Grandi’s Series Nedir?

Grandi's Series (Grandi'nin serisi)

Matematikte bir problem ne kadar basit ve anlaşılır ise o problem o kadar "zarif" olarak adlandırılır. İşte size 1. sınıf öğrencisin bile anlayabileceği bir işlem dizisi:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Sonsuza kadar uzanan bu seriye baktığınızda cevabın "0" olması gerektiğini düşünebilirsiniz ve pek de yanılmazsınız çünkü:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)... şeklinde gruplandırdığımızda sonucun 0+0+0=0 olacağı aşikar. Fakat ilk bakışta verilen bu kararın aksine cevabın:

1 +(-1+1)+(-1+1)... şeklinde de yazabiliriz. Böylece parantez içindeki toplamların hepsi 0 edeceğinden ve başlangıçta "1+" mız olduğundan cevap 1 gelir.

Pekala şimdi elimizde aynı derecede doğru olabilecek 2 cevap var. Peki ya hangisi doğru Grandiye göre ikisi de değil !^[1]

Grandi'nin Cevabı

Aslında mantık basit: Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap 1/2 yani ikisinin ortalamasıdır. Grandi bunu şu benzetmeyle açıklıyor:

"Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 ader mücevheri olur"

Cesàro Toplamı:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Buraya geçmeden önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir sayıda teriminin toplamıdır. Örneğin:

1,2,3,4... diye giden bir seride

S₁=1

S₂=1+2=3

S₃=1+2+3=6

olur.

Cesàro Toplamının Hesaplanması:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +

serisi için kısmi toplamları yazalım:

S₁₌1

S₂₌0

S₃₌1

S₄₌0

Agora Bilim Pazarı

"Not Today" Sweatshirt

Minimal ve kararlı bir mesaj: “Not Today”. Hem sade hem güçlü bir duruş sergileyin.

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Renk Bilgileri: Sweatshirt siyah olarak üretilebilmektedir.
2. Beden Bilgileri: Stokta kalan ürünlerimiz arasından dilediğiniz bedeni seçebilirsiniz. Sweatshirt ilgili beden bilgisi almak ve ölçüleri öğrenmek için buraya tıklayınız.
3. Cinsiyet Bilgileri: Bu ürünümüz unisex üretilmektedir ve her cinsiyete uygundur.
4. Kargo Bilgileri: Bu ürün sipariş alındıktan sonraki 2 iş günü içinde postalanacaktır. Kargo yöntemimiz hakkında daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
5. Yıkama/Ütü Bilgileri: Sweatshirt üzerindeki görsellerin korunması için sweatshirtlerin ters yüz edilerek yıkanması ve ütülenmesi tavsiye edilir. Siyah sweatshirtlerin en fazla 30 derecede yıkanması gerekmektedir.
6. İade/Değişiklik Bilgileri: Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.

Devamını Göster

₺1,200.00

Satın Al Tüm Ürünler

olduğu görülmektedir.

Cesaro'nun Toplamı bu kısmi toplamların ortalamasını bulmaktadır. İlk 2 kısmi toplamın ortalaması (1+0)/2 = 0,5, 1. 3 kısmi toplamın ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda 1/2 olduğunu kabul ederiz.^[2]

İnfinitesimallysmalY

Aynı zamanda Gottfried Wilhelm Leibniz ve Leonhard Euler da cevabın 1/2 olacağını düşünmüşlerdi.

Gelelim Gerçekliğe

Evet, belki de cevapların hepsi oldukça ikna edici olsa da şu andaki matematik ve bilim camiasının kabul ettiği bambaşka bir cevap var: Belirlenemez. Bu cevap belki de diğerleri kadar etkileyici olmasa bile doğruya en yakın cevap. Çünkü gerçek hayatta sonsuz bir şeyi toplamak gibi olaylarla karşı karşıya kalmayız. Aynı x/02ın bir şey ifade etmediği gibi bu seride bizim için bir ifade etmez.

Okuduğunuz için teşekkür ederim. :)