Başlangıçta, sayı, büyüklük ve biçim kavramları benzerliklerden ziyade zıtlıklarla ilişkili olmuş olabilir; bir kurt ile birçok kurt arasındaki fark, bir yavru balık ile bir balinanın boyutlarındaki eşitsizlik, ayın yuvarlaklığı ile bir çam ağacının düzlüğü arasındaki benzerlik gibi. Kaotik deneyimlerin karmaşasından, yavaş yavaş benzerliklerin farkına varılmış ve bu sayı ve biçim benzerliklerinin farkındalığından hem bilim hem de matematik doğmuş olabilir. Farklılıkların kendisi benzerliklere işaret ediyor gibi görünüyor, çünkü bir kurtla birçok kurt, bir koyunla bir sürü, bir ağaçla bir orman arasındaki zıtlık, bir kurdun, bir koyunun ve bir ağacın ortak bir noktaya, yani benzersizliklerine sahip olduğunu düşündürüyor. Aynı şekilde, çiftler gibi diğer bazı grupların da birebir karşılaştırılabileceği fark edilebilir. Eller ayaklarla, gözlerle, kulaklarla veya burun delikleriyle eşleştirilebilir. Belirli grupların ortak olarak sahip olduğu ve bizim "sayı" dediğimiz soyut bir özelliğin bu şekilde fark edilmesi, modern matematiğe doğru atılmış uzun bir adımı temsil ediyor. Bunun herhangi bir bireyin veya herhangi bir kabilenin keşfi olması pek olası değil; muhtemelen, insanın kültürel gelişiminin erken dönemlerinde, muhtemelen yaklaşık 300.000 yıl önce, ateşin kullanımıyla birlikte gelişmiş olabilecek kademeli bir farkındalıktı. Sayı kavramının gelişiminin uzun ve kademeli bir süreç olduğu, Yunanca da dahil olmak üzere bazı dillerin dilbilgisinde 1 ve 2 ile 2'den büyük arasında üçlü bir ayrımı korumuş olması gerçeğiyle kanıtlanmaktadır. Oysa günümüzde çoğu dil, tekil ve çoğul arasındaki "sayı" ayrımını yalnızca ikili olarak yapmaktadır. Anlaşılan o ki, ilk atalarımız başlangıçta yalnızca 2'ye kadar sayıyordu ve bu seviyenin ötesindeki herhangi bir küme "çok" olarak adlandırılıyordu. Bugün bile birçok insan hala nesneleri ikişerli kümeler halinde düzenleyerek saymaktadır. Sayı farkındalığı nihayetinde yeterince gelişmiş ve canlı hale geldi; öyle ki, bu özelliği bir şekilde, muhtemelen başlangıçta yalnızca işaret dilinde ifade etme ihtiyacı hissedildi. Bir eldeki parmaklar, iki, üç, dört veya beş nesneden oluşan bir kümeyi belirtmek için kolayca kullanılabilir; 1 sayısı genellikle ilk başta gerçek bir "sayı" olarak tanınmaz. Her iki eldeki parmakların kullanılmasıyla, on adede kadar eleman içeren kümeler temsil edilebilir; Parmak ve ayak parmaklarını birleştirerek 20'ye kadar sayı saymak mümkündü. İnsan parmakları yetersiz olduğunda, başka bir kümenin öğeleriyle bir uyumu temsil etmek için taş yığınları veya düğümlü ipler kullanılabilirdi. Okuma yazma bilmeyen halklar böyle bir temsil şeması kullandıklarında, taşları genellikle beşli gruplar halinde istiflerlerdi, çünkü insan eli ve ayağını gözlemleyerek beşli gruplara aşina olmuşlardı. Aristoteles'in uzun zaman önce belirttiği gibi, günümüzde ondalık sistemin yaygın kullanımı, çoğumuzun on parmak ve on ayak parmağıyla doğması gibi anatomik bir tesadüfün sonucudur. Taş grupları, bilginin korunması için çok geçicidir; bu nedenle, tarih öncesi insanlar bazen bir çubuk veya bir kemik parçasına çentikler açarak bir sayı kaydı yaparlardı. Bu kayıtlardan bugün çok azı kalmıştır, ancak Moravya'da elli beş çentikle derin bir şekilde oyulmuş genç bir kurda ait bir kemik bulunmuştur. Bunlar iki seri halinde düzenlenmiştir; birincisinde yirmi beş, ikincisinde otuz çentik bulunur: her seride çentikler beşerli gruplar halinde düzenlenmiştir. Yaklaşık 30.000 yaşında olduğu tespit edilmiştir. Afrika'da iki tarih öncesi sayısal eser daha bulunmuştur: yirmi dokuz çentiğe sahip bir babun fibulası, yaklaşık 35.000 yaşında olarak tarihlendirilmiştir ve çarpımsal girişlere sahip olduğu görülen Ishango kemiği, başlangıçta yaklaşık 8.000 yaşında olarak tarihlendirilmiştir, ancak 30.000 yıl kadar eski olduğu tahmin ediliyor. Bu tür arkeolojik keşifler, sayı fikrinin daha önce kabul edilenden çok daha eski olduğuna dair kanıtlar sunuyor.

Erken Sayı Tabanları

Tarihsel olarak, parmak sayma veya beşer ve onar sayma uygulaması, ikişer ve üçer sayma uygulamasından daha sonra ortaya çıkmış gibi görünse de, beşli ve ondalık sistemler neredeyse her zaman ikili ve üçlü sistemlerin yerini almıştır. Örneğin, Amerikan Yerlileri arasında birkaç yüz kabile üzerinde yapılan bir çalışma, neredeyse üçte birinin ondalık taban kullandığını ve yaklaşık üçte birinin beşli veya beşli-ondalık sistemi benimsediğini; üçte birinden azının ikili bir sisteme sahip olduğunu ve üçlü sistem kullananların grubun yüzde 1'inden azını oluşturduğunu göstermiştir.

20 sayısının taban olarak kullanıldığı yirmilik sistem, kabilelerin yaklaşık yüzde 10'unda görülmüştür. Yedilik sisteme ilginç bir örnek, Yucatan ve Orta Amerika'daki Mayalar tarafından kullanılan sistemdir. Bu sistem, diğer Maya dillerinin çevrilmesinden bir süre önce çözülmüştür. Mayalar, takvimlerindeki tarihler arasındaki zaman aralıklarının gösteriminde, genellikle 20'yi birincil taban, 5'i ise yardımcı taban olarak kullanarak bir basamak değeri sayımı kullanmışlardır. (Aşağıdaki resme bakınız.) Birimler noktalarla, beşler ise yatay çubuklarla temsil edilirdi; böylece örneğin 17 sayısı (yani 3(5) 1 2) olarak görünürdü. Yukarıdaki daha büyük zaman birimleriyle dikey bir konumsal düzenleme kullanılmıştır; bu nedenle gösterim 352'yi (yani 17(20) 1 12) gösterir. Sistem, esas olarak yılda 360 gün olan bir takvimdeki günleri saymak için olduğundan, üçüncü konum genellikle saf bir yirmilik sistemde olduğu gibi (20)(20)'nin katlarını değil, (18)(20)'yi temsil ediyordu. Ancak bu noktadan sonra, 20 tabanı yine geçerliliğini korudu. Bu konumsal gösterimde, Mayalar eksik konumları, yarı açık bir göze benzeyen farklı biçimlerde görünen bir sembol kullanarak gösteriyordu. Mayaların Dresden Kodeksi'nden, sayıları gösteren bir örnek. Soldaki ikinci sütun, yukarıdan aşağıya doğru okunduğunda, 9, 9, 16, 0, 0 sayılarını gösteriyordu; bunlar 9 3 144.000 1 9 3 7.200 1 16 3 360 1 0 1 0 5 1.366.560'ı temsil ediyordu. Üçüncü sütunda 1.364.360'ı temsil eden 9, 9, 9, 16, 0 rakamları yer almaktadır. Orijinal metin siyah ve kırmızı renktedir. (Morley 1915, s. 266'dan alınmıştır.)

4 İz

Bu şemada, gösterim 17(20 18 20) 1

0(18 20) 1 13(20) 1 0 olarak belirtilmiştir.

Sayı Dili ve Sayma

Genel olarak, dilin gelişiminin soyut matematiksel düşüncenin yükselişi için gerekli olduğuna inanılır. Ancak sayısal fikirleri ifade eden kelimelerin ortaya çıkması yavaş olmuştur. Sayı işaretleri muhtemelen sayı kelimelerinden önce gelmiştir, çünkü bir sayıyı tanımlamak için iyi ayarlanmış bir ifade oluşturmaktan ziyade bir çubukta çentikler açmak daha kolaydır. Dil sorunu bu kadar zor olmasaydı, ondalık sisteme rakip olanlar daha büyük ilerleme kaydedebilirdi. Örneğin, 5 tabanı, elle tutulur yazılı kanıtlar bırakan en eski tabanlardan biriydi; ancak dil resmileştiğinde, 10 üstünlük kazanmıştı. Günümüzün modern dilleri neredeyse istisnasız olarak 10 tabanı etrafında inşa edilmiştir; bu nedenle, örneğin 13 sayısı 3 ve 5 ve 5 olarak değil, 3 ve 10 olarak tanımlanır. Dilin sayı gibi soyutlamaları kapsayacak şekilde gelişmesindeki gecikme, ilkel sayısal sözel ifadelerin değişmez bir şekilde belirli somut kümelere -örneğin "iki balık" veya "iki sopa"- atıfta bulunması ve daha sonra bu tür bazı ifadelerin geleneksel olarak tüm iki nesneli kümeleri belirtmek için benimsenmesinde de görülür. Dilin somuttan soyuta doğru gelişme eğilimi, günümüz uzunluk ölçülerinin çoğunda görülür. Bir atın boyu "el" ile ölçülür ve "ayak" ve "dirsek" kelimeleri de benzer şekilde vücudun bazı kısımlarından türetilmiştir. İnsanın soyut kavramları tekrarlanan somut durumlardan ayırması için geçen binlerce yıl, matematiğin çok ilkel bir temelinin atılmasında bile yaşanmış olması gereken zorluklara tanıklık eder. Dahası, matematiğin kökenleriyle ilgili pek çok cevapsız soru vardır. Genellikle konunun pratik ihtiyaçlara yanıt olarak ortaya çıktığı varsayılır, ancak antropolojik çalışmalar alternatif bir kökenin olasılığını öne sürer. Sayma sanatının ilkel dini ritüellerle bağlantılı olarak ortaya çıktığı ve sıralı yönün nicel kavramdan önce geldiği öne sürülmüştür. Yaratılış mitlerini tasvir eden törensel ayinlerde, katılımcıları belirli bir sırayla sahneye çağırmak gerekiyordu ve belki de sayma bu sorunu çözmek için icat edildi. Saymanın ritüel kökenine dair teoriler doğruysa, sıra sayısı kavramı asal sayı kavramından önce gelmiş olabilir. Dahası, böyle bir köken, saymanın benzersiz bir kökenden gelip daha sonra dünyanın diğer bölgelerine yayılmış olma olasılığına işaret eder.