Grandi’s Series Nedir?

Grandi's Series (Grandi'nin serisi)

Matematikte bir problem ne kadar basit ve anlaşılır ise o problem o kadar "zarif" olarak adlandırılır. İşte size 1. sınıf öğrencisin bile anlayabileceği bir işlem dizisi:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Sonsuza kadar uzanan bu seriye baktığınızda cevabın "0" olması gerektiğini düşünebilirsiniz ve pek de yanılmazsınız çünkü:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)... şeklinde gruplandırdığımızda sonucun 0+0+0=0 olacağı aşikar. Fakat ilk bakışta verilen bu kararın aksine cevabın:

1 +(-1+1)+(-1+1)... şeklinde de yazabiliriz. Böylece parantez içindeki toplamların hepsi 0 edeceğinden ve başlangıçta "1+" mız olduğundan cevap 1 gelir.

Pekala şimdi elimizde aynı derecede doğru olabilecek 2 cevap var. Peki ya hangisi doğru Grandiye göre ikisi de değil !^[1]

Grandi'nin Cevabı

Aslında mantık basit: Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap 1/2 yani ikisinin ortalamasıdır. Grandi bunu şu benzetmeyle açıklıyor:

"Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 ader mücevheri olur"

Cesàro Toplamı:

Buraya geçmeden önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir sayıda teriminin toplamıdır. Örneğin:

1,2,3,4... diye giden bir seride

S₁=1

S₂=1+2=3

S₃=1+2+3=6

olur.

Cesàro Toplamının Hesaplanması:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +

serisi için kısmi toplamları yazalım:

S₁₌1

S₂₌0

S₃₌1

S₄₌0

Agora Bilim Pazarı

Hario Mizudashi Soğuk Kahve Demleme Sürahisi Kırmızı 1000 ml

Hario Mizudashi Soğuk Kahve Demleme Sürahisi Kırmızı 1000 ml

Devamını Göster

₺1,250.00

Satın Al Tüm Ürünler

olduğu görülmektedir.

Cesaro'nun Toplamı bu kısmi toplamların ortalamasını bulmaktadır. İlk 2 kısmi toplamın ortalaması (1+0)/2 = 0,5, 1. 3 kısmi toplamın ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda 1/2 olduğunu kabul ederiz.^[2]

İnfinitesimallysmalY

Aynı zamanda Gottfried Wilhelm Leibniz ve Leonhard Euler da cevabın 1/2 olacağını düşünmüşlerdi.

Gelelim Gerçekliğe

Evet, belki de cevapların hepsi oldukça ikna edici olsa da şu andaki matematik ve bilim camiasının kabul ettiği bambaşka bir cevap var: Belirlenemez. Bu cevap belki de diğerleri kadar etkileyici olmasa bile doğruya en yakın cevap. Çünkü gerçek hayatta sonsuz bir şeyi toplamak gibi olaylarla karşı karşıya kalmayız. Aynı x/02ın bir şey ifade etmediği gibi bu seride bizim için bir ifade etmez.

Okuduğunuz için teşekkür ederim. :)