Grandi’s Series Nedir?
Grandi’s Series'in Farklı Çözüm Yöntemleri

- Blog Yazısı
Grandi's Series (Grandi'nin serisi)
Matematikte bir problem ne kadar basit ve anlaşılır ise o problem o kadar "zarif" olarak adlandırılır. İşte size 1. sınıf öğrencisin bile anlayabileceği bir işlem dizisi:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
Sonsuza kadar uzanan bu seriye baktığınızda cevabın "0" olması gerektiğini düşünebilirsiniz ve pek de yanılmazsınız çünkü:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)... şeklinde gruplandırdığımızda sonucun 0+0+0=0 olacağı aşikar. Fakat ilk bakışta verilen bu kararın aksine cevabın:
1 +(-1+1)+(-1+1)... şeklinde de yazabiliriz. Böylece parantez içindeki toplamların hepsi 0 edeceğinden ve başlangıçta "1+" mız olduğundan cevap 1 gelir.
Pekala şimdi elimizde aynı derecede doğru olabilecek 2 cevap var. Peki ya hangisi doğru Grandiye göre ikisi de değil ![1]
Grandi'nin Cevabı
Aslında mantık basit: Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap 1/2 yani ikisinin ortalamasıdır. Grandi bunu şu benzetmeyle açıklıyor:
"Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 ader mücevheri olur"
Cesàro Toplamı:
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 50₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Buraya geçmeden önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir sayıda teriminin toplamıdır. Örneğin:
1,2,3,4... diye giden bir seride
S1=1
S2=1+2=3
S3=1+2+3=6
olur.
Cesàro Toplamının Hesaplanması:
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +
serisi için kısmi toplamları yazalım:
S1=1
S2=0
S3=1
S4=0
olduğu görülmektedir.
Cesaro'nun Toplamı bu kısmi toplamların ortalamasını bulmaktadır. İlk 2 kısmi toplamın ortalaması (1+0)/2 = 0,5, 1. 3 kısmi toplamın ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda 1/2 olduğunu kabul ederiz.[2]

Aynı zamanda Gottfried Wilhelm Leibniz ve Leonhard Euler da cevabın 1/2 olacağını düşünmüşlerdi.
Gelelim Gerçekliğe
Evet, belki de cevapların hepsi oldukça ikna edici olsa da şu andaki matematik ve bilim camiasının kabul ettiği bambaşka bir cevap var: Belirlenemez. Bu cevap belki de diğerleri kadar etkileyici olmasa bile doğruya en yakın cevap. Çünkü gerçek hayatta sonsuz bir şeyi toplamak gibi olaylarla karşı karşıya kalmayız. Aynı x/02ın bir şey ifade etmediği gibi bu seride bizim için bir ifade etmez.
Okuduğunuz için teşekkür ederim. :)
- 3
- 1
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- 0
- ^ Jack Murtagh. The Paradox Of 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …. (16 Ağustos 2024). Alındığı Tarih: 18 Ağustos 2024. Alındığı Yer: Scientific American | Arşiv Bağlantısı
- ^ shaktikumar1729. Grandi’s Series. (1 Mart 2021). Alındığı Tarih: 18 Ağustos 2024. Alındığı Yer: infinitesimallysmall | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 07/09/2025 22:10:08 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/18401
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.